2024届新高考数学一轮复习配套练习 正弦定理、余弦定理的应用

2024届新高考数学一轮复习配套练习专题6.4正弦定理、余弦定理

的应用

练基础

ah

1.（2021•江西省万载中学高一期末（理））在,.ABC中，已知4+人=----+-----,则/ABC的形状一

tanAtanB

定是（）

A.等腰三角形B.直角三角形C.等边三角形D.等腰或直角三角形

/7h

2.（2021•江西省万载中学高一期末（理））在,..ABC中，已知。+匕=----+-----,贝匕ABC的形状一

tanAtanB

定是（）

A.等腰三角形B.直角三角形C.等边三角形D.等腰或直角三角形

3.（2021•辽宁高三其他模拟）英国数学家约翰•康威在数学上的成就是全面性的，其中“康威圆定理”是他

引以为傲的研究成果之一.定理的内容是：三角形ABC的三条边长分别为mb,c,分别延长三边两端，

使其距离等于对边的长度，如图所示，所得六点A，。2,瓦,A?，。”与仍在一个圆上，这个圆被称为康威圆.现

有一边长为2的正三角形，则该三角形生成的康威圆的面积是（）

28%32万

4.（2021•黑龙江哈尔滨市・哈尔滨三中高三其他模拟（理））某气象仪器研究所按以下方案测试一种“弹射型”

气象观测仪器的垂直弹射高度：在。处（点。在水平地面A80的下方，0为CH与水平地面A3。的交点）

进行该仪器的垂直弹射，水平地面上两个观察点A,8两地相距100米，ZBAC=60°,其中A到。的距

离比B到C的距离远40米.A地测得该仪器在。处的俯角为NQ4C=30°,A地测得最高点H的仰角为

NOA〃=45°,则该仪器的垂直弹射高度8为（）

H

A.210米B.2106米C.（210+2106）米D.420米

5.（2021•山东省青岛第一中学高一期中）如图所示，为测量山高用M选择4和另一座山的山顶C为测量

观测点，从A点测得M点的仰角NMAN=6（）。,。点的仰角ZC4B=30°以及NM4C=75。,从。点测得

ZMC4=60°,若山高BC=100竝米，则山高MN等于（）

A.300米B.360米

C.240米D.320米

6.（2021.四川成都市.成高一期中）如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西匀速行驶，在公路北

侧远处一座高900米的山顶D的测得点A的在东偏南3（）方向上过•分钟后测得点B处在山顶地的东偏南

60方向上，俯角为45，则该车的行驶速度为（)

D

A.15米/秒B.15G米/秒

C.20米/秒D.20G米/秒

7.（2021.山西临汾市.高三其他模拟（文））说起延安革命纪念地景区，可谓是家喻户晓，它由宝塔山、枣

园革命旧址、杨家岭革命旧址、中共中央西北局旧址、延安革命纪念馆组成.尤其宝塔山，它可是圣地延安

的标志，也是中国革命的摇篮，见证了中国革命的进程，在中国老百姓的心中具有重要地位.如图，宝塔山

的坡度比为近：3（坡度比即坡面的垂直高度和水平宽度的比），在山坡A处测得NC4Q=15°，从A处沿

山坡往上前进66m到达3处，在山坡8处测得NCBE>=30°,则宝塔的高为（）

A.44mB.42mC.48mD.46m

•一1

8.（2021•浙江高一期末）在AABC中，AB=2,若3c-。二一，则NA的最大值是.

2

9.（湖北高考真题））如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到4处时测得公路北侧一山顶〃在

西偏北30。的方向上，行驶600m后到达8处，测得此山顶在西偏北75。的方向上，仰角为30。，则此山的高度

CD=m.

10.（宁夏高考真题）为了测量两山顶M,N间的距离，飞机沿水平方向在A,B两点进行测量，A,B,M,N

在同一个铅垂平面内（如示意图），飞机能够测量的数据有俯角和A,B间的距离，请设计一个方案，包括：

①指出需要测量的数据（用字母表示，并在图中标出）；②用文字和公式写岀计算M,N间的距离的步骤.

