北师大版数学五年级上册《数学好玩》知识归纳+综合练习题（含答案）

课题学习《数学好玩》

知识互联生

最优化问题

课题学习数学好玩事物的间隔排列规律

鸡兔同笼

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知识点一：设计秋游方案

最优化问题：最优化概念反映了人类实践活动中十分普遍的现象，即要在尽可能

节省人力、物力和时间前提下，争取获得在可能范围内的最佳效果，因此，最优

化问题成为现代数学的一个重要课题，涉及统筹、线性规划一排序不等式等内

容.下面我们就最优化问题做出汇总分析.

最优化问题不仅具有趣味性，而且由于解题方法灵活，技巧性强，因此对于开拓

解题思路，增强数学能力很有益处.但解决这类问题需要的基础知识相当广泛,

很难做到一一列举.

知识点二：图形中的规律

事物的间隔排列规律：例：六一儿童节用彩色小灯泡布置教室，按“三红、二黄、

二绿”的规律连接起来，第37个小灯泡是（）

A、红B、黄C、绿D、不确定

分析：彩灯的排列规律是：按照颜色特点，7个灯泡一个循环周期：按照3红、2

黄、2绿依次循环排列；

解：374-7=5-2,

所以第37个小灯泡是第6个循环周期的第2个，与第一个周期的第2个灯泡颜

色相同，是红色；

故选：A.

点评：得出这组灯泡颜色排列的周期特点，是解决本题的关键.

知识点三：尝试与猜测

鸡兔同笼：方法：假设法，方程法，抬腿法，列表法

公式1:（兔的脚数义总只数-总脚数）：（兔的脚数-鸡的脚数）二鸡的只数；

总只数-鸡的只数二兔的只数

公式2:（总脚数-鸡的脚数X总只数）（兔的脚数-鸡的脚数）二兔的只数；

总只数-兔的只数二鸡的只数

公式3:总脚数-总头数二兔的只数；总只数-兔的只数二鸡的只数

公式4:鸡的只数二（4义鸡兔总只数-鸡兔总脚数）：2;兔的只数二鸡兔总只数

-鸡的只数

公式5:兔总只数二（鸡兔总脚数-2X鸡兔总只数）：2;鸡的只数二鸡兔总只数

-兔总只数

公式6:（头数x4-实际脚数）;2二鸡

公式7:4X+2（总数-X）=总脚数（x二兔，总数-X二鸡数，用于方程）

公式8:鸡的只数：兔的只数二兔的脚数-（总脚数：总只数）：（总脚数：总只

数）-鸡的脚数.

邕能力达标商笏训练

夯实基础妾

一、选择题（每题2分，共10分）

1.（2021•辽宁•五年级期末）像这样摆20个三角形需要（）根小棒。

2.（2021•福建浦城•五年级单元测试）一个盒子装有大小形状完全相同的黄球3个，红球5个，白球4

个，摸到黄球奇思赢，摸到红球妙想赢，为使游戏公平，盒子中应（）。

A.加入1个白球B.加入2个黄球

C.加入1个黄球1个白球D.拿出1个红球1个白球

3.（2021•福建浦城•五年级单元测试）小强和小明玩象棋，用游戏决定谁先走，游戏规则不公平的是

（）»

A.用“石头”、“剪刀”、“布"，谁赢，谁先走。

B.掷骰子，大于3点小强先走，小于4点小明先走。

C.掷硬币，正面朝上小强先走，反面朝上小明先走。

D.从1—10这10个数字中抽，抽到质数小强先走，抽到合数小明先走。

4.（2019•广东紫金•六年级期末）按下面的规律画笑脸图案，第⑥幅图有（）个笑脸。

5.（2021•北京•五年级单元测试）鸡兔同笼，共有若干个头，32只脚。假设笼中鸡兔的只数同样多，结

果算出共有36只脚。请根据以上信息判断原来笼子里鸡和兔的只数哪个多？（）。

A.兔多B.鸡多C.一样多D.无法判断

二、填空题（每空1分，共23分）

6.（2021•辽宁•五年级期末）鸡兔同笼：从上面数有35个头，从下面数有94只脚，鸡有（）

只，兔有（）只。

7.（2021•辽宁•五年级期末）五年一班52名同学去星海公园游玩，租了10条游船，正好坐满。每条大

船限坐7人，每条小船限坐4人，请问大船、小船各租了几条？（用列表的方法）

总船数/条大船/条小船/条总人数/个

由此可知，租大船（）条，租小船（）条。

8.（2021•福建浦城•五年级单元测试）填一填。

GC\(~\r\

桌子张数1234・・・n

可坐人数610()()・・・()

9.（2021•福建浦城•五年级单元测试）一个盒子里放有黑球、白球、红球，下面是小王从盒子中摸35次

的情况。

颜色黑球白球红球

次数32111

根据表中的数据可知（）最多，（）最少，如果再摸一次摸到（）球的可能性最

大。

10.（2021•四川简阳•五年级期中）有多少个0?

