专题03 函数、方程及不等式的应用（讲练）（解析版）

103/103专题03函数、方程及不等式的应用目录TOC\o"1-3"\n\h\z\u一、考情分析二、知识建构考点一函数、方程及不等式的应用题型01坐标方法的简单应用题型02从函数图象上获取信息题型03实际问题与一次方程（组）类型一一元一次方程与实际问题类型二列二元一次方程组类型三二元一次方程组与实际问题题型04分式方程的实际应用类型一列分式方程类型二分式方程与实际问题题型05不等式（组）的实际应用题型06一元二次方程的实际应用题型07一次函数的实际应用类型一行程问题类型二最大利润问题类型三几何问题类型四分配问题类型五其它问题题型08反比例函数与实际问题题型09二次函数与实际问题类型一销售问题类型二拱桥问题类型三图形问题类型四图形运动问题类型五投球问题【好题必刷·强化落实】

考点要求命题预测函数、方程及不等式的应用函数、方程及不等式的应用在中考数学中出题类型比较广泛，选择题、填空题、解答题都有可能出现，并且对应难度也多为中等难度，是属于占分较多的一类考点.但是同一张试卷，方程类问题只会出现一种，不会重复考察.涉及本考点的知识点重点有:由实际问题抽象出一次方程(组)或分式方程，解方程(包含一次方程、二次方程、分式方程)，一元二次方程的实际应用，解不等式(组)的应用题，与一次函数、反比例函数、二次函数的相关应用题等.考点一函数、方程及不等式的应用题型01坐标方法的简单应用利用隐含的平面直角坐标系确定地理位置的坐标的一般步骤：1)根据已知地理位置的坐标找出原点的位置:2)根据原点的位置建立平面直角坐标系;3)由平面直角坐标系得到其他地理位置的坐标.用坐标表示地理位置确定物体位置的方法：有行列定位法、方向角+距离定位法、经纬定位法，最常用的是用平面直角坐标系中点的坐标来表示位置解答此类问题的关键是建立平面直角坐标系，而建立平面直角坐标系的关键是确定坐标原点,确定坐标原点的位置一般分两种情况:(1)题目隐含条件中已经给定:(2)任意选择，自建坐标系.1．（2022·广西柳州·统考中考真题）如图，这是一个利用平面直角坐标系画出的某学校的示意图，如果这个坐标系分别以正东、正北方向为x轴、y轴的正方向，并且综合楼和食堂的坐标分别是（4，1）和（5，4），则教学楼的坐标是（）A．（1，1） B．（1，2） C．（2，1） D．（2，2）【答案】D【分析】根据综合楼和食堂的坐标分别是（4，1）和（5，4），先确定坐标原点以及坐标系，再根据教学楼的位置可得答案．【详解】解：如图，根据综合楼和食堂的坐标分别是（4，1）和（5，4），画图如下：∴教学楼的坐标为：(2,2).故选D【点睛】本题考查的是根据位置确定点的坐标，熟练的根据已知条件建立坐标系是解本题的关键．2．（2020·河北·统考中考真题）如图，从笔直的公路l旁一点P出发，向西走6km到达l；从P出发向北走6km也到达l．下列说法错误的是（

A．从点P向北偏西45°走3km到达B．公路l的走向是南偏西45°C．公路l的走向是北偏东45°D．从点P向北走3km后，再向西走3km【答案】A【分析】根据方位角的定义及勾股定理逐个分析即可．【详解】解：如图所示，过P点作AB的垂线PH，选项A：∵BP=AP=6km，且∠BPA=90°，∴△PAB为等腰直角三角形，∠PAB=∠PBA=45°，又PH⊥AB，∴△PAH为等腰直角三角形，∴PH=22选项B：站在公路上向西南方向看，公路l的走向是南偏西45°，故选项B正确；选项C：站在公路上向东北方向看，公路l的走向是北偏东45°，故选项C正确；选项D：从点P向北走3km后到达BP中点E，此时EH为△PEH的中位线，故EH=12AP=3，故再向西走3km故选：A．【点睛】本题考查了方位角问题及等腰直角三角形、中位线等相关知识点，方向角一般以观测者的位置为中心，所以观测者不同，方向就正好相反，但角度不变．3．（2019·浙江金华·统考中考真题）如图是雷达屏幕在一次探测中发现的多个目标，其中对目标A的位置表述正确的是（

）A．在南偏东75º方向处 B．在5km处C．在南偏东15º方向5km处 D．在南偏东75º方向5km处【答案】D【分析】根据方向角的定义解答即可．【详解】观察图形可得，目标A在南偏东75°方向5km处，故选D．【点睛】本题考查了方向角的定义，正确理解方向角的意义是解题关键．题型02从函数图象上获取信息从函数图象中获取信息的方法

(1)首先弄清坐标轴所表示的意义：x轴和y轴上的点分别表示自变量和因变量，要弄清自变量与因变量及其取值范围是什么:

(2)弄清图象上的点所表示的意义：由该点向x轴和y轴分别作垂线，当自变量取x轴上的垂足所对应的数时，因变量取y轴上的垂足所对应的数.

(3)弄清图象上的最高点和最低点分别表示的意义：最高点对应着函数的最大值，最低点对应着函数的最小值，进而求出函数的取值范围,(4)弄清图象上的上升线、下降线、水平线分别表示的意义:上升线表示函数值随自变量取值的增加而增大，下降线表示函数值随自变量取值的增加而减下，水平线表示函数值随自变量取值的增加而不变.1．（2023·贵州·统考中考真题）今年“五一”假期，小星一家驾车前往黄果树旅游，在行驶过程中，汽车离黄果树景点的路程y（km）与所用时间x（h）之间的函数关系的图象如图所示，下列说法正确的是（

）

A．小星家离黄果树景点的路程为50km B．小星从家出发第1小时的平均速度为75km/hC．小星从家出发2小时离景点的路程为125km D．小星从家到黄果树景点的时间共用了3h【答案】D【分析】根据路程、速度、时间的关系，结合图象提供信息逐项判断即可．【详解】解：x=0时，y=200，因此小星家离黄果树景点的路程为50km，故A选项错误，不合题意；x=1时，y=150，因此小星从家出发第1小时的平均速度为50km/h，故B选项错误，不合题意；x=2时，y=75，因此小星从家出发2小时离景点的路程为75km，故C选项错误，不合题意；小明离家1小时后的行驶速度为150−752−1=75km/h，从家出发2小时离景点的路程为75km故选D．【点睛】本题主要考查从函数图象获取信息，解题的关键是理解题意，看懂所给一次函数的图象．2．（2022·山东潍坊·中考真题）地球周围的大气层阻挡了紫外线和宇宙射线对地球生命的伤害，同时产生一定的大气压，海拔不同，大气压不同，观察图中数据，你发现，正确的是（

）A．海拔越高，大气压越大B．图中曲线是反比例函数的图象C．海拔为4千米时，大气压约为70千帕D．图中曲线表达了大气压和海拔两个量之间的变化关系【答案】D【分析】根据图象中的数据回答即可．【详解】解：A．海拔越高，大气压越小，该选项不符合题意；B．∵图象经过点(2，80)，(4，60)，∴2×80=160，4×60=240，而160≠240，∴图中曲线不是反比例函数的图象，该选项不符合题意；C．∵图象经过点(4，60)，∴海拔为4千米时，大气压约为60千帕，该选项不符合题意；D．图中曲线表达了大气压和海拔两个量之间的变化关系，该选项符合题意；故选：D．【点睛】本题考查了函数的图象，解题的关键是读懂题意，能正确识图．3．（2023·四川自贡·统考中考真题）如图1，小亮家､报亭､羽毛球馆在一条直线上．小亮从家跑步到羽毛球馆打羽毛球，再去报亭看报，最后散步回家．小亮离家距离y与时间x之间的关系如图2所示．下列结论错误的是（

）

A．小亮从家到羽毛球馆用了7分钟 B．小亮从羽毛球馆到报亭平均每分钟走75米C．报亭到小亮家的距离是400米 D．小亮打羽毛球的时间是37分钟【答案】D【分析】根据函数图象，逐项分析判断即可求解．【详解】解：A.从函数图象可得出，小亮从家到羽毛球馆用了7分钟，故该选项正确，不符合题意；

