中考数学 共顶点模型-【压轴必刷】2023中考数学压轴大题之经典模型

专题1共顶点模型

经典例题

k________________✓

【例1】把两个等腰直角△/BC和AZIDE按如图1所示的位置摆放，将绕点/按逆时针方向旋转，如

图2,连接8。，EC,设旋转角为a(0。<(1<360。).

(1)当。£_L/C时，40与8c的位置关系是,4E与8c的位置关系是.

(2)如图2,当点。在线段8E上时，求/2EC的度数；

(3)若A/B。的外心在边8。上，直接写出旋转角a的值.

【例2】已知RtZ\48C中，AB=AC,N84c=90。，点。为直线8c上的一动点(点。不与点8、。重合)，

以4)为边作RtZXADE,AD=AE,连接CE.

(1)发现问题：如图①，当点。在边BC上时，

①请写出BD和CE之间的数量关系,位置关系；

②线段CE、CD、8c之间的关系是;

(2)尝试探究：如图②，当点。在边8c的延长线上且其他条件不变时，(1)中CE、CD、BC之间存在

的数量关系是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；

(3)拓展延伸：如图③，当点力在边C8的延长线上且其他条件不变时，若BC=6,CE=1,则线段40的

长为.

【例3】有如下一道作业题：

如图1,四边形/8C。是正方形，以C为直角顶点作等腰直角三角形CE尸，DF.

求证：ABCEMADCF.

（1）请你完成这道题的证明:

图1

（2）如图2,在正方形Z8CD中，点N是边8上一点，CM=CN,连接连接FC.

①求证：NBFC=45。.

②把FC绕点F逆时针旋转90。得到FP,连接CP（如图3）.求证：BF=CP+DF.

【例4】己知等边AABC,。为边8c中点，M为边AC上一点（不与4C重合），连接ZW.

图1图2

（1）如图1,点E是边4c的中点，当M在线段AE上（不与4E重合）时，将。M绕点。逆时针旋转120。

得到线段。尸，连接BF.

①依题意补全图1;

②此时£M与3尸的数量关系为：,NDBF=°.

(2)如图2,若DM=2MC,在边AB上有一点N,使得ZWDM=12()。.直接用等式表示线段8N,ND,CD

之间的数量关系，并证明.

【例5】如图1,在RtZ\NC8中，ZACB=90Q,AB=2BC,点、M,E分别为边Z8,NC的中点，点。在边

AC±,且CD=24D,点N为CO的中点，过点、D作DE〃4B交BC于点、E,点G为。E的中点.将4

OCE绕点C顺时针旋转，旋转角为a,连接MG,FN.

当a=0°时，7777=—；直线MG与直线FN相交所成的较小夹角的度数为30°.

(2)类比探究

当0°<a<360°时，(1)中的结论是否仍然成立？若成立，请仅就图2的情形给出证明；若不成立,

请说明理由.

(3)拓展应用

若/8=4,直线MG和直线FN交于点。，在旋转的过程中，当点。与点N重合时，请直接写出线段FN

的长.

培优训练

1.AACB和ACDE都是等腰直角三角形，ZACS=NDCE=90°,将△CDE绕点D旋转.

(1)如图1,当点5落在直线£>E上时，若AC=26,CE=10x/2，求8E的长；

(2)如图2,直线B。、4E交于点尸，再连接CF,求证：&CF=EF+DF;

(3)如图3,4c=8,CD=4,G为中点，连接4G,BG,以4G直角边构造等腰RfAAHG,过/7作

HUAB交AB于点/,连接G/,当印最小时，直接写出G/的长度.

cEC

选2

2.在A/8c中，AB=AC,点。是直线8c上一点（不与8,C重合），以/。为一边在/。的右侧作A/DE,

使NDAE=NBAC,连接CE.

（1）（请直接写出你的结论）如图1,当点。在线段8c上:

①如果NB/C=90。，则N8CE=_。；

②如果/历IC=100°,则/BCE=_。；

(2)设/比!C=a,ZBCE=/3.