第8幅图中有（）个。，第50幅图中有（）个。。

11.（2021•安徽迎江•五年级期末）有1元和5元的纸币共25张，总值53元，1元的纸币有（）

张，5元的纸币有（________）张。

12.（2021•安徽迎江•五年级期末）小明用小棒摆三角形A7XA这样摆

下去摆7个三角形需要（）根小棒，25根小棒能摆出（）个三角形。

13.（2021•广东福田•五年级期末）用小棒按照下列的方式摆图：

图1图2图3

如上图，摆一个五边形需要5根小棒，摆6个五边形需要（）根小棒，淘气有101根小棒，可以

摆（）个这样的五边形。

14.（2021•辽宁•大连市甘井子区新甘井子小学五年级期末）师生共42人去公园划船，每条小船坐6人,

每条大船坐10人，刚好用了5条船。大船用了（）条，小船用了（）条。

15.（2020•辽宁甘井子•五年级期末）已知1+3=4,1+3+5=9,1+3+5+7=16,由止匕可知1+3+5+7+9=

（）,1+3+5+7+9++17=（）,你发现的规律是（）□

三、判断题（每题2分，共10分）

16.（2021•辽宁•六年级单元测试）△ZVZSA…依次类推，摆5个三角形需要用小棒

的根数是1+2X5=11（根）。（）

17.（2021•全国•六年级专题练习）••.•：・・，第五个点阵中点的个数是

1+4X5=21.（）

18.（2021•全国•六年级单元测试）摆1个正方形需要4根小棒，往后每多摆1个正方形就增加3根小棒,

按这样的规律摆10个正方形，一共需要31根小棒.（—）

19.（2020•全国•一年级期末）…第25个应该是

A-(——)

20.（2017•河北•五年级单元测试）鸡兔同笼，一共有22个头，70条腿，那么鸡有9只，兔有13

只.

能力提升SB

四、作图题（共9分）

21.（2021•广东清远•五年级期末）按规律完成第四个图。

O

11+1x41+2x4

22.（本题6分）（2019•全国•六年级期末）找规律，画图形.

(3)

五、解答题（共48分）

23.（本题6分）（2019•陕西•泾阳县教育局教学研究室五年级期末）乐乐用2元5角钱买了面值是1角

和2角的邮票共14枚，两种邮票各买了多少枚？

24.（本题6分）（2021•河北•成安县教育体育局教研室五年级期末）有132吨水泥要用车从仓库运到工

地，租车公司有两种车可供出租：大卡车每次可运10吨，每次运费200元；小卡车每次可运6吨，运费每

次135元。怎样租车最省钱，需要运费多少元？

25.（本题6分）（2017•辽宁•阜新市细河区招生考试办公室五年级期末）一只蚂蚁有6条腿，一只蜘蛛

有8条腿，蚂蚁和蜘蛛一共有50只，一共有332条腿。蚂蚁和蜘蛛各有多少只？

蚂蚁（只）蜘蛛（只）共有腿（条）

（温馨提示：填表、列式计算都可以）

26.（本题6分）（2021•辽宁•五年级期末）鸡和兔共有9只，两种动物的腿加起来共有26条，鸡和兔各

有几只？

27.（本题6分）（2020•北京市建华实验学校六年级期末）如图所示，摆第一个图案需要7枚棋子，摆第

二个图案需要19枚棋子，摆第三个图案需要37枚棋子。按这个方式摆下去：

（1）摆第五个图案需要多少枚棋子？

（2）摆第十个图案需要多少枚棋子呢?

28.（本题6分）（2020•河南鹤壁•五年级期末）小白兔采蘑菇，晴天每天可以采18个，雨天每天可以采

12个，6天后共采蘑菇96个。这6天中晴天有多少天？雨天有多少天？

29.（本题6分）（2019•福建•五年级期末）先数一数，再填一填，你能发现什么规律?

