九师联盟2024届高三12月质量检测数学试卷及答案（新教材-L）

高三数学

考生注意：

1.本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟。

2.答题前,考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。

3.考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题

目的卷案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内

作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。

4.本卷命，范面;集客：常•用履%由鼠式'、1£号数:=角•函龌:。』角形、平面向量、复数、数

列、立体几何、直线与圆、圆锥曲线。

一、选择题:本题共8小题,每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

求的。

1.已知集合A={yk(十)1£[-5,0)},8={必2|k1083工,尤4},则4|"|8=

A.{2,3}B.{1,2,3}

C.{y\l<y^log332}D.{yl0<y<log332}

2.已知复数z满足河=2—i,则Z=

N—21

A73.o7.3.

「37.3,7.

c~~2~~2lD--T+71

3.已知直线Z1:az+2y-a+l=0,直线l2:工+(。一1下一2=0,则“a=2”是7〃。”的

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

4.已知sin(6—金)=福•，贝I]sin(2e+gj=

A.4-B.乙C.—D.-J

olo10o

5.已知P为双曲线C：z2一¥=i右支上的一个动点，若点P到直线y=2z+5的距离大于m恒成立，则

实数m的取值范围为

A.(-8,5]B.(―8,痣]C.(—oo,2]D.(—oo,l]

6.在平面直角坐标系箱、中,4(1,0)1(0,3),以3,0),动点P满足|守|=1,贝ij|市+次+。方|的最

大值是

A.710+1B.5C.2&+1D.6

7.已知棱长为4的正四面体A-BCD,用所有与点A,B,CD距离均相等的平面截该四面体，则所有截

面的面积和为

A.16+4-73B.12+4悟

C.85/3D.473

【高三12月质量检测•数学第1页(共4页)】新教材一L

8.若/Q)为R上的奇函数，/(z)为其导函数，当H>0时,+恒成立，则不等式

X3/(^)+(2X-1)3/(1-2J-)<0的解集为

A.佶,1)

B.(1,3)

C.(—00,1)U(3,+°0)

D.(-8,g)U(l，+8)

二、选择题:本题共4小题,每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部

选对的得5分,部分选对的得2分，有选错的得0分。

9.已知曲线E：/+zy+J=4,则

A.E关于原点对称B.E关于直线对称

C.E关于》轴对称D.(2,—2)为E的一个顶点

10.已知函数/(1)=&sin(Mr+w),g(z)=&coscar,cd>0,^E［0,“)，它们的最小正周期均为n,/(x)

+g(H)的一个零点为一专，则

A.f(z)+g(*r)的最大值为2

B./(N)+g(z)的图象关于点(一专,0)对称

CJ(z)和g(z)在［与窄］上均单调递增

D.将f3图象向左平移点个单位长度可以得到g(z)的图象

11.已知F为抛物线(：,=4工的焦点,A(皿，yl),B(z2，y2)是C上两点,O为坐标原点,M为z轴正半

轴上一点，过B作C的准线的垂线，垂足为B,,AB的中点为E,则

A.若|AF|=3,则AAOP的面积为他

B.若|BBJ=21OF|,则四边形OFBBi的周长为3+西

C.若|AB|=6,则E到y轴的最短距离为3

D.若直线AB过点M(2,0),则E为定值

12.如图，已知正三棱台ABC-AiBiG的上、下底面的边长分别为4和6,侧棱长为2,以点A为球心，

2次为半径的球面与侧面BCGB1的交线为曲线F,P为「上一点，则

A.CP的最小值为2"一2

B.存在点P,使得AP±BC//

C.存在点P及BC上一点Q,使得AP〃A】Q...\

D.所有线段AP所形成的曲面的面积为中

三、填空题:本题共4小题,每小题5分，共20分。

13.已知平面向量a,b满足|a|=2|”=2,|a—b|=2/ijcos〈a,b〉=.

14.已知实数满足(工-1)2+丁=1,则由的取值范围为.

15.已知函数/(2)=1。&与•10&m，若对不相等的正数©，&，有/(©)=/(生)成立，则1+9的最小

04/X\JC2

值为.

16.已知椭圆C：£+£=l(a>6>0)的左、右焦点分别为F1，F?,以线段FIF2为直径的圆与C在第一、

第三象限分别交于点A,B,若|AB|&4|BF||，则C的离心率的取值范围是.

【高三12月质量检测•数学第2页(共4页)】［新教材一L

四、解答题:本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（本小题满分10分）

如图，在△ABC中,AB=2,AC=1,过B,C分别作AB,AC的垂线交于点D.

