2021届九师联盟高三年级上册12月联考(新高考)数学试题

2021届九师联盟高三上学期12月联考（新高考）数学试题

一、单选题

1.设集合={r|-2<x<o},则AB=().

A.[-1,0)B.(-2,1]C.J由D,[-2,1]

【答案】B

【分析】解不等式求出集合A,再利用集合的并运算即可求解.

【详解】因为集合A=（|—iVxVl｝,B=｛x\-2<x<C）｝,

所以Au6=2<xW1｝=（—2,11

故选：B.

2-i

2.已知i是虚数单位，则一=（）.

I

A.l+2iB.1—2iC.-1—2iD.-1+2z

【答案】C

【分析】根据复数的运算法则，准确运算，即可求解.

2_.（2

【详解】根据复数的除法运算法则，可得一=

zz.xV；-zJ

故选：C.

3.甲、乙两人下棋，和棋的概率为50%,甲不输的概率为90%,则乙不输的概率为

().

A.60%B.50%C.40%D.30%

【答案】A

【分析】根据互斥事件的概率的加法公式，即可求解.

【详解】设4=｛甲获胜｝,3=｛甲不输｝,C=｛甲乙和棋｝,

则A,C互斥，且B=A+C,则PG?）=P（A+C）=PC4）+P（C）,

所以P（A）=P（6）_P（C）=40%,乙获胜的概率为10%,

则乙不输的概率为50%+10%=60%.

故选：A.

的展开式中常数项为（）

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A.-84B.-672C.84D.672

【答案】B

【分析】写出二项展开式通项，令无的指数为零，求出参数的值，再代入通项即可得解.

【详解】的展开式的通项为T=Cr-f--Y=（-2>Crx^,

\X）r+19IXJ9

令9—3r=0,得r=3,所以常数项为（—2）x。3=—8x84=—672.

9

故选：B.

5.国防部新闻发言人在9月24日举行的例行记者会上指出：“台湾是中国不可分割的

一部分，解放军在台海地区组织实兵演练，展现的是捍卫国家主权和领土完整的决心和

能力”.如图为我空军战机在海面上空绕台巡航.已知海面上的大气压强是760mmHg,

大气压强P（单位：mmHg）和高度〃（单位：m）之间的关系为。=760e”（e是

自然对数的底数，/是常数）.根据实验知500m高空处的大气压强是700mmHg,则

我战机在1000m高空处的大气压强约是（）.（结果保留整数）

A.645mmHgB.646mmHgc.647mmHgD.648mmHg

【答案】A

35

【分析】由八=500时，。=700,得到e-5oo*=结合指数幕的运算，即可求得1000加

高空处的大气压强.

【详解】由题意，海面上大气压强P（单位：mmHg）和高度（单位：m）之间的

关系为p=760e-hk,

35

当人=500时，p=700,即6-500/：=一,

38

所以1000m高空处的大气压强约为

p=76Oe-wooA-=76oC-5oot)=760x35|212250

=--------a645

38119

故选：A.

6.如图，在平行四边形ABC。中，E,尸分别是BC,的中点，已知=

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AP=遮，则AdO=（）.

A.-6B.—4C.—J10D.

【答案】B

【分析】先设AD=a,AB=b,然后A尸，AE用基底表示，AC,8。也用基底表

示，最后运用数量积的运算计算即可.

【详解】设AD—a,」AB-=b广则A厂三4+菱殳—AE=~(2+

两式相加、相减易得a+5=qQp+AE):a-b=2（AF-AE）,

<+右）.Jb）=2（4万+融）2（FX4E）

则AC5。

\3

42-AE2/=-4

3

故选：B.

【点睛4关键点fl青：向量的几何运算中，关键在于取好基底，其他的向量运算基底表示.

7.在公差为1的等差数列1｝中，已知％=%b==丁，若对任意的正整数"，

n1〃Q+1

n

b〈々恒成立，则实数「的取值范围是().

n9

A.可B.(-9,-8)C.1—18一D.(-10,-9)

【答案】D

【分析】利用等差数列的通项公式可得b=1--,进而可得点(〃为)在函数

nn+t"

/(x)=l—」一的图象上，由题意可知b为数列｛。｝的最大项，得出9<T<10即可

X+t9〃

求解.

