2023-2024学年湖北省黄冈实验学校高二年级上册数学期末经典试题含解析

2023-2024学年湖北省黄冈实验学校高二上数学期末经典试题

请考生注意：

1.请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0.5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答

案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。

2.答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知等比数列｛%｝中，“2020”2023二2。2022，出=2，则%=()

1

A.—B.1

2

C.y/2D.4

2.设等比数列｛4｝的前〃项和为S“，且%=4诙)，贝！|芒=()

d6

916

A.—B.—

1017

178

C.—D.—

1617

3.在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做“等和数列”，这个数叫做数列的

公和.已知等和数列｛斯｝中，4=2,公和为5,则68二()

A.2B.-2

D.-3

4.设集合A={x|xW2或x23},3={乂尤>1},则AB=()

A.[1,3]B.(l,2]u[3,y)

C.(2,3)D.(-co,2]O[3,+00)

2x2

5.已知命题p：Vx>2,x>2,命题q：3x0eR,In(x0+l)<0,则下列命题是真命题的是()

A.pA(—>4)B.pV(—iq)

C.p/\qD.pVq

6.已知抛物线y=a/过点(1,2),则抛物线的焦点坐标为。

A•加

7.在ABC中，3=60°,C=45°，AB=\,则AC边的长等于（）

A.,/2B正

2

C巫D.-

22

8.“椭圆旦+^^=1的离心率为也”是“〃z=6”的()

8m-22

A.充要条件B.充分不必要条件

C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件

9.已知数列｛/｝为等比数列，贝！4>1”是“｛。”｝为递减数列”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

10.在单调递减的等比数列｛%｝中，若%=1，%+%=/，则/=（）

A.9B.3

11

C.—D.一

39

11.某大学数学系共有本科生1500人，其中一、二、三、四年级的人数比为4:3:2:1,要用分层随机抽样的方法从

中抽取一个容量为300的样本，则应抽取的三年级学生的人数为（）

A.20B.40

C.60D.80

1

12.命题pH%>0,玉)+—=2,贝()一^为()

%

A.\/x>0,xH—=2B.Vx>09xH—w2

xx

C.\/x<0,xH—=2D.3x<0,xH—w2

xx

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.在（工-x］的展开式中一项的系数为.（结果用数值表示）

14.螺旋线这个名词来源于希腊文，它的原意是“旋卷”或“缠卷”，平面螺旋便是以一个固定点开始向外逐圈旋绕而形

成的曲线，如下图（1）所示.如图（2）所示阴影部分也是一个美丽的螺旋线型的图案，它的画法是这样的：正方形

ABC。的边长为4,取正方形各边的四等分点E,F,G,H,作第2个正方形EVGH,然后再取正方形E尸GH

各边的四等分点“，N,P,Q,作第3个正方形MNPQ,依此方法一直继续下去，就可以得到阴影部分的图案.如图（2）

阴影部分，设直角三角形面积为伪，直角三角形EMQ面积为优，后续各直角三角形面积依次为4,…，bn,

若数列｛〃｝的前n项和S„<22-32恒成立，则实数2的取值范围为.

图(1)图(2)

15.在单位正方体A5CD-A'5'C'。'中，点E为40的中点，过点3,E,。，的平面截该正方体所得的截面面积为.

16.等差数列｛4｝的公差d/0,S”是其前"项和，给出下列命题：①若d<0,且S3=$8,则S5和S6都是｛S“｝中

的最大项；②给定"，对于一些左eN*（左<〃），都有区,出+“3=24；③存在kwN*使4一久+1和W同号；

④S2021=3（兀50-S679）.其中正确命题的序号为.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（12分）在复数集。内方程必一1=0有六个根分别为例，。2，。3，0，。5，。6

（1）解出这六个根；

（2）在复平面内，这六个根对应的点分别为A,B,C,D,E,F；求多边形A5C0EF的面积

18.（12分）已知圆C的方程为（x—l）2+y2=4.

（1）直线/1过点P（3,1）,倾斜角为45。，且与圆C交于A,8两点，求A8的长；

（2）求过点P（3,1）且与圆C相切的直线b的方程.

19.（12分）已知数列｛为｝的前"项和S“，满足4+35屋"-1=0（〃22）,

（1）求证：数列?是等差数列；

⑵令g=不，求数列｛%｝的前“项和T,.