B.1000−40045−37即小亮从羽毛球馆到报亭平均每分钟走75米，故该选项正确，不符合题意；C.从函数图象可得出，报亭到小亮家的距离是400米，故该选项正确，不符合题意；D.小亮打羽毛球的时间是37−7=30分钟，故该选项不正确，符合题意；故选：D．【点睛】本题考查了函数图象，理解函数图像上点的坐标的实际意义，数形结合是解题的关键．4．（2023·浙江温州·统考中考真题）【素材1】某景区游览路线及方向如图1所示，①④⑥各路段路程相等，⑤⑦⑧各路段路程相等，②③两路段路程相等．【素材2】设游玩行走速度恒定，经过每个景点都停留20分钟．小温游路线①④⑤⑥⑦⑧用时3小时25分钟；小州游路线①②⑧，他离入口的路程s与时间t的关系（部分数据）如图2所示，在2100米处，他到出口还要走10分钟．【问题】路线①③⑥⑦⑧各路段路程之和为（

）

A．4200米 B．4800米 C．5200米 D．5400米【答案】B【分析】设①④⑥各路段路程为x米，⑤⑦⑧各路段路程为y米，②③各路段路程为z米，由题意及图象可知x+y+z45【详解】解：由图象可知：小州游玩行走的时间为75+10−40=45（分钟），小温游玩行走的时间为205−100=105（分钟）；设①④⑥各路段路程为x米，⑤⑦⑧各路段路程为y米，②③各路段路程为z米，由图象可得：x+y+z45解得：x+y+z=2700，∴游玩行走的速度为2700−2100÷10=60由于游玩行走速度恒定，则小温游路线①④⑤⑥⑦⑧的路程为3x+3y=105×60=6300，∴x+y=2100，∴路线①③⑥⑦⑧各路段路程之和为2x+2y+z=x+y+z+x+y=2700+2100=4800（米）；故选B．【点睛】本题主要考查三元一次方程组的应用及函数图象，解题的关键是理解题中所给信息，找到它们之间的等量关系．5．（2023·湖北·统考中考真题）如图，长方体水池内有一无盖圆柱形铁桶，现用水管往铁桶中持续匀速注水，直到长方体水池有水溢出一会儿为止．设注水时间为t,y1（细实线）表示铁桶中水面高度，y2（粗实线）表示水池中水面高度（铁桶高度低于水池高度，铁桶底面积小于水池底面积的一半，注水前铁桶和水池内均无水），则y1,

A．

B．

C．

D．

【答案】C【分析】根据特殊点的实际意义即可求出答案．【详解】解：根据图象知，t=t1时，铁桶注满了水，0≤t≤t1，y1当t=t1时，长方体水池开始注入水；当t=t∴y2观察函数图象，选项C符合题意，故选：C．【点睛】本题主要考查了函数图象的读图能力．要能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论．题型03实际问题与一次方程（组）列一元一次方程解应用题的一般步骤：1）审题：弄清题意；2）找出等量关系：找出能够表示本题含义的相等关系；3）设出未知数，列出方程：设出未知数后，表示出有关的含字母的式子，然后利用已找出的等量关系列出方程；4）解方程：解所列的方程，求出未知数的值；5）检验，写答案：检验所求出的未知数的值是否是方程的解，是否符合实际，检验后写出答案.与一次方程（组）有关应用题的常见类型：常见题型常见数量关系及公式等量关系补充配套问题根据题目提供的配套比列方程关键：理解题目中提供的配套方式.工程问题工作总量=工作时间×工作效率

工作时间=工作总量÷工作效率

工作效率=工作总量÷工作时间多个工作效率不同的对象所完成的工作量的和等于工作总量在工程问题中，一般将工作总量看作单位1.利润问题利润=售价-进价（成本）

总利润=单件利润×销售量

利润率=利润÷成本价×100%由题可知商品打几折就是按照原价的百分之几出售方案选择/分段计费问题由题可知先根据已知条件得到方程，再根据未知数之间的关系得到多种方案，选择最优方案进行解题几何问题几何问题有关图形的周长、面积公式由题可知关键：明确有关图形的性质和周长、面积公式等积变形问题圆柱体体积=底面积x高=Πr2h(r为底面圆半径，h为高)

长方体体积=长x宽x高=abc(a为长，b为宽，c为高)原材料体积=成品体积行程问题相遇问题路程=速度×时间

速度=路程÷时间

时间=路程÷速度全路程=甲走的路程+乙走的路程相向而行，注意出发时间、地点追及问题

（同地不同时出发）前者走的路程=追者走的路程同向而行，注意出发时间、地点追及问题

（同时不同地出发）前者走的路程+两地间距离=追者走的路程航行问题顺水速度=静水速度+水流速度

逆水速度=静水速度-水流速度路程=速度×时间注意两地距离，静水速度不变类型一一元一次方程与实际问题1．（2023·四川南充·统考中考真题）《孙子算经》记载：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？”（尺、寸是长度单位，1尺＝10寸）．意思是，现有一根长木，不知道其长短．用一根绳子去度量长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再度量长木，长木还剩余1尺．问长木长多少？设长木长为x尺，则可列方程为（

）A．12x+4.5=x−1C．12x−4.5=x+1【答案】A【分析】设长木长为x尺，则绳子长为x+4.5尺，根据“将绳子对折再度量长木，长木还剩余1尺”，可列出方程．【详解】设长木长为x尺，则绳子长为x+4.5尺，根据题意，得1故选：A【点睛】本题考查一元一次方程解决实际问题，理解题意，找出等量关系列出方程是解题的关键．2．（2023·贵州·统考中考真题）《孙子算经》中有这样一道题，大意为：今有100头鹿，每户分一头鹿后，还有剩余，将剩下的鹿按每3户共分一头，恰好分完，问：有多少户人家？若设有x户人家，则下列方程正确的是（

）A．x+13=100 B．3x+1=100 C．x+【答案】C【分析】每户分一头鹿需x头鹿，每3户共分一头需13【详解】解：x户人家，每户分一头鹿需x头鹿，每3户共分一头需13由此可知x+1故选C．【点睛】本题考查列一元一次方程，解题的关键是正确理解题意．3．（2023·吉林·统考中考真题）甲、乙两个工程组同时挖掘沈白高铁某段隧道，两组每天挖掘长度均保持不变，合作一段时间后，乙组因维修设备而停工，甲组单独完成了剩下的任务，甲、乙两组挖掘的长度之和ym与甲组挖掘时间x

