北师大版2023-2024学年七年级数学上册压轴题攻略(成都专用)专题01绝对值的三种培优考法(原卷版+解析)

专题01绝对值的三种培优考法【知识点梳理】1.绝对值的定义一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作|a|2.绝对值的意义①代数意义：正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0；②几何意义：一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离，离原点的距离越远，绝对值越大；离原点的距离越近，绝对值越小。3.绝对值的化简：类型一、分类讨论化简绝对值例1．若，则的值为_________．例2.化简：.【变式训练1】数学小组遇到这样一个问题：若，均不为零，求的值．小明说：“考虑到要去掉绝对值符号，必须对字母，的正负作出讨论，又注意到，在问题中的平等性，可从一般角度考虑两个字母的取值情况．解：①当两个字母，中有2个正，0个负时，②当两个字母，中有1个正，1个负时，③当两个字母，中有0个正，2个负时．（1）根据小明的分析，求的值．（2）若均不为零，且，求代数式的值．【变式训练2】|x﹣2|+|x﹣4|+|x﹣6|+|x﹣8|的最小值是a，，那么的值为（）A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．不确定【变式训练3】（1）数学小组遇到这样一个问题：若a，b均不为零，求的值．请补充以下解答过程（直接填空）①当两个字母a，b中有2个正，0个负时，x=；②当两个字母a，b中有1个正，1个负时，x=；③当两个字母a，b中有0个正，2个负时，x=；综上，当a，b均不为零，求x的值为．（2）请仿照解答过程完成下列问题：①若a，b，c均不为零，求的值．②若a，b，c均不为零，且a+b+c=0，直接写出代数式的值．类型二、利用数轴化简绝对值例.有理数，，在数轴上的对应点的位置如图所示．设，，．那么，，计算结果最小的是（）A． B． C． D．根据，，的值才能确定【变式训练1】有理数a，b，c在数轴上所表示的点的位置如图所示，则化简|a+b|﹣|c﹣b|+|c|﹣|c﹣a|＝____．【变式训练2】如图，数轴上有点a，b，c三点．（1）用“<”将a，b，c连接起来．（2）b－a______0（填“<”“>”，“＝”）；（3）化简|c－b|－|c－a|＋|a－1|；（4）用含a，b的式子表示下列的最小值．①|x－a|＋|x－b|的最小值为_______；②|x－a|＋|x－b|＋|x－c|的最小值为_______．【变式训练3】已知a、b、c在数轴上的位置如图所示，（1）用“>”或“<”填空：_________0，ac_________0，abc_________0，____________0．（2）求代数式的值．【变式训练4】解答下列问题（1）若有理数、满足，且，求的值．（2）已知有理数、、的在数轴上的位置如图所示，请化简：．类型三、由绝对值的几何意义求最值例1．在数轴上，|a－b|可以表示数a、b所对应的两点之间的距离，点P为数轴上任意一点，其代表的数为x．如|x－2|可以表示点P与2所对应的点之间的距离．（1）若|x＋4|＋|x－1|＝7，则x＝_______，|x＋4|＋|x－1|的最小值是_______；（2）若2x＋|10－5x|＋|3－3x|－7的值恒为常数，求x该满足的条件及此时常数的值．【变式训练1】点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为，在数轴上A、B两点之间的距离，利用数形结合思想回答下列问题：（1）数轴上表示1和5两点之间的距离是_____，数轴上表示2和的两点之间的距离为________．（2）数轴上表示x和两点之间的距离为______．若x表示一个有理数，且，则__________．（3）利用数轴求出的最小值为__________，并写出此时x可取哪些整数值______．【变式训练2】已知数轴上两个点之间的距离等于这两个点表示的数的差的绝对值．