2022-2023学年安徽省芜湖市高三年级上册期末数学试题

2022-2023学年度第一学期芜湖市中学教学质量统测

高三年级数学试题卷

本试卷共4页，22小题，满分150分，考试用时120分钟

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、学校、考场/座位号、班级、准考证号填写在答题卷上，将

条形码横贴在答题卷右上角“条形码粘贴处”。

2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卷上对应题目选项的答案信息点涂黑；

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试题卷上。

3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内相应位

置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液，不按以上

要求作答无效。

4.考生必须保证答题卷的整洁，考试结束后，将试题卷和答题卷一并交回。

一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有

一个选项是正确的，请把正确的答案写在答题卷上)

1.已知集合A=｛x|lgx<l｝,8=｛小=Jx+3卜则AcB=()

A.[O,1)B.(O,1)C.(O,1O)D.[-3,10)

2.若复数z是方程Y-4x+5=0的一个根，则>z的虚部为()

B.-2C.±1D.±i

3.已知角夕的终边上一点P的坐标为伍则tan(/?-?)的值为()

B旦C昱D.6

93

4.若等比数列｛为｝满足4+%=-1，4一％=一3,则〃4=()

A.-4C.-8

5.《几何原本》第二卷中的几何代数法(以几何方法研究代数问题)成了后世西方数学家处理问题的重要依据，

通过这一原理，很多代数的定理都能够通过图形实现证明，并称之为无字证明.现有如图所示的图形，点F在

半圆。上，且。尸，AB,点C在直径AB上运动.作CDLAB交半圆。于点。.设AC=a,BC=b,则由

RS..CO可以直接证明的不等式为()

A.>0,Z?>O)B.tz2+Z?2..2ah^a>0,/?>0)

C2ab

(a>0,b>0)D.(6/>0,Z?>0)

a+b

6.芜湖市疾控中心呼吁：“接种疫苗可以有效降低重症风险，建议没有禁忌症，符合接种条件的人群，特别是

老年人，应当尽快接种新冠疫苗，符合加强接种条件的要尽快加强接种。”为部署进一步加快推进老年人新冠

疫苗接种情况，某社区需从甲、乙等5名志愿者中选取3人到3个社区进行走访调查，每个社区1人，若甲、

乙两人中至少1人入选，则不同的选派方法有()

种种种种

7.已知x2+y2-2ax-2a-l=0,点尸(一3,0),若上总存在M,N两点使得为等边三

角形，则。的取值范围是()

A.-|,-1jo(-l,+oo)

B.I-oo,—-kJ1^1,4-00

C.(―oo,_2]D.[-2,-1)_1,+00)

8.定义在R上的偶函数/(x)满足〃2+X)=/(T),当xe[0,l]时，/(x)=2A-l,若函数

网耳=/(耳—自在(—2,2)上恰有三个零点，则实数Z的取值范围是()

A.(—1,0)D(O,1)B.(-In2,0)u(O,ln2)

C.(—1,—In2^^j(ln2,l)D.f—1,——jo

二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多

个选项是正确的.每题全部选对的得5分，部分选对得2分，有选错得0分.请把正确的答案写在

答题卷上)

9.已知加，〃为异面直线，直线/与阳，”都垂直，则下列说法正确的是()

A.若/_L平面a,则相〃a,n//a

B.存在平面a,使得/_L。，〃zua,n//a

C.有且只有一对互相平行的平面a和夕，其中mua,nu[3

D.至多有一对互相垂直的平面a和耳，其中mua,nu/3

x2-2x+2,x..O

10.已知/(%)=<若存在西<工2</，使得/(石)=/(々)=/(毛)=/，则下列结论正

l+ln(-x),x<0

确的有()

A.实数1的取值范围为(1,2]

B.—e<X],,—1

C.x2+x3=2

的取值范围为（一LO]

11.有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为6%,第2,3台加工的次品率均为5%,加工出来

的零件混放在一起.已知第1,2,3台车床加工的零件数分别占总数的25%,30%,45%,现任取一个零件，记

事件A,.="零件为第i台车床加工”（i=l,2,3）,事件8=”任取一零件为次品"，则（）

A.尸（A）=0.25B.P（B|4）=0.015

o

C.P（B）=0.0525D.P（4,

22

12.已知椭圆「：《+?=1的左、右焦点为月，F2,点。（4,2）,£（1,-1）,尸为椭圆「上一动点，过点

95

Q（〃,0）（〃>0）的直线/交椭圆于M,N两点，则下列说法正确的有（）

若的垂直平分线过点K，则攵出=±书

A.PF2

B.|叫一归国一2户国的最小值为血一12

20

C.若〃=2,则△MNf；的面积的最大值为三

D.若AMN耳的面积取最大值时的直线/不唯一，则〃q-^-,+oo

三、填空题（本大题共有4小题，每小题5分，共20分，请把正确的答案写在答题卷上）

13.已知向量m=（-1,2）,〃=若加〃〃，则匕的值为.

