2023年高三数学高考模拟试卷附参考答案二

2023年高三数学高考模拟试卷(二)

一、单选题

X

1.已知集合A={%|2<4],B={x\log2x<2},则4cB=()

A.[%|x<2}B.{%|0<%<2]

C.{%|%<4}D.{%|0<x<4}

2.若(1+=-2i(i是虚数单位)，则|z|=()

A.乎B.1C.V2D.V5

3.已知a,beR，则“a>网''是"a2>b2”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

4.已知甲、乙两名员工分别从家中赶往工作单位的时间互不影响，经统计，甲、乙一个月内从家中

到工作单位所用时间在各个时间段内的频率如下：

时间/分钟10-20203030〜4040-50

甲的频率0.10.40.20.3

乙的频率00.30.60.1

某日工作单位接到一项任务，需要甲在30分钟内到达，乙在40分钟内到达，用X表示甲、乙两

人在要求时间内从家中到达单位的人数，用频率估计概率，则X的数学期望和方差分别是()

A.E(X)=1.5,D(X)=0.36B.E(X)=1.4,D(X)=0.36

C.E(X)=1.5,D(X)=0.34D.E(X)=1.4,D(X)=0.34

5.已知椭圆.+y2=1缶>1)的左、右焦点为％,F2,P(l,m)为椭圆上一点，过P点作椭圆的切

线],PM垂直于直线1且与x轴交于点M,若M为OF2的中点，则该椭圆的离心率为()

A.1B.比C.返D.在

JJN/

6.在《九章算术》中记载，堑堵是底面为直角三角形的直三棱柱，阳马指底面为矩形，一侧棱垂直

于底面的四棱锥，鳖麝为四个面都为直角三角形的三棱锥，如图，在堑堵力8c—4B1G中，AC1

BC,/1&=2,鳖膈Bi-aC/的外接球的体积为竽兀，则阳马B-ACC14体积的最大值为

4Bl

c

A.|B.|C.1D.4

7.已知在三角形ABC中，AB=3,AC=2,NZ=60。，点M,N分别为边AB,AC上的动点，

AM=xABf~AN=yACf其中％,y>0,%+y=l,点P,Q分别为MN,BC的中点，贝”PQ|的最

小值为（）

A.等B.噜C.孥D.竽

8.已知a=2,b=2.109,c=1.91」，且||+ln招<0，则a,b,c的大小关系为（）

A.c>a>bB.b>a>cC.a>b>cD.b>c>a

二、多选题

9.用分层随机抽样法从某校高一年级学生的数学竞赛成绩（满分150分）中抽取一个容量为120的

样本，其中男生成绩的数据有80个，女生成绩的数据有40个，将这80个男生的成绩分为6组，绘

制得到如图所示的频率分布直方图，下列说法正确的是（）

A.男生成绩的样本数据在［90,110）内的频率为0.015

B.男生成绩的样本数据的平均数为97

C.男生成绩的样本数据的第75百分位数为118

D.女生成绩的样本数据的平均数为91,则总样本的平均数为95

10.如图，正方体4BCD-&B1C1D1，若点M在线段BQ上运动，则下列结论正确的为（)

A.三棱锥M—ACDi的体积为定值

B.直线DM与平面BCG/所成角的最大值为当

C.AMLAiD

D.点M到平面COD1与到平面ACD的距离之和为定值

11.已知抛物线C：y2=2p%(p>0)的焦点为E准线与x轴的交点为M,过点F的直线1与抛物线

C相交于A,B两点(点A在第一象限)，过A,B点作准线的垂线，垂足分别为乙,Bi.设直线1

的倾斜角为仇当。=看时，\AB\=16.则下列说法正确的是()

A.乙4MB有可能为直角

B.