练提升

1.（2021•四川自贡市♦高三三模（文））如图，在山脚A处测得山顶P的仰角为a,沿倾角为尸的斜坡向上

走b米到8处，在3处测得山顶尸的仰角为7（A、B、P、Q共面）则山高尸等于（）米.

Z?sinasin(y-£)

sin(/-a)

sin。一力)

bsinasin(y-a)

C5+Z?s.inyLsin（6Z）-/7）

.bsinysin（y—,）

D.bsmQ+-----7--―；--

sin（y-a）

2.（2021•黑龙江哈尔滨市第六中学校髙三月考（理））在如图所示四边形A8CD中，AD=DC,AC=56，

3

BC=-y[2,ZADC=\20°,/BCD=75°,则四边形A6C£＞的面积为.

2

3.（2021•合肥高三其他模拟（文））南宋数学家秦九韶著有《数书九章》，创造了“大衍求一术”，

被称为“中国剩余定理”.他所论的“正负开方术”，被称为“秦九韶程序”.世界各国从小学、中学到大学的数

学课程，几乎都接触到他的定理、定律和解题原则.科学史家称秦九韶：“他那个民族、他那个时代，并且

确实也是所有时代最伟大的数学家之一在《数书九章》中提出“三斜求积术“，即以小斜累，并大斜累，

减中斜寨，余半之，自乘于上：以小斜塞乘大斜帮，减上，余四约之，为实：一为从隅，开平方得积可用

7Tc2+O2-h2~='

-C2a2-（---------------）2（其中a,h,c,S为三角形的三边和面积）表示.在一A3。中，a,

J42

，,、2c2,

b,c分别为角A、B、C所对的边，若a=3,且Z?cosC-ccos8=-----则ABC面积的最=大值为.

3

4.（2021•河南高二月考（文））为测量山高MN.选择A和另一座山的山顶C为测量观测点.从A点测得N

点的仰角NM4N=30°,C点的仰角NC46=60°以及NM4C=105°,从C点测得NNC4=30。.已知山

高BC=150米.则所求山高MN为米.

N

5.（2021.齐齐哈尔市第八中学校高一期中）在,..ABC中，已知”纟

asinB-siM

COS(A-JB)+COSC=1-COS2C.

（1）试确定，A6C的形状;

（2）求『的取值范围.

7T

6.（2021.重庆市长寿中学校高三其他模拟）如图四边形A8CD中，ZDAB=ZDCB=~,AB=3,BC=2,

2

/ADC、ZA8C€（0,乃），.

（1）求OB；

（2）求△/>4c面积的最大值.

从①%8c=之亘且乙转。为锐角；②AC2=AB2+5C2—AB.BC；③岡一囲="这三个条件中任

选一个补充在上面的问题中并作答

7.（2021.全国高一专题练习）如图，为了检测某工业区的空气质量，在点A处设立一个空气监测中心（大

小忽略不计），在其正东方向点8处安装一套监测设备.为了使监测数据更加准确，在点C和点。处，再

分别安装一套监测设备，且满足AO=2km,AB=4km,BD=BC,NDBC=90°,设ND4B=8.

I)

dH

2万

（1）当。=《-，求四边形ABC。的面积；

（2）当。为何值时，线段AC最长.

8.（202卜江苏高一月考）缉私船在A处测出某走私船在方位角为30。（航向），距离为10海里的C处，并测

得走私船正沿方位角150°的方向以9海里/时的速度沿直线方向航行逃往相距27海里的陆地D处，缉私船

立即以v海里/时的速度沿直线方向前去截获.（方位角：从某点的指北方向线起，依顺时针方向到目标方向线

之间的水平夹角）

（1）若u=21,求缉私船航行的方位角正弦值和截获走私船所需的时间；

（2）缉私船是否有两种不同的航向均恰能成功截获走私船？若能，求v的取值范围，若不能请说明理由.