如图1，在数轴上点A表示的数为，点B表示的数为1，点C表示的数为3，则B，C之间的距离表示为：，A，C之间的距离表示为：．若点P在数轴上表示的数为x，则P，A之间的距离表示为：，P，B之间的距离表示为：．（1）如图1，①若点P在点A左侧，化简_________；②若点P在线段上，化简_________；③若点P在点B右侧，化简_________；④由图可知，的最小值是_________．（2）请按照（1）问的方法思考：的最小值是_________．（3）如图2，在一条笔直的街道上有E，F，G，H四个小区，且相邻两个小区之间的距离均为．已知E，F，G，H四个小区各有2个，2个，3个，1个小朋友在同一所小学的同一班级上学，安全起见，这8个小朋友约定先在街道上某处汇合，再一起去学校．聪明的小朋友们通过分析，发现在街道上的M处汇合会使所有小朋友从小区门口到汇合地点的路程之和最小，请直接写出汇合地点M的位置和所有小朋友从小区门口到汇合地点的路程之和的最小值．【变式训练3】我们知道，在数轴上，|a|表示数a到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地，数轴上两个点A、B，分别用a，b表示，那么A、B两点之间的距离为：AB＝|a﹣b|．利用此结论，回答以下问题：（1）数轴上表示﹣20和﹣5的两点之间的距离是．（2）数轴上表示x和﹣1的两点A，B之间的距离是．（3）式子|x+1|+|x﹣2|+|x﹣3|的最小值是．（4）结合数轴求的最小值为，此时符合条件的整数x为．（5）结合数轴求的最小值为，此时符合条件的整数x为．（6）结合数轴求的最小值为，最大值为．专题01绝对值的三种培优考法【知识点梳理】1.绝对值的定义一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作|a|2.绝对值的意义①代数意义：正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0；②几何意义：一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离，离原点的距离越远，绝对值越大；离原点的距离越近，绝对值越小。3.绝对值的化简：类型一、分类讨论化简绝对值例1．若，则的值为_________．【答案】0或2或4【详解】∵，∴a、b、c三个数中必定是一正两负，∴当时，，此时当时，，此时当时，，此时故答案为：0或2或4例2.化简：.【答案】【解析】试题解析：①当时，原式②当时，原式③当时，原式④当时，原式综上所述：【变式训练1】数学小组遇到这样一个问题：若，均不为零，求的值．小明说：“考虑到要去掉绝对值符号，必须对字母，的正负作出讨论，又注意到，在问题中的平等性，可从一般角度考虑两个字母的取值情况．解：①当两个字母，中有2个正，0个负时，②当两个字母，中有1个正，1个负时，③当两个字母，中有0个正，2个负时．（1）根据小明的分析，求的值．（2）若均不为零，且，求代数式的值．【答案】（1）或0或2；（2）1或【详解】（1）①当中有2个正，0个负时，原式；②当中有1个正，1个负时，原式；③当中有0个正，2个负时，原式；综上所述，的值为或0或2．（2）∵，∴，，，不可能都为正或都为负，∴．①当中有两正一负时，原式，②当中有一正两负时，原式．综上所述的值为1或．【变式训练2】|x﹣2|+|x﹣4|+|x﹣6|+|x﹣8|的最小值是a，，那么的值为（）A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．不确定【答案】C【详解】解：∵|x﹣2|+|x﹣4|+|x﹣6|+|x﹣8|的最小值是a，∴当时，|x﹣2|+|x﹣4|+|x﹣6|+|x﹣8|有最小值8，∴，∵，∴，∴，∴，，∴，，∴，∴=====0；故选：C．【变式训练3】（1）数学小组遇到这样一个问题：若a，b均不为零，求的值．请补充以下解答过程（直接填空）①当两个字母a，b中有2个正，0个负时，x=；②当两个字母a，b中有1个正，1个负时，x=；③当两个字母a，b中有0个正，2个负时，x=；综上，当a，b均不为零，求x的值为．