⑴若BD=3,求cosAi

（2）若ND=60°,求CD.

18.（本小题满分12分）

已知各项均为正数的数列｛%｝XazX…X%，且a“+n“=l.

（1）求｛a.｝的通项公式；

（2）若6.=&坦-1,｛乩｝的前〃项和为S“，证明

19.（本小题满分12分）

已知动点p到点F（畲,0）的距离是到直线工=咯的距离的西倍，记动点P的轨迹为曲线r

（1）求r的方程；

（2）过点A（l,l）能否作一条直线/，使得，与「交于B,C两点，且A是线段BC的中点？若存在，求

出直线I的方程;若不存在，说明理由.

【高三12月质量检测•数学第3页（共4页）】I新教材一L

20.(本小题满分12分)

如图，在三棱柱ABC-A出G中，6=CB=2,CAJ_CB,D,E分别是CB,CA的中点，GD=GE=2.

⑴若平面ACGA」平面BCGBi，求点C,到平面ABC的距离;

⑵若CG=&，求平面ACGAi与平面BCGBi夹角的余弦值.

21.(本小题满分12分)

已知函数/(j-)=ln(x+l)—X2—l(aGR).

(1)当a=-2时，存在Ji[0,1],使得/(xi)—/(JC2)2M,求M的最大值；

(2)已知小，”是〃了)的两个零点，记，(幻为/(z)的导函数，若m,〃e(O,+8),且

证明：/(么铲)V0.

22.(本小题满分12分)

已知椭圆r：£+£=l(a>6>0)的长轴长为2西，离心率为竿，斜率为A的直线/与椭圆「有两个

不同的交点A,B.

(1)求「的方程；

(2)若直线I的方程为y=z+t,点关于直线I的对称点N(与M不重合)在椭圆厂上,求t的值;

(3)设P(—3,0),直线PA与椭圆F的另一个交点为C,直线PB与椭圆F的另一个交点为D,若点

C,D和点Q(—'三点共线，求k的值.

【高三12月质量检测•数学第4页(共4页)】I新教材一【」

高三数学参考答案、提示及评分细则

1.A由题意知人=仃|1＜丁＜32},当1£4时,0〈1083支忘1。8332£（3,4）,所以B={1,2,3},所以Ap|B={2,3}.故

选A.

2.C由题意得z+i=（2—i）（2：—2i），所以（-l+i）z=-2—5i,所以之=，,故之=；_：W：_:—=­笠+

1~i,所以之=—-，i.故选C.

3.C若。=2,则3：22+2y—1=0"2:力+6―2=0,易知3〃。，所以％=2”是%〃心”的充分条件;若卜"h,则

a（a—1）—2=0,且一2若M—a,所以。=2,所以、=2”也是&〃/的必要条件，故％=2”是乜〃/的充要条件故

选C.

4.Dsin（2^H--）=sin「2（9—卷）H--y=cos2（夕——居）=1——2sin2（6——卷）—1——2乂4=—1-.故选D.

oI-J,乙乙_IJL乙,乙X0O

5.B双曲线C的渐近线方程为，=±2z,直线y=2x+5与其中一条渐近线y=2z平行，二者之间的距离d=।5"°।=

V5

用，且直线，=2式+5在直线，=2z的左边，由题意知点P到直线y=2z+5的距离大于西，所以以或1所以实数小的

取值范围为（-3,西［.故选B.

6.DEh|CP|=1,得动点P的轨迹是以C〈3,0）为圆心，以1为半径的圆，其方程为＜z—3〉2+，2=1,设「（处3,），则

|公+5§+殍|=，（z+l）2+（，+3）2,表示圆C上的点P到点＜—1.一3）的距离，所以I就+也+/1g=

V（3+1）2+32+1—6.故选D.

7.B与点A,B,C,D距离均相等的平面可分为两类,一类是平面的一侧是1个点，另外一侧有3个点（如图1）,此时截面

过棱的中点，且与一个面平行，故截面三角形与平行的面（三角形）相似，相似比为方，故其面积为/x}x4X4sin60"

=而，这样的截面共有4个，故这类截面的面积和为4①,另外一类是平面的两侧各有2个顶点（如图2）,因为正四面体

对棱垂直，易知四边形PQMN是边长为2的正方形，其面积为4,这样的截面共有3个，故这类截面的面积和为12,故符

合条件的截面的面积和为12+473.故选B.