14.函数〃x）=sin2x-acosx在[0,句上单调递增，则实数〃的取值范围是.

22

15.已知双曲线M：2r=1（。〉0,。>0）的左、右焦点为耳，居，尸为双曲线M渐近线上一点.满足

ah

PF；PE=0,且直线夕工的斜率之和为一手，则双曲线M的离心率为.

16.如图，在三棱柱ABC—A与G中，点E是棱与G上一点，且用E=2EG，过直线AE的一个平面与棱CG

CC

交于F,与棱A,B,交于D,记截面ADEF的面积为S,AAEF的面积为S,,AA£D的面积为52,则一丝

S

的取值范围是.

四、解答题（本大题共6题，共70分，第17题满分10分，其余大题每题满分12分，解答时

每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤）

17.在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知2c-/?=2acosjB

（1）求角A的大小；

（2）若。是8C边上的中点，且4）=2,求△A3C面积的最大值

18.已知S,是数列｛4｝的前〃项和，2S,=（〃+1）%.且q=l

（1）求｛4｝的通项公式;

(2)设4=0,己知数列也｝满足a=—————求也｝的前〃项的和7；

cosancosa,1

19.某医院用a,Z?两种疗法治疗某种疾病，采用有放回简单随机抽样的方法对治疗情况进行检查，得到了如

下数据：

未治愈治愈合计

疗法a155267

疗法。66369

合计21115136

（1）根据小概率值a=0.005的独立性检验，分析。种疗法的效果是否比。种疗法效果好;

（2）为提高临床医疗安全性，提高疾病的治愈率及好转率，同时降低医疗费用，降低患者医疗负担.该医院对

于a,b两种疗法进行联合改进，研究了甲、乙两种联合治疗方案，现有6位症状相同的确诊患者，平均分成

14

A,6两组，A组用甲方案，8组用乙方案.一个疗程后，A组中每人康复的概率都为一，8组3人康复的

15

1999

概率分别为二，—,二.若一个疗程后，每复1人积2分，假设认定：积分期望值越高疗法越好，请问甲、

201010

乙哪种联合治疗方案更好？

n(ad-be)一

参考公式及数据：z2

(a+b)(c+c/)(a+c)(0+d)

a

(15x6-52x63『(15x63-52x6)2(15x52-6x63『

=0.9092,=0.0359,=0.0145

67x69x21x11567x69x21x11567x69x21x115

20.五面体ABCOE/中，AD//CF,AD=CF=2,BE=EF=4,CA=2后，ZCFE=-

3

（1）证明：AD//BE；

（2）给出①FDLBE；②C4_LZ）E；③平面平面ACED.

试从中选两个作为条件,剩下一个作为结论,可以让推理正确，请证明你的推理，并求出平面EED和平面8CE

夹角的余弦值.

注：如果选择不同组合分别解答，则按照第一个解答计分.

21.已知抛物线C：9=2°%(，>())的焦点为尸，过焦点厂的直线/与抛物线交于A,B两点,当直线/的

倾斜角为60°时，|A8|=—

(1)求抛物线C的方程；

(2)求证：过焦点尸且垂直于/的直线与以AB为直径的圆的交点分别在定直线上.

X

22.已知函数/(x)=e"-1一1,g(x)=aln(x+l)

⑴证明：当a=l时，〃x)2g(x)；

(2)x>0时，设〃(x)=/(x)-g(x),讨论/?(x)零点的个数

2022-2023学年度第一学期芜湖市中学教学质量统测

高三年级数学试题参考答案

14.[2,+oo)、16,^2-,-1

四、解答题

17.(1)由题可知2sinC-sinB=2sinAcosB,

且sinC=sin(A+B),2cosAsinB-sinB=0

又△ABC中，sin3w0,

,1

；・cosA=一,

2

TT

解得A=上

3

(2)由题可知AQ=g(A8+AC),

-21/-2-2-

AAD+AC+2A3AC)

即=；(|A砰+|AC|2+2|AB||AC|COSA),

又AD=2

；•|A同，|ACf+|AB||AC|=16..3|AB||AC|,

当且仅当|A@=|AC|时等号成立

••・网|AC|”号

AS=1|/lB||AC|sinA,苧

18.(1)由已知得2(q+4)=3%，即％=2,

几.2时，由2S〃=(力+1)。“，2Sw_j=nan_1,两式相减得(〃一1)4=加*,

则%=也=...="=2=1,

nn-\22

又;=1,于是｛?｝为常数列.得%=〃

注：也可以利用等比型递推关系且-=」一(〃..2),用累乘法求通项公式，请酌情赋分.