C.Q为抛物线C上一个动点，E(3,1)为定点，||QE|-|QF||的最小值为通

D.过F点作倾斜角的角平分线FP交抛物线C于P点(点P在第一象限)，则存在仇使嵩+

|PF|一1

12.已知连续函数/(%)及其导函数/&)的定义域均为R,记g(x)=/'(%)，若g'(|-|x)为奇函数，

/(I+2%)-2%的图象关于y轴对称，则()

A.g'⑶=0

B.g($=g吗)

C./(%)在(0,4)上至少有2个零点

20243,3

Z1匕(江)+9(江)]=3036

三、填空题

13.(2%_今6的展开式中久2的系数为

14.已知直线Z：—y+27n=0与曲线C：y=2-，4—人有两个交点,则m的取值范围

为.

15.已知函数/(%)=AsinQx+卬)(3>0,[0<£),/(x)</(x)+/(粤一%)=0，/(%)

在(金，堂上单调，则正整数3的最大值为.

16.Va,b&R,生炉W2+a+空工，则b的最大值是

4%4xx---------

四、解答题

17.已知由=1,｛斯+1｝是公比为2的等比数列，｛%｝为正项数列，61=1)当n22时，(2n-

3)=(2n-1泡_>

(1)求数列｛4｝,｛%｝的通项公式;

(2)记Cn=an"n.求数列｛cn｝的前n项和7n.

18.已知锐角△ABC,a,b,c分别是角A,B,C的对边，且2acosC=b-a.

(1)证明：C=24

(2)若CD为乙4cB的角平分线，交AB于D点，且CD=百，S^ACD=V2.求a的值.

19.如图所示的几何体是一个半圆柱，点P是半圆弧加上一动点(点P与点A,D不重合)，AB=

AD=4.

(1)证明：DP1PB；

(2)若点P在平面ABCD的射影为点H,设”的中点为E点，当点P运动到某个位置时，平面

PBD与平面CDE的夹角为45。，求此时DH的长度.

20.2022年卡塔尔世界杯决赛圈共有32队参加，其中欧洲球队有13支，分别是德国、丹麦、法

国、西班牙、英格兰、克罗地亚、比利时、荷兰、塞尔维亚、瑞士、葡萄牙、波兰、威尔士.世界

杯决赛圈赛程分为小组赛和淘汰赛，当进入淘汰赛阶段时，比赛必须要分出胜负.淘汰赛规则如

下：在比赛常规时间90分钟内分出胜负，比赛结束，若比分相同，则进入30分钟的加时赛.在加

时赛分出胜负，比赛结束，若加时赛比分依然相同，就要通过点球大战来分出最后的胜负.点球大

战分为2个阶段.第一阶段：前5轮双方各派5名球员，依次踢点球，以5轮的总进球数作为标准

(非必要无需踢满5轮)，前5轮合计踢进点球数更多的球队获得比赛的胜利.第二阶段：如果前5

轮还是平局，进入“突然死亡”阶段，双方依次轮流踢点球，如果在该阶段一轮里，双方都进球或者

双方都不进球，则继续下一轮，直到某一轮里，一方罚进点球，另一方没罚进，比赛结束，罚进点

球的一方获得最终的胜利.

卜表是2022年卡塔尔世界杯淘汰赛阶段的比赛结果:

淘汰赛比赛结果淘汰赛比赛结果

荷兰3：1美国克罗地亚(4)1：1(2)巴西

阿根廷2：1澳大利亚荷兰(3)2：2(4)阿根廷

1/4决赛

法国3：1波兰摩洛哥1；0葡萄牙

英格兰3：0塞内加尔英格兰1：2法国

1/8决赛

日本(\)1：1(3)克罗地亚阿根廷3：0克罗地亚

半决赛

巴西4；1韩国法国2；0摩洛哥

摩洛哥(3)0：0ro;西班牙季军赛克罗地亚2：1摩洛哥

葡萄牙6；1瑞士决赛阿根廷(4)3：3(2)法国

注：“阿根廷(493；3(2)法国”表示阿根廷与法国在常规比赛及加时赛的比分为3：3,在点球

大战中阿根廷4；2战胜法国.

