高等数学-习题及答案 孙忠民 第5章 空间解析几何及其应用

第5章空间解析几何及其应用

【能力训练5.1】

(基础题)

一、在空间直角坐标系中，指出下列各点的位置：

A(2,2,3);B(-2,3,6);C(5,-2,-4);D(3,4,0);e(0,4,3);F(0,0,5).

答案：略

二'列向量中，哪些是单位向量？

(l)a=i+j+k-,Q)方=二(1,0,-1};(3)c=t，，}.

V2333

答案：略

三'人为何值时，向量a={入，1,5}与向量b={-4,-2,0)平行?

答案：略

四、求点A(2,4,5)与原点、各坐标平面和各坐标轴的距离

J轴：/IT.丫轴：vZ轴：2瓶.

五'设向量a={-1,2,-1},b={-4,-2,0},求a+b,2b-3a

答案：略

六、写出起点为A(1,1,-2),终点为B(4,5,3)的向量AB的坐标表达式，并求AB.

答案：略

七'设向量AB=4i-4j+7k的终点B的坐标为(2,-1,7).

求(1)A的坐标；(2)向量AB的模；(3)与向量AB方向一致的单位向量.

答案：略

八、求证以A(2,1,9),B(8,T,6),C(0,4,3)为顶点的三角形是一个等腰直角三

角形.

答案：略

九、在空间直角坐标系中，已知a={2,2,0},b={0,2,-2},求:

(1)a•b;(2)|a|;(3)(a,b).

答案：略

十、已知三角形的三个顶点A(4,7,2),B(3,0,7),C(5,1,2),求AABC的面积.

AB=(-12,1,2),AC=(4,3,1),/.SMBC=；陋x画=l||(-5,20,-40)||-y

(应用题)

一、已知两力Fl=i+2j-3k,F2=2i-3j+k作用于同一点且方向相同，问要用怎样的

力才能使它们平衡？

答案：略

二'已知力F={-2,3,1)作用于杠杆上的点A(4,7,0)处，求此力F关于杠杆上另

一点A(3,2,7)的力矩.

BA*F=(-6,-3,-3)

【能力训练5.21

(基础题)

一'试写出各坐标平面和各坐标轴的方程.

坐标平面yOz的方程是x=0,与它平行的平面方程为x=a(aW0),

坐标平面xOy的方程是z=0,与它平行的平面方程为z=b(b/0),

坐标平面xOz的方程是y=0,与它平行的平面方程为y=c(c#0).

二'平面3(x-2)+(y+5)-6(z-1)=0的法向量n=(),经过点()

答案：略

三、一直线的方向向量是否唯一?一直线的点向式方程唯一吗？

不唯一，单位方向向量唯一。

四'方程x2+y2=z2表示什么曲面？它与平面y=0,y=1,z=3的交线分别是什么

曲线。

z=x2+y2是一个圆形抛物面，位于Z轴上方，平行于XOY平面的截面

曲线是圆x2+y2=h(h>0),平行于YOZ平面的截面

曲线是抛物线z=y?+a,平行于XOZ平面的截面

曲线是抛物线z=x2+b

五、下列方程在平面解析几何和空间解析几何中分别表示什么图形?

⑴"1;⑵y=x(3)?+/=1

⑷%赘1；⑸(6)25-9

49ly-2=0;y=3;

答案：略

六、已知两点A(2.-1,2)和B(8,-7.5),求通过点B且垂直于线段AB的平面.

垂直于AB的平面，即AB为平面法向量：n=AB=(6,-6,3)过点B:(8,-7,5),则由点法

式方程：n：n.(X-B)=06(x-8)-6(y+7)+3(z-5)=02x-2y+z=35

七'求过点(1,3,2)且与平面3x+4y+z=2平行的平面方程.

答案：略

八、求过点(1,2,4)且与两平面x+2z=1和y-3z=2平行的直线方程.

答案：略

九、求过点(7,2,1),且平行于直线；'…:'"的直线方程.

x+2y-2+1=0

“由•知方技的方向向量$=孙X",,其中“-(h2,-2}.

||«/AI

・12TYp-1«族

|12-1|

市线方程为42=白

十'指出下列方程表示怎样的曲面.

⑴/+9/］；⑵l+9z;

22

(3)36?+9y2-4z=36;(4)f+：V-T=0.

答案：略

复习题五

一、单项选择题

1-5CCBBC6-I0ADDBC

二'填空题

1.(-1,-2,-3)

2.(-12,-21,12)

3,略

4.略

5.略

6.2xy3z=0

222

7(x-l)+(y-3)+(z+2)=14

8.圆形圆柱面

9.(2,2,-1)

vn

10.

三'计算题

1.在空间直角坐标系中求点(a,b,c)关于⑴各坐标面；⑵各坐标轴；⑶坐标原点对称点

的^^示。

(1)关于坐标平面的对称点的坐标，只需将原坐标中的一个坐标改为相反数，使得两对

称点的连线垂直于该坐标平面.点(a,b,c)关于xOy,yOz,zOx面的对称点依次是：(a,b,

-c),(-a,b,c),(a,-b,c).

(2)关于各坐标轴的对称点，可看成连续对两个坐标面施行了对称变换的结果，由(1)

知，这时须将原三个坐标中的两个改成相反数.点(a,b,c)关于x、y、z轴的对称点依次是：

(a,-b,-c),(-a,b,-c),(-a,-b,c).

(3)关于原点的对称点的坐标，则须把原坐标的三个数都改成相反数，(a,b,c)关于

原点的对称点的坐标是(a,-b,-c).

2.设已知两点M:(2,2,22)和电(1,3,0).计算向量MiM2的模、方向余弦和方向角

解

=(-1,1,-V2),

IMtM*I=\Z(-I)2+I2+(—72)2

=y1+1+2=74=2;

ii41

COSa=-y.COS/n?=y,COS>=一于

a一3'"丁'一彳・

3.己知a与b垂直且|a|二5,|b|=12,计算|a-b|及|a+b|.

蟀

寸_1_『B|=5,JR=12,

引=j（言才）

=\JS+122

=13

余t所述，答案：13

4.求过点(2,0,1)且与直线!’…=一垂直的平面方程

I3x♦5y-锻=I

H

峭郎坛医司化如jr二3c+5W—却■近为通行的方金向・(2・3/)

r*r

卜

又工面比0(2.1.0)于不平五方IS力

2(1-1)+3-了+”7二0

5.求过点A(1,0,1)月通过直缪‘，'的平面方程.

【解析】

在直线上取几个点，如(1,-2,1)、(4,0,

2)、(-2,-4,0)和A(1,0,1)代入,4X+BY

+CZ+D=0中，解出来应该是E-3Z+2=0

6.求过两点(1,2,3),(1,-2,5)的直线方程.

答案：略

7.求过点(0,2,4)且与两平面x+2z=1和y-3z=2平4艳直线方程

求平面x+2z=1和y-3z=2相交的直线的方向向量：

取z=O,得x=1,y=2

取z=L得x=-1,y=5

方向向量为(23,1)

所以过点(024)且与平面x+2z=1和y-3z=2平行M直线方程为：

-x/2=(y-2)/3=(z-4)

8.求直线「一'''点向式方程和参数方程

(3x-5y+2;=-1

答案：略

9.求直线「“〜与平面x-y-z+1=0的夹角.

|x-y7=0

解直线4|x+y+3z=o的方向向是为

[x-y-z二。

s-0,1,3)za,-L-l)-l1