【高中数学】2023-2024学年人教A版必修第一册 同角三角函数的基本 作业

5.2.2同角三角函数的基本

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.已知角a是第四象限角，cosa=!|,贝!Jsina=

A.5R5c.-D--V

131312

2.已知a6(],多,且tcma=V2,那么sina=()

V3Dx/6c.四V3

A.-------------LJ.--------D.

3333

3.化简Vl—sin2160。的结果是()

A.cosl60°B.±|cosl60°|C.±cosl60°D.—cosl60°

-v-sina+cosa1.|.o

4.右二------=一,则msina-sinacosa—3ocosa=()x

sina-cosa2

93

ABC.D.

-^102

5.化简/sin：+也如三的结果为（）

Vl-cos23cos4

A.-3B.-1C.1D.3

6.已知tcma=m,a是第二、三象限角，则sina的值等于（）

mVl+m2mVl+m2CmVl+m2

A.B.土D.±my/m2+1

1+m2l+m2(l+m2)

二、多选题

7.若sina=%且a为锐角，则下列选项中正确的有()

4

A.tana=-BC.cosa=一3

35

C.sma+cosa=-nD.si.na—cosa=——1

5

8.下列结论中成立的是()

A.sina=!且cosa=-B.tana=2-且沔=\

22sina3

C.tana=1且cosa=+—D.sina=1.且cosa=0

-2

9.下列计算或化简结果正确的是（）

A2tanacosa

A.——：----=2

sina

B.若sina=—，则tana=2

5

C.若sin0•cos6=3则tan0+^4=2

2sin0

D.若tan/?=；,则246=t

广2cos/?-sin0

三、填空题

5sin6-cos0

10.已矢口tan6=2,则

sin8+cos8

________1__________

11.若3sina+cosa=0,贝！Jtana=

cos2a+2sinacosa

12.已知sin。=-cosO=--（m*0）,则?n=,tanO—.

13.设sina+cosa=a6（0,兀），则sinacosa=；cosa—sina=.

14.定义运算F[=ad-尻,若产吗4=0,则哭空驾的值是__.

IealICOS0313sm0-cos0

15.如图是由4个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个边长为1的大正方形,

若直角三角形中较小的内角为仇小正方形的边长为贝Ijsi/。-cos2。=

16.已知tana,二一是关于x的方程/—kx+1—3=0的两个实根，且3兀<a<],

tana2

贝ijtana=，sina-cosa=.

四、解答题

17.（本小题12.0分）

（1）已知cos0=1,求simp,tan（p.

（2）已知sin%=2cos%,求角》的三个三角函数值.

18.（本小题12.0分）

求证•COSX1+sinx

1-sinxcosx

19.(本小题12.0分)

已知/(a)=叵｝—近还，其中a为第二象限角.

71-sina'1+sina

(1)化简/(a)；

(2)若/(a)=-4,求sin2a—sinacosa+3的值.

20.（本小题12.0分）

张明做作业时，遇到了这样的一道题：”已知角8终边上一点P(x,3)(x00),且cosJ=

叵x，能否求出sin。，cos。的值?若能，求出其值;若不能，请说明理由他对此题百思不

10

得其解，你能帮张明求解吗？

21.(本小题12.0分)

l-cos4a-sin4a

(1)化简:

l-cos6a-sin6a

l-2sin2xcos2x_1,一tan2x

(2)求证:

cos22x-sin22x1+tan2x

22.(本小题12.0分)

ll-sina,.1-cosa

已知aE(O.])，且/(a)=cosa-——：---1-sina-

1+sina1+cosa

(1)化简/(a)；

(2)若/(a)=£求i的值.

2sinacosa+cos2a

答案和解析

1.【答案】B

【解析】

【分析】

本题考查三角函数的同角三角函数关系式以及三角函数符号的判断，属于基础题，

由a为第四象限角，得正弦值为负，再由同角三角函数关系式求得sina=—V1—cos2a.

【解答】

解：由a为第四象限角，cosa=g,

得sina=—Vl-cos2a=—Jl——

故选B.

2.【答案】B

【解析】

【分析】

本题考查的知识要点：同角三角函数基本关系，属于基础题.

直接利用同角三角函数基本关系进行转换求出结果.

【解答】

解：已知aG,且tcma=V2>

故aG（n,|兀）,

故sina<0,

根据sir^a+cos2a=1,tana—

cosa

可得sin2a+^sin2a=1,

解得sbia———.

3

故选:B.

3.【答案】D

【解析】

【分析】

本题考查同角三角函数基本关系，属于基础题.

根据同角三角函数基本关系即可化简.

【解答】

解：由于cosl60°<0,

故Vl-sin2160°=Vcos2160°

=|cosl60°|=-cosl60°.

故选D.

4.【答案】C

【解析】

【分析】

本题主要考查了同角三角函数的基本公式，属于基础题.

对sma+cosa=工进行化简,求得tana=—3,利用siMa+cos2a=1对siMa-sinacosa—

sina-cosa2

3cos2a进行变形，然后弦化成切，代入求值即可.