9.（2021・广东汕头市•高三二模）随着人们生活水平的不断提高，人们对餐饮服务行业的要求也越来越高，

由于工作繁忙无法抽出时间来享受美食，这样网上外卖订餐应运而生.现有美团外卖送餐员小李在A地接到

两份外卖单，他须分别到8地、。地取餐，再将两份外卖一起送到C地，运餐过程不返回A地.A,B,C,D

各地的示意图如图所示，BD=2km，AO=2gkm，ZABD=\20°,NOCB=45°,NCDB=30°,

假设小李到达8、。两地时都可以马上取餐（取餐时间忽略不计），送餐过程一路畅通.若小李送餐骑行的平均

速度为每小时20千米，请你帮小李设计出所有送餐路径（如：ABfBDfDBfBC）,并计算各种送餐

路径的路程，然后选择一条最快送达的送餐路径，并计算出最短送餐时间为多少分钟.（各数值保留3位小

数）（参考数据：V2«1.414.如之1.732）

10.（2021•江苏扬州市•扬州中学高三其他模拟）如图，某生态农庄内有一直角梯形区域ABC。，AB//CD,

AB1BC,45=3百米，CD=2百米.该区域内原有道路AC，现新修一条直道DP（宽度忽略不计）,

点P在道路AC上（异于A,C两点），ZBAC=乡，/DPA=6.

（1）用。表示直道DP的长度；

（2）计划在△AZ中区域内种植观赏植物，在-CDP区域内种植经济作物.已知种植观赏植物的成本为每平

方百米2万元，种植经济作物的成本为每平方百米1万元，新建道路。P的成本为每百米1万元，求以上

三项费用总和的最小值.

练真题

1.（2021•全国高考真题（理））己知耳，行是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且

/6尸爲=60。,|尸制=3|尸闾—它的离心率为（）

A.—B.叵C.V?D.V13

22

2.（2021•全国高考真题（理））2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848.86

（单位：m）,三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一.如图是三角高程测量法的一个示意图，现有A,B,

C三点，且A,B,C在同一水平面上的投影满足=45°,厶'3'。'=60°.由C点测得

B点的仰角为15°,8B'与CC的差为100：由8点测得A点的仰角为45。，则A,C两点到水平面AB'C'

的高度差AA'—CC'约为（6。1.732）（）

C.446D.473

3.（2021.全国高考真题（理））魏晋时刘徽撰写的《海岛算经》是关测量的数学著作，其中第一题是测海岛

的高.如图,点E，H,G在水平线AC上，OE和柘是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度,

称为“表高”,EG称为“表距”，GC和EH都称为“表目距”，GC与EH的差称为“表目距的差”则海岛的高

AB=()

表高x表距D表高x表距

A.+表高,表目距的差一表冋

表目距的差

八表高x表距c表高x表距十昨

'表目距的差一衣,表目距的差''

4.（2021.浙江高考真题）我国古代数学家赵爽用弦图给出了勾股定理的证明.弦图是由四个全等的直角三角

形和中间的一个小正方形拼成的一个大正方形（如图所示）.若直角三角形直角边的长分别是3,4,记大正方

S.

形的面积为5,小正方形的面积为$2,则:

32

5.（2021.北京高考真题）已知在「ABC中，c=2/?cos3,C=—.

（1）求B的大小；

（2）在下列三个条件中选择一个作为已知，使_厶6c存在且唯一确定，并求出8C边上的中线的长度.

①c=J%；②周长为4+26；③面积为5凶産=苧；

6.（上海高考真题）如图，三地有直道相通，."=5千米，＜。=3千米，3。=4千米.现甲、

乙两警员同时从M地出发匀速前往3地，经过r小时，他们之间的距离为（单位：千米）.甲的路线是

AB，速度为5千米/小时，乙的路线是，速度为8千米/小时.乙到达3地后原地等待.设「=:：时乙

到达C地.