1—II

［详解］由题意知a=n+t-l,所以6=-----=1———,

n«n+tn+t

所以点Q,。)在函数/G)=i一—一的图象上；

〃x+t

由b〈匕知，b为数列｛。｝的最大项，

n99n

所以9<—/<10,所以—10<f<—9.

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故选：D.

8.已知/G）=xk],对任意的xeR,/Czx2）+4/（3—x）N0恒成立，则实数”的

最小值是（）.

11

1

c1

A.2-B.6D.8-

【分析】根据函数的奇偶性，把不等式的恒成立转化为'对任意的xeR,

ax2-2x+620恒成立”，结合二次函数的性质，即可求解.

【详解】由题意，函数/G）=X|X|=Q可得/G）为奇函数，且在（_8,+co）

X2,X>0

上单调递增，

由f（ax2）+4/（3-x）20恒成立，即f（ax2）>-4/（3—x）恒成立，

又由丁（2x-6）=（2x-6）|2x-6|=4（x-3）|x-3|=-4（3-x）|3-x|=-4f（3-%）,

所以/Qx2）N/（2x—6）,即ax2»2x-6,

把不等式的恒成立转化为“对任意的xeR，ax2-2x+6>0恒成立”.

当a=0时显然不成立，

当aw。时，则满足v）,,,解得

（-2尸-4xax640n6

故选C.

二、多选题

9.下列命题为真命题的是（）.

1g。.

A.若a>b,贝!）2。一6>2B.若a>b>0,则丁丁〉1

2坨b

C.若。>0,b>0,则^/Z^N，vD.若a>b,贝!|ac2>"c2

a+b

【答案】AC

【分析】根据不等式的性质，指数函数的性质，以及基本不等式，逐项判定，即可求解

【详解】对于A,因为a>b,所以a—。>0,所以2〃功〉1〉；，故A正确；

1Iga.

对于8,取〃=10,b=—,此时「"二一1,所以B不正确；

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._f—r2ab、2ab

对于C,因为。>。，b>0所以〃+所以L〉—左，故C

f2yjaba+b

正确；

对于。，当。。时，ac2=bc2,所以D不正确.

故选：AC.一

10.将函数/（X）的图象向左平移g个单位长度，再将所得函数图象上的所有点的横坐

O

标变为原来的|倍，得到函数8（%）=不抽（3%+中）€4>0,3〉0,利<兀）的图象.已

知函数g（x）的部分图象如图所示，则下列关于函数/G）的说法正确的是（）.

A./（X）的最小正周期为gB.7（x）在区间/A上单调递减

C./^^的图象关于直线了二（对称D.7"（X）的图象关于点[^，0]成中心对

称

【答案】BC

【分析】由函数图象可得gG）=2sin12x+gf|,再根据函数图象的变换知

/（x）=2sin3x+3,根据正弦型函数的性质，逐一判断，即可得出结果

【详解】由图象可得A=2,T=R,

所以0—2,——+①=—+2kji(k£Z),

62

所以①=事+2%兀(％EZ),

由||〈兀，即甲=g,得g（x）=2sin[2x+1],

第5页共21页

将g（x）的图象上的所有点的横坐标变为原来的|倍，

再向右平移孑个单位长度得到函数/（X）的图象，即/（x）=2sin，x+t）,

所以/（X）的最小正周期为整，故A不正确；

当x=£时，/（X）取最大值，所以/（X）的图象关于x=］对称，故C正确，D不正

确；

兀71+,所以/(%)=25M(3%+?］单调递减.故B正

当无£9,3时'

O20\07

确.

故选:BC.

