2024年中考培优训练 无理方程解答题与综合题100题【含答案】

【2024年中考专题培优训练】无理方程解答题与综合题100题

一、单选题

1.下列方程中，在实数范围内有解的是（)

A.x2-x+l=0B.V2x-1+2=0

r1_%—4

=D.Vx—2+V2—%=0

2.下列方程中有实数解的方程是（）

A

-S=£；B.V3—x+Vx—5=2；

C.%3+1=0；D.%2+%+1=0.

3.下列方程中，有实数根的是（）

三=上

A.B.Vx—2+%=0C.%2+2=0D.x2+%+2=0

x+2x+2

4.下列方程中，有实数根的方程是（）

A.V%+1=0B.%2+1=0C.y[x=xD.x2—x+1=0

5.下列方程中，有实数根的方程是（）

A.J"+4=QB.Vx-2+1=0

C.Vx+1=2D.Vx—3+V3—x=1.

6.在下列方程中，有实数根的方程的个数有)

®V%T2+3=0;

@Vx—4+V3—%=0;

(3)Vx+1=—%;

④V2久-3+V3-2%=0;

⑤%2—2%+4=0；

⑥磊+白="•

A.1个B.2个C.3个D.4个

7.下列方程中，有实数解的是（）

iX+2_Q

A.%2+1=0B.%+-=1C.yj2x+3=—%D.

xX2+2X

8.下列方程中，判断中不正确的是（)

A-方程息一尹。是分式方程

B.方程3xy+2%+1=0是二元二次方程

C.方程V3x2+V2x—V7=0是无理方程

D.方程（K+2）（久-2）=-6是一元二次方程

9.下列方程中，有实数根的方程是（）

A.Vx+1=—1B.%3+2=0

x1

「-D.x2—2%+3=0

•x2—1%2—1

10.下列方程中，没有实数根的是（）

A.x+l=0B.x2-1=0c.V%+1=0D.V%+1=0

11.下列方程中，有一个根是x=2的方程是（)

A%_2B%-22一久

，2十％U

C.Vx—2-Vx—3=0D.Vx—6=2

12.下列方程中，有实数根的方程是（）

43D

A.2%+1=0B.%+1=0C.A/X-1+3=0-占=占

13.下列方程中，有实数根的是（）

A.x2—x+4=0B.，久-3+2=0

C.Vx+2=—%Dx_1

-x2-lx2-l

14.下列说法正确的是（）

A.x2+3x=0是二项方程B.xy-2y=2是二元二次方程

与纪是分式方程

C.D.V2X2-V6=1是无理方程

15.已知实数a满足|2000-可+4a—2001=a，那么a-2000,的值是()

A.1999B.2000C.2001D.2002

16.下列方程有实数根的是（）

A.x4+1=0B.%3+1=0D.二=当

c.Vx-3+1=0x—1x—1

17.如果关十%的万程V2x+m=x有实数根x=1,那么m的值是()

A.—1B.iC.0D.2

18.下列方程中，有实数解的是（）

A.2x4+1=0B.—2+3=0

C.x2—x+2=0Dx__1_

X-l-x2-l

19.下列方程中，有实数解的是（)

A.V2x+1+1=0;B.%2+3%+4=0；

2_x

C.2/_1=o.D.

x—2-x—2・

20.下列方程中，有实数根的是（）

X-lX

A.x3=—1B.Vx4+1=0C.%2+5%+8=0D.F=1

21.下列方程，有实数解的是（）

A.V%-2+1=0B.&=与C.(x+2)4-1=0D.Vx—4+Vx—3=0

22.下列方程中，有实数根的方程是（)

A.-y=0B.y[x+1=0C.%2+1=0D.x3+1=0

23.下列方程有实数解的是（）

3_%—5

A.V5—%=x—7B.

x—2—2—x

C.J2久2+7=—5—%2D.Vi—%+V%—1=o

24.下列方程中，有实数根的是（）

A.x4+2=0B.Vx-2+1=0

x1

C♦Vx—1+V1—x=0D.