Q

（1）求r；与/仏）的值；

（2）已知警员的对讲机的有效通话距离是3千米.当心Ertl时，求/，：）的表达式，并判断户：）在a1］上

得最大值是否超过3?说明理由.

专题6.4正弦定理、余弦定理的应用

练基础

ah

1.（2021•江西省万载中学高一期末（理））在「A6c中，已知〃+/?=-----+-----，则「ABC的形状一

tanAtanB

定是（）

A.等腰三角形B.直角三角形C.等边三角形D.等腰或直角三角形

【答案】B

【解析】

先通过“边化角”，再通过辅助角公式，即可求出答案.

【详解】

sin/XsinR

解：由正弦定理得sinA+sin8=-------+--------=cosA+cosB,

tanAtanB

整理得：sinA-cosA=一sin3+cosB

即V2sin（A~3—1）,又因为A,5£（0,%），所以（厶一1

所以（厶一?）=一（8一?），移项得：A+8=5,所以三角形一定为直角三角形.

故选：B

2.（2021•江西省万载中学高一期末（理））在.ABC中，已知。+厶=一乙+'一，则；ABC的形状一

tanAtanB

定是（）

A.等腰三角形B.直角三角形C.等边三角形D.等腰或直角三角形

【答案】B

【解析】

先通过“边化角”，再通过辅助角公式，即可求出答案.

【详解】

sin4sin

解：由正弦定理得sinA+sin8=-------+-------=cosA+cosB,

tanAtanB

整理得：sinA-cosA=一sin3+cosB

）=-—又因为A3€（O,不），所以713乃

即0sin[A-^-G

71"

一,-

44

所以=-移项得：A+5=',所以三角形一定为直角三角形.

故选：B

3.（2021・辽宁高三其他模拟）英国数学家约翰•康威在数学上的成就是全面性的，其中“康威圆定理''是他

引以为傲的研究成果之一.定理的内容是：三角形ABC的三条边长分别为mb,c,分别延长三边两端，

使其距离等于对边的长度，如图所示，所得六点4,。2,4,4,0,为仍在一个圆上，这个圆被称为康威圆.现

有一边长为2的正三角形，则该三角形生成的康威圆的面积是（）

28%

A.9nC.——

【答案】C

【解析】

由“康威圆定理”可知的康威圆圆心即为三角形内切圆的圆心，正三角形内切圆的圆心即为中心，据此可得圆

的半径，进一步可求其面积.

【详解】

康威圆的圆心即为三角形内切圆的圆心，正三角形内切圆的圆心即为中心，

所以其康威圆半径为+32=，匡，故面积为万「陛］.

故选:C.

4.（2021•黑龙江哈尔滨市・哈尔滨三中高三其他模拟（理））某气象仪器研究所按以下方案测试一种“弹射型”

气象观测仪器的垂直弹射高度：在。处（点C在水平地面A3。的下方，O为CH与水平地面的交点）

进行该仪器的垂直弹射，水平地面上两个观察点A,3两地相距100米，N3AC=60。，其中A到。的距

离比3到。的距离远40米.A地测得该仪器在C处的俯角为NQ4C=30°,A地测得最高点H的仰角为

NOAH=45°,则该仪器的垂直弹射高度CH为()

A.210米B.210百米C.(210+210G)米D.420米

【答案】C

【解析】

在,.A3C中利用余弦定理求出AC,进而在厶厶。。中可求出0AoC,再在△AO”中求出OH,即可得

解.

【详解】

设3C=x,所以AC=x+40,在，ABC中，44C=60。，AB=100,所以，

x2=1002+(X+40)：-2X100X(X+40)XCOS60,即x=380，AC=x+40=420.