11.已知双曲线C：三一万=1（4〉0）,若圆（x-21+山=1与双曲线。的渐近线相

。2

切，则（）,

A.双曲线C的实轴长为6

B.双曲线C的离心率e=2'疔

C.点P为双曲线。上任意一点，若点P到。的两条渐近线的距离分别为《，幺，则

dd=—

124

D.直线旷=午+加与C交于A,8两点，点。为弦AB的中点，若OD（。为坐标

,,1

原点）的斜率为与，则左左=-

2123

【答案】BCD

【分析】先求C的渐近线方程，由点到直线的距离可得圆心到渐近线的距离为半径解得

a,进而可判断A；离心率定义可判断B是否正确；设？（5,%）,求出即可

判断C；利用点差法可判断D.

【详解】由题意知。的渐近线方程为》±0=0,

|2|_

所以一/一=1，解得a=,

Jl+a2

22J3

所以半焦距c=2,所以e=/=g_,故A错误，B正确;

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x+#yI

设PQ，％),ool,

所以d=vAI，d二

1222

所以ddJ上底。小+电|上一3闸」故。正确;

122244

设A（x,y）,B（x,y）,

1122

Y2_Y*2

（x+x\x-x）

两式相减，得—_丁_J-(y+y)(y-y)=o,

1212

x+x(.\y-ynx+x(A

所以=+y)-k7=0,

312X-X3121

12

广…2x+x+y7

所以~-^x2k=0,

322i

2

所以彳兀一丁，？k=0,

30°i

所以不_"乂2勺=0,所以：.—k.2k=0,

3x1321

D

771

所以毕2=］，故D正确，

故选：BCD.

【点睛】关键点点睛：（1）点在曲线上，进而点的坐标满足曲线方程，艮回；-3*=3；

（2）利用“点差法”解决中点弦问题.

12.《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早一千多年，在《九

章算术》中，将底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱称为堑堵；阳马指底面

为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥；鳖膈指四个面均为直角三角形的四面体.如图,

在堑堵ABC—Agq中，AB1AC,QC=BC=2,则下列说法正确的是（）.

A.四棱锥8—Ajcq为阳马

B.三棱锥ABC为鳖膈

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C.当三棱锥q-ABC的体积最大时，AC3

D.记四棱锥的体积为匕，三棱锥A6C的体积为一则匕=3与

【答案】ABC

【分析】根据阳马与鳖膈的定义，几何体的性质可以直接判断.

【详解】解：堑堵AB。-为直三棱柱，

其中侧棱々A，平面ABC,因为46平面ABC,所以AJ，AS,又ABJ_AC,

ACr>AA=A,AC,AJu面,所以BA,平面々ACQ

所以四棱锥B—qacq为阳马；

三棱锥q—ABC中，qcj_平面ABC,54,平面acq,

则三棱锥q-ABC的四个面均为直角三角形，

所以三棱锥ABC为鳖席；

三棱锥ABC的体积最大时，由于高qC=2,则ABC的面积最大，

而5。=2,所以452+402=4,

A

AB2+AC^-

所以AB-ACW————1=2,当且仅当=AC=JI时，取等号，

即当AC时，A5C面积取得最大值，三棱锥q-ABC的体积最大；

v=-xACxCCxAB,B=-x-xABxACxCC,则丫=2V

131232112

A

故选：ABC.

三、填空题

13.若，抽卜一看卜一；，贝！jsin12x+"=,

7

【答案】§

c兀C71

［分析］由21+工=2+—结合诱导公式、二倍角余弦公式，即可求

o2

sinl2x+—的值.

,€

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c兀c71

【详解】由2x+"=2+'知:

o

sin2x+—=sin

I6j

7

故答案为：—.

14.已知/为抛物线C：y2=x的焦点，点A,3在抛物线上，且分别位于X轴的上、

下两侧，若ABE。的面积是:（。为坐标原点），且。408=12,则直线的斜

率是.

【答案】一；一一

【分析】设4（5））,3牝匕），由ABFO的面积可求得点B坐标,再由。4.08=12

可求得点A坐标，即可求出斜率.

【详解】设）,B（x,y）.1—

1122

由抛物线>2=%得/］；,0）,

xx

而s—~—y2,得y=—4,则x=16,

△BFO24222

由OA-OB=xx+yy=16x-4y=12,则4x一丁=3,

12121111

又V结合y>0,解得乙=1,X=1,

—一1-（-4）1

所以直线A3的斜率是二•=一,.