%2—1X2—1

25.下列方程中，有实数根的方程是（)

A.8x3+1=0；B.%4+1=0；

2_x

C.V%+1+2=0;D.

x—2-x—2,

26.下列方程中，是它的根的方程为（)

/_]

A.七二二0B.2%3-6=0C.Vx+1=0D.

x—1x+1-x+1

27.下列关于x的方程中，有实数根的是（)

1x_3

A.y/x+2=­xB.节J+1=0C.D.V%—2+3=0

x2+lx—3~x—3

28.下列方程中，有实数根的方程是（）

A.%4+16=0B.%2+2%+3=0

c.Vx+V%-1=0D."一8=_j_

x—3-x—3

29.如果关于x的方程=m没有实数根，那么m的取值范围是)

A.m>0B.m>3C.m<0D.m<3

30.方程V7T2=x的根是（）

A.x=-2B.x=-1C.x=0D.x=2

31.下列方程中有实数解的方程是（)

A.x2+2x+3—0B.yfx—x

C•告=备D.四+l=o

二、填空题

32.已知V7T4=3，贝Ix=.

33.关于x的方程必一4-=1有一个增根尢=4,则a=.

34.方程73—X-1=0的解是.

35.方程=3的解是.

36.方程Vx+4=2-x的根是.

37.方程V%+12=x的解是.

38.方程y/x+2=X的解为.

39.方程V2x—1=x的解是.

40.如果x=l是关于x的方程VF位=》的一个实数根，那么％=.

41.如图，在矩形ABCD中，AB=6cm,BC=V3cm，点P从点A出发沿AB以2cm/s的

速度向点B移动，若出发t秒后，PA=2PC，则t=秒.

42.方程方久+3=一久的解为.

43.方程疡7=3的解是.

44.方程V%2-1-1=0的解是•

45.解方程：yjx+7—yjx+2=y/x—1,X-■

46.方程-2=2的解是.

47.方程7%2-9=4的解是

48.方程仍三石二%的根为.

49.若.Jy-2=1,则y=.

50.方程V3-2%=2-%的根为.

51.方程y/x=-x的根是.

52.方程收=一2久的解为.

53.方程x+1=—7x+1的解是.

54.无理方程(x+4)*Vx+3=0的解是.

55.已知|2022—a|+—2023=a,则a—20222=

56.方程(x+1)、x—1=0的根是.

57.无理方程1+7741=屋当k,方程有实数解.

58.已知整数x,y满足|%-5|+77^3=1,则x,y的值=•

59.方程V2^%=3的解是.

60.方程-Vx^3=0的根是.

61.如果从方程①久+1=0，②/-2x—1=0,③％+:=1,@VT+T=0，⑤/-1=

0,⑥班+/=3中任意选取一个方程，那么取到的方程是无理方程的概率是.

62.方程V%+2-Vx—2=0的根是.

63.如果关于x的方程2-SE+k=0无实数解，那么k的取值范围是.

64.方程V%+2=—X的解是.

65.方程V2—%=x的解是

66.方程VT钎-x=l的根是.

67.如果关于％的无理方程42久+。=%有实数根％=1)那么加的值为.

68.方程Ox+2=x的根是.

69.方程一1=芯-1的解是.

70.若|2004-a|+Ha-2005=a，则a-20042=.

三、计算题

71.(1)解方程％+2=/；

(2)方程y/x+2=X的解为.

72.V2x+1+Vx=1

73.V8x+5—4—2x.

74.解方程：VxTl-l=x.

75.解方程：3-72x-3=x

76.解方程：,2%+4+2=x.

77.解方程：x-V2x-1=2

78.解方程：77^3+Vy+5=4

79.解方程：3/+2Vx2+5%+1=2—15%

80.解方程：久—SF，=4

81.解方程：旧2久—3+%=3

82.三选二，解方程：

（1）Vx+2——久=2;

2x1

（）

2%2-2%-3^31;

（3）2久2-372x2—1+1=0

83.V%+2—y/x—2yjx2+2x=-2x-

84.解方程：V3x+6-V%T3=1.

85.解方程：VxT^+1=x.

86.计算:

（1）解方程：击一念2=

（2）解方程：V2x-5+x=2;

（3）解方程组：｛2

（%乙—%y—2yz=0

87.解方程：V5^x-1=%.

