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文档简介
第八讲定值问题
题型分析
最终的目标都是求解目标量的定值为多少,从动点(直线)中计算出不动的量
一般方式
①选定相对合适的参数,将题目中条件利用参数表达出来,再利用所得结论化简计算
定值关系式求解定值
②利用特殊情况(特殊值、特殊位置等)先把定值确定出来之后再证明该式子是恒成
立的
练习:
1.已知椭圆的中心为坐标原点0,焦点在X轴上,斜率为1且过椭圆右焦点的直线交椭圆于
A、B两点,。4+03与。=(3,—1)共线。
(1)求椭圆的离心率;
(2)设M为椭圆上任意一点,且而=丸53+〃丽(九〃GR),证明;为定值。
2.已知,椭圆C过点两个焦点为(-1,0),(1,0)„
(1)求椭圆C的方程;
(2)E,F是椭圆C上的两个动点,如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数,证明直
线EF的斜率为定值,并求出这个定值。
3.已知椭圆的中心在原点,焦点厂在y轴的非负半轴上,点F到短轴端点的距离是4,椭
圆上的点到焦点尸距离的最大值是6.
(I)求椭圆的标准方程和离心率e;
(II)若尸为焦点/关于直线y=3的对称点,动点M满足卫吧=«,问是否存在一
2\MF'\
个定点A,使M到点A的距离为定值?若存在,求出点A的坐标及此定值;若不存在,
请说明理由.
4.已知抛物线C的顶点在坐标原点,焦点在x轴上,P(2,0)为定点.
(I)若点P为抛物线的焦点,求抛物线0的方程;
(II)若动圆M过点P,且圆心M在抛物线C上运动,点A、B是圆M与y轴的两交点,试推
断是否存在一条抛物线C,使|AB|为定值?若存在,求这个定值;若不存在,说明理由.
5.已知椭圆E的中心在原点,焦点在x轴上,椭圆上的点到焦点的距离的最小值
为血一1,离心率为e=42-
2
(I)求椭圆E的方程;
(II)过点(1,0)作直线交E于P、Q两点,试问:在x轴上是否存在一个定点M,
MP-MQ为定值?若存在,求出这个定点M的坐标;若不存在,请说明理由•
V2J/=1(。〉0/〉0)的离心率为6,右准线方程为彳=当
6.已知双曲线。:二
a
(I)求双曲线。的方程;
(II)设直线/是圆O:犬2+,2=2上动点P(x0,y0)(x0^0w0)处的切线,/与双曲线C交
于不同的两点A,8,证明NA03的大小为定值.
7.己知椭圆一1=1(3>6>0),过其中心。的任意两条互相垂直的直径是P1P2、
ab
Q1Q2,求证:以两条直径的四个端点所成的四边形PGP2Q2与一定圆相切。
8.已知定点。(一1,0)及椭圆/+3/=5,过点C的动直线与椭圆相交于A,B两点、.
(I)若线段AB中点的横坐标是-工,求直线AB的方程;
2
(II)在x轴上是否存在点使苏•标为常数?若存在,求出点M的坐标;若不存
在,请说明理由.
9.已知椭圆工+二=l(a〉6〉0)的左、右焦点分别为F1,F2,短轴的两个端点为A、B,
ab~
且四边形F1AF2B是边长为2的正方形。
(1)求椭圆的方程。
(2)若C、D分别是椭圆长轴的左、右端点,动点M满足MD_LCD,连结CM交椭圆于点P,
证明:OM・OP为值。
10.在平面直角坐标系xOy中,RtZkABC的斜边BC恰在x轴上,点B(—2,0),0(2,0),且
AD为BC边上的高。
(I)求AD中点G的轨迹方程;
(II)若过点(1,0)的直线/与(I)中G的轨迹交于两不同点P、Q,试问在x轴上是否存在定
点E(m,0),使PE-QE恒为定值入?若存在,求出点E的坐标及实数人的值;若不存在,
请说明理由。
第八讲定值问题
题型分析
最终的目标都是求解目标量的定值为多少,从动点(直线)中计算出不动的量
一般方式
①选定相对合适的参数,将题目中条件利用参数表达出来,再利用所得结论化简计算
定值关系式求解定值
②利用特殊情况(特殊值、特殊位置等)先把定值确定出来之后再证明该式子是恒成
立的
练习:
1.已知椭圆的中心为坐标原点0,焦点在x轴上,斜率为1且过椭圆右焦点的直线交椭圆于
A、B两点,51+3与7=(3,—1)共线。
(1)求椭圆的离心率;
(2)设M为椭圆上任意一点,且OM=2OA+]uOB(2,//e7?),证明才+为定值。
XV
解析:(1)设椭圆方程为一—4———1(3>6>0),A(xi,y),B(X2,丫2),AB的中点为N(x0,yo),
ab
a
\2b2,两式相减及二~」=1得到了0=——-Xo,所以直线ON的方向向量为
玉_型x2-xla
“2b2一
___»A2____►_1A2仄
ON=(1,—--),•;ONHa,,即42=3^2,从而得e=B
a~3a3
(2)探索定值因为M是椭圆上任意一点若M与A重合,则OM=OA,此时
A—1,〃=0,.'.不+〃2=]
证明/=3/,...椭圆方程为炉+3y2=3/,又直线方程为y=x—C
.fy~x-c°oo
・・1°o=4x—6cx+3c—3b=0
lx2+3/9=3b2
33c2-3b232
・・+x2=—c,xxx2-------------=-c
又设M(X,y),则由。M=2OA+〃O5得〈12,代入椭圆方程
整理得下(+3y;)+〃2(君+3为)+2%(巧%2+3y2y2)=3b?