①如图2,当点。在线段BC上移动,则呢”之间有怎样的数量关系？请说明理由;

②当点。在直线8c上移动，则a、夕之间有怎样的数量关系？请画出图形，并直接写出你的结论.

3.有公共顶点4的正方形与正方形4EGF按如图1所示放置，点E,F分别在边43和上，DE,

A1是3尸的中点

（观察猜想）

（1）线段QE与之间的数量关系是位置关系是；

（探究证明）

（2）将图1中的正方形ZEG尸绕点/顺时针旋转45。，点G恰好落在边上，如图2,线段。E与/“之

间的关系是否仍然成立？并说明理由.

图1图2

图3

(3)若正方形ABCD的边长为4,将其沿EF翻折，点D的对应点G恰好落在BC边上，直接写出DG+DH

的最小值__________

4.(1)问题：如图1,在&△ZBC中，ZBAC=90°,AB=AC,。为8c边上一点(不与点8,C重合).连

接4),过点4作并满足连接CE.则线段8。和线段CE的数量关系是，位置

关系是;

(2)探索：如图2,当。点为8c边上一点(不与点8,C重合)，与处△/£>£均为等腰直角三角

形，/BAC=NDAE=90。,AB=AC,AD=AE.试探索线段8。、CD、OE之间满足的等量关系，并证明你

的结论；

(3)拓展：如图3,在四边形/8CO中，ZABC=ZACB=ZADC=45°,若BD=3,CD=\,则线段/D

的长为

图1图2邺

5.己知：等腰MAABC和等腰RfZ\A£>E中，AB=AC,AE=AD,N8AC=NEW=90。.

(1)如图1,延长DE交BC于点F,若NBAE=68°,则NDFC的度数为；

(2)如图2,连接EC、BD,延长E4交于点若NAEC=90。，求证：点M为8。中点；

(3)如图3,连接EC、BD,点G是CE的中点，连接AG,交.BD于点H,AG=9,HG=5,直接写出AAEC

的面积.

6.如图，点4M,B在同一直线上，以4B为边,分别在直线两侧作等边三角形43。和等边三角形ZBD

连接CM,DM,过点“作交8c边于点G,交。8的延长线于点M

(1)求证：/BCM=/BDM；

(2)求NCMN的度数；

(3)求证：AM=BN.

7.问题发现

(1)如图①，已知△N8C,以/8、NC为边向△/8C外分别作等边38。和等边MCE,连接CZ),BE.试

探究CO与8E的数量关系，并说明理由.

问题探究

(2)如图②，四边形Z8CQ中，ZABC=45°,ZCAD=90°,AC=AD,AB=2BC=60.求3。的长.

问题解决

(3)如图③，A/SC中，AC=2,BC=3,NZC8是一个变化的角，以为边向△/8C外作等边

连接CD,试探究，随着的变化，CD的长是否存在最大值，若存在求出C。长的最大值及此时N/CB

的大小；若不存在，请说明理由.

8.在学习全等三角形知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角

形构成在相对位置变化的同时始终存在一对全等三角形通过资料查询，他们得知这种模型称为“手拉手模型”

兴趣小组进行了如下探究：

(1)如图1,两个等腰三角形AABC和AADE中，AB=AC,AE=AD,ABAC=ZDAE,连接、CE,

如果把小等腰三角形的腰长看作小手，大等腰三角形的腰长看作大手，两个等腰三角形有公共顶点，类似

大手拉着小手，这个就是“手拉手模型”，在这个模型中，和△ADB全等的三角形是,此线8。和CE

的数量关系是.

(2)如图2,两个等腰直角三角形AABC和中，AB=AC,AE=AD,Z.BAC=ZDAE=90°,连接

BD、CE,两线交于点P,请判断线段8。和CE的关系，并说明理由.

9.在学习全等三角形知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型：模型是由两个顶角相等且有公共顶角顶点

的等腰三角形组成的图形，如果把它们的底角顶点连接起来，则在相对位置变化的过程中，始终存在一对

全等三角形，我们把这种模型称为“手拉手模型”.这个数学兴趣小组进行了如下操作：

(1)如图1.在△/BC和zUDE中，AB=AC,AD=AE,ZBAC=ZDAE=40°(AB>AD),连接B。，CE,当

点E落在N8边上，且D,E,C三点共线时，则在这个“手拉手模型“中，和全等的三角形是,

NBDC的度数为.