88.解方程：+5+10=%.

89.解方程:

（1）3—A/2X—3=x.

14

（2）—~~9+1---7=1•

%一24-x2

90.V2x+5-Vx^T=2

四、综合题

91.我们知道，各类方程的解法虽然不尽相同，但是它们的基本思想都是“转化”，即把未知转化为

已知用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新方程.

认识新方程：

像&K寻=x这样，根号下含有未知数的方程叫做无理方程，可以通过方程两边平方把它转化

为2x+3=x2,解得Xl=3,X2=-1.但由于两边平方，可能产生增根，所以需要检验，经检验，X2=-1

是原方程的增根，舍去，所以原方程的解是x=3.

运用以上经验，解下列方程：

⑴V16-6x=x；

（2）x+2Vx-3=6.

92.下面是小明同学解无理方程3-V2久一3=*的过程：

原方程可变形为3-x=727^3……（第一步）

两边平方，得3-x=2x-3........（第二步）

整理，得-3x=6……（第三步）

解得x=2……（第四步）

检验：把x=2分别代入原方程的两边，左边=3-V2x-3=2,右边=2,左边=右边，可知x

=2是原方程的解.....（第五步）

所以，原方程的解是x=2.............（第六步）

请阅读上述小明的解题过程，并完成下列问题：

（1）以上小明的解题过程中，从第步开始出错；

（2）请完成正确求解方程3-727^3=x的过程.

93.类比和转化是数学中解决新的问题时最常用的数学思想方法.

【回顾旧知，类比求解】

解方程：V%+1=2.

解：去根号，两边同时平方得一元一次方程▲,解这个方程，得％=▲.

经检验，%=▲是原方程的解.

（1）V%—2—3=0;

（2）14支2+5光—2x=1-

94.先阅读下面框中方程的求解过程，然后解答问题.

解方程里—等=1.

%2x+1

解：设亨=t,则£=工，原方程可化为t—=i.

久zx+1tt

两边同乘以3化简得，/_L2=0.

解这个方程，得以=2,t2=-1.

当裳=2时，解得久i=1,%2=-1.

当号=-1时，此方程没有实数根.

X乙

经检验，%i=1,%2=是原方程的解.

所以方程里—给=1的解为：

%2%+1

_.1

比1-19%2=-2・

（1）解方程（为2_X）2-4（久2—%）+3=0-

（2）直接写出方程叵亘_屋鼻+1=0的解.

XV2X+1

95.下面是小明同学解无理方程3-727^3=%的过程：

原方程可变形为3-x=727^3……（第一步）

两边平方，得3-x=2尤-3.......（第二步）

整理，得-3x=6……（第三步）

解得尤=2……（第四步）

检验：把x=2分别代入原方程的两边，左边=3-72%-3=2,右边=2,左边=右边，可知无

=2是原方程的解.....（第五步）

所以，原方程的解是x=2..........（第六步）

请阅读上述小明的解题过程，并完成下列问题：

（1）以上小明的解题过程中，从第步开始出错；

（2）请完成正确求解方程3-727^3=元的过程.

96.“通过等价变换，化复杂为简单，化陌生为熟悉，化未知为已知”是数学学习中解决问题的基本

思维方式.例如：解方程x一夜=0,就可利用该思维方式，设SE=y,将原方程转化为：y2-y=0

这个熟悉的关于y的一元二次方程，解出y,再求x.这种方法又叫“换元法”.请你用这种思维方式

和换元法解决下列问题：

（1）填空：若2（x2+y2）2+（x2+y2）=0,则x?+y2的值为；

（2）解方程：x?—x+2&。一8=0.

97.阅读下面材料，然后解答问题：

解方程：（%2-6）2-（%2-6）-2=0.

分析：本题实际上一元四次方程.若展开按常规解答对于同学们来说还是有一定的挑战性；解高

次方程的基本方法是“降次”，我发现本方程是以%2-6为基本结构搭建的，所以我们可以把%2-6

视为一个整体设为另外一个未知数，可以把原方程将次为一元二次方程来继续解答.我们把这种换

元解方程的方法叫做换元法.