(1)甲组比乙组多挖掘了__________天．(2)求乙组停工后y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围．(3)当甲组挖掘的总长度与乙组挖掘的总长度相等时，直接写出乙组已停工的天数．【答案】(1)30(2)y=3x+120(3)10天【分析】（1）由图可知，前30天甲乙两组合作，30天以后甲组单独做，据此计算即可；（2）设乙组停工后y关于x的函数解析式为y=kx+b，用待定系数法求解，再结合图象即可得到自变量x的取值范围；（3）先计算甲乙两组每天各挖掘多少千米，再计算乙组挖掘的总长度，设乙组已停工的天数为a，根据甲组挖掘的总长度与乙组挖掘的总长度相等列方程计算即可．【详解】（1）解：由图可知，前30天甲乙两组合作，30天以后甲组单独做，∴甲组挖掘了60天，乙组挖掘了30天，60−30=30（天）∴甲组比乙组多挖掘了30天，故答案为：30；（2）解：设乙组停工后y关于x的函数解析式为y=kx+b，将30,210和60,300两个点代入，可得210=30k+b300=60k+b解得k=3b=120∴y=3x+120（3）解：甲组每天挖300−21060−30甲乙合作每天挖21030∴乙组每天挖7−3=4（米），乙组挖掘的总长度为30×4=120（米）设乙组己停工的天数为a，则330+a解得a=10，答：乙组已停工的天数为10天．【点睛】本题考查了一次函数的应用，待定系数法求函数的解析式，理解题意观察图象得到有用信息是解题的关键．4．（2023·江苏扬州·统考中考真题）近年来，市民交通安全意识逐步增强，头盔需求量增大．某商店购进甲、乙两种头盔，已知购买甲种头盔20只，乙种头盔30只，共花费2920元，甲种头盔的单价比乙种头盔的单价高11元．(1)甲、乙两种头盔的单价各是多少元？(2)商店决定再次购进甲、乙两种头盔共40只，正好赶上厂家进行促销活动，促销方式如下：甲种头盔按单价的八折出售，乙种头盔每只降价6元出售．如果此次购买甲种头盔的数量不低于乙种头盔数量的一半，那么应购买多少只甲种头盔，使此次购买头盔的总费用最小？最小费用是多少元？【答案】(1)甲、乙两种头盔的单价各是65元，54元．(2)购14只甲种头盔，此次购买头盔的总费用最小,最小费用为1976元．【分析】（1）设购买乙种头盔的单价为x元，则甲种头盔的单价为(x+11)元，根据题意，得20(x+11)+30x=2920，求解；（2）设购m只甲种头盔，此次购买头盔的总费用最小,设总费用为w,则m≥12(40−m)，解得m≥1313，故最小整数解为m=14【详解】（1）解:设购买乙种头盔的单价为x元，则甲种头盔的单价为(x+11)元，根据题意，得20(x+11)+30x=2920解得，x=54，x+11=65，答：甲、乙两种头盔的单价各是65元，54元．（2）解：设购m只甲种头盔，此次购买头盔的总费用最小,设总费用为w,则m≥12(40−m)，解得m≥13w=0.8×65m+(54−6)(40−m)=4m+1920，∵4>0，则w随m的增大而增大，∴m=14时，w取最小值，最小值=4×14+1920=1976．答：购14只甲种头盔，此次购买头盔的总费用最小,最小费用为1976元．【点睛】本题考查一元一次方程的应用，一次函数的性质，一次函数的应用、一元一次不等式的应用；根据题意列出函数解析式，确定自变量取值范围是解题的关键．5．（2023·河南·统考中考真题）某健身器材专卖店推出两种优惠活动，并规定购物时只能选择其中一种．活动一：所购商品按原价打八折；活动二：所购商品按原价每满300元减80元．（如：所购商品原价为300元，可减80元，需付款220元；所购商品原价为770元，可减160元，需付款610元）(1)购买一件原价为450元的健身器材时，选择哪种活动更合算？请说明理由．(2)购买一件原价在500元以下的健身器材时，若选择活动一和选择活动二的付款金额相等，求一件这种健身器材的原价．(3)购买一件原价在900元以下的健身器材时，原价在什么范围内，选择活动二比选择活动一更合算？设一件这种健身器材的原价为a元，请直接写出a的取值范围．【答案】(1)活动一更合算(2)400元(3)当300≤a<400或600≤a<800时，活动二更合算【分析】（1）分别计算出两个活动需要付款价格，进行比较即可；（2）设这种健身器材的原价是x元，根据“选择活动一和选择活动二的付款金额相等”列方程求解即可；（3）由题意得活动一所需付款为0.8a元，活动二当0<a<300时，所需付款为a元，当300≤a<600时，所需付款为a−80元，当600≤a<900时，所需付款为a−160元，然后根据题意列出不等式即可求解．【详解】（1）解：购买一件原价为450元的健身器材时，活动一需付款：450×0.8=360元，活动二需付款：450−80=370元，∴活动一更合算；（2）设这种健身器材的原价是x元，则0.8x=x−80，解得x=400，答：这种健身器材的原价是400元，（3）这种健身器材的原价为a元，则活动一所需付款为：0.8a元，活动二当0<a<300时，所需付款为：a元，当300≤a<600时，所需付款为：a−80元，当600≤a<900时，所需付款为：a−160元，①当0<a<300时，a>0.8a，此时无论a为何值，都是活动一更合算，不符合题意，②当300≤a<600时，a−80<0.8a，解得300≤a<400，即：当300≤a<400时，活动二更合算，③当600≤a<900时，a−160<0.8a，解得600≤a<800，即：当600≤a<800时，活动二更合算，综上：当300≤a<400或600≤a<800时，活动二更合算．【点睛】此题考查了一元一次方程及一元一次不等式的应用，解答本题的关键是仔细审题，注意分类讨论的应用．6．（2023·江苏连云港·统考中考真题）目前，我市对市区居民用气户的燃气收费，以户为基础、年为计算周期设定了如下表的三个气量阶梯：阶梯年用气量销售价格备注第一阶梯0∼400m2.67元/若家庭人口超过4人的，每增加1人，第一、二阶梯年用气量的上限分别增加100m第二阶梯400∼1200m3.15元/第三阶梯1200m3.63元/(1)一户家庭人口为3人，年用气量为200m(2)一户家庭人口不超过4人，年用气量为xm3(x>1200)，该年此户需缴纳燃气费用为y元，求y(3)甲户家庭人口为3人，乙户家庭人口为5人，某年甲户、乙户缴纳的燃气费用均为3855元，求该年乙户比甲户多用多少立方米的燃气？（结果精确到1m【答案】(1)534(2)y=3.63x−768(x>1200)(3)26立方米【分析】（1）根据第一阶梯的费用计算方法进行计算即可；（2）根据“单价×数量=总价”可得y与x之间的函数关系式；（3）根据两户的缴费判断收费标准列式计算即可解答．【详解】（1）∵200m∴该年此户需缴纳燃气费用为：2.67×200=534（元），故答案为：534；（2）y关于x的表达式为y=400×2.67+1200−400×3.15+3.63（3）∵400×2.67+1200−400∴甲户该年的用气量达到了第三阶梯．由（2）知，当y=3855时，3.63x−768=3855，解得x≈1273.6．又∵2.67×100+400且2.67×100+400∴乙户该年的用气量达到第二阶梯，但末达到第三阶梯．设乙户年用气量为am3．则有解得a=1300.0，∴1300.0−1273.6=26.4≈26m答：该年乙户比甲户多用约26立方米的燃气．【点睛】本题考查了一次函数的应用，一元一次方程的应用以及列代数式，解题的关键是找准等量关系，正确列出一元一次方程．类型二列二元一次方程组1．（2023·四川甘孜·统考中考真题）有大小两种盛酒的桶，已知5个大桶加上1个小桶可以盛酒3斛（斛，音hú，是古代的一种容量单位），1个大桶加上5个小桶可以盛酒2斛．1个大桶、1个小桶分别可以盛酒多少斛？设大桶可以盛酒x斛，小桶可以盛酒y斛，则可列方程组为（

）A．5x+y=3,x+5y=2 B．5x+y=3,x+y=2 C．x+5y=3,5x+y=2【答案】A【分析】设大桶可以盛酒x斛，小桶可以盛酒y斛，根据题意列出二元一次方程组，即可求解．【详解】设大桶可以盛酒x斛，小桶可以盛酒y斛，根据题意得，5x+y=3x+5y=2故选：A．【点睛】本题考查了二元一次方程的应用，根据题意，列出二元一次方程组是解题的关键．2．（2023·山东泰安·统考中考真题）《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个问题：“今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等．交易其一，金轻十三两．问金、银一枚各重几何？”．意思是：甲袋中装有黄金9枚（每枚黄金重量相同），乙袋中装有白银11枚（每枚白银重量相同），称重两袋相等．两袋互相交换1枚后，甲袋比乙袋轻了13两（袋子重量忽略不计）．问黄金、白银每枚各重多少两？设每枚黄金重x两，每枚白银重y两，根据题意得（）A．11x=9y（10y+x）−（8x+y）=13B．C．9x=11y（8x+y）−（10y+x）=13D．【答案】D【分析】根据题意可得等量关系：①9枚黄金的重量=11枚白银的重量；②（10枚白银的重量+1枚黄金的重量）-（1枚白银的重量+8枚黄金的重量）=13两，根据等量关系列出方程组即可．【详解】解：枚黄金重x两，每枚白银重y两由题意得：9x=11y故选D．【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系．3．（2023·浙江宁波·统考中考真题）茶叶作为浙江省农业十大主导产业之一，是助力乡村振兴的民生产业．某村有土地60公顷，计划将其中10%的土地种植蔬菜，其余的土地开辟为茶园和种植粮食，已知茶园的面积比种粮食面积的2倍少3公顷，问茶园和种粮食的面积各多少公顷？设茶园的面积为x公顷，种粮食的面积为y公顷，可列方程组为(

