北京市一零一中学2022-2023学年高一年级下册期中考试数学试卷

北京一零一中2022-2023学年度第二学期期中考试

高一数学

(本试卷满分120分，考试时间100分钟)

命题：高一数学组

一'选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目

要求的一项。

1.sin(-150。)的值为()

()

(A)(B)y(C)-孝D孚

2.已知tana=

(A)|(B)|(C)I(D)1

3.已知向量。=(1,一2),8=(%,4),且絞〃4则|a—等于()

(A)573(B)3V5(C)2<5(D)272

4.下列函数中：①f(x)=cosx­sinx;②/(x)=cosx+sinx;③/(%)=:；④/(x)=2sin2x.

最小正周期为兀的是()

(A)①②(B)②④(C)①③④(D)①②④

5.如图所示，在正方形ABC。中，E为AB的中点，尸为CE

的中点，则布=()

(A)^AB+^AD(B)^AB+^AD(C)--AB+AD(D)^AB+^-AD

6.在“BC中，角A,8,C的对边分别为a,A,c,若。=20cosC,则&4BC一定是()

(A)正三角形(B)直角三角形

(C)等腰或直角三角形(D)等腰三角形

7.已知角。的终边上有一点尸(1,3)，贝)sin(7t-①的值为()

sin(^+a)

(A)3(B)-3(C)l(D)-l

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8.已知实数%£.“a+£=2妇i,teZ”是'①11（0+£）=5泣0+5m6'的（）

（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件

（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件

9.石景山游乐园“梦想之星”摩天轮采用国内首创的横梁

中轴结构，风格现代简约.“梦想之星”摩天轮直径约为

86米,总高约100米,匀速旋转一周时间为18分钟,配有

42个球形全透视360度全景座舱.如果不考虑座舱高度

等其它因素,该摩天轮的示意图如图所示,游客从离地面

最近的位置进入座舱，旋转一周后出舱.甲、乙两名同学

通过即时交流工具发现，他们两人进入各自座舱的时间

相差6分钟.这两名同学在摩天轮上游玩的过程中，他们-----------

所在的高度之和的最大值约为（）

（A）79米（B）157米（C）113米（D）189米

10.已知对于任意角a,£均有公式sin2a+sin2/5=2sin(a+/3)cos(a~/3),设^ABC的内角A,

3,C满足sin2A+sin(A-B+C)=sin(C-A-B)+y,面积S满足1WSW3,记a,8,c

为角A,B,C所对的边.给出下列四个结论：

①sinAsinBsinC=看；②4W=70「<46;

8sinA+sinB+smC

③8(abcW16V2;④ab(a+Z?)>8.

其中正确结论的序号是（）

(A)②③(B)①②④(C)①③④(D)①②③④

二'填空题共5小题，每小题5分，共25分。

11.已知向量a=（1,V5）,向量b=（-4,坐）,则向量。与向量力的夹角为.

12.在MBC中，8=4,c=2,cosA=4,则a=,/\ABC的面积

S"BC=•

13.若a€（0,今）,cos（a+与）=—则sinct—.

14.已知函数/（x）=sin（2x+⑺（M＜参）,那么函数/（%）的最小正周期是;若函

数f（x）在吟,普］上具有单调性,且/管）=-/（普）,则屮=.

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15.已知^ABC的外心是0,其外接圆半径为1,设殖=XOB+nOC,则下列论述正确的

是.

①若/I=—=0,则4ABC为直角三角形；

②若4=〃=—1,则△ABC为正三角形；

③若4=一1,〃=一爽，则AABC为顶角为30。的等腰三角形；

④若4=_/,〃=—2,则讨•砺+砺•反+玩.涙=_,

三、解答题共5小题，共55分。解答应写岀文字说明,演算步骤或证明过程。

16.(本小题10分)

已知函数f(x)=2sin(x-y).

(1)某同学利用五点法画函数/(x)在区间［号,4］上的图象他列出表格,并填入了部分

数据,请你帮他把表格填写完整,并在坐标系中画出图象；

(2)已知函数g(x)=f(cax)(OJ>0).