在放厶40。中，NQ4C=3O°,所以OC=210,04=2106，又在RjAO”中，NQ4H=45°,所

以。"=04=2106，因此C〃=OC+0"=210+21OG.

故答案为：C.

5.(2021•山东省青岛第一中学高一期中)如图所示，为测量山高MN,选择A和另一座山的山顶C为测量

观测点，从A点测得加点的仰角NM4N=6()。,。点的仰角ZCAB=30°以及NM4c=75。,从。点测得

ZMC4=60°,若山高6。=100&米，则山高MN等于()

A.300米B.360米

C.240米D.320米

【答案】A

【解析】

在&△C43中，可求得AC,根据正弦定理，在VC4M中，可求得AM,在用中，即可求得答案.

【详解】

因为在向△C4B中，6。=100后，NC4B=30。，

所以AC=呪=200&,

sin30°

在VC4M中，ZAMC=180°-ZMC4-ZM4C=45°,

由正弦定理得：———=———,即空述=，幽

sinZAMCsinZMCAsin450sin60°

所以AM=200jL

在放△AMN中，ZMAN=6O°,

所以MN=AMsin600=2006x立=300（米）

2

故选：A

6.（2021•四川成都市•成高一期中）如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西匀速行驶，在公路北

侧远处一座高900米的山顶D的测得点A的在东偏南3（）方向上过一分钟后测得点B处在山顶地的东偏南

60方向上，俯角为45，则该车的行驶速度为（)

D

A.15米/秒B.15G米/秒

C.20米/秒D.20G米/秒

【答案】A

【解析】

根据题意可得AB=900,再除以时间即可得解.

【详解】

根据题意8=900,由B处在山顶俯角为45，

所以BC=900,

由A东偏南30，B东偏南60，

所以N8AC=30,NAC6=60-30=30,

所以一ABC为等腰三角形，所以AB=900，

由婴=15,所以速度为15米/秒，

故选：A

7.（2021•山西临汾市•高三其他模拟（文））说起延安革命纪念地景区，可谓是家喻户晓，它由宝塔山、枣

园革命旧址、杨家岭革命旧址、中共中央西北局旧址、延安革命纪念馆组成.尤其宝塔山，它可是圣地延安

的标志，也是中国革命的摇篮，见证了中国革命的进程，在中国老百姓的心中具有重要地位.如图，宝塔山

的坡度比为近：3（坡度比即坡面的垂直高度和水平宽度的比），在山坡A处测得NC4O=15°,从A处沿

山坡往上前进66m到达5处，在山坡3处测得NCB£>=30°,则宝塔CD的高为（)

A.44mB.42mC.48mD.46m

【答案】A

【解析】

由已知可得BC=A3=66,在△BCD中利用正弦定理可求得.

【详解】

由题可知NC4D=15°,NC8D=30°，则NACB=15，

BC=AB=66，

设坡角为e，则由题可得tane=YZ，则可求得cosO=3,

34

7T

在△BCD中，NBDC=8+—,

2

CD_BCCD_6666

由正弦定理可得sin30一.（A丄乃），即丁二嬴万=丁，解得以＞=44,

I2丿24

故宝塔CZ）的高为44m.

故选：A.

8.（2021.浙江高一期末）在二ABC中，AB=2,若BCC4=丄，则NA的最大值是

2

71

【答案】-

4

【解析】

.一1h2+4-a2

由BC-C4=一，结合向量数量积的定义及余弦定理可得"+从=3,进而可求得cosA=,而

24b

要求NA的最大值，只要求解cosA的最小值即可

【详解】

解：因为8。。4=丄

2

1/+〃2_4[

所以abcosC=-二，由余弦定理得".生T_1=_丄，得/+尸=3,

22ab2

I厶力宀E-r-ZH/7"+4—Q~/?2+4—（3—b~）

由余弦定理可得cosA4=-------------=--------------------

4b4b

="二1=%丄匕工=立，当且仅当与=」，即人受时取等号，此时cosA取得最小值,

4。24。Y24。224b2

TT

根据余弦函数y=ssx在（。,外上单调递减可知’此时角A取得最大值为了‘

71

所以厶的最大值是7'

71

故答案为y

9.（湖北高考真题））如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，至必处时测得公路北侧一山顶〃在

西偏北30。的方向上，行驶600m后到达B处，测得此山顶在西偏北75。的方向上，仰角为30。，则此山的高度

CD=m.