AA

/Ax/Ax

B乙———------------C,B△~NMc

图1图2

8.D令g（i）=］"（］），则g'（］〉=3冗2/（%）+^3//（1）=/\_xf'（%）+3/（%）］,由题意知当i＞0时,g，（久）＞0,故

g（l）在（0,+8）上单调递增.因为/（1）为奇函数，所以g（—%）=（―%）3/（一力）=一久3•匚―#］）］=£3/（彳）=

g（支），即g（£）为偶函数，所以原不等式变为1）,所以g（|支|）＜g（|2^-l|），所以I尤IV

|2%—1|，解得竟＜《■，或1〉1,故原不等式的解集为（一8,十）U（1,+8）.故选D.

9.ABD用一”和一y替换方程中的1和y,化简后方程不变,故曲线E关于原点对称，故A正确;用y替换方程中的了，

同时用1替换方程中的、，方程不变，故E关于直线丁=1对称，故B正确;用一支替换方程中的1,方程变为x2-xy+

V=4,与原方程不同，故E不关于了轴对称，故C错误;用一比替换），同时用一v替换元，方程不变，故E关于直线了=

（%=2,（%=—2,

一尤对称，联立，解得或由顶点的定义知，（2,—2）为E的一个顶点，故D正确.故

屋2+%y+y29=4,1'=-21）=2,

选ABD.

【高三12月质量检测-数学参考答案第1页（共6页）】|新教材一L|

10.BCD因为的最小正周期为冗，故孑=兀，所以3=2,所以/（1）+8（£）=&沦（2£+中）+氏OS2上又

/（力）+g（z）的一个零点为■，所以V^sin（—f'+e）+用cos（—）=0,即sin（中—）=—，又96匚0,江），故

（P———，所以少=/，所以f（x）=J2sin（2x~\-）,g（i）=4^cos2z,所以/（z）+g（z）=42,sm（^2x~\~~）+

72cos2i=西（-^-sin2%+与cos2%）=痣sin（2%+g），故匚/（久）+g（l）Umax=乃，又/（一冷）+g（一当）=。,故

/8+g9的图象关于点（一学,0）对称，故A错误，B正确；易求/9的单调递增区间为

[/+垢,祸■+上?（：]（氏ez）,g（l）的单调递增区间为[—全+〃兀,改冗]（〃ez）,二者的交集为[+加冗，相兀]

（mGZ）,又[筝果][[一++加兀,小]（机-），故C正确；将八1）的图象向左平移/个单位长度，得y=

A/2-sin^2（I++）H-]=4^sin（2rr+）=4^cos2x=g（j：），故D正确.故选BCD.

11.AD对于A,|AF|=l+li=3,则=2,所以|2|—2^/2"，所以S^AOF=~^~IOF|T2|=十X1X2A/2^—A/2^，故A

正确;对于B,由题意知|OF|=1,且BFXz轴，由抛物线的定义知|BR|=\BB,\=2,故|第I=2,所以B1（一1,北），

所以|OB|，所以四边形OFBBi的周长为西+1+2义2=5+"，故B错误;对于C,过A,E

分别作C的准线的垂线，垂足分别为A,Ei,则|班|=方（|AAi|+|BB]|）=母（|AF|十|BF|）>y|AB|=

3,当且仅当直线AB过点F时等号成立,所以点E到y轴的最小距离为3—1=2,故C错误;对于D,设直线AB的方

3=4工，

程为工=冲十2,联立方程，得消去z并整理，得力一4切一8=0,则△=16/+32>0,且北十北=七,22=

废=切+2,

f卅]4]=],]=],]=—十一=

8,收|A4A|2十|MB|2—（乃一2）2+尤+（论—2〉？+丘一（1+—）乂+（1+〃）%一<1+/）乂必"

2

（"A号:MF=HT，即吊甲+小为定值，故D正确•故选AD.