①若函数g(x)的最小正周期为竽,求g(x)的单调递增区间；

②若函数g(x)在［0,号］上无零点,求3的取值范围(直接写出结论).

715兀1E771

X

T66~T

371

Y_兀071271

X3T

0200

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17.(本小题10分)

在LABC中,AB=4,AC=4,ABAC=拳尸为4ABe所

在平面内的一个动点，且/<4=1.

⑴求冋+丽；

(2)求方•斤的取值范围.

18.(本小题10分)

已知函数/(%)=cos2a>x+6sin3xcos3%+加(3>0,eR).再从条件①、条件②、条

件③这三个条件中选择能确定函数/(%)的解析式的两个作为已知.

(1)求/(%)的解析式及最小值；

(2)若函数/(%)在区间[0,f]Q>0)上有且仅有2条对称轴,求t的取值范围.

条件①：函数f(x)的最小正周期为兀；

条件②：函数/(用的图象经过点(0,4)；

条件③：函数f(x)的最大值为1.

19.(本小题10分)

在"BC中，角A,民C的对边分别为a,b,c,5a=

匕(sinC+V3cosC).

(1)求角B的大小；

(2)若A=牛，。为△ABC外一点，如图，DB=4,CD=2,

求四边形ABDC面积的最大值.

20.(本小题15分)

给定正整数”>2,设M={a|a=(人,灰,…，"),〃€{0,l},k=1,2,•••,«)为〃维0-1向

量a的集合.对于集合M中的任意元素P=(即,％2,…，芻)和V=3,”,…,力),定义它们

的内积为PY=%屮+肛力+•••+xnyn.

设4父M且集合A={a,|a,=(为，山，…,£加),i=1,2,…对于A中任意元素%叼,若

。厂叼=，〃’l=J,则称A具有性质”(p,q).

、q，i丰j，

(1)当〃=3时,判断集合A={(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1)}是否具有性质”(2,0)?说明理由；

(2)当〃=4时，判断是否存在具有性质H(p,q)的集合A,若存在求出p,q,若不存在请证

明；

(3)若集合A具有性质”(p,1),证明：tij+t2j+-■■+tnj=p(j=1,2,•••,«).

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北京一零一中2022-2023学年度第二学期高一数学期中考试参考答案

1.（2014海淀二模理1）A

2.B

3.B

4.C

5.D

根据题意得#二十凝+病，又/二瓦+标,近二扌丽所以疗二十函+通+

^-AB）=^AB+:访故选D.

6.D

7.B

依题意得tan。=、=3,则‘in（兀-°）=sina=_tana?故选B.

x3兀—cosa

sin（^-+a）

8.（2021海淀二模（改编）9）A

9.（2022石景山高一下期末（改编）10）B

10.B

11.李

12.（2022房山高三上期末⑵4;V15.

□3+4,

10

因为a€（0,-y）,所以a+号€（y,1n）.因为cos（a+-y）=-y,所以sin（＜r+-）=^|■，所

以sina—sin[（a+号）—^-]=sin（（z+-5-）cos—cos（a+生）sin生=x—（一■^-）x=

3+46

io,

14.（2021昌平高三上期末14）w;_冬

15.①②③.

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16.（2021海淀高一下期中（改编）18）

（1）表格填写如下：

兀5冗4兀1E7兀

XTTTT

一匹0兀兀3兀2兀

3TT

/（X）020-20

图象如下:

⑵①由题意,g(x)=f(a)x)=2sin(a>x-y),

T=3=3,即g(x)=2sin(3x—5-).

(t)JJ

令-冷+2®W3x-号W冷+2kw,解得-奇+警WxW將+孥.

所以以制的单调递增区间为+孥，普+竽］伏Z).

②3的取值范围为(0,1).

17.(2022石景山高一下期末(改编)20)

(1)|AC+AB\2=(AC+AB)2=AC2+AB2+2ACAB=32.