2

参考公式.2_______7l(Qd-be)_______—

有匚*v一(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)'n~a+b+c+d-

P(J(2>a)0.10.050.010.0050.001

a2.7063.8416.6357.87910.828

(1)请根据上表估计在世界杯淘汰赛阶段通过点球大战分出胜负的概率.

(2)根据题意填写下面的2X2列联表，并通过计算判断是否能在犯错的概率不超过0.01的前提

下认为“32支决赛圈球队闯入8强”与是否为欧洲球队有关.

欧洲球队其他球队合计

闯入8强

未闯入8强

合计

(3)若甲、乙两队在淘汰赛相遇，经过12()分钟比赛未分出胜负，双方进入点球大战.已知甲队

球员每轮踢进点球的概率为P，乙队球员每轮踢进点球的概率为|,求在点球大战中，两队前2轮比

分为2：2的条件下，甲队在第一阶段获得比赛胜利的概率(用p表示).

21.已知双曲线E：b>0)的焦距为10,且经过点M(8,3®A,B为双曲线

E的左、右顶点，P为直线x=2上的动点，连接PA,PB交双曲线E于点C,D(不同于A,B).

(1)求双曲线E的标准方程.

(2)直线CD是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由.

22.已知函数f(x)=+a]nx-2%.

(1)讨论/(久)的单调性，

(2)若/(%)有两个极值点％1，必,且％1<fQi)+/(%2)<-3e~2-2恒成立.

①求a的取值范围；

②证明：f(x)<+(Q_i)Inx—(a+2)x+xex—1

参考答案

L【答案】B

2.【答案】C

3.【答案】A

4.【答案】D

5.【答案】C

6.【答案】B

7.【答案】B

8.【答案】A

9.【答案】B,C,D

10.【答案】A,C,D

11.【答案】A,B,D

12.【答案】A.C

13.【答案】240

14.【答案】(0,|]

15.【答案】7

16.【答案】-1

17.【答案】(1)解：因为数列｛册+1｝为等比数列，公比为2,首项为%+1=2,

n-1n

所以an+1=(4+l)2=2，

所以a”=2"-1

由(2n-3)bn=(2n—1)怎_1,推得慝=矩|(«>2),

所嘘H，含=1，篙4…，慝=招(g2),

故六'妃•.”,"=-1^1.…；522),乂bi=l,

所以当nN2时，％=等二d=2兀-1,又仇=1,

所以刈=2n-l(neN*).

(2)解：由题可得Q=2n(2n-1)-(2n-1),

令dn=2n(2n-l),｛麻｝的前n项和为P”.

所以Pn=1-21+3•22+5•23+-+(2n-1)2”，

2&=1•22+3•23+5•24+…+(2n-l)2n+1,

相减得-4=2+2(22+23+…+2n)-(2n-l)2n+1,

所以Pn=(2n-1)2n+1-2-2(2n+1-4),

所以P4=6+(2n-3)2"+i.

令en=2n—l,｛『｝的前n项和为E”，

n

则£“=(1+2尸)=72,

n+12

综上，Tn=Pn-En=(2n-3)2+6-n.

18.【答案】(1)证明：因为2acosC=b—a,由正弦定理刍=&=三得：

s】n4sinFsmc

2sin4cosc=sinB—sinA,XsinB=sin(7r—A—C)=sin(4+C)=sin/cosC+cosAsinC,

所以2sirh4cosc=sinAcosC+cosAsinC-sinA,整理得sin(C—A)=sinA.