解：设为2-6=m,则原方程换元为m2-m-2=0.①

(m—2)(m+1)=0解得：mr=2,m2=-1

%2—6=2或%2—6=-1.

—

解得=2V2,久2—2V2，x3-V5，X4=-V5.

请参考例题解法，解下列方程：

(1)x4—5x2+6=0

(2)x2+3x—y/x2+3x-2=0

98.

(1)方程|4x-8|+yjx-y-m=0,当y>0时，m的取值范围是()

A.0<m<lB.m>2C.m<2D.m<2

(2)方程(x-3)V2^x=0的解是

五'实践探究题

99.类比和转化是数学中解决新的问题时最常用的数学思想方法.

(1)【回顾旧知，类比求解】

解方程：Vx+1=2.

解：去根号，两边同时平方得一元一次方程,解这个方程，得久=.

经检验，%=是原方程的解.

(2)【学会转化，解决问题】

运用上面的方法解下列方程：

=0;

②J4#+5%—2x=1-

100.阅读材料：各类方程的解法：

求解一元一次方程，根据等式的基本性质，把方程转化为X=a的形式，求解二元一次方程组，把

它转化为一元一次方程来解；类似的，三元一次方程组，把它转化为解二元一次方程组.求解一元二

次方程，把它转化为两个一元一次方程来解.求解分式方程，把它转化为整式方程来解，由于“去分

母”可能产生增根，所以解分式方程必须检验.各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本

数学思想一转化，把未知转化为已知.

用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程.例如，一元三次方程X3+X2-2X=0,可以通过因

式分解把它转化为％(/+久-2)=0,解方程x=0和x2+x-2=0,可得方程x3+x2-2x=0的解.

32

(1)问题：方程6x+14%-12%=0的解是：%i=0,%2=，久3=；

(2)拓展：用“转化”思想求方程V27T3=%的解；

(3)应用：如图，已知矩形草坪ABCD的长AD=21m,宽AB=8m,点P在AD上(AP>PD),

小华把一根长为27m的绳子一段固定在点B,把长绳PB段拉直并固定在点P,再拉直，长绳的另一

端恰好落在点C,求AP的长.

PD

*千y、5千

/、、

产干千千年、%

BC

答案解析部分

L【答案】D

2.【答案】C

3.【答案】A

4.【答案】C

5.【答案】C

6.【答案】B

7.【答案】C

8.【答案】C

9.【答案】B

10.【答案】C

11.【答案】B

12.【答案】B

13.【答案】C

14.【答案】B

15.【答案】C

16.【答案】B

17.【答案】A

18.【答案】D

19.【答案】C

20.【答案】A

21.【答案】C

22.【答案】D

23.【答案】D

24.【答案】C

25.【答案】A

26.【答案】D

27.【答案】A

28.【答案】D

29.【答案】D

30.【答案】D

31.【答案】B

32.【答案】5

33.【答案】5

34.【答案】x=2

35.【答案】x=ll

36.【答案】x=0

37.【答案】x=4

38.【答案】x=2

39.【答案】%=1

40.【答案】0

41.【答案】4-V3

42.【答案】x=-1

43.【答案】久=3

44.【答案】x=+A/2

45.【答案】2

46.【答案】x=2

47.【答案】±5

48.【答案】x=3

49.【答案】3

50.【答案】%=1

51.【答案】%=0

52.【答案】0

53.【答案】x=-l

54.【答案】x=-3

55.【答案】2023

56.【答案】1

57•【答案】＞1

58.【答案】6,3；4,3；5,4

59.【答案】x:7

60.【答案】x=3

61.【答案】J

62.【答案】x=2

63.【答案】k<-2

64.【答案】x=-1

65.【答案】x=l

66.【答案】%=2

67.【答案】-1

68.【答案】x=2

69.【答案】x=l

70.【答案】2005

71.【答案】(1)解：%+2=%2,

久2一久一2=0，

(x+1)(%—2)=0,

%+1=0；%—2=0，

久1=—1,%2—2;

