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第24讲两角和与差的正弦、余弦、正切公式及二倍角公式(讲)思维导图知识梳理1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式C(α-β):cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ.C(α+β):cos(α+β)=cosαcosβ-sin_αsinβ.S(α+β):sin(α+β)=sinαcosβ+cos_αsinβ.S(α-β):sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ.T(α+β):tan(α+β)=eq\f(tanα+tanβ,1-tanαtanβ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α,β,α+β≠\f(π,2)+kπ,k∈Z)).T(α-β):tan(α-β)=eq\f(tanα-tanβ,1+tanαtanβ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α,β,α-β≠\f(π,2)+kπ,k∈Z)).2.二倍角的正弦、余弦、正切公式S2α:sin2α=2sinαcosα.C2α:cos2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α.T2α:tan2α=eq\f(2tanα,1-tan2α)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α≠\f(π,4)+\f(kπ,2),且α≠kπ+\f(π,2),k∈Z)).题型归纳题型1公式的直接应用【例11】(2020春•六盘水期末)已知sin(π﹣α)=33,则cos2A.223 B.-13 C.2【例12】((2020春•金牛区校级期末)计算cos18°•cos42°﹣cos72°•sin42°=()A.12 B.-12 C.32【例13】((2020春•上饶期末)若3sinα-2sin(α+π3)-7A.-233 B.233 C.【跟踪训练11】(2020春•河池期末)已知tanα=12,tan(α+β)=13A.16 B.-17 C.17【跟踪训练12】((2020春•南阳期末)sin75°cos45°﹣sin15°sin45°=()A.0 B.12 C.32 D【跟踪训练13】((2020春•宁波期末)sin2π12A.2-34 B.2+34 C.3【跟踪训练14】((2020春•南充期末)若cosα=13,则cos2A.-79 B.-89 C.7【跟踪训练15】((2020春•黄浦区期末)若tan2α=14,则tan(α+π4)+tan(α【跟踪训练16】((2020春•平谷区期末)2cos215°﹣1等于.【名师指导】应用三角公式化简求值的策略(1)首先要记住公式的结构特征和符号变化规律.例如两角差的余弦公式可简记为:“同名相乘,符号反”.(2)注意与同角三角函数基本关系、诱导公式的综合应用.(3)注意配方法、因式分解和整体代换思想的应用.题型2三角函数公式的逆用与变形用【例21】(2020•重庆模拟)(1+tan19°)•(1+tan26°)=.【例22】(2020春•开江县校级月考)已知cos(x-π6)=A.32 B.3 C.12 D【跟踪训练21】(2020•张家口二模)1-tanA.12 B.-12 C.32【跟踪训练22】(2019秋•武汉期末)化简1-2sin(π-2)cos(π+2)的结果是()A.sin2+cos2 B.sin2﹣cos2 C.cos2﹣sin2 D.﹣sin2﹣cos2【名师指导】两角和、差及倍角公式的逆用和变形用的应用技巧(1)逆用公式应准确找出所给式子与公式的异同,创造条件逆用公式.(2)和差角公式变形:sinαsinβ+cos(α+β)=cosαcosβ,cosαsinβ+sin(α-β)=sinαcosβ,tanα±tanβ=tan(α±β)·(1∓tanα·tanβ).(3)倍角公式变形:降幂公式.题型3角的变换与名的变换【例31】(2020春•宁波期末)设α,β∈(0,π),cosβ=-1213,cosα2=255,则cosα=,【例32】(2020春•城关区校级期末)若tanα=3,则cos2α+3sin2α=.【例33】(2020春•梧州期末)已知cos(π2+θ)=-32,则cos2θ=【跟踪训练31】(2020春•宁波期末)已知sin2θ=-34,则tanθA.43 B.-43 C.83【跟踪训练32】(2020春•广州期末)已知cos(α+π3)=1A.13 B.-13 C.22【跟踪训练33】(2020春•潍坊期末)已知cos(θ-π4)=7A.-2425 B.-1225 C.12【名师指导】1.三角公式求值中变角的解题思路(1)当“已知角”有两个时,“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式;(2)当“已知角”有一个时,此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系,再应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”.2.常见的配角技巧2α=(α+β)+(α-β),α=(α+β)-β,β=eq\f(α+β,2)-eq\f(α-β,2),α=eq\f(α+β,2)+eq\f(α-β,2),eq\f(α-β,2)=eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α+\f(
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