12.ACD延长正二棱台的三条侧棱交于点O,取BC的中点D,连接OD交3G于E,则

E为BC的中点，由题意得了篝杯=衰=得，所以04=4,所以AO=6,所以OD

=AD=3乃,OE=2DE=2痣，所以cos/AOD=^^^^=§，所以AE=

♦AO2+OE2—2AO•OEcos/AOD=2痣，所以AD2=A£?+DE2,所以AE_LDE,易

证BC_L平面ADE,又AEU平面ADE,所以BC_LAE,又DEnBC=D,BC,DEU平面

BCGBj，所以AE，平面BCGBL又球A的半径为2斤，故在侧面BCG5上的截面圆的半径r=

万产二互而^=2,故曲线r是以点E为圆心，以2为半径的两段圆弧0和命（如图所示，其中F,G为BC

上到点E距离为2的点）.CE=，32十（点»=2偌,故CP的最小值为2偌一2,故A正确；因为AE_L平面BCC.B,,

要使AP_LBC,则P在线段DE上，又P在羲1和伞上，由图知,二者无公共点，故不存在点P,使得AP±BC,故B错

误;当点P在点G处时,AP〃平面ABiG,过点A,P,A]作平面必与场G有公共点Q,故存在P以及SC上的点

Q”使得AP〃AiQ,故C正确;易求得NBiEF=/GEG=-1，所以羡'和晶的长均为学，所有线段AP所形成的曲面

的展开图为两个扇形，其面积和为2xjx专X2〃=生歙，故D正确.故选ACD.

13.3因为|a-b\=2,所以a2—2a•b+/=4,又|a|=2|6|=2,所以a•卜=得,所以cos<a.Z>>=-i―：：，，।=：.

14.[—与，专]设尤.=K则y=k（i+l）,由题意知，直线y=k（i+l）与圆（i—I*+y=1有公共点，故

【高三12月质量检测•数学参考答案第2页（共6页）】I新教材一口

国芸寺"wi，解得一名W叔与，故品的取值范围为［—与，钊.

15.y"工)=log3-y-logs=Clog3^-1)Clog3^-3)=(logsz)？-41og3z+3,因为f3〉=f5)，则logs©+

10年，当且仅当小=：，即

噫处=4，所以1*5=4,即冗皿=81.又为56（0,+oo），所以需+高》2

解得0＞考；当2a2匕2c2Wf时，解得50c2W34",即,即,所以彳＜忘^^.

17.解：（1）由题意，得/ACD=/ABD=90°,

所以A+D=180°,/D

由AB2+BD2=CD2+AC2得CD=2^3.................................................................................1分

在AABC中，

由余弦定理，得BG=AB：'+AC2—2AB・ACcosA,

即BG=5—4cosA,...................................................................................................................2分

在ADBC中，由余弦定理，得BGuBD+CD，—2BD・CDcos(180°—A)，\

_A'-----------------

即BG=21+129cosA,..............................................................................................................................................................3分

两式联立消去BG,得(4+12西)cosA=—16,所以cos4=之萨&.....................................5分

(2)因为A+D=180°*D=60",所以A=120°,

由余弦定理，得BC2=5—4cos120°=7,所以BC=77...........................................................................................................6分

在^ABC中，由正弦定理，得马或二焉,

所以sin/ABC=4，..................................................................................................................................................................7分

又NABD=NABC+/CBD=90°,所以cos/CBD=sinNABC=

2次'

所以smSD=Jl—（系）=号,...............................................................

五八nn，、巾CDBC由［“厂nBC,sin^/CBD5痣iczv

在△DBC中，./—)/=十而，所以C0=--------------------=="•.............................................................................1°分

sin^CBDsinUsmD3

18.(1)解:因为④+H〃=l,

当n=1时,+H1=1,由Iln—6Z1Xil2XXtz„知III—£Z1，所以III—<21=4................................................................1分

当7222时代入(2"+n〃=l,得Y^-+IL=1,......................................................................................................2分

lln1U〃1

两边同除以n〃，得—=i,.................................................................................................................................................3分

【高三12月质量检测•数学参考答案第3页（共6页）】|新教材一口

所以｛』｝是以2为首项，1为公差的等差数列*.....................................................4分

所以看=2+（%—1）Xl=%+1,所以.....................................................5分

又<2"+n”=1,所以aa=1—IL=1­工]......................................................6分

⑵证明：由⑴得"言T=“"L）=U_w.........................................7分

当G3时,S=母（1—母）+1（十一5）+/（母一1）+•••+/（占一等）+言（看一上）

=.（1—.+.—0+：—:+…+!—也）

=方（1+3—上一土）二十（停一告一W），...................................9分

而当％=1,2时,Si=1■,Sz=费也满足上式，所以S〃=1■（1—）•.........................10分

11Q

因为％+]>。”+2>。,所以S“<N,

易知数列｛S｝单调递增，所以S〃>S]=等,

所以V-|-..............................................................................12分

19.解：（1）设P（z,y）,因为F（右,o）,所以|PF|=，（]—同）2十?2,.................................1分

点P到直线工=恪的距离”=工一电，...........................................................2分

J5

由题意知\PF\=kd,即，（％—而）？+已=后x—他，

5

化简,得兴一千=1,即r的方程为/—£=i......................................................4分

（2）假设存在直线I满足条件，设B（乃小），C（l2，2），则

这一号=1,忌一叠=1,.........................................................................5分