（2）请仿照解答过程完成下列问题：①若a，b，c均不为零，求的值．②若a，b，c均不为零，且a+b+c=0，直接写出代数式的值．【答案】（1）①2，②0，③-2，2或0或-2；（2）①1或3或-3或-1；②-1或1【详解】（1）①∵a、b都是正数，∴=a，=b，∴=1+1=2，故答案为：2；②设a是负数，b是正数，∴=-a，=b，∴=-1+1=0，故答案为：0；③∵a、b都是负数，∴=-a，=-b，∴=-1-1=-2，故答案为：-2；综上，当a，b均不为零，求x的值为2或0或-2；（2）①由题意可得：a、b、c的符号分为四种情况：当a、b、c都是正数时，=1+1-1=1，当a、b、c为两正一负且a、b为正c为负时，=1+1+1=3，当a、b、c为一正两负且a、b为负c为正时，=-1-1-1=-3,当a、b、c都是负数时，=-1-1+1=-1，综上，的值为1或3或-3,或-1；②∵a，b，c均不为零，且a+b+c=0，∴=，∴当a、b、c为两正一负时，=-1-1+1=-1，当a、b、c为一正两负=-1+1+1=1，综上，的值为-1或1.类型二、利用数轴化简绝对值例.有理数，，在数轴上的对应点的位置如图所示．设，，．那么，，计算结果最小的是（）A． B． C． D．根据，，的值才能确定【答案】C【详解】解：根据，，在数轴上的对应点的位置可知，a-b＜0，a-c＜0，b-c＞0，，，，，∴，，∴，故选：C．【变式训练1】有理数a，b，c在数轴上所表示的点的位置如图所示，则化简|a+b|﹣|c﹣b|+|c|﹣|c﹣a|＝____．【答案】−2b−c【详解】根据题意得：b>0>c>a，且|a|>|b|，∴a+b<0，c−b<0，c−a>0∴|a+b|−|c−b|+|c|−|c−a|=−(a+b)+(c−b)−c−(c−a)=−a−b+c−b−c−c+a=−2b−c故答案为：−2b−c．【变式训练2】如图，数轴上有点a，b，c三点．（1）用“<”将a，b，c连接起来．（2）b－a______0（填“<”“>”，“＝”）；（3）化简|c－b|－|c－a|＋|a－1|；（4）用含a，b的式子表示下列的最小值．①|x－a|＋|x－b|的最小值为_______；②|x－a|＋|x－b|＋|x－c|的最小值为_______．【答案】（1）c＜a＜b，（2）＞，（3）b-1；（4）①b﹣a；②b﹣c．【详解】解：（1）根据数轴上的点得：c＜a＜b；（2）由题意得：b﹣a＞0；（3）|c﹣b|﹣|c﹣a|+|a﹣1|＝b﹣c﹣（a﹣c）+a﹣1＝b﹣c﹣a+c+a﹣1＝b-1；（4）由图形可知：①当x在a和b之间时，|x﹣a|+|x﹣b|有最小值，∴|x﹣a|+|x﹣b|的最小值为：x﹣a+b﹣x＝b﹣a；②当x＝a时，|x﹣a|+|x﹣b|+|x﹣c|＝0+b﹣a+a﹣c＝b﹣c为最小值．故答案为：①b﹣a；②b﹣c．【变式训练3】已知a、b、c在数轴上的位置如图所示，（1）用“>”或“<”填空：_________0，ac_________0，abc_________0，____________0．（2）求代数式的值．【答案】（1）<；<；>；>；（2）1．【详解】由数轴可知：，（1），，，故答案为＜，＜，＞，＞；（2）；故答案为．【变式训练4】解答下列问题（1）若有理数、满足，且，求的值．（2）已知有理数、、的在数轴上的位置如图所示，请化简：．【答案】（1）6或8．（2）．【详解】（1）∵，，∴或，或，①当，时，（舍去），②当时，，③当时，，．④当时，，．则②3④满足，则或8．（2）由题得：，∴．类型三、由绝对值的几何意义求最值例1．在数轴上，|a－b|可以表示数a、b所对应的两点之间的距离，点P为数轴上任意一点，其代表的数为x．如|x－2|可以表示点P与2所对应的点之间的距离．（1）若|x＋4|＋|x－1|＝7，则x＝_______，|x＋4|＋|x－1|的最小值是_______；（2）若2x＋|10－5x|＋|3－3x|－7的值恒为常数，求x该满足的条件及此时常数的值．