(2)%=2

72.【答案】解：V2x+1=1-V%

2久+l=l+x—2yfx

x=—2y[x

%2—4%=0

解得=0,肛=4

经检验久2=4是原方程的增根，

所以原方程的解为无1=0

73.【答案】解：78久+5=4—2%,

方程两边平方，得8久+5=16-16久+4%2,

整理得4/-24x4-11=0,

解得：x=/或％=号,

经检验X=，是原方程的解，X=号不是原方程的解，

即无理方程的解是％=

74.【答案】解：•••疝彳1=心

•**Vx+1=%+1，

X+1=(%+1)2,

•**(%+l)2—(%+1)=0,(%+1)(%+1—1)=0>

/.%(%+1)=0,

解得:%i=0,x2=-1.

又•・・％+1>0,

*••x之一1,

.*.%1=0,%2=—L

75.【答案】解：原方程化为：3-％=案2%-3

两边平方,得C3—x)=2%—3,

整理，得％2一标+12=0,

解得=2,r=6，

经检验：X1=2是原方程的根，％2=6是原方程的增根,

・・・原方程的根为％=2.

76.【答案】解：移项，得72%+4=汽一2,

两边平方，得2x+4=4-4x+x2,

即x2-6x=0,

x(x-6)=0,

x=0或x-6=0,

解得：xi=0或X2=6,

经检验，x=6是原方程的解，

所以原方程的解是x=6.

77.【答案】解：方程变形为：%—2=案2%—1，

两边平方得：X2—4%+4=2%—1，

整理得：%2—6x+5=0,

解得=1，%2=5,

当修=1时，左边=1—,2x1—1=0，右边=2,

左边H右边，

・•・%i=1是增根，

当％2=5时，左边=5—,2x5—1=2,右边=2，

左边=右边，

・•・第2=5是原方程的根，

・,・原方程的根为%=5.

78.【答案】解：Jy—3+Jy+5=4

(Jy_3+Jy+5)=16

y-3+y+5+2j(y—3)(y+5)=16

y+1+J(y-3)(y+5)=8

V(y-3)(y+5)=7-y

(y-3)(y+5)=(7—y)2

y2+2y-15=49-14y+y2

16y=64

y=4.

79.【答案】解：设V%2+5x+1=a，则吟0,

x2+5%=a2—1,

・••原方程可化为：3(a2-1)+2a-2=0,

即3a2+2a-5=0,

=—

解得：的=1,a21(舍),

/.x2+5x=0，

解得：打=—5,牝=0.

80.【答案】解：将原方程变形为：

x—2—Vx—2—2=0,

设—2=y,

原方程化为y2-y-2=0,

解得力=2,y2=-1,

当y=2时，yJx—2-2,得％=6,

当y二-1时,V%-2=-1无解.

检验：把％=6代入原方程，适合.

・,・原方程的解是％=6.

81.【答案】解：移项：V2x-3=3-X,

两边平方：2久一3=（3—久）2,

整理得：%2—8%+12=0,解得：K1=2,久2=6.

经检验：打=2是原方程的根，久2=6是增根，舍去.

所以，原方程的根是久=2.

82.【答案】（1）解：%=7

(3)解：£1=----，£2=，£3=-1，£4=1.

1LLZ

83•【答案】解：Vx+2-V%-2-Vx2+2x——2x

J%+2—2，%2+2%=y/x—2x

(J-+2—2，%2+2%)=(V%-2x)

%+2—4Vx(x+2)+4(x2+2%)=x—4%Vx+4%2

%+2—4%Vx—8y/x+4%2+8x=x—4%V%+4%2

8%+2=8y

ol2

(8%+2)2=(8Vx)

64x2+32%+4=64%

64x2—32%+4=0

(8%-2)2=0

1

X=-4T

经检验，％=4是原方程的解，

原方程的解为x

4

84.【答案】解：，

•\x>-2.

将V3x+6-V%+^=1变形，得：V3x+6=+1,

将方程两边平方可得：3%+6=%+3+1+2VXT3，即V%+3=%+1,

再两边平方可得：x+3=x2+2x+1.

整理得：x2+x-2=0.

解得：x=-2或x=l.

经检验：x=-2或x=l是无理方程的解.