A．x+y=60y=2x−3 B．x+y=54x=2y−3 C．x+y=60x=2y−3【答案】B【分析】根据某村有土地60公顷，计划将其中10%的土地种植蔬菜，得到种植茶园和种植粮食的面积为90【详解】解：设茶园的面积为x公顷，种粮食的面积为y公顷，由题意，得：x+y=601−10%故选B．【点睛】本题考查根据实际问题列方程组．找准等量关系，正确的列出方程组，是解题的关键．4．（2023·山东·统考中考真题）《九章算术》中有一个问题：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四、问人数、物价各几何？”题目大意是：有几个人一起去买一件物品，每人出8元，多3元；每人出7元，少4元．问有多少人？该物品价值多少元？设有x人，该物品价值y元，根据题意列方程组：．【答案】y=8x−3【分析】设有x人，物品价值为y元，根据等量关系“每人出8元，多3元”和“每人出7元，少4元”列出二元一次方程组即可解答．【详解】解：设有x人，物品价值为y元，由题意得：y=8x−3y=7x+4．故答案为：y=8x−3【点睛】本题主要考查列二元一次方程组．根据题意、正确找到等量关系是解题的关键．类型三二元一次方程组与实际问题1．（2023·四川巴中·统考中考真题）某学校课后兴趣小组在开展手工制作活动中，美术老师要求用14张卡纸制作圆柱体包装盒，准备把这些卡纸分成两部分，一部分做侧面，另一部分做底面．已知每张卡纸可以裁出2个侧面，或者裁出3个底面，如果1个侧面和2个底面可以做成一个包装盒，这些卡纸最多可以做成包装盒的个数为（

）A．6 B．8 C．12 D．16【答案】C【分析】设用x张卡纸做侧面，用y张卡纸做底面，则做出侧面的数量为2x，底面的数量为3y，然后根据等量关系：底面数量=侧面数量的2倍，列出方程组即可．【详解】解：设用x张白卡纸做侧面，用y张白卡纸做底面，由题意得，x+y=142×2x=3y．解得x=62x=12，答：这些卡纸最多可以做成包装盒的个数为12个．故选：C．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组．还需注意本题的等量关系是：底面数量=侧面数量的2倍．2．（2023·辽宁·统考中考真题）某礼品店经销A，B两种礼品盒，第一次购进A种礼品盒10盒，B种礼品盒15盒，共花费2800元；第二次购进A种礼品盒6盒，B种礼品盒5盒，共花费1200元(1)求购进A，B两种礼品盒的单价分别是多少元；(2)若该礼品店准备再次购进两种礼品盒共40盒，总费用不超过4500元，那么至少购进A种礼品盒多少盒？【答案】(1)A礼品盒的单价是100元，B礼品盒的单价是120元；(2)至少购进A种礼品盒15盒．【分析】（1）设A礼品盒的单价是a元，B礼品盒的单价是b元，根据题意列方程组即可得到结论；（2）设购进A礼品盒x盒，则购进B礼品盒(40−x)盒，根据题意列不等式即可得到结论．【详解】（1）解：设A礼品盒的单价是a元，B礼品盒的单价是b元，根据题意得：10a+15b=28006a+5b=1200，解得：a=100答：A礼品盒的单价是100元，B礼品盒的单价是120元；（2）解：设购进A礼品盒x盒，则购进B礼品盒(40−x)盒，根据题意得：100x+120(40−x)≤4500，解得：x≥15，∵x为整数，∴x的最小整数解为15，∴至少购进A种礼品盒15盒．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，正确的理解题意是解题的关键．3．（2023·四川德阳·统考中考真题）2022年8月27日至29日，以“新能源、新智造、新时代”为主题的世界清洁能源装备大会在德阳举行．大会聚焦清洁能源装备产业发展热点和前瞻性问题，着力实现会展聚集带动产业聚集．其中德阳清洁能源装备特色小镇位于德阳经济技术开发区，规划面积4.82平方公里，计划2025年基本建成．若甲、乙两个工程队计划参与修建“特色小镇”中的某项工程，已知由甲单独施工需要18个月完成任务，若由乙先单独施工2个月，再由甲、乙合作施工10个月恰好完成任务．承建公司每个月需要向甲工程队支付施工费用8万元，向乙工程队支付施工费用5万元．(1)乙队单独完工需要几个月才能完成任务？(2)为保证该工程在两年内完工，且尽可能的减少成本，承建公司决定让甲、乙两个工程队同时施工，并将该工程分成两部分，甲队完成其中一部分工程用了a个月，乙队完成另一部分工程用了b个月，已知甲队施工时间不超过6个月，乙队施工时间不超过24个月，且a，b为正整数，则甲乙两队实际施工的时间安排有几种方式？哪种安排方式所支付费用最低？【答案】(1)乙队单独完工需要27个月才能完成任务．(2)甲乙两队实际施工的时间安排有3种方式，安排甲工作2个月，乙工作24个月，费用最低为136万元．【分析】（1）设乙单独完成需要x个月，由“乙先单独施工2个月，再由甲、乙合作施工10个月恰好完成任务．”建立分式方程求解即可；（2）由题意可得：a18+b27=1，可得a=18−23b，结合a≤6，【详解】（1）解：设乙单独完成需要x个月，则2x解得：x=27，经检验x=27是原方程的解且符合题意；答：乙队单独完工需要27个月才能完成任务．（2）由题意可得：a18∴3a+2b=54，∴a=18−2∵a≤6，b≤24，∴18−23b≤6∵a,b都为正整数，∴b为3的倍数，∴a=6b=18或a=4b=21或∴甲乙两队实际施工的时间安排有3种方式，方案①：安排甲工作6个月，乙工作18个月，费用为：6×8+18×5=138（万元），方案②：安排甲工作4个月，乙工作21个月，费用为：4×8+21×5=137（万元），方案③：安排甲工作2个月，乙工作24个月，费用为：2×8+24×5=136（万元），∴安排甲工作2个月，乙工作24个月，费用最低为136万元．【点睛】本题考查的是分式方程的应用，二元一次方程的应用，一元一次不等式组的应用，确定相等关系与不等关系是解本题的关键．4．（2023·湖北宜昌·统考中考真题）为纪念爱国诗人屈原，人们有了端午节吃粽子的习俗．某顾客端午节前在超市购买豆沙粽10个，肉粽12个，共付款136元，已知肉粽单价是豆沙粽的2倍．(1)求豆沙粽和肉粽的单价；(2)超市为了促销，购买粽子达20个及以上时实行优惠，下表列出了小欢妈妈、小乐妈妈的购买数量（单位：个）和付款金额（单位：元）；豆沙粽数量肉粽数量付款金额小欢妈妈2030270小乐妈妈3020230①根据上表，求豆沙粽和肉粽优惠后的单价；②为进一步提升粽子的销量，超市将两种粽子打包成A，B两种包装销售，每包都是40个粽子（包装成本忽略不计），每包的销售价格按其中每个粽子优惠后的单价合计．A，B两种包装中分别有m个豆沙粽，m个肉粽，A包装中的豆沙粽数量不超过肉粽的一半．端午节当天统计发现，A，B两种包装的销量分别为80−4m包，4m+8包，A，B两种包装的销售总额为17280元．求m的值．【答案】(1)豆沙粽的单价为4元，肉粽的单价为8元(2)①豆沙粽优惠后的单价为3元，肉粽优惠后的单价为7元；②m=10【分析】（1）设豆沙粽的单价为x元，则肉粽的单价为2x元，依题意列一元一次方程即可求解；（2）①设豆沙粽优惠后的单价为a元，则肉粽优惠后的单价为b元，依题意列二元一次方程组即可求解；②根据销售额=销售单价×销售量，列一元二次方程，解之即可得出m的值．【详解】（1）解：设豆沙粽的单价为x元，则肉粽的单价为2x元，依题意得10x+12×2x=136，解得x=4；则2x=8；所以豆沙粽的单价为4元，肉粽的单价为8元；（2）解：①设豆沙粽优惠后的单价为a元，则肉粽优惠后的单价为b元，依题意得20a+30b=27030a+20b=230，解得a=3所以豆沙粽优惠后的单价为3元，肉粽优惠后的单价为7元；②依题意得[3m+(40−m)×7]×(80−4m)+[3×(40−m)+7m]×(4m+8)=17280，解得m=19或m=10，∵m<1∴m<40∴m=10．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用、二元一次方程组的应用和一元一次方程的应用，根据题意找到题中的等量关系列出方程或方程组是解题的关键．5．（2023·江苏宿迁·统考中考真题）某商场销售A、B两种商品，每件进价均为20元．调查发现，如果售出A种20件，B种10件，销售总额为840元；如果售出A种10件，B种15件，销售总额为660元．(1)求A、B两种商品的销售单价．(2)经市场调研，A种商品按原售价销售，可售出40件，原售价每降价1元，销售量可增加10件；B种商品的售价不变，A种商品售价不低于B种商品售价．设A种商品降价m元，如果A、B两种商品销售量相同，求m取何值时，商场销售A、B两种商品可获得总利润最大？最大利润是多少？【答案】(1)A的销售单价为30元、B的销售单价为24元(2)当m=5时，商场销售A、B两种商品可获得总利润最大，最大利润是810元．【分析】（1）设A的销售单价为x元、B的销售单价为y元，根据题中售出A种20件，B种10件，销售总额为840元；售出A种10件，B种15件，销售总额为660元列方程组求解即可得到答案；（2）设利润为w，根据题意，得到w=−10m−5【详解】（1）解：设A的销售单价为x元、B的销售单价为y元，则20x+10y=84010x+15y=660，解得x=30答：A的销售单价为30元、B的销售单价为24元；（2）解：∵A种商品售价不低于B种商品售价，∴30−m≥24，解得m≤6，即0≤m≤6，设利润为w，则w==−10=−10m−5∵−10<0，∴w在m=5时能取到最大值，最大值为810，∴当m=5时，商场销售A、B两种商品可获得总利润最大，最大利润是810元．【点睛】本题考查二元一次方程组及二次函数解实际应用题，读懂题意，根据等量关系列出方程组，根据函数关系找到函数关系式分析是解决问题的关键．6．（2023·湖北恩施·统考中考真题）为积极响应州政府“悦享成长·书香恩施”的号召，学校组织150名学生参加朗诵比赛，因活动需要，计划给每个学生购买一套服装．经市场调查得知，购买1套男装和1套女装共需220元；购买6套男装与购买5套女装的费用相同．(1)男装、女装的单价各是多少？(2)如果参加活动的男生人数不超过女生人数的23【答案】(1)男装单价为100元，女装单价为120元．(2)学校有11种购买方案，当女装购买90套，男装购买60套时，所需费用最少，最少费用为16800元【分析】（1）设男装单价为x元，女装单价为y元，根据题意列方程组求解即可；（2）设参加活动的女生有a人，则男生有150−a人，列不等式组找到a的取值范围，再设总费用为w元，得到w与a的关系，根据一次函数的性质可得当a取最小值时w有最小值，据此求解即可．【详解】（1）解：设男装单价为x元，女装单价为y元，根据题意得：x+y=2206x=5y解得：x=100y=120答：男装单价为100元，女装单价为120元．（2）解：设参加活动的女生有a人，则男生有150−a人，根据题意可得150−a≤2解得：90≤a≤100，∵a为整数，∴a可取90，91，92，93，94，95，96，97，98，99，100，一共11个数，故一共有11种方案，设总费用为w元，则w=120a+100150−a∵20>0，∴当a=90时，w有最小值，最小值为15000+20×90=16800（元）．此时，150−a=60（套）．答：当女装购买90套，男装购买60套时，所需费用最少，最少费用为16800元．【点睛】本题考查二元一次方程组和一元一次不等式组的应用，找到题中的等量关系或不等关系是解题的关键．题型04分式方程的实际应用用分式方程解决实际问题的步骤：审：理解并找出实际问题中的等量关系;设：用代数式表示实际问题中的基础数据;列：找到所列代数式中的等量关系，以此为依据列出方程;解：求解方程;验：考虑求出的解是否具有实际意义;+1）检验所求的解是否是所列分式方程的解.2）检验所求的解是否符合实际意义.答：实际问题的答案.类型一列分式方程1．（2023·云南·统考中考真题）阅读，正如一束阳光．孩子们无论在哪儿，都可以感受到阳光的照耀，都可以通过阅读触及更广阔的世界．某区教育体育局向全区中小学生推出“童心读书会”的分享活动．甲、乙两同学分别从距离活动地点800米和400米的两地同时出发，参加分享活动．甲同学的速度是乙同学的速度的1.2倍，乙同学比甲同学提前4分钟到达活动地点．若设乙同学的速度是x米/分，则下列方程正确的是（