20.（12分）从某居民区随机抽取2021年的10个家庭，获得第i个家庭的月收入玉（单位：千元）与月储蓄/（单位：千

10101010

元）的数据资料，计算得»=8。，»，=2°，2＞/=184,W＞；=720

z=lz=lz=li=l

（i）求家庭的月储蓄y对月收入x的线性回归方程§=队+%；

（2）判断变量x与y之间是正相关还是负相关；

（3）利用（1）中的回归方程，分析2021年该地区居民月收入与月储蓄之间的变化情况，并预测当该居民区某家庭月

收入为7千元，该家庭的月储蓄额.附：线性回归方程系数公式

_n___

^x^-nxy___

y=+a中'b=母,a=y—bx＞其中％，y为样本平均值

^xj-nx

Z=1

21.（12分）设椭圆】+《=l（a〉6〉0）的左焦点为R,上顶点为3.已知椭圆的短轴长为4,离心率为个

（1）求椭圆的方程；

（2）设点P在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点M为直线PB与x轴的交点，点N（0,-1）且（。为

原点），求直线总的斜率

22.（10分）已知数列｛为｝的前〃项和为S“，且2s“=3%-3（nGN*）

（1）求数列｛。“｝的通项公式

（2）若b“=（n+1）an,求数列｛么｝的前〃项和北

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、D

【解析】设公比为4,然后由已知条件结合等比数列的通项公式列方程求出心从而可求出%,

【详解】设公比为彘因为等比数列｛丽｝中，々2020々2023=2a2022，%=2,

所以％才。18.〃2/。21=2（/夕2。20）2,

所以4/。39=8/04。，解得g=

所以54=2,得％=4

故选：D

2、C

【解析】根据给定条件求出等比数列｛%｝公比g的关系，再利用前”项和公式计算得解.

【详解】设等比数列｛4｝的的公比为q,由%=4%得：%=4。7“3,解得/=；,

(1-产)

所以'=1-q=]+.=1+(与=—,

S6一(1-力”416

i-q

故选：c

3、C

[2,〃为奇数

【解析】利用已知即可求得。，=3,再利用已知可得：a=4/田珈，问题得解

n、3,〃为偶数

【详解】解：根据题意，等和数列｛飙｝中，4=2,公和为5,则为+2=5,即可得出=3,

[2,〃为奇数

又由小-1+斯=5,则a”4/田朋，

[3,〃为偶数

则%8=3；

故选C

【点睛】本题主要考查了新概念知识，考查理解能力及转化能力，还考查了数列的周期性，属于中档题

4、B

【解析】根据交集的概念和运算直接得出结果.

【详解】由题意知，

AIB=(1,2]?[3,?).

故选:B.

5、B

【解析】取x=4,得出命题p是假命题，由对数的运算得出命题夕是假命题，再判断选项.

【详解】命题p：Vx>2,x2>2x,是假命题，例如取x=4,则42=2%

命题g：SxoER,In(xo2+l)<0,是假命题，WxGR,In(x2+l)20.

则下列命题是真命题的是PV（「4）.

故选：B.

6、D

【解析】把点（L2）代入抛物线方程求出“，再化成标准方程可得解.

【详解】因为抛物线y=过点（1,2）,

所以2=。，所以抛物线方程为y=2一,

,1

方程化成标准方程为#=5〉,

故抛物线的焦点坐标为

故选：D.

7、B

【解析】根据正弦定理直接计算可得答案.

，得7,

【详解】由正弦定理丁三二「A/?；AC_1_

smBsmCsin60sin45

故选:B.

8、C

【解析】讨论椭圆焦点的位置，根据离心率分别求出参数加，由充分必要性的定义判断条件间的充分、必要关系.

【详解】当椭圆片+上=1的焦点在x轴上时，,得加=6；

8m-2812J

当椭圆二+上二=1的焦点在y轴上时，（"L2卜8」受],得加=]8

8m-2m-2[2）

故“椭圆上+_2_=1的离心率为叵，，是“m=6”的必要不充分条件

8m-22

故选：C.

9、A

【解析】本题可依次判断"q<0,q>l”是否是“｛4｝为递减数列”的充分条件以及必要条件，即可得出结果.

【详解】若等比数列｛4｝满足卬<0、q>l,则数列｛/｝为递减数列，

故"％<0,q>1”是“｛a“｝为递减数歹！J”的充分条件，

因为若等比数列｛4｝满足4〉0、。<4<1,则数列｛为｝也是递减数列，

所以“弓<0,q>1"不是“｛为｝为递减数列”的必要条件，

综上所述，“4<0,“>1”是“｛«„｝为递减数列”的充分不必要条件，

故选：A.