【答案】100巡

【解析】

由题设可知在中，-CM=30：,45C=105.，由此可得工場就，=璃;由正弦定理可得

CB_600

sin30：sin45:,解之得£濃=洒6,又因为6芻B卷=瓢1所以CD=CBtan30:=100A/6,应填

100倔

10.（宁夏高考真题）为了测量两山顶M,N间的距离，飞机沿水平方向在A,B两点进行测量，A,B,M,N

在同一个铅垂平面内（如示意图），飞机能够测量的数据有俯角和A,B间的距离，请设计一个方案，包括：

①指出需要测量的数据（用字母表示，并在图中标出）；②用文字和公式写出计算M,N间的距离的步骤.

一_彳B

【答案】见解析

【解析】

要求长度，需要测量的数据有：A点到M,N点的俯角的,伉，最后通过正弦定理得到最终结果.

①需要测量的数据有：A点到M，N点的俯角的,01；

B点到M,N的俯角。2，的；A，B的距离d...........3分

②第一步：计算AM.由正弦定理4M=；

sm（a1+a2）

第二步：计算4N.由正弦定理=；

sin（°2-0i）

第三步：计算MN.由余弦定理MN=[AM2+AN?-2AMxANcosQi-仇）

练提升

1.（2021•四川自贡市・高三三模（文））如图，在山脚A处测得山顶P的仰角为a,沿倾角为夕的斜坡向上

走匕米到8处，在B处测得山顶尸的仰角为y（A、B、P、Q共面）则山高产等于（）米.

/?sincifsin(/-/?)

sin(/-tz)

Bsin(y-0

/7sinasin(7-a)

bsinysin(a-0

C.〃sin/7+

sin(/-/7)

.Z?sinysin(y_⑶

D.bsir\/3+-------：---；--

sin(/-a)

【答案】A

【解析】

己知仰角为a,A3的倾斜角N8AQ=〃，在8处测得山顶p的仰角为/,用正弦定理可计算出高度.

【详解】

由题意可知，ZPAQ=a,ZPBC=y,

NPAB=al/3

分别在RjBPC中,

NAPQ=；-a,ABPQ=^-Y，

所以Z/lPB=Z?lPQ—ZBPQ=y—a,

又sinZABP=sin比-(ZAPS+ZBAP)]

=sin(ZAPB+NBAP)=sin(y-p),

45AP

在ZXABP中，由正弦定理可得

sinZAPBsinZABP

用Ib=”

'sin(/-a)~sin(7-p)

Ap=bsm(y-p)

sin(7-a)'

在R忆/PQ中，

Z?sinasin(y-

PQ=APsina=

sin(7-a)

故选：A.

2.（2021•黑龙江哈尔滨市第六中学校高三月考（理））在如图所示四边形488中，AD=DC，AC=5杷,

3

BC=-V2,ZADC=\20°,ZBCD=75°,则四边形ABC。的面积为.

【答案】10月

【解析】

77TT

由已知条件可得AO=Z）C=5,ZDCA=~,ZACB=~,应用三角形面积公式求，S^,即

64ACB

可求四边形A8CD的面积.

【详解】

AC

由题意，知：AD=DC=Z4QC=5,且ZDC4=工，ZACB=-,

2sin---64

:.S/4“0Jc=-2DC-AC-sinZDCA,S.riCZ?=—2AC-BC-sinZACB,

...四边形厶3。。的面积571"+548=3*5*56*3+3、5百＞亭*也=106.