）A．x800−1.2x400=4 B．1.2x800【答案】D【分析】设乙同学的速度是x米/分，根据乙同学比甲同学提前4分钟到达活动地点，列出方程即可．【详解】解∶设乙同学的速度是x米/分，可得：800故选∶D．【点睛】本题考查分式方程的应用，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键．2．（2023·湖北随州·统考中考真题）甲、乙两个工程队共同修一条道路，其中甲工程队需要修9千米，乙工程队需要修12千米．已知乙工程队每个月比甲工程队多修1千米，最终用的时间比甲工程队少半个月．若设甲工程队每个月修x千米，则可列出方程为（

）A．9x−12x+1=12 B．【答案】A【分析】设甲工程队每个月修x千米，则乙工程队每个月修x+1千米，根据“最终用的时间比甲工程队少半个月”列出分式方程即可．【详解】解：设甲工程队每个月修x千米，则乙工程队每个月修x+1千米，依题意得9x故选：A．【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，关键是分析题意，找准关键语句，列出相等关系．3．（2023·四川广安·统考中考真题）为了降低成本，某出租车公司实施了“油改气”措施．如图，y1、y2分别表示燃油汽车和燃气汽车所需费用y（单位：元）与行驶路程

A．25x=103x−0.1 B．25x=【答案】D【分析】先求出燃油汽车每千米所需的费用为3x−0.1元，再根据函数图象可得燃油汽车所需费用为25元时与燃气汽车所需费用为10元时，所行驶的路程相等，据此列出方程即可得．【详解】解：由题意得：燃油汽车每千米所需的费用为3x−0.1元，由函数图象可知，燃油汽车所需费用为25元时与燃气汽车所需费用为10元时，所行驶的路程相等，则可列方程为253x−0.1故选：D．【点睛】本题考查了列分式方程、函数图象，读懂函数图象，正确获取信息是解题关键．4．（2023·辽宁·统考中考真题）某校八年级学生去距离学校120km的游览区游览，一部分学生乘慢车先行，出发1h后，另一部分学生乘快车前往，结果他们同时到达．已知快车的速度是慢车速度的1.5倍，求慢车的速度，设慢车的速度是A．120x+1=1201.5x B．120x−1=【答案】B【分析】设出慢车的速度，再利用慢车的速度表示出快车的速度，根据所用时间差为1小时列方程即可．【详解】解：设慢车的速度是x km/h，则快车的速度为1.5x依题意得120x故选：B．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找到关键描述语，找到等量关系是解决问题的关键．类型二分式方程与实际问题1．（2023·湖北武汉·统考中考真题）我国古代数学经典著作《九章算术》记载：“今有善行者行一百步，不善行者行六十步．今不善行者先行一百步，善行者追之，问几何步及之？”如图是善行者与不善行者行走路程s（单位：步）关于善行者的行走时间t的函数图象，则两图象交点P的纵坐标是．