【点睛】本题考查充分条件以及必要条件的判定，考查等比数列以及递减数列的相关性质，体现了基础性和综合性,

考查推理能力，是简单题.

10、A

110

【解析】利用等比数列的通项公式可得4+—=丁，结合条件即求.

q3

【详解】设等比数列｛4｝的公比为4,贝！J

10田

由/=1，/+。4=9得

1101

q+-=_7，解得q=_或q=3,

q33

又｛4｝单调递减，

故q=La=g=9.

3q，

故选：A.

11、C

【解析】根据给定条件利用分层抽样的抽样比直接计算作答.

【详解】依题意，三年级学生的总人数为——-——X1500=300,

4+3+2+1

从1500人中用分层随机抽样抽取容量为300的样本的抽样比为理9=

15005

所以应抽取的三年级学生的人数为gx300=60.

故选：C

12、B

【解析】直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可.

【详解】命题P：三%>°，/+'*=2为特称命题，而特称命题的否定是全称命题，

所以命题。：*0>0,xo+-=2,则一9为：Vx>0,x+—7i2.

xox

故选：B

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、-120

【解析】先求解出该二项式展开式的通项，然后求解出满足题意的项数值，带入通项即可求解出展开式的系数.

【详解】(--x］展开式通项为(+i=£od)m"(r)'=，(T)'x2i°,由题意，令2-10=4,解得，r=7,

)X

所以一项的系数为品)(—1)7=—120.

故答案为：-120.

14、2<-1^2>4

【解析】先求正方形边长的规律，再求三角形面积的规律，从而就可以求和了,再解不等式即可求解.

【详解】由题意，由外到内依次各正方形的边长分别为%,%，。3，4,则

.1V(3YM

%=4吗=,匕。11+匕"J=~4~ai'

%］］产］+［4出］4%14卜……，

%='》+(，，)=哈"含普，

于是数列｛4｝是以4为首项，乎为公比的等比数列，则a“=4；乎j.

22

由题意可得：即4JJ也=出J'……，2_4+1

—4'

2一4.28

5

5

<4>故万一3%24,解得44一1或224.

故答案为：4V—1或224

【解析】根据题意，取*C'的中点R,连接形、ED、D'F、BF，分析可得四边形班D'F为平行四边形，则

要求的截面就是四边形正DF,进而可得BEUF为菱形,连接BD'、EF,求出BD'、E/的长，计算可得答案

【详解】根据题意，取3C’的中点e，连接班、ED、D'F、BF，

易得BE//D'F,BF//D'E,则四边形班D'F为平行四边形，

过点3,E，OC的截面就是BEDF，

又由正方体ABCD-AB'C'D'为单位正方体，则BE=DD'=D'F=BF=.

V14=—2

则,BED'F为菱形,连接BD'、EF,

易得BD=6,EF=叵，

则SBEDT=LBD、EF=&,即要求截面的面积为限，

BEDF222

故答案为：旦

16、①②

【解析】对①，根据数列｛与｝的单调性和4=0可判断；对②和③，利用等差数列的通项公式可直接推导；对④，利

用等差数列的前“项和可直接推导.

【详解】不妨设等差数列｛qJ的首项为火

对①，S3=S89可得：3〃]+3d=8〃[+28d,解得：〃i+5d=0,即/=。

又d<0,则｛4｝是递减的，则｛q,｝中的前5项均为正数，S5=S6

所以S5和S6都是｛S“｝中的最大项，故①正确；

对②，an_k+an+k=al+^n-k-l)d+al+(^n+k-l)d=2%+2(〃-l)d

2an=2al+2(n-l)d,故有：an_k+an+k=2an,故②正确；

对③，(%—以%又GwO,则(%一以.)(殁—%_J=—屋<0,说明不存在左eN*使一为+1和

同号，故③错误；

对④，有：

S2021-3($1350-$679)=

2021%+1010x20216?-3(1350(?!+675x1349d-679%—339x679J)

—8q+28d

故S2021=3(S1350-S679)并不是恒成立的，故④错误

故答案为：①②

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17小111V3.16.1V3.1V3.