所以\AC+XB\=4y/2.

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⑵以A为原点,A8所在直线为x轴建立平面直角

坐标系如图所示.

B点坐标为(4,0),C点坐标为(0,4).

设P点坐标为(cosa,sina).

所以PB二(4一cosa,-sina),PC=(-cosa,4-

sina).

所以PB•PC=-4sina-4cosa+I=-4V2sin(a+

£)+L

所以方•正的取值范围是[-472+1,4^2+1].

18.(2022朝阳二模(改编)16)

由题可知,/(x)=cos2cox+V3sincuxcosa>x+m

—sin2,cox+/cos2cux+m+}—sin(2o>x++机+-y.

选择①②：

(i)因为r=孕^二兀，所以3二1.

又因为/(0)=1+m=y,所以m=-y.

所以f{x}=sin(2x+

当2x+—2攵兀—.，攵eZ,BPx=kit—号,％eZ时,/(x)=-1.

所以函数/(x)的最小值为-1.

(2)因为xe[0,乙所以2x+晋e垮,2t+1],

又因为/(x)在区间上[0,力上有且仅有2条对称轴，

所以孕(2/+qv冬；

2O2

所以孕("里.

3o

所以tG[等普)

选择①③：

(1)因为T=驶=凡所以3=1.

23

又因为函数/(x)的最大值为“9=!■，所以，〃=0.

所以f(x)—sin(2x+专)+

当2x+1=2An-义，&€Z,即x=/兀一半，&€Z时;

o23

sin(2x+1)=-1,

o

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所以函数/(X)的最小值为-1+}=

(2)因为x€［0,也所以2x+若€.,2t+专］,

又因为f(x)在区间上［0,/］上有且仅有2条对称轴，

所以竽W2r+专<苧；

所以孕Wf〈生.

5o

所以/€［争乎)・

19.(2020吉林高三调研三理(改编)17)

⑴因为V3a=6(sinC+6cosC),由正弦定理得VJsinA=sinB(sinC+6cosC),

V3sin(B+C)=sinBsinC+V3sinBcosC,即V3cosBsinC=sinBsinC.

因为sinCrO,所以V3cosB=sinB,即tanB=<3.

因为Be(0,w),所以B=手.

(2)在NBCD中，8。=4,CO=2,所以SC?=42+22-2x4x2xcos£>=20-16cosD.

又A=号,则AABC为等边三角形,SAABC=yfiC2xsin^=5V3-4V3cosD.

又SGBDC=yXBDxDCXsinD=4sinD,

所以SABDC=5<3+4sinD-4V3cosD=5V3+8sin(D-号)，

所以当。=藝时，四边形ABDC的面积取最大值,最大值为5<3+8.

O

20.(2023西城一模(改编)21)

(1)因为(1,1,0)=lxl+lxl+0x0=2,同理(1,0,1)=(0,1,1).(0,1,1)=2.

又(1,1,0)•(1,0,1)=lx1+lxO+Oxl=1,同理(1,1,0)(0,1,1)=(1,0,1)•(0,1,1)=1.

所以集合4={(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1)}不具有性质”(2,0).

(2)当“=4时，集合A中的元素个数为4.由题意知p>q》O.显然。黄0,pW4,否则集

合A中的元素个数少于4个.

①当p=1时,A={(1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,0),(0,0,0,1)},具有性质H(1,0).

③当p=2时,4U)(1,1,0,0),(1,0,1,0),(1,0,0,1),(0,1,1,0),(0,1,0,1),(0,0,1,1)).

若q=0,则(1,1,0,0)和(1,0,0,1)至多一个在A中；(0,1,1,0)和(0,1,0,1)至多一个在A

中;(1,0,1,0)和(0,0,1,1)至多一个在A中，故集合A中的元素个数小于4.

若q=l,则(1,1,0,0)和(0,0,1,1)至多一个在A中；(1,0,1,0)和(0,1,0,1)至多一个在A

中;(1,0,0,1)和(0,1,1,0