又4Ce(0,分，则C-4=A,即C=24

(2)解：因为CD为N4CB的平分线，且C=24

所以N/C。=NA=乙DCB,则4。=CD=遮,

所以SNCD=^AD-CD-sin&OC=^AD-CD-sin(兀-2A)=|sin24=V2,可得sin2A=孚，

'0<A<^

因为△ABC为锐角三角形，所以<0<B=兀一3A<先解得［

7T

0<C=2/1<J

所以cos2A=V1-sin22i4=^=1-2sin2i4=2cos24—1,所以sin4=苧,cosA=苧，

所以sinB=sinAcosC+cosAsinC=s\nAcos2A+cosAsin24=孚x/+乎x

在44CD中，由余弦定理可得属二AC2=CD2+AD2-2CD•AD-cos乙4DC=3+3-6COS(TT-

2A)=6+6cos24=8,所以b=2A/2»

由正弦定理号=当得a=需=^=警.

sirii4sinBsinn5v35

19.【答案】(1)证明：连接AP,在半圆柱中，

因为AB1平面PAD,PDu平面PAD,

所以AB1PD,

又因为AD是直径，所以PD_LP4,

又4P,ABu平面P4B,APCtAB=A,

所以PD_L平面P4B,又PBu平面PAB,

所以PC1PB.

(2)解：依题意可知，以线段AD的中点O为坐标原点，

以反，AB,战为x,y,z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系,

则E(0,0,2),D(-2,0,0),B(2,4,0),C(-2,4,0),

设Z710P=0(0<9<7r),则P(2cos。，0,2sin。),

所以屁=(2,0,2),DC=(0,4,0),

设平面COE的法向量为沅=Qi,yr，zi),

m-DE—0,.2x+2zi=0,

所以则r：x

m-DC=0,4yl=0,

令=1,则=0,=-1,

所以布=(1,0,-1)为平面CDE的一个法向量.

设平面PBD的法向量为元=(%2，y2'Z2)，

因为丽=(2cos0+2,0,2sin0),~DB=(4,4,0)

所以俨•亚=0,则32cos。+2)X2+2sin%=0,

m-DB=04X2+4y2=0，

令％2=1>则为=-1>Z2=飞鬻I

所以元=(1,-1,建沪)为平面PBD的一个法向量.

因为平面PB0与平面CDE所成的锐二面角为45。,

g\rn-n\11+9

所以cos45一彳一丽而一

后」2+(*2,

令1=笔需'（°＜。＜兀）’则，2+t2=|1+小平方得t=；,

即sin。=2cos0+2,又由siM。+cos20=1,

可解得cos。=—三或cos。=—1（舍去）,

所以P（-1,0,|）,

点P在平面ABCD的射影为点”（一/，0,0）,

因此DH的长度为去

20.【答案】（1）解：由题意知卡塔尔世界杯淘汰赛共有16场比赛，其中有5场比赛通过点球大战决

出胜负,

所以估计在世界杯淘汰赛阶段通过点球大战分出胜负的概率p=会;

（2）解：下面为2x2列联表:

欧洲球队其他球队合计

进入8强538

未进入8强81624

合计131932

零假设Ho：32支决赛圈球队闯入8强与是否为欧洲球队无关.

22

九(ad—be)_32x(5x16—3x8)

,2_-=2.116<6.635-

X一(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)—8x24x13x19

根据小概率值a=0.01的独立性检验，没有充分证据推断为不成立,

即不能在犯错的概率不超过0.01的前提下认为“决赛圈球队闯入8强”与是否为欧洲球队有关.

（3）解：根据实际比赛进程，假定点球大战中由甲队先踢.两队前2轮比分为2：2的条件下，甲在

第一阶段获得比赛胜利，则后3轮有5种可能的比分，1：0,2：0,2：1,3：1,3：2.

n2

当后3轮比分为1：0时，甲乙两队均需踢满5轮，P]=c如（i_p）2©=P（、P）.

当后3轮比分为2：0时，有如下3种情况:

2：03452：03452：0345

中甲X中Xqq

乙XX乙XX乙XX

则P2=p20)2+^P2(1-P)(1)2=3P2；2P3

当后3轮比分为2：1时，有如下6种情况:

2：13452：13452：1345

中4X中qqX中4X7

q

乙qXX乙XX乙\XX

2：13452：13452：1345

甲4X4甲Xqq甲XV4

乙X4X乙XX乙XVX

2.

