2022-2023学年高一数学 人教A版2019必修第一册 同步讲义 第23讲 函数的对称性和周期性训练 含解析

第23讲函数的对称性和周期性专题训练

【考点分析】

考点一：函数常见对称性结论

①若函数/(%)对于任意的X均满足f(a+x)^f(b-x),则函数y=/(x)关于直线

X=S*二D=空2对称.

22

②若函数/(X)对于任意的X均满足f{a+Λ)+f(α-x)=28则y=/(x)关于点(α,与对称.

考点二：函数常见周期性结论

若函数对于任意的X都满足了(x+T)=∕(x),则T为f[x}的一个周期，且

/(x±"T)=∕(x)

几个常见周期性结论

①若函数y=∕(x)满足f(x+m)=-f(x),则丁=2根.

②若函数y=/(x)满足/S÷∕%)=±—!—,贝∣JT=2m.

ʃ(ɪ)

③若函数y=/(x)满足f(x+〃。=~⑷,则T=2m.

1+f(χ)

④若函数y=/(x)满足/(x+α)=/(x+8)，则T=M—4.

⑤若函数y=∕(x)的图象关于直线x=α,x=b都对称，则/(x)为周期函数且2∣8-α∣是它

的一个周期.

⑥函数y=/(x)(XWR)的图象关于两点A(〃，%)、B(h,y0)都对称，则函数y=f(x)是以

2∣8-4∣为周

⑦函数y=∕(x)(XER)的图象关于4〃，%)和直线x=b都对称，则函数y=∕(x)是以

4∣b-α∣为周期的周期函数.

⑧若函数、=/(幻满足/(》+〃7)=8卫也，则函数f(x)是以4机为周期的周期函数.

1-f(χ)

【典型例题】

题型一：利用周期性求函数值

【例1】(2022・安徽•高三开学考试)己知奇函数/(X)满足A-x)=∕(x+2),当xe[0,l]时,

/(x)=2x2,贝打⑺=()

A.-2B.-1C.1D.2

【答案】A

【分析】由奇函数性质用已知等式确定函数的周期性，然后由周期性、奇偶性求函数值.

【详解】f(x)是奇函数，则/(x+2)=∕(τt)=-∕(x),

所以/(x+4)=—/(x+2)=∕(x),函数f(χ)是周期函数，4是它的一个周期，

/(7)=/(-1)=-/(D=-2×I2=-2.

故选:A.

【例2】(2023山东・临沂市兰山区教学研究室高三开学考试)已知/(x)是R上的奇函数,

且〃x+2)=—/(x),当XW(0,2)时∙，f∖x)=jc+2x,则”15)=()

A.3B.-3C.255D.-255

【答案】B

【分析】根据题意可知f(x)是周期函数，根据周期以及奇函数即可求解.

【详解】由/(x+2)=-"x)可得,f(x+4')=-f(x+2)=f(x),故〃x)是以4为周期的周

期函数，i⅛/(15)=/(-1)=-/(1)=-3,

故选：B

【例3】(2023•全国♦高三专题练习)设/(x)是定义在R上的周期为3的函数，当xe[0,2)时，

3X2-X,0<X≤1则/(-|)=(

/(χ)=")

2-x,l<x<2

A.-1B.1C.ɪD.-

24

【答案】D

【分析】根据题意，化简得到/(-|)="-|+3)=/.(5，代入即可求解.

【详解】因为F(X)是定义在R上的周期为3的函数，当xw[0,2)时，/")=

2-x,l<x<2

则/(-∣)=∕(-→3)=∕φ=3×(∣)2-ʌɪɪ.

故选：D.