故答案为：ioG

3.（2021.合高三其他模拟（文））南宋数学家秦九韶著有《数书九章》，创造了“大衍求一术”,

被称为“中国剩余定理”.他所论的“正负开方术”，被称为“秦九韶程序”.世界各国从小学、中学到大学的数

学课程，几乎都接触到他的定理、定律和解题原则.科学史家称秦九韶：“他那个民族、他那个时代，并且

确实也是所有时代最伟大的数学家之一”.在《数书九章》中提出“三斜求积术“，即以小斜轟，并大斜塞，

减中斜基，余半之，自乘于上：以小斜嘉乘大斜帮，减上，余四约之，为实：一为从隅，开平方得积可用

公式S=c2a2―（c+；-b）2（其中a,b,c,S为三角形的三边和面积）表示.在二ABC中，a,

2c2

b,c分别为角A、B、。所对的边，若。=3,KftcosC-ccosB=则.ABC面积的最大值为.

3

【答案】巫

4

【解析】

利用余弦定理化简已知条件得到hc的关系式，将仇c的关系式代入所给的面积公式中，将面积S转化为关

于C的函数形式，根据二次函数的对称轴求解出面积的最大值即可.

【详解】

卬―，》2c2a2+b2-c2a1+c2-h22c2

因为。cosC-ccosBn-.......>所以------------------------=---->

32a2a3

；,2_2?2

所以纟二£_=竺，所以庁=3,2,

33

C2+9-3C22243

所以S.ABC=9c2-()2I+——

24

所以当C?=9时，SA8C有最大值为（SAsch”

故答案为：对1.

4

4.（2021•河南高二月考（文））为测量山高MN.选择A和另一座山的山顶C为测量观测点.从A点测得N

点的仰角NM4N=30°,C点的仰角NC46=60°以及NM4c=105°,从C点测得NNC4=30。.已知山

高BC=150米.则所求山高MN为米.

N

【答案】25指

【解析】

在/?，_43。中可求得厶。=1006,再在△ACN利用正弦定理可求出AN=50后，即可求得山高.

【详解】

由题，在Rf.ABC中，8C=150,NC4B=60,AC=1006,

在ZViav中，NA44C=1O50,Z/VC4=30。，则NANC=45，

ANACAN」oo6

由正弦定理可得二八二=./c，即1一正，解得AN=50〃，

sinZNCAsinZANC--

22

又在放AAMN中，AMAN=30。，：.MN=25瓜,

所以所求山高MN为25"米.

故答案为：25瓜.

5.（2021•齐齐哈尔市第八中学校高一期中）在厶ABC中，已知”2=―小更一且

asinB-sinA

cos（A-S）+cosC=l-cos2C.

（1）试确定二ABC的形状；

（2）求史上的取值范围.

h

【答案】（1）直角三角形；（2）（1,忘）.

【解析】

〃+C

（1）根据正弦定理化简整理得到从=/+。2即可判断三角形的形状；（2）由正弦定理将——表示成

b

sinA+cosA,接着根据三角函数的知识求解取值范围即可.

【详解】

解：（1）由正弦定理得：竺2=_2一,

ab-a

所以/-巒二姉①

因为cos（A—5）+cosC=1—cos2C,

所以cos（A-B）-8s（A+B）=2sin2c

所以sinAsinB=sin2C»ab=c2②

把②代入①得b2-a2=c2KP/?2=a2+c2

所以.A5C是直角三角形

TTTT7T

（2）由（1）知8=—,所以4+。=上,。=上—A

222

所以sinC=sin一厶）=cos^,

丄门山十七亠亠E—Q+CsinA+sinC...戸.（人乃、

根据正弦定理得「一=----——=sinA+cosA=V2sinA+—

bsinB14）

.__,.._7llr、t八AZTTC.TC7C

因为cic<cih=C~,Q<C,所以OvA<一,—VAH—<一

4442

<sinfA+—<1,1<V2sinfA+—<V2

2I4丿I4丿

即等的取值范围是（1,、历）.