则「3=3p2(l_p)C]|g)=gP2(l-P)-

当后3轮比分为3：1时,有如下2种情况:

3：13453：1345

'I'q4甲74

乙7X乙X4

则P4=P3c导卜等

当后3轮比分为3：2时，有如下1种情况:

3：2345

甲qqq

乙qqX

则P5=p3(|)X，缥

综上，在点球大战中两队前2轮比分为2：2的条件下，甲在第一阶段获得比赛胜利的概率P=P1+

2

P2+PS+P4+PS=四件

(c^+b2=25,2

21.【答案】(1)解：法一.由64271解得。2=16，庐=9，...双曲线E的标准方程为装—

I-o9=1,16

法二.左右焦点为F](—5,0),F2(5,0)，・，・c=5,2a=\MFr—MF2\=V196—V36=8,

・•・a=4,b2=c2—a2=9,

双曲线E的标准方程为之21.

(2)解：直线CD不可能水平，故设CD的方程为％=my+3C(x1,yQ,D(x2»丫2>

x=my+t

x2y2消去x得(962—i6)y2+18/nty+9d-144=o,(9m2—160),

1T6-T=1

一187ntV”-9t2=14424出+9血2—16,

+丫

•••yI2=9m2—16?%丫2—9m2-16%一巧=±-而滔二记—

AC的方程为'=舟。+4),令％=2,得/=晶，

BD的方程为、=券(％-4),令％=2,得力=黄,

6yl—2y2

%],"4=-2_403X27I-12,1+"1及+4%=°

o3(my2+t)yi-12yl+(myi+t)y2+4乃=0=^rnyry2+(3t-12)yi+(t+4)y2=0

o4W2+(2t-4)-4-y2)+(t-8)伍一、2)=0

4m(9产—144)(2t—4)18mt24(t—8)Jt2+9m2—16_

9m2—169m2-16±9m2—16

o3m(8—t)+(t-8)7t2+9m2—16=0

=(8-t)[3m±7t2+97n2—16]=0，

解得t=8或42+97n2一16=±3zn，即t=8或t=4(舍去)或t=-4(舍去)，

・・・CD的方程为％=my+8,・,•直线CD过定点，定点坐标为(8,0).

方法二.直线CD不可能水平，设CD的方程为％=my+3C(x1,yt),D(x2>丫2)，P(2，九)，

x=my+t,

,消去得巾22

联立x2y2x(92—16)y+18mty4-9t-144=0,

.16-V1,

—18mt9t2—144

“+,2=诟5%为=浙正，

AC的方程为y=/X+4),BD的方程为y=为(X-4),

■■C,。分别在AC和BD上，.;yi=](Xi+4),为=堂(%2-4),

两式相除消去n得韶=/=打+4=-刈丁加,

2

X

又1

-

-6n1，・•・9(%i+4)(%i-4)=16y/.

1~9

将打+4=f代入上式'

得-27(xi-4)(X2-4)=16yly2

0-27(myi+t-4)(my2+t-4)=16yly2

22

<=>(27m+16)y1y2+27(t—4)m(yj+y2)+27(t—4)=0

qr2_i44_1c

o(27m+16)+27(t—+27(t-4)2=o.

整理得t2-12t+32=0,解得t=8或t=4(舍去).

...CD的方程为％=my+8,...直线CD过定点，定点坐标为(8,0).

22.【答案】(1)解：令/'(%)=叁*±£=(),即％2—2x+a=0,4=4-4a.

若4W0,即当a\l时，/(x)>0>/(%)在(0,+8)上为增函数.

若4>0,即当a<1时，g(0)=a.

(J)右1>a>0,当/(x)>0时，x6(0,1—V1—a)U(1+V1—ci>