（1）填写下表:

正方形个数1234567•••

需要小棒根数47・・・

（2）这样摆16个正方形，需要多少根小棒？请写出计算过程。

（3）现有106根小棒，能摆多少个这样的正方形？请写出计算过程。

30.（本题6分）（2015•全国•五年级课时练习）如下图所示，每次框出3个字母，共有多少种不同的框

法？

ABCDEFGHIJLMN

与;.能力达标百分训练（答案解析）工飞三一一一

1.A

【思路引导】

搭第一个图形需要3根小棒，搭第二个图形需要3+2根小棒……结合图形，发现：后边每多一个图形，则

多用2根小棒，搭第n个图形，需要3+2（n-1）=2n+l（根）。

【完整解答】

结合图形，发现：搭第n个图形，需要3+2（n-1）=2n+l（根），摆这样的20个小三角形，需要2X20

+1=41根。

故答案为：A

【考察注意点】

本题是一道找规律的题目，这类题型在考试中经常出现，对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变

化，是按照什么规律变化的。

2.B

【思路引导】

在摸球游戏中，当红球和黄球的个数相等时，俩人摸到的可能性相等，游戏就公平；据此解答。

【完整解答】

根据分析，加入2两个黄球，奇思和妙想摸到的可能性就相等了，游戏就公平；

故答案为：B。

【考察注意点】

本题考查的是判断事件出现的可能性均等，游戏就公平。

3.D

【思路引导】

分别求出胜的可能性，若相同则公平，若不同则不公平。

【完整解答】

A.因为玩石头、剪子、布，小强赢的可能性是:；小明赢的可能性是g；平局的可能性也是g,所以该游

戏公平；

B.大于3点的可能性是《；小于4点的可能性是所以该游戏公平；

C.掷硬币正面朝上与反面朝上的可能性都是所以该游戏公平；

D.1—10这10个数字中，质数有4个，合数有5个，抽到质数的可能性是正；抽到合数的可能性是A；

415，所以该游戏公平；

故答案为：D

【考察注意点】

确定一个游戏是否公平，要先找出事件发生的所有可能，然后看对于游戏双方，获胜的可能性是否相同。

若相同，则游戏规则公平；若不相同，则游戏规则不公平。

4.B

【思路引导】

第一幅图有1个笑脸，第二幅图有3个笑脸，第三幅图有6个笑脸…；

1=1

3=1+2

6=1+2+3

第n幅图中笑脸的数量就是1+2+3+…+n

【完整解答】

第⑥幅图的笑脸数：

1+2+3+4+5+6=21（个）

故答案为：B

【考察注意点】

解决本题关键是找出笑脸的个数变化的规律，再由此规律求解。

5.B

【思路引导】

解决鸡兔同笼问题，一般采用假设法，即假定全部只数都是鸡或者都是兔，算出假定情况下的足数和实际

的足数和、足数差，然后推算出鸡和兔的只数。

【完整解答】

假设笼中鸡兔的只数同样多，脚多了36—32=4（只），只有将鸡的脚数算成兔子的脚数，脚数才会增加，

所以鸡多。

故答案为：B

【考察注意点】

如果假定全部是鸡，那么①兔的只数=（总足数一每只鸡的足数X总头数）+（每一只鸡与兔足数的差）

②鸡的总只数=总头数一兔的只数；

如果假定全部是兔，则①鸡的只数=（每只兔的足数X总头数一总足数）4-（每一只鸡与兔足数的差）②

兔的只数=总头数一鸡的只数

6.2312

【思路引导】

根据题意，设兔有x只，则鸡有35—x只，兔有4只脚，x只兔有4x只脚，鸡有2只脚，（35—x）只鸡有

（35-x）X2只脚，兔脚和鸡脚一共有94只脚，列方程：4x+（35-x）X2=94,解方程，即可解答。

【完整解答】

解：设兔有x只，则鸡有35—x只

4x+（35-x）X2=94

4x+70—2x=94

2x=94-70

2x=24

x=24+2

x—12

鸡有：35-12=23（只）

【考察注意点】

本题考查方程的实际应用，根据题意，找出相关的量，列方程，解方程。

7.4；6

【思路引导】

此题总人数是52人，一共有10条船，这里要考虑正好座满，从极端情况开始考虑，逐一填表找出答案

【完整解答】

根据题干可以将乘坐船的情况列表如下：

