20192020学年高中数学课时跟踪检测二十二向量应用举例北师大版必修4

课时跟踪检测（二十二）向量应用举例一、基本能力达标1．人骑自行车的速度是v1，风速为v2，则逆风行驶的速度为()A．v1－v2 B．v1＋v2C．|v1|－|v2| D.eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(v1,v2)))解析：选B由向量的加法法则可得逆风行驶的速度为v1＋v2.注意速度是有方向和大小的，是一个向量．2．过点A(2,3)，且垂直于向量a＝(2,1)的直线方程为()A．2x＋y－7＝0 B．2x＋y＋7＝0C．x－2y＋4＝0 D．x－2y－4＝0解析：选A设P(x，y)是所求直线上除A点外的任一点，则·a＝0，又＝(x－2，y－3)，∴2(x－2)＋(y－3)＝0，当x＝2，y＝3时也成立，∴所求的直线方程为2x＋y－7＝0.3．已知△ABC中，BC边最长，＝a，＝b，且a·b＞0，则△ABC的形状为()A．钝角三角形 B．直角三角形C．锐角三角形 D．等腰直角三角形解析：选C∵a·b＝|a|·|b|·cos∠ABC＞0，∴cos∠BAC＞0，∴0°＜∠BAC＜90°，又∵BC边最长，则∠BAC为△ABC中最大的角，故△ABC为锐角三角形．4．已知作用在A点的三个力F1＝(3,4)，F2＝(2，－5)，F3＝(3,1)，且A(1,1)，则合力F＝F1＋F2＋F3的终点坐标为()A．(9,1) B．(1,9)C．(9,0) D．(0,9)解析：选AF＝F1＋F2＋F3＝(8,0)．∵起点坐标为A(1,1)，∴终点坐标为(9,1)．故选A.5．在△ABC中，AB＝3，AC边上的中线BD＝eq\r(5)，·＝5，则的长为()A．1 B．2C．3 D．4解析：选B∵＝－＝eq\f(1,2)－，∴＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－))2＝eq\f(1,4)－·＋，即eq\f(1,4)＝1.∴||＝2，即AC＝2.6．若菱形ABCD的边长为2，则|－＋|等于________．解析：|－＋|＝|＋＋|＝|＋|＝||＝2.答案：27．如图，作用于同一点O的三个力F1，F2，F3处于平衡状态，已知|F1|＝1，|F2|＝2，F1与F2的夹角为eq\f(2π,3)，则F3的大小为________．解析：∵F1，F2，F3三个力处于平衡状态，∴F1＋F2＋F3＝0，即F3＝－(F1＋F2)，∴|F3|＝|F1＋F2|＝eq\r(F1＋F22)＝eq\r(F\o\al(2,1)＋2F1·F2＋F\o\al(2,2))＝eq\r(1＋2×1×2×cos\f(2π,3)＋4)＝eq\r(3).答案：eq\r(3)8．一艘船从点A出发以2eq\r(3)km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶，而船实际的行驶速度为4km/h，则河水速度的大小为________km/h.解析：如图所示，船实际行驶的速度实际上是船速与水速的合成，由向量加法的几何意义知，|v水|＝eq\r(42－2\r(3)2)＝2.答案：29．如图所示，若D是△ABC内的一点，且AB2－AC2＝DB2－DC2，求证：AD⊥BC.证明：设＝a，＝b，＝e，＝c，＝d，则a＝e＋c，b＝e＋d，所以a2－b2＝(e＋c)2－(e＋d)2＝c2＋2e·c－2e·d－d2.由已知可得a2－b2＝c2－d2，所以c2＋2e·c－2e·d－d2＝c2－d2，所以e·(c－d)＝0.因为＝＋＝d－c，所以·＝e·(d－c)＝0，所以⊥，即AD⊥BC.10．某人骑车以速度a向正东方向行驶，感到风从正北方向吹来，而当速度为2a时，感到风从东北方向吹来解：设实际风速为v，由题意可知，此人以速度a向正东方向行驶时，感到的风速为v－a，当速度为2a时感到的风速为v－2a.如图所示，设eq\o(OA,\s\up7(→))＝－a，eq\o(OB,\s\up7(→))＝－2a，eq\o(PO,\s\up7(→))＝v，∵eq\o(PO,\s\up7(→))＋eq\o(OA,\s\up7(→))＝eq\o(PA,\s\up7(→))，∴eq\o(PA,\s\up7(→))＝v－a，这就是速度为a时感到的由正北方向吹来的风速，∵eq\o(PO,\s\up7(→))＋eq\o(OB,\s\up7(→))＝eq\o(PB,\s\up7(→))，∴eq\o(PB,\s\up7(→))＝v－2a，这就是速度为2a时感到的由东北方向吹来的风速，由题意知∠PBO＝45°，PA⊥BO，BA＝AO，∴△POB为等腰直角三角形，∴∠APO＝45°，|eq\o(PO,\s\up7(→))|＝|eq\o(PB,\s\up7(→))|＝eq\r(2)|a|，即|v|＝eq\r(2)|a|.∴实际风速的大小是eq\r(2)|a|，为西北风．二、综合能力提升1．已知直线l：mx＋2y＋6＝0，向量(1－m,1)与l平行，则实数m的值为()A．－1 B．1C．2 D．－1或2解析：选Dl的方向向量为v＝(－2，m)，由v与(1－m,1)平行得－2＝m(1－m)，∴m＝2或－1.2．