高考数学理北师大版一轮复习训练4-7正弦定理余弦定理的应用举例

核心考点·精准研析考点一测量距离问题1.如图,从气球A上测得正前方的河流的两岸B,C的俯角分别为75°,30°,此时气球的高是60m,则河流的宽度BC= ()A.240(QUOTE1)m B.180(QUOTE1)mC.120(QUOTE1)m D.30(QUOTE+1)m2.一船以每小时15QUOTEkm的速度向东行驶,船在A处看到一灯塔B在北偏东60°,行驶4小时后,船到达C处,看到这个灯塔在北偏东15°,这时船与灯塔的距离为 ()A.60km B.60QUOTEkm C.30QUOTEkm D.30km3.(2019·衡阳模拟)如图,为了测量A,C两点间的距离,选取同一平面上B,D两点,测出四边形ABCD各边的长度(单位:km):AB=5,BC=8,CD=3,DA=5,且∠B与∠D互补,则AC的长为 ()A.7km B.8km C.9km D.6km4.如图,海中有一小岛C,一小船从A地出发由西向东航行,望见小岛C在北偏东60°,航行8海里到达B处,望见小岛C在北偏东15°,若此小船不改变航行的方向继续前行2(QUOTE1)海里,则离小岛C的距离为 导学号()A.8(QUOTE+2)海里 B.2(QUOTE1)海里C.2(QUOTE+1)海里 D.4(QUOTE+1)海里【解析】1.选C.记气球在地面的投影为D,在Rt△ABD中,cos15°=QUOTE,又cos15°=cos(60°45°)=QUOTE,所以AB=QUOTE.在△ABC中,由正弦定理得QUOTE=QUOTE,所以BC=QUOTE=QUOTEAB=120(QUOTE1)(m).2.选A.画出图形如图所示,在△ABC中,∠BAC=30°,AC=4×15QUOTE=60QUOTE,∠B=45°,由正弦定理得QUOTE=QUOTE,所以BC=QUOTE=QUOTE=60,所以船与灯塔的距离为60km.3.选A.在△ABC中,由余弦定理得AC2=AB2+BC22AB·BCcosB,即AC2=25+642×5×8cosB=8980cosB.在△ADC中,由余弦定理得AC2=AD2+DC22AD·DCcosD,即AC2=25+92×5×3cosD=3430cosD.因为∠B与∠D互补,所以cosB=cosD,所以QUOTE=QUOTE,解得AC=7(km).4.选C.BC=QUOTE=QUOTE=4QUOTE,所以离小岛C的距离为=QUOTE=2(QUOTE+1)海里.距离问题的常见类型及解法1.类型:测量距离问题常分为三种类型:山两侧、河两岸、河对岸.2.解法:选择合适的辅助测量点,构造三角形,将实际问题转化为求某个三角形的边长问题,从而利用正、余弦定理求解.【秒杀绝招】直角三角形解T1,记气球在地面的投影为D,在Rt△ACD中,tan60°=QUOTE,所以CD=60QUOTE,在Rt△ABD中,因为tan15°=QUOTE,tan15°=tan(60°45°)=QUOTE=2QUOTE,所以BD=12060QUOTE,所以BC=CDBD=120(QUOTE1)(m).考点二测量高度问题【典例】1.一架直升飞机在200m高度处进行测绘,测得一塔顶与塔底的俯角分别是30°和60°,则塔高为 ()A.QUOTEm B.QUOTEmC.QUOTEm D.QUOTEm2.如图,在水平地面上有两座直立的相距60m的铁塔AA1和BB1.已知从塔AA1的底部看塔BB1顶部的仰角是从塔BB1的底部看塔AA1顶部的仰角的2倍,从两塔底部连线中点C分别看两塔顶部的仰角互为余角.则从塔BB1的底部看塔AA1顶部的仰角的正切值为;塔BB1的高为m. 导学号【解题导思】序号联想解题1由“测得一塔顶与塔底的俯角分别是30°和60°”,想到作图,建立数学模型2由“60m”“从塔AA1的底部看塔BB1顶部的仰角是从塔BB1的底部看塔AA1顶部的仰角的2倍”“从两塔底部连线中点C分别看两塔顶部的仰角互为余角”,想到△A1AC∽△CBB【解析】1.选A.如图所示.在Rt△ACD中,CD=QUOTE=BE,在△ABE中,由正弦定理得QUOTE=QUOTE,所以AB=QUOTE,DE=BC=200QUOTE=QUOTE(m).2.设从塔BB1的底部看塔AA1顶部的仰角为α,则AA1=60tanαm,BB1=60tan2αm.因为从两塔底部连线中点C分别看两塔顶部的仰角互为余角,所以△A1AC△CBB1,所以QUOTE=QUOTE,所以AA1·BB1=900,所以3600tanαtan2α=900,所以tanα=QUOTE(负值舍去),所以tan2α=QUOTE,BB1=60tan2α=45m.答案:QUOTE45求解高度问题的关注点1.在处理有关高度问题时,要理解仰角、俯角(在铅垂面上所成的角)、方向(位)角(在水平面上所成的角)是关键.2.注意山或塔垂直于地面或海平面,把空间问题转化为平面问题.1.(2019·宜春模拟)某工厂实施煤改电工程防治雾霾,欲拆除高为AB的烟囱,测绘人员取与烟囱底部B在同一水平面内的两个观测点C,D,测得∠BCD=75°,∠BDC=60°,CD=40米,并在点C处的正上方E处观测顶部A的仰角为30°,且CE=1米,则烟囱高AB=米【解析】∠CBD=180°∠BCD∠BDC=45°,在△CBD中,由正弦定理得BC=QUOTE=20QUOTE,所以AB=1+tan30°·CB=1+20QUOTE(米).答案:(1+20QUOTE)2.