总船数/条大船/条小船/条总人数/个

10U1040

101943

102846

103749

104652

上所述，共有10条船，且52人坐满，所以符合题意的只有大船4条，小船6条的情况。

【考察注意点】

如果没有要求列表解答，此题可以直接利用假设法解答：假设全是大船，则小船有：(10X7—52)+(7-

4)=18+3=6(条)，所以大船有：10—6=4(条)。

8.14184n+2

【思路引导】

观察已知图形可知：一张桌子可以坐6个人，此后每增加1张桌子，多增加4个座位，由此得出桌子数与

座位是的关系是4n+2；据此解答。

【完整解答】

根据分析填表如下：

桌子张数1234・・・n

可坐人数6101418・・・4n+2

【考察注意点】

9.白球黑球白

【思路引导】

数量最多的，摸到的可能性最大，数量最少的，摸到的可能性最小，数量相等的，摸到的可能性一样；据

此解答。

【完整解答】

3<11<21,所以白球最多，黑球最少，如果再摸一次摸到白球的可能性最大。

【考察注意点】

本题主要考查可能性的大小，解题时要明确数量最多的，摸到的可能性最大，数量最少的，摸到的可能性

最小，数量相等的，摸到的可能性一样。

10.25151

【思路引导】

观察图形可知，第一幅有4个。，第2幅有7个。，第3幅有10个0,第n幅有3n+l个。；据此解答。

【完整解答】

第8幅图中有：8X3+1=25（个）

第50幅图中有：50X3+1=151（个）

【考察注意点】

根据题干中特殊的例子，推理得出这组图形的一般规律，是解决此类问题的关键。

11.187

【思路引导】

假设全部为1元的，共有1X25=25元，比实际的53元少了：53—25=28元，因为我们把5元的当成了1

元的，每张少算了5—1=4元，所以可以算出5元的张数，列式为：28+4=7（张），那么1元的就有：25

—7=18（张）；据此解答。

【完整解答】

5元的人民币的张数：

（53-25X1）+（5-1）

=28・4

=7（张）

1元的人民币的张数：25—7=18（张）

【考察注意点】

此题属于典型的鸡兔同笼题，解答此题的关键是先进行假设，然后根据假设后的情况进行计算，即可得出

答案。

12.1512

【思路引导】

摆一个三角形需3根小棒

摆二个三角形需5根小棒

摆三个三角形时需要7根小棒

摆四个三角形时需要9根小棒

第一个三角形需要3根小棒，以后每增加1个三角形就需要增加2根小棒，当有n个三角形时小棒的数量

就是3+2(n-1),化简后得2n+l,找出小棒的根数与三角形个数直接的关系，进而求出25根小棒可以

摆出的三角形的数量。

【完整解答】

当n=7时，2n+l=2X7+l=15

2n+l=25

2n=24

n=12

【考察注意点】

解决本题关键是找出小棒的数量随三角形的数量变化的规律，写出通项公式，进而求解。

13.2525

【思路引导】

摆一个五边形需要5根小棒，可以写作：4X1+1；摆两个五边形需要9根小棒，可以写作：4X2+1；摆

三个五边形需要13根小棒，可以写作：4X3+1；……由此可推理得出一般规律解答问题。

【完整解答】

根据题干可得：摆一个五边形需要5根小棒，可以写作：4X1+1；

摆两个五边形需要9根小棒，可以写作：4X2+1；

摆三个五边形需要13根小棒，可以写作：4X3+1；

摆6个五边形需要：4X6+1=25(根)

淘气有101根小棒，

(101-1)4-4

=100+4

=25(个)

【考察注意点】

根据题意中已知图形的排列特点及其数理关系，推理得出一般的结论进行解答，是此类问题解答的关键。

14.32

【思路引导】

假设全部坐大船，则坐大船的人数为：10X5=50人，比实际多：50—42=8人，又因为每条小船比每条大

船少坐：10—6=4人，所以小船有：8+4=2条，进而即可求出大船数量。

【完整解答】

假设全部坐大船，小船有：

(10X5-42)4-(10-6)

=8+4

=2(条)

大船有：5—2=3(条)