【答案】250【分析】设图象交点P的纵坐标是m，由“今有善行者行一百步，不善行者行六十步．”可知不善行者的速度是善行者速度的35【详解】解：设图象交点P的纵坐标是m，由“今有善行者行一百步，不善行者行六十步．”可知不善行者的速度是善行者速度的35∴m−100m解得m=250，经检验m=250是方程的根且符合题意，∴两图象交点P的纵坐标是250．故答案为：250【点睛】此题考查了从函数图象获取信息、列分式方程解决实际问题，数形结合和准确计算是解题的关键．2．（2023·重庆·统考中考真题）某公司不定期为员工购买某预制食品厂生产的杂酱面、牛肉面两种食品．(1)该公司花费3000元一次性购买了杂酱面、牛肉面共170份，此时杂酱面、牛肉面的价格分别为15元、20元，求购买两种食品各多少份？(2)由于公司员工人数和食品价格有所调整，现该公司分别花费1260元、1200元一次性购买杂酱面、牛肉面两种食品，已知购买杂酱面的份数比牛肉面的份数多50％【答案】(1)购买杂酱面80份，购买牛肉面90份(2)购买牛肉面60份【分析】（1）设购买杂酱面x份，则购买牛肉面170−x份，由题意知，15x+20×170−x=3000，解方程可得x的值，然后代入（2）设购买牛肉面a份，则购买杂酱面1.5a份，由题意知，12601.5a【详解】（1）解：设购买杂酱面x份，则购买牛肉面170−x份，由题意知，15x+20×170−x解得，x=80，∴170−x=90，∴购买杂酱面80份，购买牛肉面90份；（2）解：设购买牛肉面a份，则购买杂酱面1.5a份，由题意知，12601.5a解得a=60，经检验，a=60是分式方程的解，∴购买牛肉面60份．【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，分式方程的应用．解题的关键在于根据题意正确的列方程．3．（2023·四川泸州·统考中考真题）端午节是中国传统节日，人们有吃粽子的习俗．今年端午节来临之际，某商场预测A粽子能够畅销．根据预测，每千克A粽子节前的进价比节后多2元，节前用240元购进A粽子的数量比节后用相同金额购进的数量少4千克．根据以上信息，解答下列问题：(1)该商场节后每千克A粽子的进价是多少元？(2)如果该商场在节前和节后共购进A粽子400千克，且总费用不超过4600元，并按照节前每千克20元，节后每千克16元全部售出，那么该商场节前购进多少千克A粽子获得利润最大？最大利润是多少？【答案】(1)节后每千克A粽子的进价为10元(2)节前购进300千克A粽子获得利润最大，最大利润为3000元【分析】（1）设节后每千克A粽子的进价为x元，则每千克A粽子节前的进价为x+2元，根据节前用240元购进A粽子的数量比节后用相同金额购进的数量少4千克，列出方程，解方程即可；（2）设该商场节前购进m千克A粽子，则节后购进400−m千克A粽子，获得的利润为w元，根据利润=售价−进价列出关系式，根据总费用不超过4600元，求出m的范围，根据一次函数函数增减性，求出最大利润即可．【详解】（1）解：设节后每千克A粽子的进价为x元，则每千克A粽子节前的进价为x+2元，根据题意得：240x解得：x1=10，经检验x1=10，x2答：节后每千克A粽子的进价为10元．（2）解：设该商场节前购进m千克A粽子，则节后购进400−m千克A粽子，获得的利润为w元，根据题意得：w=20−12∵12m+10400−m∴0<m≤300，∵2>0，∴w随m的增大而增大，∴当m=300时，w取最大值，且最大值为：w最大答：节前购进300千克A粽子获得利润最大，最大利润为3000元．【点睛】本题主要考查了分式方程和一次函数的应用，解题的关键是根据等量关系列出方程和关系式．4．（2023·山东烟台·统考中考真题）中华优秀传统文化源远流长、是中华文明的智慧结晶．《孙子算经》、《周髀算经》是我国古代较为普及的算书、许多问题浅显有趣．某书店的《孙子算经》单价是《周髀算经》单价的34(1)求两种图书的单价分别为多少元？(2)为等备“3．14数学节”活动，某校计划到该书店购买这两种图书共80本，且购买的《周髀算经》数量不少于《孙子算经》数量的一半．由于购买量大，书店打折优惠，两种图书均按八折出售．求两种图书分别购买多少本时费用最少？【答案】(1)《周髀算经》单价为40元，则《孙子算经》单价是30元；(2)当购买《周髀算经》27本，《孙子算经》53本时，购买两类图书总费用最少，最少总费用为2316元．【分析】（1）设《周髀算经》单价为x元，则《孙子算经》单价是34（2）根据购买的《周髀算经》数量不少于《孙子算经》数量的一半列出不等式求出m的取值范围，根据m的取值范围结合函数解析式解答即可．【详解】（1）解：设《周髀算经》单价为x元，则《孙子算经》单价是34依题意得，6003解得x=40，经检验，x=40是原方程的解，且符合题意，34答：《周髀算经》单价为40元，则《孙子算经》单价是30元；（2）解：设购买的《周髀算经》数量m本，则购买的《孙子算经》数量为80−m本，依题意得，m≥1解得m≥262设购买《周髀算经》和《孙子算经》的总费用为y（元），依题意得，y=40×0.8m+30×0.880−m∵k=8>0，∴y随m的增大而增大，∴当m=27时，有最小值，此时y=8×27+1920=2136（元），80−27=53（本）答：当购买《周髀算经》27本，《孙子算经》53本时，购买两类图书总费用最少，最少总费用为2136元．【点睛】本题主要考查分式方程的实际应用，一次函数的实际应用以及一元一次不等式的实际应用，根据题意表示出y与x之间的函数关系式以及列出不等式是解题的关键．5．（2023·四川遂宁·统考中考真题）端午节是我国入选世界非物质文化遗产的传统节日，端午节吃粽子是中华民族的传统习俗．某超市为了满足人们的需求，计划在端午节前购进甲、乙两种粽子进行销售，经了解．每个乙种粽子的进价比每个甲种粽子的进价多2元，用1000元购进甲种粽子的个数与用1200元购进乙种粽子的个数相同．(1)甲、乙两种粽子每个的进价分别是多少元？(2)该超市计划购进这两种粽子共200个（两种都有），其中甲种粽子的个数不低于乙种粽子个数的2倍，若甲、乙两种粽子的售价分别为12元/个、15元/个，设购进甲种粽子m个，两种粽子全部售完时获得的利润为w元．①求w与m的函数关系式，并求出m的取值范围；②超市应如何进货才能获得最大利润，最大利润是多少元？【答案】(1)甲粽子每个的进价为10元，则乙粽子每个的进价为12元；(2)①w与m的函数关系式为w=−m+600m≥133【分析】（1）设甲粽子每个的进价为x元，则乙粽子每个的进价为x+2元，根据“用1000元购进甲种粽子的个数与用1200元购进乙种粽子的个数相同”列出分式方程，解方程即可；（2）①设购进甲粽子m个，则乙粽子200−m个，，由题意得w=−m+600，再由甲种粽子的个数不低于乙种粽子个数的2倍，得m≥2200−m②由一次函数的性质即可得出结论．【详解】（1）解：设甲粽子每个的进价为x元，则乙粽子每个的进价为x+2元，由题意得：1000x解得：x=10，经检验：x=10是原方程的解，且符合题意，则x+2=12，答：甲粽子每个的进价为10元，则乙粽子每个的进价为12元；（2）解：①设购进甲粽子m个，则乙粽子200−m个，利润为w元，由题意得：w=12−10∵甲种粽子的个数不低于乙种粽子个数的2倍，∴m≥2200−m解得：m≥1331∴w与m的函数关系式为w=−m+600m≥133②∵−1<0，则w随m的增大而减小，m≥13313，即∴当m=134时，w最大，最大值=−134+600=466，则200−m=66，答：购进甲粽子134个，乙粽子66个才能获得最大利润，最大利润为466元．【点睛】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找出数量关系，正确列出一元一次不等式．题型05不等式（组）的实际应用一元一次不等式（组）的应用题的关键语句：1）列不等式解应用题需要以“至少”、“最多”、“不超过”、“不低于”等词来体现问题中的不等关系，因此，建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵．2）对一些实际问题的提示还要注意结合实际.有些不等关系隐含于生活常识中,如小王用50元去买单价为6元的笔记本.设买x本，求x的取值范围时,其问题中就隐含着所花钱数不能超过50元.由此可得出不等式6x≤50.1．（2023·山东济南·统考中考真题）某校开设智能机器人编程的校本课程，购买了A，B两种型号的机器人模型．A型机器人模型单价比B型机器人模型单价多200元，用2000元购买A型机器人模型和用1200元购买B型机器人模型的数量相同．(1)求A型，B型机器人模型的单价分别是多少元?(2)学校准备再次购买A型和B型机器人模型共40台，购买B型机器人模型不超过A型机器人模型的3倍，且商家给出了两种型号机器人模型均打八折的优惠．问购买A型和B型机器人模型各多少台时花费最少?最少花费是多少元?【答案】(1)A型编程机器人模型单价是500元，B型编程机器人模型单价是300元(2)购买A型机器人模型10台和B型机器人模型30台时花费最少，最少花费是11200元【分析】（1）设A型编程机器人模型单价是x元，B型编程机器人模型单价是x−200元，根据：用2000元购买A型机器人模型和用1200元购买B型机器人模型的数量相同即可列出关于x的分式方程，解方程并检验后即可求解；（2）设购买A型编程机器人模型m台，购买A型和B型编程机器人模型共花费w元，根据题意可求出m的范围和W关于m的函数关系式，再结合一次函数的性质即可求出最小值【详解】（1）解：设A型编程机器人模型单价是x元，B型编程机器人模型单价是x−200元．根据题意，得2000解这个方程，得x=500经检验，x=500是原方程的根．