又:xf+3yf=3b2,+3yl=3b2,
39
+3yy,=4x/2-3c(x)+x2)+3c2=———c~+3c~=0
矛+〃2=1
3
2.已知,椭圆C过点A。]),两个焦点为(-1,0),(1,0)„
(3)求椭圆C的方程;
(4)E,F是椭圆C上的两个动点,如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数,证明直
线EF的斜率为定值,并求出这个定值。
1o3
解析:(1)由题意,c=1,可设椭圆方程为....-H-----=1,解得=3,b~=—(舍
l+b~41r4
去)
2
x丫2
所以椭圆方程为---F-—=1o
43
3V2V2
(2)设直线AE方程为:y=k(x-l)+~,代入1+彳-=1得
3
(3+4k2)x2+4左(3-2k)x+4(--kf-12=0
3
设E(XE,yE),E(XF,yF),因为点AX])在椭圆上,所以
3,
4(——左门-12
,3,
1+4左2%=、+5-左
又直线AF的斜率与AE的斜率互为相反数,在上式中以一K代K,可得
3
4(三+左产9—12
X1+正yE=-kxE+^+k
y-y_+x)+2k_1
所以直线EF的斜率降FEE
xF-xE2
即直线EF的斜率为定值,其值为L。
2
3.已知椭圆的中心在原点,焦点F在y轴的非负半轴上,点尸到短轴端点的距离是4,椭
圆上的点到焦点P距离的最大值是6.
(I)求椭圆的标准方程和离心率e;
(II)若歹'为焦点厂关于直线y=3的对称点,动点M满足卫竺l=e,问是否存在一
2\MF'\
个定点A,使"到点A的距离为定值?若存在,求出点4的坐标及此定值;若不存在,
请说明理由.
解析:(I)设椭圆长半轴长及半焦距分别为。,C,由已知得
\解得Q=4,c=2.
[a+c=6,
22。[
所以椭圆的标准方程为-—■I-―1.离心率e=—=—.
161242
(Il)F(0,2),产'(0,1),设M(x,y),由詈g=e得
|MF|
行+(尸2)2-
a+gy-5
化简得3x2+3/-14^+15=0,?Px2+(y-1)2=(|)2
故存在一个定点A(0,g),使M到A点的距离为定值,其定值为|.
4.已知抛物线C的顶点在坐标原点,焦点在x轴上,P(2,0)为定点.
(I)若点P为抛物线的焦点,求抛物线C的方程;
(II)若动圆M过点P,且圆心M在抛物线C上运动,点A、B是圆M与y轴的两交点,试推
断是否存在一条抛物线C,使|AB|为定值?若存在,求这个定值;若不存在,说明理由.
解析:(I)设抛物线方程为丁=20x(2/0),则抛物线的焦点坐标为(^,0).由已知,
y=2,即p=4,故抛物线C的方程是y2=8x.
(II)设圆心M(a,加(a"0),点A(0,%),B(0,%).因为圆M过点P(2,0),则可
设圆M的方程为(犬—〃了+(y—Z?)2=(a—2)2+/?2.令1=0,得y2—2by+4〃-4=0.
则X+%=2b,%•%=4a—4•所以
I+%)2—4%•%=J4Z?2_]6a+16.,设抛物线C的方程为
y2=mx(m0),因为圆心M在抛物线C上,则〃二勿饮.所以
|AB|=16a+16=J4a(加—4)+16.由此可得,当机=4时,|AB|=4为定值.故
存在一条抛物线>2=4%,使|AB|为定值4.