1—163

1

故答案为：

15.经纬度是经度与纬度的合称，它们组成一个坐标系统，称为地理坐标系统，它是一

种利用三度空间的球面来定义地球上的空间的球面坐标系统，能够标示地球上的任何一

个位置.经度是个二面角，是两个经线平面（经线与地轴所成的半平面）的夹角，某一

点的经度，就是该点所在的经线平面与本初子午线平面间的夹角.纬度是个线面角，某

一点的纬度是指该点与地球球心的连线和地球赤道面所成的线面角.城市A位置东经

120°,北纬48。，城市B位置为东经120。，北纬18。，若地球的半径为R,则过A,B

两点和地心的平面截球所得的截面圆的劣弧A3的长为.

71R

【答案】—

O

【分析】由题意可求劣弧所对的圆心角NA03的值，进而根据弧长公式即可求解.

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【详解】设球心为。，由题意和劣弧所对的圆心角44。3=48。-18。=30。，即

71

ZAOB=-

6

丁nR

所以过A,B两点和地心的平面截球所得的截面圆的劣弧A3的长L=z

o

、71R

故答案为：—•

6

16.若函数f（x）=eX-2x图象在点（XQ,f（x°））处的切线方程为y=kx+b9贝!］左一8的

最小值为.

C1

【答案】—2-—

e

【分析】利用导数求得了（X）图象在［。，/（二））处的切线方程，由此求得上—6的表达

式，利用导数求得左一匕的最小值.

［详解］切点为、0，⑥0_2%），/'（x）=ex_2,

所以/'（%）=ep—2,则/（x）图象在I。J（%））处的切线的斜率为k=*-2,

则所求切线的方程为旷=

Q。-2）（x-%o）+e%—2%Q,

即y=0%-2）x-e%x+e%,则左=e%—2,b=—e%x+e%,

000

则左一b=ex*-2,

o

对于函数丁=口工一2,yf=ex（x+l）,

当x<—l时，y'<0；当x>-i时，y'>0;

所以函数y=xex-2在尤=-1取得极小值，亦即最小值,

则左一人的最小值为-2-L

e

四、解答题

17.在①sin?A+sin2c—sin?3=sinAsinC,（2）sin^B+—=cosB+—,

③c-cosA+a-cosC=2Z?-cosB这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并给出

解答.

问题：在ABC中，角A,B,C的对边分别为。，b,c,sinA=2sinC,b=2,

且_____.求ABC的面积.

A

A

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_,2\/3

【答7案?】7.

3

JT

【分析】若选择条件①，利用正弦定理得。2+0—核=〃。，结合余弦定理可知5=§,

由已知得。=2c,结合余弦定理可得。=犯，a=&g,利用三角形面积公式即可

33

得解.

JT

若选择条件②，利用三角恒等变换公式化简得到8=5，由已知得。=2c,结合余弦定

理可得c=2遭，«=—,利用三角形面积公式即可得解.

33

若选择条件③，利用止弦定理得：sinC-cosA+sinA-cosC=2sinBcosB,利用三

角恒等变换公式及诱导公式可得8=］，由已知得。=2c,结合余弦定理可得

c=4g,a=S,利用三角形面积公式即可得解.

33

【详解】若选择条件①sin2A+sin2C-sin2B=sinAsinC,

利用正弦定理，得Q2-拉=QC.

I人一一，「。2+。2—/72ac1

由余弦定理知cos6=——-----=--.

2ac2ac2

jr

由0<6<兀，得

由sinA=2sinC及正弦定理，得a=2c,

将。=2c和b=2代入+c2-6=ac,解得c2=：,c=^^,a=2c="B,

333

所以S=—QcsinB=-x---x----x—=.

223323

若选择条件②sin16+gj=cos8+；,

/Ti[k]]

变形得以sinB+—cosB=cosB+—nsinS-—cosB二一，即

222222

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TT

由0<6<兀，得

由余弦定理，得。2+C2-匕2=ac.