x−200=300答：A型编程机器人模型单价是500元，B型编程机器人模型单价是300元．（2）设购买A型编程机器人模型m台，购买B型编程机器人模型40−m台，购买A型和B型编程机器人模型共花费w元，由题意得：40−m≤3m，解得m≥10．∴w=500×0.8⋅m+300×0.8⋅即w=160m+9600，∵160>0，∴w随m的增大而增大．∴当m=10时，w取得最小值11200，此时40−m=30；答：购买A型机器人模型10台和B型机器人模型30台时花费最少，最少花费是11200元．【点睛】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用和一次函数的性质，正确理解题意、找准相等与不等关系、得出分式方程与不等式是解题的关键．2．（2023·江西·统考中考真题）今年植树节，某班同学共同种植一批树苗，如果每人种3棵，则剩余20棵；如果每人种4棵，则还缺25棵．(1)求该班的学生人数；(2)这批树苗只有甲、乙两种，其中甲树苗每棵30元，乙树苗每棵40元．购买这批树苗的总费用没有超过5400元，请问至少购买了甲树苗多少棵？【答案】(1)该班的学生人数为45人(2)至少购买了甲树苗80棵【分析】（1）设该班的学生人数为x人，根据两种方案下树苗的总数不变列出方程求解即可；（2）根据（1）所求求出树苗的总数为155棵，设购买了甲树苗m棵，则购买了乙树苗155−m棵树苗，再根据总费用不超过5400元列出不等式求解即可．【详解】（1）解：设该班的学生人数为x人，由题意得，3x+20=4x−25，解得x=45，∴该班的学生人数为45人；（2）解：由（1）得一共购买了3×45+20=155棵树苗，设购买了甲树苗m棵，则购买了乙树苗155−m棵树苗，由题意得，30m+40155−m解得m≥80，∴m得最小值为80，∴至少购买了甲树苗80棵，答：至少购买了甲树苗80棵．【点睛】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确理解题意找到等量关系列出方程，找到不等关系列出不等式是解题的关键．3．（2023·湖南怀化·统考中考真题）某中学组织学生研学，原计划租用可坐乘客45人的A种客车若干辆，则有30人没有座位；若租用可坐乘客60人的B种客车，则可少租6辆，且恰好坐满．(1)求原计划租用A种客车多少辆？这次研学去了多少人？(2)若该校计划租用A、B两种客车共25辆，要求B种客车不超过7辆，且每人都有座位，则有哪几种租车方案？(3)在（2）的条件下，若A种客车租金为每辆220元，B种客车租金每辆300元，应该怎样租车才最合算？【答案】(1)原计划租用A种客车26辆，这次研学去了1200人(2)共有3种租车方案，方案一：租用A种客车18辆，则租用B种客车7辆；方案二：租用A种客车19辆，则租用B种客车6辆；方案三：租用A种客车20辆，则租用B种客车5辆，(3)租用A种客车20辆，则租用B种客车5辆才最合算【分析】（1）设原计划租用A种客车x辆，根据题意列出一元一次方程，解方程即可求解；（2）设租用A种客车a辆，则租用B种客车25−a辆，根据题意列出一元一次不等式组，解不等式组即可求解；（3）分别求得三种方案的费用，进而即可求解．【详解】（1）解：设原计划租用A种客车x辆，根据题意得，45x+30=60x−6解得：x=26所以60×26−6答：原计划租用A种客车26辆，这次研学去了1200人；（2）解：设租用A种客车a辆，则租用B种客车25−a辆，根据题意，得25−a≤7解得：18≤a≤20，∵a为正整数，则a=18,19,20，∴共有3种租车方案，方案一：租用A种客车18辆，则租用B种客车7辆，方案二：租用A种客车19辆，则租用B种客车6辆，方案三：租用A种客车20辆，则租用B种客车5辆，（3）∵A种客车租金为每辆220元，B种客车租金每辆300元，∴B种客车越少，费用越低，方案一：租用A种客车18辆，则租用B种客车7辆，费用为18×220+7×300=6060元，方案二：租用A种客车19辆，则租用B种客车6辆，费用为19×220+6×300=5980元，方案三：租用A种客车20辆，则租用B种客车5辆，费用为20×220+5×300=5900元，∴租用A种客车20辆，则租用B种客车5辆才最合算．【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，一元一次不等式组的应用，根据题意列出一元一次方程与不等式组是解题的关键．4．（2023·四川内江·统考中考真题）某水果种植基地为响应政府号召，大力种植优质水果．某超市看好甲、乙两种优质水果的市场价值，经调查，这两种水果的进价和售价如下表所示：水果种类进价（元千克）售价（元）千克）甲a20乙b23该超市购进甲种水果15千克和乙种水果5千克需要305元；购进甲种水果20千克和乙种水果10千克需要470元．(1)求a，b的值；(2)该超市决定每天购进甲、乙两种水果共100千克进行销售，其中甲种水果的数量不少于30千克，且不大于80千克．实际销售时，若甲种水果超过60千克，则超过部分按每千克降价3元销售．求超市当天售完这两种水果获得的利润y（元）与购进甲种水果的数量x（千克）之间的函数关系式，并写出x的取值范围；(3)在（2）的条件下，超市在获得的利润y（元）取得最大值时，决定售出的甲种水果每千克降价3m元，乙种水果每千克降价m元，若要保证利润率（利润率=利润本金）不低于16【答案】(1)a=14(2)y=(3)1.2【分析】（1）根据题意列出二元一次方程组求解即可；（2）设购进甲种水果的数量的数量为x千克，则购进乙种水果的数量的数量为100−x千克，根据题意分两种情况：30≤x≤60和60≤x≤80，然后分别表示出总利润即可；（3）首先根据题意求出y的最大值，然后根据保证利润率（利润率=利润本金【详解】（1）由题意列方程组为：15a+5b=30520a+10b=470解得a=14b=19（2）设购进甲种水果的数量的数量为x千克，则购进乙种水果的数量的数量为100−x千克，∴当30≤x≤60时，y=20−14当60<x≤80时，y=20−14综上所述，y=2x+400（3）当30≤x≤60时，y=2x+400，∴当x=60时，y取最大值，此时y=2×60+400=520（元），当60<x≤80时，y=−x+580，∴y<−60+580=520（元），∴由上可得：当x=60时，y取最大值520（元），∴由题意可得，520−3m×60−40m60×14+40×19∴解得m≤1.2．∴m的最大值为1.2．【点睛】此题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，解题的关键是正确分析题目中的等量关系．题型06一元二次方程的实际应用用一元二次方程解决实际问题的步骤：审：理解并找出实际问题中的等量关系;设：用代数式表示实际问题中的基础数据;列：找到所列代数式中的等量关系，以此为依据列出方程;解：求解方程;验：考虑求出的解是否具有实际意义;答：实际问题的答案.与一元二次方程有关应用题的常见类型：1）变化率问题解决这类问题的关键是理解“增长了”与“增长到”、“降低了”与“降低到”的区别，尤其要理解第二次变化是在第一次变化的基础上发生的.解决此类问题时，务必要记住公式a(1±x)n=b，其中a为增长(或降低)的基础数，x为增长(或降低)的变化率，n为增长(或降低)的次数，b为增长(或降低)后的数量.即：2）利润和利润率问题在日常生活中，经常遇到有关商品利润的问题，解决这类问题的关键是利用其中已知量与未量之间的等量关系建立方程模型，并通过解方程来解决问题.要正确解答利润或利润率问题，首先要理解进价、售价、利润及利润率之间的关系：利润=售价一进价；利润率=利润×100%.3)面积问题几何图形的面积问题是中考的热点问题，通常涉及三角形、长方形、正方形等图形的面积，需利用图形面积公式，从中找到等量关系解决问题.有关面积的应用题，均可借助图形加以分析，以便于理解题意.常见类型1：如图1，矩形ABCD长为a，宽为b，空白“回形”道路的宽为x，则阴影部分的面积为(a−2x)(b−2x)．常见类型2：如图2，矩形ABCD长为a，宽为b，阴影道路的宽为x，则空白部分的面积为(a−x)(b−x)．常见类型3：如图3，矩形ABCD长为a，宽为b，阴影道路的宽为x，则4块空白部分的面积之和能转化为(a−x)(b−x)．4)分裂（传播）问题解决此类问题的关键是原细胞或传染源在不在总数中.其一般思路是先分析问题情境，明确是分裂问题还是传播问题，然后找出问题中的数量关系，再建立适当的数学模型求解.①传播问题：传染源在传播过程中，原传染源的数量计入传染结果，若传染源数量为1，每一个传染源传染x个个体，则第一轮传染后，感染个体的总数为1+x，第二轮传染后感染个体的总数为(1+x)2.②分裂问题：细胞在分裂过程中，原细胞数目不计入分裂总数中，若原细胞数目为1，每一个细胞分裂为x个细胞，则第一次分裂后的细胞总数为x，第二次分裂后的细胞总数为x2.5）碰面问题（循环）问题①重叠类型（双循环）：n支球队互相之间都要打一场比赛，总共比赛场次为m．∵1支球队要和剩下的（n－1）支球队比赛，∴1支球队需要比（n－1）场∵存在n支这样的球队，∴比赛场次为：n（n－1）场∵A与B比赛和B与A比赛是同一场比赛，∴上述求法有重叠部分．∴m=1②不重叠类型（单循环）：n支球队，每支球队要在主场与所有球队各打一场，总共比赛场次为m．∵1支球队要和剩下的（n－1）支球队比赛，∴1支球队需要比（n－1）场∵存在n支这样的球队，∴比赛场次为：n（n－1）场．∵A与B比赛在A的主场，B与A比赛在B的主场，不是同一场比赛，∴上述求法无重叠．∴m=n（n－1）1．（2023·浙江衢州·统考中考真题）某人患了流感，经过两轮传染后共有36人患了流感．设每一轮传染中平均每人传染了x人，则可得到方程（