17、(1)(o1=l,(o2=-l,co3=--+—i,(oi=---1,<O5=-+—I,«y6=---1

乙乙乙乙乙乙乙乙

⑵9

2

【解析】(1)原式可因式分解为(*一1)(*+1)(*2+*+1)(*2-*+1)=0,令炉+%+1=0,设x=a+》i,a,AeR

可求解出炉+%+1=0的两个虚根，同理可求解炉一*+1=0的两个虚根，即得解；

(2)六个点构成的图形为正六边形，边长为1,计算即可

【小问1详解】

由题意，x6-l=0

/.(x-l)(x+l)(x2+x+l)(x2-X+1)=0

当/+x+l=o时，设x=a+

故（。+庆）2+。+〃+1=。2一〃2+。+1+（2。〃+8）j=o,

所以“2—力2+〃+i=2ab+b=0

解得：a=——.b-±^-BPx=-—±^-i

2222

当/-x+l=O时，设"=。+小,。,〃£A

故（c+di/—c-di+l=c2-d2-c+l+（2cd—d）i=O

所以c?—rf2—c+\=2cd—rf=O

解得：c=Ld=±3~，BPx=—±——i

2222

痂111161A/3.16.

故：4=Iq=T，°3=­7+—=-+—=--------------1

乙乙乙乙乙乙22

【小问2详解】

六个根对应的点分别为A,B,C,D,E,F,

其中41,。)向T,O),C(W，

，.与E与与，吟.号

222222

在复平面中描出这六个点如图所示:

故S=6乂储/=巫

42

18、（1）714

(2)x=3或3x+4y-13=0

【解析】(1)首先利用点斜式求出直线4的方程，再利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，最后利用垂直

定理、勾股定理计算可得；

(2)依题意可得点P在圆外，分直线的斜率存在与不存在两种情况讨论，当直线的斜率不存在直线得到直线方程，但

直线的斜率存在时设直线方程为y-l=Hx-3),利用点到直线的距离公式得到方程，解得左，即可得解；

【小问1详解】

解：根据题意，直线4的方程为y—l=lx(x—3),即x-y—2=0,

则圆心(i,o)到直线4的距离为d=?总=—

V1+12

故|=2-\/22—d2=214—g=y/14；

【小问2详解】

解：根据题意，点P在圆外，分两种情况讨论：

当直线4的斜率不存在时，过点P(3,l)的直线方程是％=3,

此时4与圆C：(x—l『+y2=4相切，满足题意；

当直线4的斜率存在时，设直线方程为y-1=左(％-3),

即立_y_3A+l=0,

,、|-2左+1|

直线与圆相切时，圆心(L0)到直线的距离为亍*=2

3

解得上=_：

4

此时，直线4的方程为3x+4y—13=0,

所以满足条件的直线12的方程是％=3或3x+4y-13=0.

19、(1)证明见解析

(2)7；=(3n-3)x2"+1+6

【解析】(1)先将册变为S“-S〃T，然后等式两边同除即可得答案；

(2)求出S“,再用错位相减求和

【小问1详解】

证明：•.•见+3S“ST=05N2)

S,I+3S〃ST=0

由已知易得S,产0,

9―。=3(九22)

11。

・•・数列丁是首项三=3,公差为1=3的等差数列;

AS"%

【小问2详解】

由(1)可知，］=!+(〃_l)xd=3〃

c,=-=3n-T

3〃

7；=3x2+6x22+9x23++3(“-1)x2"T+3"x2”①

27；,=3X22+6X23+9X24++3(”—1)x2"+3八2.②

①一②有-。=3x2+3x22+3x23++3x2"-3nx2,!+1

2x(1-2")

=3x—-----人—3nx2'+i=—6+3x2,i+1-3zix2,!+1

1-2

7；,=(3n-3)x2"+1+6

20、(1)y=0.3x-0.4

（2）正相关（3）1.7千元

【解析】（1）由题意得到"=10,求得H进而求得"6,写出回归方程；.

（2）由6=0.3〉0判断;

（3）将x=7代入回归方程求解.

【小问1详解】

由题意知

„=10,还，产辿=8；=L£x=型=2,

io£;ioio£io

〃__

则b二T----------二0.3,d=y-bx--0.4,

_〃(x)2

Z=1

所以所求回归方程为y=0.3x-0.4.

【小问2详解】

因为6=0.3〉0，

所以变量J的值随x的值增加而增加，故x与y之间是正相关.

【小问3详解】

将x=7代入回归方程可以预测该家庭的月储蓄为y=0.3X7—0.4=1.7(千元).

22

21、(1)—+^=1

54

⑵独^或_2-

55

【解析】(1)根据已知条件求得。，仇。，由此求得