【解答】

解：由史巴上吧=15T知cosa羊0,

sina-cosa2

sina+cosa_tana+1I，解得tana=—3,

sina-cosatana-1

又sin2a-sinacosa—3cos2a

sin2a—sinacosa—3cos2a

sin2a+cos2a

tan2a—tana—3

tan2a+1

_9+3-3_9

-9+1-10*

故选c.

5.【答案】C

【解析】

【分析】

本题考查同角三角函数的关系及三角函数值在各象限的符号，难度较易.

因为3弧度的角在第二象限，4弧度的角在第三象限，利用同角三角函数的关系及三角函数值

在各象限的符号即可求得.

【解答】

用牛._____________卜__________=_________卜：______：

•x/1-cos23cos4|sin3|cos4

2sin3.-cos40dd

sm3cos4

故选：c.

6.【答案】A

【解析】

【分析】

本题重点考查同角基本关系，属于中档题.

2

先求得sin2a=，三，再对a进行分类讨论即可.

1+m2

【解答】

sin2a+cos2al+tan2a1+m2

2

|sina|=|m|Vl+m

1+m2

当Q是第二象限角，tana=m<0,sina>0

my/l+m2

sina=

1+m2

当a是第三象限角，tana=m>0,sina<0,

sina=—

1+m2

7nVl+m2

综上所述，sina=

1+m2

故选A.

7.【答案】AB

【解析】

【分析】

本题考查同角三角函数的基本关系，是基础题.

由sina求出cosa、tana,即可得出结论.

【解答】

解：sina=且a为锐角，

[Z---­y-

・••cosa=VI—sin'a=34tana=S-i-n-a--=4

5cosa3

・•・sina+,cosa=7si.na—cosa=1

故选45.

8.【答案】CD

【解析】

【分析】

此题考查同角三角函数的基本关系，属于基础题.

根据同角三角函数的基本关系进行求解即可.

【解答】解：对于4,因为sina=：,则cosa=±/1—sin2a=士:,故A错误;

对于B,因为tana=2,则当吧=7^—=:，故3错误；

对于C,因为tana=1,则cosa=sina,

又cos2a+sin2a=1,则有cosa=+3，故C正确；

一2

对于。，因为sina=1,又cos2a+sin2a=1,贝！Jcosa=0,故£)正确；

故选CD

9.【答案】AC

【解析】

【分析】

本题考查了同角三角函数的基本关系，属于基础题.

根据同角三角函数的基本关系，对选项逐一判断即可得出结果.

【解答】

2tanacosa

解:=2,故A正确;

sina

va范围不确定，.•・tana的符号不确定，故6不正确.

八.cosOsin。,cosO1

•・•tan3H------=-------1------=----------2,故C正确;

sin。cosOsin。sinOcosO

L2

2PR故。不正确;

•••cosT/?-sinp=T1-7tan^p='

故选AC.

10.【答案】3

【解析】

【分析】

此题考查同角三角函数间的基本关系，化简求值，是一道基础题.

把分子分母都除以cos。，利用同角三角函数间的基本关系即可得到关于tan。的式子,把tern。

的值代入即可求出值.

【解答】

解：「tern。=2,

.SsinO-cosOStand-15x2-1_3

sin6+cos8tan8+l2+1

故答案为3.

11.【答案】三

10

T

【解析】

【分析】

本题主要考查同角三角函数的关系式，属于基础题.

由题意变形已知式子可得tana=-；,然后把2:-----分子变为sin2a+cos2a,分子分

3cosAa+2sinacosa

母同除以cos2a,代入tana=—1计算可得答案.

【解答】

解：•・,3sina+cosa=0,

i

・•・tana=——,

3

.______1________cos2a+sin2a_1+tan2a_l+(f_10

cos2a+2sinacosacos2a+2sinacosa1+2tanai+2x(-g)3

故答案为一3y

12.【答案】8

5

12

【解析】

【分析】

本题考查了同角三角函数的基本关系，属于基础题.

由已知利用同角三角函数基本关系式可求（黑产+（黑产=1,进而整理即可解得m=8,

利用同角三角函数基本关系式可求tan。的值.

【解答】

解:vsin20+cos20=1,

二箭+等整=1,解得时。（舍），或时8,

•八5八12

・•・sinO=——，cosd=---,

1313

故答案为8；-

13.【答案】一：

V17

__3"

【解析】

【分析】

本题考查三角函数化简求值，同角三角函数的基本关系.

将已知等式平方得到sinacosa,再利用同角三角函数基本关系即可求解.

【解答】

解：vsina+cosa=a6（O,TT）,

平方得1+2sinacosa=g,

即sinacosa=一£

sina>0,cosa<0,

所以cosa-sina=­J^cosa-sina)2=-y/1—2sinacosa=———，

故答案为一也一子.

14.【答案】4

【解析】

【分析】

本题考查三角函数的求值问题.

由条件可以得到tan。=：再把嘤警等弦化切即可求值.

33sin0-cos6

【解答】

解:因为产"4=0,

ICOS031

2

所以3sin8—2cos0=0,即有tan。=

2

3sin6+2cos03tan6+2_3X§+2

所以

3sin0-cos63tan0-l3x--l

3

故答案为4.