(2)如图2.在A/BC和中，AB=AC,AD=AE,ZBAC=ZDAE=90°,连接80,CE,当点8,D,E

在同一条直线上时，请判断线段8。和CE的关系，并说明理由.

(3)如图3,已知△N8C,请画出图形：以48,/C为边分别向A/BC外作等边三角形N83和等边三角形

/CE(等边三角形三条边相等，三个角都等于60。)，连接BE,CD,交于点P,请直接写出线段8E和C。

的数量关系及/8P。的度数.

<一

B-----。图3

图1图2

10.如图1,在A/8C中，CA=CB,ZACB=90°.点。是月C中点，连接8。，过点力作交8。

的延长线于点E,过点C作CFLBD于点F.

(1)求证：NE4D=NCBD；

(2)求证：BF=2AE；

(3)如图2,将△国才沿8c翻折得到"CG,连接/G,请猜想并证明线段/G和的数量关系.

01图2

11.如图，在四边形4BC。中，ZA=ZABC=90°,AB^BC^X2cm,AD=1Ocm,点p从点A出发，以3cm/s

的速度沿48向点8匀速运动设运动时间为f(s).

(1)如图①，连接8£>、CP,当BOJLC尸时，求r的值；

(2)如图②，当点尸开始运动时，点。同时从点C出发，以acm/s的速度沿CB向点B匀速运动，当「、。两

点中有一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动.当与ABQP全等时，求。和f的值；

(3)如图③，当(2)中的点。开始运动时，点M同时从点O出发，以1.5cm/s的速度沿/M向点A运动，

Q

连接CM,交。。于点连接AE当==时，S=S,,请求出此时。的值.

20ADECDE

12.(1)如图1,已知△C48和ACDE均为等边三角形，D在/C上，E在C8上，易得线段/。和8E的数

量关系是.

(2)将图1中的ACOE绕点C旋转到图2的位置，直线和直线1交于点尸.

①判断线段AD和BE的数量关系，并证明你的结论；

②图2中/NFB的度数是_.

(3)如图3,若ACZB和△8E均为等腰直角三角形，N4BC=NDEC=90。,AB=BC,DE=EC,直线

和直线8E交于点R分别写出尸8的度数，线段8E间的数量关系.

13.如图，在RtZUSC中，ZACB=90a,N/=30°,点。为18中点，点尸为直线8c上的动点(不与

点8、点C重合)，连接OC、OP,将线段OP绕点P逆时针旋转60°,得到线段P0,连接80.

(1)如图1,当点P在线段8c上时，请直接写出线段8。与CP的数量关系.

(2)如图2,当点尸在C8延长线上时，(1)中结论是否成立？若成立，请加以证明；若不成立，请说

明理由;

(3)如图3,当点P在8c延长线上时，若N8PO=45°,AC=yJf>,请直接写出80的长.

14.在RtZ\Z8C中，N/C8=90°,Z/4=3O°，点。是48的中点，DE1BC,垂足为点E,连接8.

(1)如图1,求DE与8c的数量关系是DE=勺C.

(2)如图2,若P是线段CB上一动点(点P不与点8、C重合)，连接。P,将线段。P绕点。逆时针

旋转60°,得到线段。尸，NPDF=60°,连接8F,请猜想DE、BF、8P三者之间的数量关系，并证明

你的结论；

(3)若点尸是线段C8延长线上一动点，按照(2)中的作法，请猜测OE,BF,8尸三者之间的数量关

系，并证明你的结论.

15.(1)观察理解：如图①，△ZBC中，ZACB=90°,AC=BC,直线/过点C,点力,8在直线/同侧，

BD±l,AEA.I,垂足分别为。，E,求证：AAEg/XCDB.

(2)理解应用：如图②，且8c_LC。，且8C=C〃，利用(1)中的结论，请按照

图中所标注的数据计算图中实线所围成的图形的面积5=50；

(3)类比探究：如图③，RtZXNBC中，ZACB=90°,AC=4,将斜边43绕点力逆时针旋转90°至

AB',连接B1C,则％5,r=8.