5.已知椭圆E的中心在原点,焦点在x轴上,椭圆上的点到焦点的距离的最小值
为6-1,离心率为e=42-
(I)求椭圆E的方程;
(II)过点(1,0)作直线交E于P、Q两点,试问:在X轴上是否存在一个定点M,
MP-MQ为定值?若存在,求出这个定点M的坐标;若不存在,请说明理由•
a-c=&-l
22
解析:(I)设椭圆E的方程为三+七=1,由已知得:,c近。。。。。2分
ab
a=&.•.b2=a2—c2=l椭圆E的方程为工+y2=l。。。。3分
c=l2
(II)法一:假设存在符合条件的点M(m,O),又设P(x”yJ,Q(X2,y2),则:
MP=(Xj-m,y1),MQ=(x2-m,y2),MP-MQ=(x1-m)-(x2-m)+y1y2
2
=XjX,-m(X]+x2)+m+y,y2<>oooo5分
①当直线1的斜率存在时,设直线1的方程为:y=k(x-l),则
A2_[
由(万+y=得/+21?仪_1)2_2=0
y=k(x-l)
4k2?k2—2
(2k2+l)x2-4k2x+(2k2-2)=0x.+x=--——,x.-x=——z——7分
122k2+l1222k2+1
k2
y,y=k2(x-l)(x-l)=k2[xx-(x+x)+l]=-
21212122k2+1
2k2_24k2(2m2-4m+l)k2+(m2-2)
所以MP-MQ=-------m•—=—+m29分
2
2k2+12k2+12k2+12k+1
对于任意的k值,MP・MQ为定值,所以2m2-4m+l=2(m2-2),得m=j
4
57
所以M(—,0),MP-MQ=-一;11分
416
②当直线1的斜率不存在时,直线1:X=1,X]+X2=2,X]X2=1,%丫2=-(
57
由m=a得MPMQ=—n
综上述①②知,符合条件的点M存在,起坐标为(工,0)•13分
4
法二:假设存在点M(m,0),又设P(Xi,y)Q(X2,y2),则:MP=(x1-m,y1),MQ=(x2-m,y2)
2
MPMQ=(X]-m)-(x2-111)+丫1丫2=*遂2—m(X]+x2)+m+yiy25分
①当直线1的斜率不为。时,设直线1的方程为x=ty+l,
X22
由<2+丫一1得(t?+2)y2+2ty-l=0二%+丫2=p^,y「y27分
x=ty+1~~
-t2-2t2+t2+2-2t2+2
XjX2=(t%+l)-(ty2+1)=12yly2+t(y〔+y2)+l=--------------------=
-2t2+2t2+44
Xi+Xz=t(y]+y2)+2=
t2+2t2+2
—2222
N“nN“C2t+24m21_(m-2)t+2m-4m+l
/.MP-MQ=-z----------;——+m9分
t2+2t2+2t2+2t2+2
(m2-2)t2+2m2-4m+1
设MP-MQ=2则=X
t2+2
5
22222m=-
(m-2)t+2m-4m+l=X(t+2)m-2-X=04M(-,0)11分
2222,74
(m-2-X)t+2m-4m+l-2X=02m-4m+l-2X=0A=-----
16
②当直线1的斜率为0时,直线l:y=0,由Mp,0)得:
4
MP-MQ=(V2-1)-(-A/2-|)=||-2=-^
综上述①②知,符合条件的点M存在,其坐标为(々0)
4
6.已知双曲线C:----1(〃>0,/?>0)的离心率为,右准线方程为x———
ab3
(I)求双曲线。的方程;
(II)设直线/是圆O:x?+V=2上动点P(xo,yo)(xoyo#0)处的切线,/与双曲线C交
于不同的两点A,8,证明NAOB的大小为定值.
解析:本题主要考查双曲线的标准方程、圆的切线方程等基础知识,考查曲线和方程
的关系等解析几何的基本思想方法,考查推理、运算能力.
立—由
(I)由题意,得<03,解得。=1,。=行,
上=出
2
/=/—"2=2,所求双曲线C的方程为-=].
2
(II)点尸(/0,%)(%0%W0)在圆炉+y2=2上,
圆在点尸(七,%)处的切线方程为>一%=-
,4=1及片+*=2得
化简得/尤十%>=2.由<
xox+yoy=2
-4)龙?—4-XQX+8-2xg—0①
-4)J—8^0%—8+2XQ—0②
•・•切线/与双曲线C交于不同的两点A、B,且0<焉<2,
3x1-4^0,设A、B两点的坐标分别为(玉,%),(%2,%),
,8—2/2%"-8
则n%/=------,%%=---?---
123%;-4123^-4
OA-OB=xvx2+yxy2=0,NAQB的大小为90.
Xy
7.己知椭圆一7+-=1(a>6>0),过其中心0的任意两条互相垂直的直径是PFz、
CTb
QIQ2,求证:以两条直径的四个端点所成的四边形PGPzQz与一定圆相切。
探索定圆:取椭圆长轴和短轴为两直径,则A2%的方程为
Xvab
—+—=1,原点0到直线A2B2的距离为白二/=,
abVa2+Z?2
2b2
2261
则与菱形AiB.A2B2内切的圆方程为x+y-...-------
一一a+/?
证明:设直径PR的方程为y=kx,则QIQ的方程为y=--x
2k
a2b2
y=kxX2
2222一雷+1)。2/
22解得<b+ak
k2a2b22—b2+a2k2
[ua2b2y2
b2+a2k2
22
ce(k+l)a-b必必*\OP,\-\OQ,\ab
22
同理OQ
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