线段的垂直平分线定理

线段的垂直平分线定理目录定义与性质证明方法应用实例定理的推广习题与解答01定义与性质线段的垂直平分线是过线段中点且垂直于线段所在直线的直线。定义03唯一性对于给定的线段，其垂直平分线是唯一的。01垂直性垂直于线段所在直线。02中点性经过线段的中点。性质线段的垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等。定理表述02证明方法第一步，由题目信息，可知线段垂直平分线上的任意一点到线段两端点的距离相等。第二步，设线段为AB，垂直平分线为MN，M为AB的中点，N为垂直平分线上任意一点。第三步，根据勾股定理，在直角三角形AMN和直角三角形BMN中，有AM=BM，MN=MN，所以△AMN≌△BMN。第四步，由全等三角形的性质，可知AN=BN。01020304基础证明第一步，过线段AB的中点M作直线MN垂直于线段AB，交线段AB于点N。第三步，由于EF平行于AB，根据平行线的性质，有∠AMF=∠EFN。又因为∠AMF=∠ENF（对顶角），所以∠ENF=∠EFN。第二步，过点N作直线EF平行于线段AB，交线段MN于点E，交线段AM于点F。第四步，根据等角对应的边相等，有EN=FN。又因为MN垂直于AB，所以MN是线段AB的垂直平分线。辅助线证明第一步，假设线段AB的垂直平分线不是MN，而是其它任意一条直线PQ。第二步，假设P、Q两点都在MN的同侧。由于MN不是AB的垂直平分线，那么AP≠BQ。第三步，根据三角形的三边关系，在△APQ中，有AP+PQ>AQ；在△BQM中，有BQ+QM>BQ。所以AP+PQ>AQ>BQ+QM>AP，这是一个矛盾。第四步，假设P、Q两点一个在MN的左侧，一个在MN的右侧。由于MN不是AB的垂直平分线，那么AP≠BQ。第五步，根据三角形的三边关系和距离最短原理，在△APQ中，有AP+PQ>AQ；在△BQM中，有BQ+QM>BQ。所以AP+PQ>AQ>BQ+QM>AP，这同样是一个矛盾。第六步，由于假设不成立，所以原命题成立。即MN是线段AB的垂直平分线。反证法证明03应用实例应用实例在等腰三角形中，底边的垂直平分线会经过顶点，这样可以确定等腰三角形的顶点位置。扩展知识点等腰三角形是两边长度相等的三角形，其底边的垂直平分线经过顶点，这是等腰三角形的一个重要性质。三角形中的垂直平分线定理三角形中，垂直平分线上的任意一点到三角形三个顶点的距离相等。三角形中的垂直平分线在几何题目中，经常需要利用垂直平分线的性质来证明线段相等或角相等。应用实例垂直平分线的性质是几何学中的重要定理之一，它可以用于证明线段相等、角相等以及解决一些几何问题。扩展知识点垂直平分线的性质在几何题中的应用在建筑学中，建筑师可以利用垂直平分线的性质来确定建筑物的对称性，使建筑物看起来更加美观。垂直平分线的性质在日常生活中有着广泛的应用，如建筑、艺术、服装等领域都可以看到它的身影。垂直平分线定理在日常生活中的应用扩展知识点应用实例04定理的推广如果一个点到线段两个端点的距离相等，则该点位于线段的垂直平分线上。定理的逆命题定理的等价命题定理的推论如果一条直线同时垂直平分两条线段，则这两条线段相等。如果一条直线上的两个点到线段两个端点的距离相等，则这条直线垂直平分该线段。030201线段垂直平分线的性质推广线段垂直平分线可以表示为向量形式，即向量与线段垂直且模长相等。向量表示利用向量运算可以证明线段垂直平分线的性质，例如向量的加法、数乘和向量的模长等。向量运算在解决实际问题时，可以利用向量表示和运算来求解与线段垂直平分线相关的问题。向量应用线段垂直平分线定理在向量中的应用

线段垂直平分线定理在解析几何中的应用坐标表示在平面直角坐标系中，线段垂直平分线的方程可以通过中点坐标公式和两点式方程来表示。几何意义线段垂直平分线的方程可以表示为几何意义，即点到直线的距离相等且垂直于该直线。应用实例在解析几何中，可以利用线段垂直平分线的性质来解决一些实际问题，例如求点到直线的最短距离、确定物体的位置等。05习题与解答已知线段AB的垂直平分线与线段BC交于点D，若DB=2cm，DA=5cm，求线段AC的长度。题目已知点D是线段AB的垂直平分线上的一点，若∠DAB=30°，求∠ACB的度数。题目基础习题题目已知点D是线段AB的垂直平分线上的一点，且CD=3cm，AD=6cm，求AC的长度。题目已知点D是线段AB的垂直平分线上的一点，且BD=CD，若∠BAC=70°，求∠BCD的度数。进阶习题答案AC=7cm或AC=3cm。解析：由于点D在AB的垂直平分线上，所以AD=BD=5cm。当点C与点A在BD的同侧时，AC=AD+DB=7cm；当点C与点A在BD的不同侧时，AC=AD-DB=3cm。∠ACB=30°或∠ACB=150°。解析：由于点D在AB的垂直平分线上，所以AD=BD。又因为CD⊥AB，所以∠CAD=∠CBD。当∠DAB=30°时，∠ACB=30°；当∠DAB=150°时，∠ACB=150°。AC=3√3cm或AC=9cm。解析：由于点D在AB的垂直平分线上，所以AD=BD=6cm。当CD=3cm时，AC=√(AD^2+CD^2)=3√3cm；当CD=9cm时，AC=√(AD^2+CD^2)=9cm。∠BCD=10°或∠BCD=160°。解析：由于点D在AB的垂直平分线上，所以AD=BD。