）A．x+1+x=36 B．C．1+x+x1+x=36 【答案】C【分析】患流感的人把病毒传染给别人，自己仍然患病，包括在总数中．设每一轮传染中平均每人传染了x人，则第一轮传染了x个人，第二轮作为传染源的是(x+1)人，则传染x(x+1)人，依题意列方程：1+x+x(1+x)=36．【详解】由题意得：1+x+x(1+x)=36，故选：C．【点睛】本题考查的是根据实际问题列一元二次方程．找到关键描述语，找到等量关系准确地列出方程是解决问题的关键．2．（2023·浙江湖州·统考中考真题）某品牌新能源汽车2020年的销售量为20万辆，随着消费人群的不断增多，该品牌新能源汽车的销售量逐年递增，2022年的销售量比2020年增加了31.2万辆．如果设从2020年到2022年该品牌新能源汽车销售量的平均年增长率为x，那么可列出方程是（

）A．201+2x=31.2 C．201+x2=31.2【答案】D【分析】设年平均增长率为x，根据2020年销量为20万辆，到2022年销量增加了31.2万辆列方程即可．【详解】解：设年平均增长率为x，由题意得201+x故选：D．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用—增长率问题，准确理解题意，熟练掌握知识点是解题的关键．3．（2023·浙江金华·统考中考真题）如图是一块矩形菜地ABCD,AB=am,AD=bm，面积为sm2

（1）如图1，若a=5，边AD减少1m，得到的矩形面积不变，则b的值是（2）如图2，若边AD增加2m，有且只有一个a的值，使得到的矩形面积为2sm2，则s【答案】66+42/【分析】（1）根据面积的不变性，列式计算即可．（2）根据面积，建立分式方程，转化为a一元二次方程，判别式为零计算即可．【详解】（1）根据题意，得，起始长方形的面积为s=abm2，变化后长方形的面积为∵a=5，边AD减少1m∴5+1b−1解得b=6，故答案为：6．（2）根据题意，得，起始长方形的面积为s=abm2，变化后长方形的面积为∴2s=a+1b+2，∴2s=a+1∴2sa+1∴2a∵有且只有一个a的值，∴Δ=∴s2解得s1故答案为：6+42【点睛】本题考查了图形的面积变化，一元二次方程的应用，正确转化为一元二次方程是解题的关键．4．（2022·山东济南·统考中考真题）利用图形的分、和、移、补探索图形关系，是我国传统数学的一种重要方法．如图1，BD是矩形ABCD的对角线，将△BCD分割成两对全等的直角三角形和一个正方形，然后按图2重新摆放，观察两图，若a＝4，b＝2，则矩形ABCD的面积是．【答案】16【分析】设小正方形的边长为x，利用a、b、x表示矩形的面积，再用a、b、x表示三角形以及正方形的面积，根据面积列出关于a、b、x的关系式，解出x，即可求出矩形面积．【详解】解：设小正方形的边长为x，∴矩形的长为a+x，宽为b+x，由图1可得：12整理得：x2∵a=4，b=2，∴x∴x∴矩形的面积为a+xb+x故答案为：16．【点睛】本题主要考查列代数式，一元二次方程的应用，求出小正方形的边长是解题的关键．5．（2023·山东东营·统考中考真题）如图，老李想用长为70m的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个矩形羊圈ABCD，并在边BC上留一个2m宽的门（建在

(1)当羊圈的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为640m2(2)羊圈的面积能达到650m2【答案】(1)当羊圈的长为40m，宽为16m或长为32m，宽为20m时，能围成一个面积为(2)不能，理由见解析．【分析】（1）设矩形ABCD的边AB=x m，则边BC=70−2x+2=72−2x（2）同（1）的方法建立方程，根据方程无实根即可求解．【详解】（1）解：设矩形ABCD的边AB=x m，则边BC=70−2x+2=72−2x根据题意，得x72−2x化简，得x2解得x1=16，当x=16时，72−2x=72−32=40；当x=20时，72−2x=72−40=32．答：当羊圈的长为40m，宽为16m或长为32m，宽为20m时，能围成一个面积为（2）解：不能，理由如下：由题意，得x72−2x化简，得x2∵Δ=∴一元二次方程没有实数根．∴羊圈的面积不能达到650m2【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程，解一元二次方程是解题的关键．题型07一次函数的实际应用一次函数的实际应用：1）一次函数应用问题的求解思路：①建立一次函数模型→求出一次函数解析式→结合函数解析式、函数性质作出解答；②利用函数并与方程(组)、不等式(组)联系在一起解决实际生活中的利率、利润、租金、生产方案的设计问题以及经济决策、市场经济等方面的应用.2）建立函数模型解决实际问题的一般步骤：①审题，设定实际问题中的变量，明确变量x和y；②根据等量关系，建立变量与变量之间的函数关系式，如：一次函数的函数关系式；③确定自变量x的取值范围，保证自变量具有实际意义；④利用函数的性质解决问题；⑤写出答案.3）利用一次函数的图象解决实际问题的一般步骤：①观察图象，获取有效信息；②对获取的信息进行加工、处理，理清各数量之间的关系；③选择适当的数学工具(如函数、方程、不等式等)，通过建模解决问题.【提示】时刻注意根据实际情况确定变量的取值范围