所以宕一必一例J2=0,即5+?2）（1]-+62[（M212,...............................6分

因为A为线段BC的中点，所以以产=1,"尹=1,即见+及=2,纨+2=2,

所以2（7]—及）="叼贮，所以地口=4,即/的斜率为4,.......................................8分

411一22

所以直线/的方程为V—1=4（1—1）,即）=4]—3..................................................9分

—武=1

联立方程，得彳4'消去了并整理得12/-24久+13=0,

〔,=4%-3,

△=（-24）2—4X12X13=-48V0,.............................................................11分

所以直线/与r无公共点，这与直线/与r交于B,c两点矛盾，

故不存在过点A的直线满足条件................................................................12分

20.解：以C为坐标原点,CA,CB所在的直线分别为支轴,y轴建立如图所示的空间直角坐标系，

则A（2,0,0），B（0,2,0），D（0,l,0），E（l,0,0）,...................................................1分

设G（城,6,c），因为CiZynaZ+e—l）2+c2,GE2=（a—1）2+62+C2,GD=GE,

所以（2=6,则G（a,a,c）,CA=（2,0,0）,

CB=（0,2,0）,CCi=（<2,<2,c）....................................................................2分

【高三12月质量检测•数学参考答案第4页（共6页）】|新教材一U

।n-CB=O,（22=0,

设平面BCGBi的一个法向量n=（g小，软），则《一即

（n•CCi=0,1ali+a）i+CNI=0,

令=c，则加=0,2i=­a,所以〃=（c,0,la）,...................................................3分

Im-CA=0,（2x2=0，

设平面ACGA1的一个法向量”=（也，Z，22）,则＜一即

m•CCi=0,1aiz+ayz+c22=0，

令？2=c，则1=0,22=—a,所以帆=（0,c,—a）......................................................4分

因为平面ACC1Al_L平面BCC1B1,所以n±m,

所以"机=0,即（一々）2=0,所以a=0,

所以G（0,0,c）,所以点G在之轴上，即CGJ_平面ABC,.................5分

因为CAU平面ABC,所以CGXCA,

又GE=2,CE=1,所以CGn/GE2—CE2=偌,

故G到平面ABC的距离为偌..........................................6分

（2）由（1）知G（a,a,c）,由CG=Q,则+笳+.N=。,

因为GE=2,所以y（a-l）2-ka2+c2=2,

所以a——坐，所以Ci（—三,一方堂）..........................8分

由（1）知平面BCC出的一个法向量”=（啰,0,1），平面ACGA1的一个法向量m=（0,呼,3），..........10分

设平面ACGAi与平面BCC13的夹角为出

则cos9=Icos<m,n>|=|,L7?ll,T=

即平面ACCAi与平面BCC出的夹角的余弦值为.............................................12分

21.(1)解：当a=—2时,/(工)=岛(£+1〉一工2+2工一1,

则/(了)的定义域为(一1,+8)，且/<a：)=告一2z+2=5W，.....................................1分

当zC匚0,121时"'0)>0,所以/<工)在匚0,11上单调递增，

所以/〈工)在［0,121上的最大值为/(l)=ln2,最小值为/(0)=—1,...................................3分

由题意知)—fCx2)Zlmax=/(l)max—/(力)min=亩2+1,

故M的最大值为In2+1........................................................................4分

2

(2)证明：由题意知—m—am—1=0"(〃)=ln(/?+l)—/—an—1=0,

所以/Cm)—/(n)=In7H-(加+〃)Cm—n)—adm—n)—0,

所以Q=---In'"士'一(加+")..................................................................6分

m—n%十1

因为/(%)=/；］-2%-二,

所以f)=-2—(徵+〃)­a=­।I-<m+/2)------In"亡心+(m+n)

\N7租十〃十N"?十〃十N9m-nX十】

yzz+1

=—2_______1—in..........................................................8分

m+n+2m-n〃+1'

所以要证/（吗N）＜0,只要证+2——Lin茨异＜0,

\乙）加十〃十Nm—n〃十1

因为所以只要证驾彗十ln唁〈0,.....................................................9分

m-rn~r^n~\~1.

令%=；：；，则0＜力＜1，即证：+：+lnt＜ZO，

【高三12月质量检测•数学参考答案第5页（共6页）】|新教材一口

人/、_2—2^11/八/—1、mrl'z、_—2(%+1)—2(1—Z)I1_(t—1)21八人

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