由sinA=2sinC及正弦定理，得a=2c,

将。=2c和6=2代入+c2—枚=ac,解得。2=：,。,a=2c=,

333

福za1.„14>/32737325/3

所以S=—acsmB=-x-----x------x——=-----.

223323

若选择条件③c，cosA+〃,cosC=2b-cosB,

利用正弦定理得：sinC-cosA+sinA-cosC=2sinBcosB,

?.sin（A+C）=2sinBcosB,即sin5=2sin5cos5,

由sin5wO,解得cos5=；.

TT

由0<5<兀，得3=§,

由余弦定理，得a?+c2-b?=ac.

由sinA=2sinC及正弦定理，得a=2c,

将a=2c和b=2代入42+02-/72=ac,解得。2=：,：.c=?造，a=2c="'一,

333

11473273273

所以S--acsmB--x-----x------x—=-----.

223323

【点睛】方法点睛：在解三角形题目中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用

正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则常用：

（1）若式子含有sinx的齐次式，优先考虑正弦定理，“角化边”；

（2）若式子含有Ac的齐次式，优先考虑正弦定理，“边化角”；

（3）若式子含有cosx的齐次式，优先考虑余弦定理，“角化边”；

（4）代数变形或者三角恒等变换前置；

（5）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理使用；

（6）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到人+5+。=兀.

18.已知数列｛a｝满足。+2。+3a++na=（〃-l）-2"+i+2。eN*）.

n123n

（1）求数列｛a｝的通项公式；

n

（2）若匕=bg2,则在数列也｝中是否存在连续的两项，使得它们与后面的某一

nann

第12页共21页

项依原来顺序构成等差数列？若存在，请将这样的两项都探究出来；若不存在，请说明

理由.

【答案】(1)。=2”；(2)存在；b,b和b,b适合条件.

n2334

【分析】(1)根据题意，当〃22时，a+2a+3a++(〃—Da=(〃—2)2,+2,

123n-\

两式相减求得a=2“,进而求得数列%｝的通项公式；

nn

1…

(2)由8=log2=_,利用验证法进行判定，即可求解.

nann

【详解】(1)由题意，得。+2。+3。++na=("-1)2”+i+2,

123n

当〃22时，a+2a+3。++(〃-1)〃=(〃-2)・2〃+2,

两式相减，得"。=(n—1)-2n+i-(n—2)-2«,即a=2n

当〃时，a=2,也满足上式,

所以数列3｝的通项公式a=2“

n

a几logalog2〃n

7171

因为々=1，b=-,显然不适合，

122

7171,171711

b=-,b适合，即b=-,b=工构成公差为一万的等差数列；

23b

2322336bo

71717171711

b=-,b=:适合，即8b=-,b=/构成公差为一大的等差数列;

334433446612

当〃24时，假设b,bb(女之2)成等差数列，则2b=b+b

nn+ln+k

n-1

而当〃24时，—7gN*,所以b，不是数列G｝中的项,

〃—]n+kn

所以当时，不存在连续两项，使之与数列后面某一项依原顺序成等差数列.

综上可得，蚱々和,，幺适合条件.

【点睛】与数列的新定义有关的问题的求解策略：

1、通过给出一个新的数列的定义，或约定一种新的运算，或给出几个新模型来创设新

问题的情景，要求在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法,

实心信息的迁移，达到灵活解题的目的；

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2、遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义

的要求，“照章办事”，逐条分析、运算、验证，使得问题得以解决.

19.电子邮件是一种用电子手段提供信息交换的通信方式，是互联网应用最广的服务.通

过网络的电子邮件系统，用户可以以非常低廉的价格（不管发送到哪里，都只需负担网

费）、非常快速的方式（几秒钟之内可以发送到世界上任何指定的目的地），与世界上任

何一个角落的网络用户联系.我们在用电子邮件时发现了一个有趣的现象，中国人的邮

箱名称里含有数字的比较多，而外国人邮箱名称里含有数字的比较少.为了研究邮箱名

称里含有数字是否与国籍有关，随机调取40个邮箱名称，其中中国人的20个，外国人

的20个，在20个中国人的邮箱名称中有15个含数字，在20个外国人的邮箱名称中有

5个含数字.