15.【答案】一《

【解析】

【分析】

本题考查同角三角函数的基本关系，根据题意可知每个直角三角形的长直角边为cos。，短直

角边为sin。，小正方形的边长为cos。-sin。=（,进而求得2cosOsin。的值，求得（cos。+

sin。）？的值，进而求得cos。+sin。的值，利用平方差公式把siM。-cos?。展开后，把cos。+

sinO^cosO—s出。的值代入即可求得答案.

【解答】

解：依题意可知拼图中的每个直角三角形的长直角边为cos。，短直角边为s出。，

小正方形的边长为cos。一sind,则cos。-sind=

又（cos。—sinO）2=1-2sin0cos0=

94

・•・2cosOsin0=—,

25

49

・••14-2sin0cos6=—,

25

即（cos。+si九6）2=

・•・cosO+sind=（,

・••sin20—cos20=（cos3+sind^sinO—cos。）=—.

故答案为一看

16.【答案】1

1

2

【解析】

【分析】

本题考查了同角间的三角函数的基本关系，属于基础题。

由tana,9一是关于x的方程/一依+/-3=0的两个实根，且3兀<a<?,根据韦达定理

tana2

可得tana=1,再把正余弦化为正切表示可得结果。

【解答】

解：由题意得tana•=1=1-3,

=+2

一

又•・,3TT<a<—,

・•・tana>0,

・•・tanaH———=k=2,

tana

：・tana=1，

smacosatana

・•・sina•cosa

sin2a+cos2atan2a+l

答案为：1;

17.【答案】(l)Tcosa=1>0,.•.9为第一或第四象限角,

当8为第一象限角时，

/----------------JTq,sina?rr-=

sinp=y/1—cos2<p=—>tanw==V15.

当9为第四象限角时，

sing=-71-cos2(p=一经，tan(P=TZT=一

(2)解：由于sin%=2cosx,

JEsin2%+cos2%=1,

解得，sinx=—，cosx=—

55

或sin%=——，cosx=——.

55

sinx

tanx=

cosx

则当％在第一象限时，sinx=—cosx=—，tanx=2；

55

当光在第三象限时，sinx=—cosx=——,tanx=2.

55

【解析】本题考查同角的基本关系式，考查运算能力，属于基础题.

运用同角的基本关系式：平方关系和商数关系，即可得到所求的三角函数值，解题时要注意

对角的范围进行分类讨论.

18.【答案】证法1:由cos%H0,知sin%。-1,所以1+sinxH0,于是

..x,_cosx(l+sinx)_cosx(l+sinx)_cosx(l+sinx)_1+sinx_.,

：

左边=(1-smx7)7(7l7+~s：inx7)=l：-si7n3zx=cos；zx=cosx=石以.

所以，原式成立.

证法2:因为(1—sinx)(l+sinx)=1—sin2x=cos2%=cosxcosx,

且1—sinxHO,cosxW0,所以

cosx_1+sinx

1—sinxcosx

【解析】本题主要考查了三角函数的同角三角函数关系及其灵活应用，属于基础题.

cosx(l+sinx)

证法1先构造塔,进而可顺利得证.

(1-sinx)(l+sinx)

证法2(1—sinx)(l+sinx)=1—sin2%=cos2%=cosxcosx,再两边同时除以(1—sinx)cosx

进而可顺利得证.

19.【答案】解：(1)・・・a为第二象限角，

cosa<0,14-sina>0,1—sina>0,

I—sina

J1+sina

1+sina1—sina

cosacosa

l+sina+1-sina

—2tana；

cosacosa

(2)•・•/(a)=-4,/.tana=2,

：,sin2a—sinacosa+3

sin2a-sinacosa

=—.,-----2-+3

sin^2a+cos乙a

tan2a-tana2,17

+3=5+3Q=T

tan2a+l

【解析】本题考查三角函数的化简求值，考查同角三角函数基本关系的应用，是基础题.

(1)直接利用同角三角函数基本关系式化简即可；

⑵由/(a)=-4求得tcma,再由同角三角函数基本关系式化弦为切求解.

Y

20.【答案】解：cos0=1=,

Vlo%Vio

VCOS0n=——%，

10方=77%'

,・,％H0,AX=1或％=—1.

当％=1时，点P的坐标为(1,3),角8为第一象限角，

止匕时，sin0=-y==cos0=—;

Vio1010

当％=-1时，点P的坐标为(一1,3),角。为第二象限角,

Vio

此时,,也。=答COS0=

10

・•・能够求出sin。，cos。的值,

.八3V10d仍可百廿.3asVio

sm0=-------,cos0=——或smJn=--------,cos0n=-

ioioioio

【解析】本题考查任意角的三角函数定义的应用，难度中等.

根据任意角的三角函数定义可以得到cos。=卷=容，解出X,继而求出sinJ,cos。的值.

21.【答案】(1)解：分子=1—(cos2a+sin2ay+2cos2asin2a=2cos2asiMa,

分母=1—(cos2a+sin2a)(cos4a+sin4a—cos2asin2a)

=1一(co