【考察注意点】

此题属于鸡兔同笼问题，解这类题的关键是用假设法进行分析，进而得出结论。

15.2581从1开始，有几个奇数相加，就等于几的平方

【思路引导】

通过观察，发现从1开始，有几个奇数相加，就等于几的平方；1+3+5+7+9有5个奇数相加，所以1+

3+5+7+9=531+3+5+7+9HF17有9个奇数相加，所以1+3+5+7+9H-----F17=92,计算出结

果即可。

【完整解答】

由分析可得：

1+3+5+7+9=52=25

1+3+5+7+94------117=92=81

发现的规律是：从1开始，有几个奇数相加，就等于几的平方。

【考察注意点】

此题考查了学生的观察能力，以及培养学生总结规律的能力。

16.V

【思路引导】

观察图形可知，摆一个三角形需要3根小棒，摆两个三角形需要3+2根小棒；摆三个三角形需要3+2+2

=7根小棒，所以每多摆一个三角形就多用2个小棒，那么摆n个三角形就需要3+2(n-1)根小棒，即

2n+l根小棒，据此解答。

【完整解答】

由分析可知，摆5个三角形需要用小棒的根数是1+2X5=11(根)。原题说法正确。

故答案为：V

【考察注意点】

此题考查了数与形的结合，认真观察图形，找出图形的变化规律是解题关键。

17.错误

【完整解答】

略

18.V

【思路引导】

规律：小棒的根数=小正方形的个数义3+1,根据这样的规律计算后做出判断即可.

【完整解答】

摆一个正方形要小棒4根；

摆两个正方形要小棒(4+3)根，即7根；

摆三个正方形要小棒(4+3X2)根，即10根，

所以摆n个正方形要小棒：4+3X(n-l)=3n+l(根)；

n=10,3X10+1=31(根)；摆10个正方形一共需要31根小棒.原题说法正确.

故答案为正确

19.V

【完整解答】

略

20.J

【完整解答】

略

21.见详解

【思路引导】

根据图形可知，第一个图形是1个，第二个图形是1+1x4个，第三个图形是1+2x4个，那么第4个图形是

1+3x4个，即中间1个，它的上下左右各3个。

【完整解答】

【考察注意点】

解题的关键是根据图形找出规律，考查了学生逻辑推理的能力。

【完整解答】

略

23.1角3枚；2角11枚

【思路引导】

2元5角=25角，假设全是2角的邮票，则一共用2X14=28（角），比实际多用28—25=3（角），一枚2

角的比一枚1角的多用2—1=1角，所以1角共有：34-（2-1）=3（枚），进而用减法即可求出2角的邮

票张数。

【完整解答】

2元5角=25角

1角的有：

（14X2-25）+（2-1）

=34-1

=3（枚）；

2角的有:14—3=11（枚）;

答：1角的有3枚，2角的有11枚。

【考察注意点】

此题属于鸡兔同笼问题，解这类题的关键是用假设法进行分析，进而得出结论；也可以用方程进行解答。

24.租12辆大卡车和两辆小卡车最省钱，需要运费2670元。

【思路引导】

根据题意，可分三种方案：（1）全租大卡车；（2）全租小卡车；（3）大卡车和小卡车混合租，必须尽量租

用每吨单价低而且尽量满载，据此解答。

【完整解答】

（1）全租大卡车：

1324-10=13（次）-2（吨）

（13+1）X200

=14X200

=2800（元）

全租小卡车：

1324-6=22（次）

22X135=2970（元）

大卡车和小卡车混租：

大卡车每吨单价：200+10=20（元）

小卡车每吨单价：1354-6=22.5（元）

租12辆大卡车和2辆小卡车正好每次都载满：

132=10X12+6X2

200X12+135X2

=2400+270

=2670（元）

2670<2800<2970

租12辆大卡车和2辆小卡车最省钱。

答：租12辆大卡车和两辆小卡车最省钱，需要运费2670元。

【考察注意点】

本题考查优化思想在数学中的应用，在这类题目中，要尽量做到租用每吨单价低而且尽量满足，这样最经

济。

25.蚂蚁34只，蜘蛛16只

【思路引导】

假设全是蜘蛛，则一共有腿：50X8=400条，实际只有332条腿，还少了：400—332=68条腿，把一只蜘

蛛换成一只蚂蚁会少两条腿，即68+2=34只，由此即可知道34只蜘蛛换成蚂蚁，则蚂蚁有34只，蜘蛛:

50-34=16只