【答案】（1）－5或2；5；（2）1≤x≤2，常数值为0．【详解】解：（1）如图所示，-4和1之间的距离为，当P点在-4和1之间时，;当P点在-4左侧时，,所以,此时x＝-4-1=-5；当P点在-4右侧时，,所以,此时x＝1+1=2；综上所述x＝－5或2；由上分析可知，|x＋4|＋|x－1|的值大于等于5，且当P点在-4和1之间时等号成立，因此|x＋4|＋|x－1|的最小值是5；故答案为：－5或2；5；（2），当时，，不是定值；当时，，是定值；当时，，不是定值；综上所述当时，2x＋|10－5x|＋|3－3x|－7的值恒为常数，常数值为0．【变式训练1】点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为，在数轴上A、B两点之间的距离，利用数形结合思想回答下列问题：（1）数轴上表示1和5两点之间的距离是_____，数轴上表示2和的两点之间的距离为________．（2）数轴上表示x和两点之间的距离为______．若x表示一个有理数，且，则__________．（3）利用数轴求出的最小值为__________，并写出此时x可取哪些整数值______．【答案】（1）4，3；（2）|x+1|，6；（3）7；-3，-2，-1，0，1，2，3，4【详解】解：（1）数轴上表示1和5两点之间的距离是4，数轴上表示2和-1的两点之间的距离是3；（2）数轴上表示x和-1的两点之间的距离表示为|x+1|；∵-4＜x＜2，∴==6；（3）由数轴可知，当-3≤x≤4时，|x+3|+|x-4|取得最小值，最小值是：|x+3|+|x-4|=x+3+4-x=7，此时，x可取的整数值是：-3，-2，-1，0，1，2，3，4．【变式训练2】已知数轴上两个点之间的距离等于这两个点表示的数的差的绝对值．如图1，在数轴上点A表示的数为，点B表示的数为1，点C表示的数为3，则B，C之间的距离表示为：，A，C之间的距离表示为：．若点P在数轴上表示的数为x，则P，A之间的距离表示为：，P，B之间的距离表示为：．（1）如图1，①若点P在点A左侧，化简_________；②若点P在线段上，化简_________；③若点P在点B右侧，化简_________；④由图可知，的最小值是_________．（2）请按照（1）问的方法思考：的最小值是_________．（3）如图2，在一条笔直的街道上有E，F，G，H四个小区，且相邻两个小区之间的距离均为．已知E，F，G，H四个小区各有2个，2个，3个，1个小朋友在同一所小学的同一班级上学，安全起见，这8个小朋友约定先在街道上某处汇合，再一起去学校．聪明的小朋友们通过分析，发现在街道上的M处汇合会使所有小朋友从小区门口到汇合地点的路程之和最小，请直接写出汇合地点M的位置和所有小朋友从小区门口到汇合地点的路程之和的最小值．【答案】（1）；②3；③；④3；（2）5；（3）汇合点M的位置在FG之间（包括F、G），所有小朋友从小区门口到汇合地点的路程之和的最小值为1400m．【详解】解：（1）①∵P在A点左侧时，∴，∴，故答案为：；②∵P在线段AB上，∴，∴，故答案为：；③∵点P在点B右侧，∴，∴，故答案为：；④由图可知当P在A点左侧时，由图可知当P在AB之间时，由图可知当P在B点右侧时，∴的最小值为3，故答案为：3；（2）当P点在2的右侧即时，∴，当P点在-3的左侧即时，∴当P点在-3和1之间时即时，∴，∴此时，当P点在1和2之间时即时，∴，∴此时，∴综上所述，的最小值为5，故答案为：5；（3）如图所示，E、F、G、H分别在数轴上表示-400，-200，0，200，设M表示的数为x，路程之和为s，由题意得：路程之和当时，；当时，；当时，；∴此时；当时，；当时，；∴此时；∴s的最小值为1400，此时，∴汇合点M的位置在FG之间（包括F、G），所有小朋友从小区门口到汇合地点的路程之和的最小值为1400m．【变式训练3】我们知道，在数轴上，|a|表示数a到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地，数轴上两个点A、B，分别用a，b表示，那么A、B两点之间的距离为：AB＝|a﹣