（1）根据以上数据填写2x2列联表:

中国人外国人总计

邮箱名称里有数字

邮箱名称里无数字

总计

（2）能否有99%的把握认为“邮箱名称里含有数字与国籍有关”？

（3）用样本估计总体，将频率视为概率.在中国人邮箱名称里和外国人邮箱名称里各

随机调取6个邮箱名称，记“6个中国人邮箱名称里恰有3个含数字”的概率为PI,“6

个外国人邮箱名称里恰有3个含数字”的概率为与，试比较〈与1的大小.

附：临界值参考表与参考公式

P（K2>K）

0.150.100.050.0250.0100.0050.001

0

K2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

0

n（ad-be）

（K"C+b）G+d）G+c）（b+。）'其中〃="++

【答案】（1）2x2联表见解析；（2）有99%的把握认为“邮箱名称里含有数字与国籍有

关”；（3）P「P,.

【分析】（1）由已知数据即可填写2x2列联表；

（2）计算可得K2=10.000〉6.635,由此可得结论；

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⑶由二项分布概率公式可分别表示出空，由此可得结论.

【详解】（1）由已知数据可填写2x2列联表如下:

中国人外国人总计

邮箱名称里有数字15520

邮箱名称里无数字51520

总计202040

n(ad-bc>40(15xl5-5x5>八

(2)Ki=-f----------------------v=----------------=10.000>6.635.

\a+b)\c+d)\a+c)\,b+d)20x20x20x20

有99%的把握认为“邮箱名称里含有数字与国籍有关”.

（3）用样本估计总体，将频率视为概率，根据（1）中2*2列联表可得：

153

中国人邮箱名称里含数字的概率为为=外国人邮箱名称里含数字的概率为

51

204,

设“6个中国人邮箱名称里含数字”的人数为随机变量&,6个外国人邮箱名称里含数字”

的人数为随机变量n”,

根据题意得：匕〜616,|

033

贝

164

3,3

P=C3

261

:.P=P

12

20.在四棱锥尸-ABC。中，底面ABC。为矩形，PA1AD,平面平面

ABCD,AB=2,PA=AD=3.点E在线段PC上（端点除外），平面A8E交尸。

于点F.

BC

第15页共21页

(1)求证：四边形ABEF为直角梯形；

(2)若AF/立,求直线PC与平面A3EF所成角的正弦值.

2

【答案】(1)证明见解析；(2)雨.

11

【分析】(1)利用线面平行的判定和性质可证得。〃跖，知四边形ABE歹为梯形；利

用线面垂直的判定和性质可证得AB1AF,由此可得结论；

(2)解法一：由长度关系可证得AB,AD,AP两两垂直，则以A为坐标原点可建

立空间直角坐标系，利用线面角的向量求法可求得结果；

解法二：利用长度关系和等腰三角形三线合一性质可证得A尸，P。，利用线面垂直的

性质可知A8LP。，由线面垂直判定证得平面43石尸，由线面角定义知所求角

为4PEF,由平行关系可知NPE/=/尸。。，利用长度关系可求得结果.

【详解】⑴AB//CD,AB平面ABE/,°二平面ABEb,

...CD〃平面A3所.

又CDu平面,户CD,平面A8£7「平面PCD=EF,CD//EF.

又所＜CO=A3,.•.四边形A瓦仍为梯形.

AB1AD,平面PAD，平面ABC。，平面P4。平面45C£)=4。，AB平

面ABC。.n

二A3,平面尸A。，又AFu平面PA。，/，

•••四边形ABM为直角梯形.

(2)解法一：在RtPA。中，PD=3y/2,AF=3&_,则尸。=2AF,

2

厂为尸。的中点，女CD//EF，:.E为PC的中点.

PA1AD,由(1)知，48，平面尸4。，，48,AD,AP两两垂直.