如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶,到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上,行驶600m后到达B处,测得此山顶在西偏北75°的方向上,仰角为30°,则此山的高度CD=m.【解析】在△ABC中,∠CAB=30°,∠ACB=75°30°=45°,根据正弦定理知,QUOTE=QUOTE,即BC=QUOTE×sin∠BAC=QUOTE×QUOTE=300QUOTE(m),所以CD=BC×tan∠DBC=300QUOTE×QUOTE=100QUOTE(m).答案:100QUOTE考点三测量角度问题命题精解读1.考什么:航行方向问题,航行时间、速度问题等等.2.怎么考:考查运用正弦定理、余弦定理解决航向,时间,速度等实际问题.3.新趋势:运用正弦定理、余弦定理解决实际问题.学霸好方法1.不要搞错各种角的含义,不要把这些角和三角形内角之间的关系弄混.2.在实际问题中,可能会遇到空间与平面(地面)同时研究的问题,这时可以画两个图形,一个空间图形,一个平面图形,这样将空间几何问题转化为平面几何问题,处理起来既清楚又不容易出现错误.方向问题【典例】如图,两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等,灯塔A在观察站南偏西40°,灯塔B在观察站南偏东60°,则灯塔A在灯塔B的 导学号()A.北偏东10° B.北偏西10°C.南偏东80° D.南偏西80°【解析】选D.由条件及题干图知,∠CAB=∠CBA=40°,又∠BCD=60°,所以∠CBD=30°,所以∠DBA=10°,因此灯塔A在灯塔B的南偏西80°.解决测量角度问题时有哪些注意事项?提示:1.测量角度时,首先应明确方位角及方向角的含义.2.求角的大小时,先在三角形中求出其正弦或余弦值.3.在解应用题时,要由已知正确画出示意图,通过这一步可将实际问题转化为可用数学方法解决的问题,解题中也要注意体会正、余弦定理使用的优点.时间、速度问题【典例】如图,据气象部门预报,在距离某码头南偏东45°方向600kmA处的热带风暴中心正以20km/h的速度向正北方向移动,距风暴中心450km以内的地区都将受到影响,则该码头将受到热带风暴影响的时间为 导学号()A.14h B.15h C.16h D.17h【解析】选B.记现在热带风暴中心的位置为点A,t小时后热带风暴中心到达点B位置,在△OAB中,OA=600km,AB=20tkm,∠OAB=45°,由余弦定理得OB2=6002+400t22×20t×600×QUOTE,令OB2≤4502,即4t2120QUOTEt+1575≤0,解得QUOTE≤t≤QUOTE,所以该码头将受到热带风暴影响的时间为QUOTEQUOTE=15(h).如何求解码头将受到热带风暴影响的时间?提示:已知热带风暴速度,所以将时间问题转化为路程问题,即求出码头受到热带风暴影响时的风暴路线长度.运用解三角形知识求解即可.1.如图所示,已知两座花坛A和B与教学楼C的距离相等,花坛A在教学楼C的北偏东40°的方向上,花坛B在教学楼C的南偏东60°的方向上,则花坛A在花坛B的的方向上.【解析】由已知,∠ABC=QUOTE(180°80°)=50°,所以花坛A在花坛B的北偏西10°的方向上.答案:北偏西10°2.在一次抗洪抢险中,某救生艇发动机突然发生故障停止转动,失去动力的救生艇在洪水中漂行,此时,风向是北偏东30°,风速是20km/h;水的流向是正东,流速是20km/h,若不考虑其他因素,救生艇在洪水中漂行的速度的方向为北偏东,大小为km/h.【解析】如图∠AOB=60°,由余弦定理知OC2=202+202800cos120°=1200,故OC=20QUOTE,∠COY=30°+30°=60°.答案:60°20QUOTE1.如图,两座相距60m的建筑物AB,CD的高度分别为20m,50m,BD为水平面,则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角∠CAD等于 ()A.30° B.45° C.60° D.75°【解析】选B.由已知,AD=20QUOTEm,AC=30QUOTEm,又CD=50m,所以在△ACD中,由余弦定理得cos∠CAD=QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE,又0°<∠CAD<180°,所以∠CAD=45°,所以从顶端A看建筑物CD的张角为45°.2.如图,在海岸A处发现北偏东45°方向,距A处(QUOTE1)海里的B处有一艘走私船.在A处北偏西75°方向,距A处2海里的C处的我方缉私船奉命以10QUOTE海里/小时的速度追截走私船,此时走私船正以10海里/小时的速度从B处向北偏东30°方向逃窜.问:缉私船沿什么方向行驶才能最快截获走私船?并求出所需时间.【解析】设缉私船应沿CD方向行驶t小时,才能最快截获(在D点)走私船,则CD=10QUOTEt海里,BD=10t海里,在△ABC中,由余弦定理得,BC2=AB2+AC22AB·AC·cos∠BAC=(QUOTE1)2+222(QUOTE1)×2×cos120°=6,解得BC=QUOTE,又因为QUOTE=QUOTE,所以sin∠ABC=QUOTE=QUOTE=QUOTE,所以∠AB