(4)拓展提升：如图④，等边AEBC中,EC=8C=3c•机，点。在8C上，5.OC=2cm,动点尸从点E

沿射线EC以lew/s速度运动，连结OP,将线段OP绕点。逆时针旋转120°得到线段OF.若点尸恰

好落在射线£8上，求点尸运动的时间/s.(画出示意图)

E

国①图②

图③图④

16.已知等腰RtZX/BC与等腰RtZ\C£>E,AC=BC,CD=CE,ZACB=ZDCE=90°.

(1)如图1,当点。在ZC上，点E在8c延长线时，连接/E、8£),找出/E与。8的关系，并说明理

由;

(2)材料：材料：图2,当点。不在/C上，点E不在8c延长线上时，连接BE,点、M为AD中

点，连接MC,并延长MC交BE与N,我们可以证明辅助线和证明方法为：过点。作。G〃

NC交CM的延长线于G,易证△4WC丝△DWG(44S),再证明△GDC丝△BCE(S4S),从而得到NCNE

=90°,MN1BE；

问题：把等腰RtaOCE绕点C转至如图3位置，点M是线段/D的中点，问与8E的位置关系是否

发生改变？如果没有，请在图3画出辅助线，并说明理由.

图1图2

17.某校八年级数学兴趣小组在研究等腰直角三角形与图形变换时，作了如下研究：在aNBC中，ZBAC

=90°,AB=AC,点D为直线BC上一动点(点D不与B,C重合)，以AD为腰作等腰直角三角形DAF,

使ND4F=9O。，连接CF.

（1）观察猜想

如图1,当点。在线段5c上时，

①C尸与BC的位置关系为CFLBC；

@CF,DC,8c之间的数量关系为BC=DC+CF（直接写出结论）；

（2）数学思考

如图2,当点。在线段C8的延长线上时，（1）中的①、②结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；

若不成立，请你写出正确结论再给予证明.

（3）拓展延伸

如图3,当点。在线段8c的延长线上时，将△£»/尸沿线段QF翻折，使点N与点E重合，连接CE,若

已知4CD=8C,AC=2<2,请求出线段CE的长.

18.在中，ZBAC=90°,AB=AC,点。为直线8C上一动点（点。不与5,C重合），以“。为边

在AD的右侧作正方形ADEF,连接CF.

（1）观察猜想

如图1,当点。在线段BC上时,

①8c与CF的位置关系为：BC1CF

@BC,CD,C户之间的数量关系为：BC=CF+CD.（将结论直接写在横线上）

（2）数学思考

如图2,当点。在线段CB的延长线上时，结论①②是否仍然成立？若成立，请给予证明：若不成立,

请你写出正确结论再给予证明,

(3)拓展延伸

如图3,当点。在线段8C的延长线上时，延长历1交C尸于点G,连接GE.若AB=2a,8=1,请

求出GE的长.

19.已知，在△/8C中，ZBAC=90°,/8=NC,点。为直线BC上一动点(点。不与8、C重合)，以

AD为边在AD的上边作正方形ADEF,连接CF.

(1)观察猜想：如图1,当点。在线段8c上时，①8c与C尸的位置关系为：BCLCF；②8C、

CD、C尸之间的数量关系为：CF=BC-CD.

(2)数学思考：如图2,当点D在线段CB的延长线上时，以上①②关系是否成立，请在后面的横线

上写出正确的结论.①8C与C/的位置关系为：8CUC/；②8C、CD、C五之间的数量关系为：CF

=CD-BC.

(3)如图3,当点。在线段8c的延长线上时，延长8/交C厂于点G,连接G。，若已知力8=2或，

CD=%C,请求出。G的长(写出求解过程).

20.已知，在△4SC中，/氏4c=90°,ZABC=45Q,48=/C,点。为直线2C上一动点(点。不与3,

。重合)，以为边作正方形4。£尸，连接CE

(1)观察猜想

如图1,当点。在线段8c上时可以证明△42。丝△4CF,则，

①8c与CF的位置关系为：BC2CF.