以A为原点，分别以AB，AD，AP的方向为x轴，丫轴，z轴的正方向，建立空间

••

直角坐标系A—DZ,

第16页共21页

则4（0,0,0）,5（2,0,0）,C（2,3,o）,P（0,0,3）,El,33]

2?2r

.•.6E=,l,|,|j,Afi=（2,0,0）,PC=（2,3,-3）,

设平面ABE歹的法向量为相=（a,b,c）,

m-AB=2。=0

则13,3一八，取b=L解得：«=0,c=-l,

m-BE=—a+—b+—c=0

I22

设直线PC与平面A3EF所成的角为e,

.'II|PC-W|63M

则sm。=cos<PC,m>=J-'=—=——==,

J11|PC|.|m|722x7211

即直线PC与平面ABEF所成角的正弦值为诉.

―,一11

解法二：PA±AD,PA=AD=3,：,PD=3近,

AF=：Y_,.•.Q£>=2AF,为尸。的中点，，人尸工尸。.

'2

由（1）知：48,平面PA。，又PDu平面PA。，

又AFcAB=A,PDl^-^ABEF,

直线尸C与平面ABE/所成的角就是NPEb,

又EFHCD,:.ZPEF=ZPCD.

AB//CD,CD±PD,

PD_3©_37rl

sin/PCD=

PC/D2+CD2一往七—卞

即直线PC与平面ABEF所成角的正弦值为题.

11

【点睛】方法点睛：利用空间向量法求解直线AB与平面a所成角的基本步骤为:

（1）建立空间直角坐标系，利用坐标表示出所需的点和向量；

\AB-n\

（2）求得平面a的法向量”，设所求角为。，则sinO=1-J

AB.卜

CC兀•--.1

（3）根据0©0,-可求得线面所成角的大小.

Z-

第17页共21页

21.已知椭圆E：上+==1Q〉"O）的左、右焦点分别为尸（T，。），々（1，。），过

Q2b212

4且斜率为石的直线与椭圆的一个交点在X轴上的射影恰好为

142

（1）求椭圆E的方程；

（2）如图，下顶点为A,过点6（。，2）作一条与>轴不重合的直线，该直线交椭圆E于

c,D两点,直线A。，AC分别交X轴于点a,G.求证：A6G与△4。”的

面积之积为定值，并求出该定值.

【答案】（1）千+尸=1；（2）证明见解析；该定值为;.A

【分析】（1）知道C,再算出过椭圆上的点，列方程即可；

（2）设而不求，直线与椭圆方程联立，利用根与系数的关系可得。，。横纵坐标的和

与积，分别写出A。，AC的方程，写出〃与G的坐标，再写出两三角形面积的乘积，

再结合根与系数的关系即可求解.

【详解】（1）过/（-1，0）且斜率为'"的直线方程为y=走Q+1）,

144

J2

令x=l,则>=

2

。2一拉=1

由题意可得I11解得。2=2,62=1,

——+——=1

、Q22b2

所以椭圆E的方程为蓝+产=1.

（2）由题意知，直线BC的斜率存在，

设直线BC的方程为丁=区+2,

设。（x,y）,c（x,y）,

1122

将y=爪+2代入/+产=1,得（1+2公）底+8丘+6=0,

第18页共21页

-8k6

所以X+x=--------,XX=--------

>21+2左2121+2左2

由A=16k2-24>0,女2〉5,

所以乂+e3+0+4=总

yy=(kx+2)(京+2)=k^xx+2k(x+x)+4=--笠―

121212121+2左2

y+i1

直线A。的方程为y=T「x-i

•X

1

x

令y=o,解得》=4丁，

1

/\/\

尤X

则”--,0，同理可得G—^,0

U+乙)U+%)

1X1cx

所以S△椀—X14X——1—X—x3x——2—

21+y21+y

12

3xx

---------------------

4l+y+y+yy

1I212

6

31+2^2361

—X-----------------------------------------—X一二一

444—2左241+2左2+4+4—2左2492,

1+

1+2左21+2左2

所以ABG与△AO”的面积之积为定值，该定值为9