两个大小相等的共点力F1，F2，当它们夹角为90°时，合力大小为20N，则当它们的夹角为120°时，合力大小为()A．40N B．10eq\r(2)NC．20eq\r(2)N D．10eq\r(3)N解析：选B|F1|＝|F2|＝|F|cos45°＝10eq\r(2)，当θ＝120°时，由平行四边形法则知|F合|＝|F1|＝|F2|＝10eq\r(2)N.3．共点力F1＝(lg2，lg2)，F2＝(lg5，lg2)作用在物体M上，产生的位移s＝(2lg5,1)，则共点力对物体做的功W为()A．lg2 B．lg5C．1 D．2解析：选D∵F1＋F2＝(1,2lg2)，∴W＝(F1＋F2)·s＝(1,2lg2)·(2lg5,1)＝2lg5＋2lg2＝2.4．已知点O，N，P在△ABC所在平面内，且||＝||＝||，＋＋＝0，·＝·＝·，则点O，N，P依次为△ABC的()A．重心、外心、垂心 B．重心、外心、内心C．外心、重心、垂心 D．外心、重心、内心解析：选C由||＝||＝||，知点O为△ABC的外心．如图，∵＋＋＝0，∴＋＝－.依向量加法的平行四边形法则，知||＝2||(D为BC的中点)，同理可得||＝2||，||＝2||，故点N为△ABC的重心．∵·＝·，∴(－)·＝·＝0，∴PB⊥CA，同理，得PC⊥AB，PA⊥BC，∴点P为△ABC的垂心．5．某物体做斜抛运动，初速度|v0|＝10m/s，与水平方向成60°角，不计空气阻力，则该物体在水平方向上的速度是________m/s.解析：设该物体在竖直方向上的速度为v1，水平方向上的速度为v2，如图所示，由向量的平行四边形法则以及直角三角形的知识可知，|v2|＝|v0|cos60°＝10×eq\f(1,2)＝5(m/s)，所以该物体在水平方向上的速度是5m/s.答案：56．如图所示，两块斜边长相等的直角三角形板拼在一起．若＝x＋y，则x＝________，y＝____________.解析：作DF⊥AB，交AB的延长线于点F.设AB＝AC＝1，则BC＝DE＝eq\r(2).又∠DEB＝60°，∴BD＝eq\f(\r(6),2).由∠DBF＝45°，得DF＝BF＝eq\f(\r(6),2)×eq\f(\r(2),2)＝eq\f(\r(3),2)，∴＝＋＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(\r(3),2)))＋eq\f(\r(3),2)，∴x＝1＋eq\f(\r(3),2)，y＝eq\f(\r(3),2).答案：1＋eq\f(\r(3),2)eq\f(\r(3),2)7．已知力F(斜向上)与水平方向的夹角为30°，大小为50N，一个质量为8kg的木块受力F的作用在动摩擦因数μ＝0.02的水平面上运动了20m．问力F和摩擦力f所做的功分别为多少？(g＝10m/s2)解：如图所示，设木块的位移为s，则WF＝F·s＝|F||s|cos30°＝50×20×eq\f(\r(3),2)＝500eq\r(3)(J)．将力F分解，它在铅垂方向上的分力F1的大小为|F1|＝|F|sin30°＝50×eq\f(1,2)＝25(N)，所以摩擦力f的大小为|f|＝|μ(G－F1)|＝0.02×(80－25)＝1.1(N)，因此Wf＝f·s＝|f||s|cos180°＝1.1×20×(－1)＝－22(J)．即F和f所做的功分别为500eq\r(3)J和－22J.8.如图所示，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC＝3，点D在线段BC上，且BD＝eq\f(1,2)DC.求：(1)AD的长；(2)∠DAC的大小．解：(1)设eq\o(AB,\s\up7(→))＝a，eq\o(AC,\s\up7(→))＝b，则eq\o(AD,\s\up7(→))＝eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(BD,\s\up7(→))＝eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\f(1,3)eq\o(BC,\s\up7(→))＝eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\f(1,3)(eq\o(AC,\s\up7(→))－eq\o(AB,\s\up7(→)))＝eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up7(→))＝eq\f(2,3)a＋eq\f(1,3)b.∴|eq\o(AD,\s\up7(→))|2＝eq\o(AD,\s\up7(→))2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)a＋\f(1,3)b))2＝eq\f(4,9)a2＋2×eq\f(2,9)a·b＋eq\f(1,9)b2＝eq\f(4,9)×9＋2×eq\f(2,9)×3×3×cos120°＋eq\f(1,9)×9＝3.故AD＝eq\r(3).(2)设∠DAC＝θ，则θ为向量eq\o(AD,\s\up7(→))与eq\o(AC,\s\up7(→))的夹角．∵cosθ＝eq\f(eq\o(AD,\s\up7(→))·eq\o(AC,\s\up7(