85.(答案］解：V%+5+1=久，

移项，得VXT5=X-1,

两边平方，得x+5=x2-2x+l,

,整理,得x2-3x-4=0,

解得：Xl=4,X2—1,

经检验X=4是原方程的解，x=-l不是原方程的解，

所以原方程的解是x=4

86.【答案】(1)解：原方程可变形为：杀-3="我，

去分母，得x(x-3)+6=x+3,

整理,得x2-4x+3=0,

(x-1)(x-3)=0

=X2=3

经检验，x=l是原方程的解.x=3不是原方程的解

/.X=1

(2)解：72%-5=2-x,

两边平方，得2x-5=4-4x+x2,

整理,得x2-6x+9=0,

(x-3)2=0,

••X1--X2~~3;

经检验，x=3不是原方程的解，

所以原方程无解；

由②,得(x-2)(x+y)=0,

；.x-2y=0③或x+y=0④.

由①③、①④组成新的方程组，得

87.【答案】解：V5—%—1=%,

V5—x=1+%?

5—x=(1+%)2,

整理，得：%2+3%—4=0,

*,*(%+4)(%—1)=0,

解得：打=—4,%2=1；

,**1+%=V5—%>0,5—%>0,

/.5>%>-1,

/.%=1.

88.【答案】解：V2V%+5+10=x

2、x+5=x—10

.*.4(%+5)=(%—10)2，且％+5之0,%-10>0

(%—4)(%—20)=0,%>—5,%>10

/.=4,冷=20,x>—5,%>10

/.%=20为方程的解.

89.【答案】(1)解：3—V2x—3=x

原方程可变形为-,2%-3=%-3,

两边平方，得2%-3=/-6%+9,

整理，得/一8%+12=0,

分解因式得(%-2)(%-6)=0,

解得％1=2,牝=6,

经检验：%i=2是原方程的解，%2=6是增根，

・••原方程的解为％=2.

14

⑵解：h匚L

方程两边同时乘以(久+2)。-2),得

(%+2)—4=(%+2)(%-2),

整理，得/—%-2=0,

解得=—1,久2=2，

经检验：修=-1是原方程的解，%2=2是增根，

.•.原方程的解为无=-1.

90.［答案］解：*.*V2x+5—Vx—1=2，

••A/2V+5=Vx—1+2，

•**2%+5=%—1+4V%—1+4,

•,•%+2=4Vx—1,

%2+4x+4=16%—16,

.*.x2—12%+20=0,

・•・（%—2）（%—10）=0

解得％1=2,冷=I。.

91.【答案】（1）解：两边平方，得

16-6x=x2,

整理得：x2+6x-16=0,

解得xi=-8,xi=2；

经检验x=-8是增根，

所以原方程的根为x=2；

⑵解：移项得：277^3=6-x

两边平方，得

4x-12=x2-12x+36,

解得xi=4,X2=12（不符合题意，舍）.

92.【答案】（1）二

（2）解：3—V2x—3=x，

移项，得3—%=、2x—3,

两边平方,得（3-x）2=2x3

整理得：x2-8x+12=0,

解得：xi=2,X2=6,

经检验：x=2是原方程的解，x=6不是原方程的解，

所以原方程的解是x=2.

93.【答案】（1）解：7x^-3=0

Vx—2=3

%—2=9,

解得：x=11,

经检验，%=11是原方程的解；

(2)解：74%2+5%—2%=1

V4x2+5%=2%+1

4%2+5%=4%2+4%+1

解得：x=1,

经检验，%=1是原方程的解.

94.【答案】⑴解:设x2-x=y,则原方程化为y2-4y+3=0,

所以(y-1)(y-3)=0,

所以y=l或y=3.

当y=l时，x2-x=l,

整理，得理・x-l=0.

解得x二港匹.

所以X产©旨5,X2=与匹・

当y=3时,x2-x=3,

整理,得x2-x-3=0.

解得X="烂.

所以X3=1+尸,X4=］一严.

综上所述，原方程的解为：Xl=竽，X2=与匹，X3=1+尸,X4=1一尸.

⑵解：设经亘=t,则原方程变形为t一+1=0

xt

整理为：t2+t-2=0

解得，=1,