%〃-1

sinlsinn-(n-l)sin«•cos(n-1)-cos«•sin(n-1)/、

(2)・・•bn=-------------=__W=--------——^―-—————^=tan/i-tan(H-l)

cosncos(n-l)coswcos(n-l)cos72cos(«-l)

=-tan(n-l)+tanAZ,

Tn=(-tanO+tanl)+(-tanl+tan2)+(-tan2+tan3)d---1■[一tan(九一l)+tan〃]

19.(1)零假设为"o：疗法与疗效独立，即两种疗法效果没有差异

2

根据列联表中数据，经过计算得到Z=136x(15x63-52x6)。＜1gl9=占

67x69x21x115

根据小概率值a=0.005的独立性检验，没有充分证据推断“o不成立，因此可以认为“。成立，即认为两种

疗法效果没有差异

(2)设A组中服用甲种中药康复的人数为X「则X1~83,二

1414

所以E(Xj=3x百=一

设A组的积分为X?,则X2=2X1,

所以E（X2）=2E（XJ=M=5.6,

设B组中服用乙种中药康复的人数为匕，

则乂的可能取值为：0,1,2,3,

±

(/Y

\=-X——X——=--------

2010102000

12X—+-2=上

20101020210102000

1991199423

P（X=2）=C；x__x__X___|-----x__x__=_____

2010102010102000

19991539

尸（1=3）=----X——X——=--------

2010102000

故X的分布列为:

耳0123

1374231539

P

2000200020002000

Uicl,37c423c153911

所以E（X）=0x---------F1x---------F2x---------F3x--------=—，

,"20002000200020004

设8组的积分为丫2,则毛=2匕，所以E（N）=£：（2Y）=2E（Y）=£=5.5

因为5.6>5.5,所以甲种联合治疗方案更好

20.（1）证明：因为Ar>〃CF,CFu面BCFE,ADz面BCfE,

所以〃面8CFE.

又因为AZ）u面ABED,而ABEDc面BCFE=BE,

所以

（2）条件①②，结论③

由条件易知四边形ACFD是平行四边形，故C4〃ED,

因为FDLBE,所以C4L8E,

又C4_LZ）E,BEcDE=E,

所以C4_L面ABE。，而C4u面ACFD,

故平面ABED，平面ACFD.

条件①③，结论②

证明：由条件易知四边形ACED是平行四边形，故C4〃户D.

由FDLBE,AD〃跳;可得FDLAD.

因为面46石。>1_面47尸£）,面ABEDc面ACED=AO,FDu面ACED

所以£。_1_面43£。.

而EDu面ABE。，CA//FD,故C4_L£）E

下面求平面E4C和平面P8O夹角的余弦值：

-rr

△CFE中，由余弦定理可得CE?=CF2+EF2-2CF-EF-cos-=12,

3

故CE=2也.

又由CA=2及，CALAE,得AE=2.

由£尸=4,FD=272,FDA.DE,得£>£=20.

因为=。石2,所以

以A为原点，AD,AE,AC分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系.

A（0,0,0）,8（<2,0）,C（0,0,2A/2）.

易知m=（1,0,0）是平面ACE的一个法向量.

设”=（x,y,z）是平面ABC的一个法向量

n•AB—0[—4x+2y—0

由.，得「,

n-AC=0[2j2z=0

取x=l,得y=2,故〃=（1,2,0）

故平面EAC和平面PBD夹角的余弦值是—

5

21.解：（1）当直线/的倾斜角为60°时，设直线/的方程为y=

y2=2px

联立方程1n\

P_

3

得：3/—5〃x+二〃2=0,

：.x]+x2=—f|AB|=xl+x2+/2=—=—,

・・・p=2,・・・抛物线C的方程为y2=4x

(2)设直线/的方程为无一l=my,A(/yJ,

联立方程—'得：丁—4冲-4=0,

x=my+1

y+%=4机，>|必=-4,不+w=〃?(y+%)+2=4，/+2,=1,

16

则以AB为直径的圆的方程为：(%-玉)(x-/)+(y—x)(y->2)=0，

即：£一(百+%)%+%/+y2一(y+%)y+y%=0，

代入得：x2—(4m2+2)x+j2—4my—3-0,

过焦点尸且垂直于/的直线为：y=-m(x—l),

x2—(4m2+2)x+y2-4my-3=0

联立方程《、7

y=—m(x-l)

得：2+1卜2-2(%2+1卜一3(加2+1)=()

即：X2-2X-3=0,解得：x=—1或3,

所以过焦点F且垂直于I的直线与以AB为直径的圆的交点分别在定直线x=—1和x=3上.