@BC,DC,C户之间的数量关系为：BC=DC+CF；

(2)类比探究

如图2,当点。在线段8c的延长线上时，其他条件不变，(1)中①，②结论是否仍然成立？若成立,

请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明.

(3)拓展延伸

如图3,当点。在线段8c的反向延长线上时，且点4E分别在直线8c的两侧，其他条件不变.

①8C、DC、C尸三条线段之间的数量关系为：BC=DC-CF.

②若正方形ZDE尸的边长为2,对角线/E、。了相交于点0,连结OC,则。。的长度为

上上哈

BDCBCDE

图1圉2图3

21.如图，在RtZS/BC中，ZA=90°,AB=AC=4&.一动点P从点5出发，沿5c方向以每秒1个单

位长度的速度匀速运动，到达点C即停止，在整个运动过程中，过点尸作尸。,8c与Rt/L48C的直角

边相交于点。，延长PO至点0,使得PD=QD,以尸。为斜边在尸0左侧作等腰直角三角形PQE.设

运动时间为/秒(/>0)

(1)在整个运动过程中，判断PE与的位置关系是

(2)如图2,当点。在线段“8上时，连接N。、/P,是否存在这样的从使得/尸=P。？若存在，求出

对应的/的值；若不存在，请说明理由；

⑶当f=4时，点。经过点/：当仁学时，点£在边N8上.设与△PQE重叠部分的面积为S,

请求出在整个运动过程中S与f之间的函数关系式，以及写出相应的自变量/的取值范围，并求出当4V

t<竽时S的最大值.

22.【问题情境】

如图1,P是。。外的一点，直线PO分别交。。于点4、B

小明认为线段PA是点P到上各点的距离中最短的线段，他是这样考虑的：在0。上任意取一个不

同于点/的点C,连接。C、CP,则有OPVOC+PC,BPOP-0C<PC,由。4=0C得OP-0/<PC,

即PA<PC,从而得出线段PA是点P到。。上各点的距离中最短的线段

小红认为在图1中，线段P8是点P到。。上各点的距离中最长的线段，你认为小红的说法正确吗？请

说明理由

A

图1图2图3

【直接运用】

如图3,在RtA48c中，ZACB=90°,AC=BC=2,以8c为直径的半圆交49于。，P是而上的一

个动点，连接ZP,则/尸的最小值是帆-1

【构造运用】

如图4,在边长为4的菱形中，ZJ=60°,M是49边的中点，N是边上一动点，将△ZA/N

沿所在的直线翻折得到△/'MN,连接C,请求出C长度的最小值

解：由折叠知Z'M=AM,又M是/O的中点，可得M4=M"=MD,做点Z'在以/。为直径的圆

上，如图5,以点M为圆心，上"为半径画OM,过“作A/〃J_CD,垂足为〃（请继续完成本题的后续

解题过程）

【深度运用】

如图6,△Z8C、ZXEFG均是边长为4的等边三角形，点。是边8C、E尸的中点，直线ZG、尸C相交于

点M,当AEFG绕点D旋转时，则线段BM长的最小值和最大值分别是,73-2和+2_.

23.如图，在RtZUBC中，N4cB=90°,AC=Scm,BC=4cm.D、E分别为边/8、8c的中点，连接

点尸从点/出发，沿折线/O-OE-E8运动，到点8停止.点P在线段力。上以的cw/s的速度运

动，在折线。E-E8上以Icvn/s的速度运动.当点尸与点/不重合时，过点P作PQLZC于点0,以

尸。为边作正方形尸QMM使点M在线段/Q上.设点P的运动时间为f（s）.

（1）当点P在线段DE上运动时，线段QP的长为（「2）cm（用含f的代数式表示）.

(2)当点N落在48边上时，求，的值.

(3)当正方形肱V与△/8C重叠部分图形为五边形时，设五边形的面积为5(cm2),求S与，的函数

关系式.

(4)连接CD,当点N与点。重合时，有一点，从点〃出发，在线段上以2.5CW/6的速度沿V