77

6.（2021.重庆市长寿中学校高三其他模拟）如图四边形A8CZ）中，ZDAB=ZDCB=-AB=3,BC=2,

2f

/ADC、ZABCe(O㈤,

D

(1)求DB；

（2）求△ZMC面积的最大值.

从①S〃BC=铤且厶BC为锐角；②厶。2=厶庁+3。2一AB-BC；③,厶一台心卜屿这三个条件中任

选一个补充在上面的问题中并作答

【答案】（1）条件选择见解析，30=豆①；（2）述.

312

【解析】

（1）选①：利用三角形的面积公式求出sin/ABC,结合NABC为锐角求出NABC的值，利用余弦定理

求出AC,再利用正弦定理可求得3。的长；

选②：利用余弦定理计算得出cosNABC的值，结合NA8C的取值范围可求得NA8C的值，利用余弦定

理求出AC,再利用正弦定理可求得BD的长：

选③：求出AC,利用余弦定理计算得出cosNA5C的值，结合NABC的取值范围可求得NABC的值，

再利用正弦定理可求得BO的长；

（2）利用余弦定理结合基本不等式可求得">•CD的最大值，利用三角形的面积公式可得结果.

【详解】

（1）选①，S.=-ABBC-sinZABC=sinZABC=—.

△ABRCr222

71

NABC是锐角，・•.NA8C=一,

3

由余弦定理可得AC2=AB2+BC2-2AB-BCCOSABAC=7，则AC=J7，

TT

ZDAB=NDCB=-，则BO是四边形ABC。的外接圆直径，

2

BD是厶ABC的外接圆直径，；.BD=———=J7x2=2亘；

sinZA5C百3

选②：AC2=AB2+BC?-AB•BCncosZABC="一"0=-,

2ABBC2

ZABC«0㈤，.-.ZAfiC=1,

由余弦定理可得AC?=Ag2+5c2-2A8-5CcosN84C=7，则AC=J7,

7T

ZDAB=ZDCB=-,则30是四边形ABC。的外接圆直径，

2

BD是/.ABC的外接圆直径，BD=———=J7x2=2叵；

sinZABC下)3

选③：BA-BC|=|CA|=J7,由余弦定理可得C0SNA5C=A&+BC2AC2=丄

11112ABBC2

ZABCG(O,^-),.-.ZAfiC=1,

7T

/DAB=/DCB=—,则是四边形A3CQ的外接圆直径，

2

BD是，ABC的外接圆直径，,BD=———=x2=漣^；

sinZABC63

（2）由（1）A.C——y/l>Z.ADC—,

3

在厶4。£>中，由余弦定理可得

7=AC2=AD2+CD2-2AD-CDcosZADC=AD2+CD2+ADCD>3ADCD，

7

所以，ADCD<~,当且仅当AQ=CD时，等号成立.

3

m..o17V376

因止匕，S^ACD-2X?X~=-72-

7.（2021•全国高一专题练习）如图，为了检测某工业区的空气质量，在点A处设立一个空气监测中心（大

小忽略不计），在其正东方向点B处安装一套监测设备.为了使监测数据更加准确，在点C和点。处，再

分别安装一套监测设备，且满足AD=2km,A8=4km,BD=BC,NDBC=90°,设ND4B=8.

I)

（1）当。=《一，求四边形ABC。的面积；

（2）当夕为何值时，线段AC最长.

3

【答案】（1）14+26;（2）夕=一7?■时，AC最长为2+40.

4

【解析】

（1）利用余弦定理求出BD=2j7=BC，即得解;

-------------.sin®sing

(2)先求出BD=2,5-4cos6，设厶8£>=a,sina二一/二二，cosZABC=

，5-4cos，j5-4cos，

利用余弦定理求出AC?=36+160sin(6-2)即得解.

4

【详解】