【例4】(2022•辽宁・辽阳市第一高级中学高二期末多选)已知定义在R上的函数/(x)满足

/(T)="x)=∕(x+2),且当x∈[0,l]时,/(x)=x,则下列说法正确的是()

A."x)是偶函数B./(x)是周期函数

C./(?)=TD.x∈[-l,0]时，/(x)=X

【答案】AB

【分析】首先判断函数的奇偶性与周期性，根据奇偶性求出函数在xe[-LO)上的解析式，

最后根据周期性求出/(B]

【详解】解：因为定义在R上的函数"%)满足/(r)=∕(x),所以/(x)是偶函数，故A

正确；

又/(x)=∕(x+2),所以〃x)是以2为周期的周期函数，故B正确;

设x∈[T,0),则一Xe(0,1],所以"-x)=τ,又"X)是偶函数,

则/(X)=—X,即当x∈[T,0)时f(x)=—x,故D错误;

Oɪ,故C错误;

故选：AB

【例5】(2022.黑龙江.大庆中学高二期末)/S)是定义在R上的奇函数，且满足

“X—2)=∕(x+2),又当x∈(0,l]时，/(x)=3',贝IJy(log∣]=.

【答案】弓9

O

【分析】依题意可得F(X)=/(x+4),即可得到/(x)是以4为周期的周期函数，再根据对

数的运算及奇函数的性质计算可得.

【详解】解:因为/(x-2)="x+2),所以f[(x+2)-2]=f[(x+2)+4],即/(x)="x+4),

所以〃x)是以4为周期的周期函数，

又Iogll=ɪɑgʒ72=Iog3(8×9)=log,8+Iog39=Iog38+2

372

(1、

所以/[log∣无1=川呜8+2)=/[(现38+2)-4]=〃嘀8-2),

又/S)是定义在R上的奇函数，所以“r)=-∕(x),且当x∈(0,l]时,/(x)=3v,

所以心8修卜(1%8-2)=_〃2-臃38)=-4啕,=-3唱=_：

故答案为：-总9

O

【题型专练】

1.(2023•全国•高三专题练习)已知定义在R上的奇函数/(X)满足/(x+2)=-f(x),当

xe[0,l]时，/(Λ)=2Λ-1,则()

A./(6)<∕(-7)<∕(y)B./(6)<∕(y)<∕(-7)

C.Z(-7)<∕(y)<∕(6)D./(y)<∕(-7)<∕(6)

【答案】B

【分析】由题意可得函数的周期为4,结合奇偶性和题意可得答案.

【详解】解：f(x+2)=-∕(x),

∙∙"(x+4)=/[(x+2)+2J=-f(x+2)=/(x),

函数/W是周期为4的周期函数，

又当Xwo,1]时，/(x)=2v-l,

所以/(6)="2)=∙√(0)=0,/(H)=/(|)=-/(-ɪ)=ʃ(ɪ)=√2-1,/(-7)=/(1)=1,

/(6)<∕(y)<∕(-7),

故选：B.

2.(2023•全国•高三专题练习)已知/")是定义在R上的偶函数，且/(x+6)=∕(-x),若当

Xe[-3,0]时，/(x)=6-v,贝IJy'(2021)=()

A.0B.1

C.6D.216

【答案】C

【分析】由/(x+6)=f(-X)可得函数周期为6,进而/(2021)=/(337x6-1)=/(-1),最后

求出答案.

【详解】根据题意，偶函数/O)满足门x+6)=f(-x),即/(x+6)=f(x),f(χ)是周期为6

的周期函数，则/(2021)=/(337X6-1)=/(—1),当Xe[-3,0]时,/(X)=，则/(-1)=6=6,

故/,(2021)=6

故选：C

3.(2023・全国•高三专题练习)已知函数y=∕(x)为定义在R上的奇函数，且〃x+2)=-/(x),

当x∈[T,0)时，/(x)=x,贝Ij/(2021)=()

A.2021B.1C.-1D.0

【答案】B

【分析】分析可知函数/(x)是周期为4的周期函数，利用函数的周期性和奇偶性的性质可

求得结果.

【详解】因为/(x+2)=-∕(x),所以〃x+4)=—"x+2)=∕(x),

即"x+4)=∕(x),所以函数F(X)的周期为4,

所以/(2021)=∕(4x505+l)=f⑴，

因为函数y=∕(x)为定义在R上的奇函数，且当Xel-1,0)时，/(x)=X,

所以f(l)=—/(T)=-(T)=I,所以y(2021)=L

故选：B.

4.(2023重庆巴蜀中学高三阶段练习)已知定义在R上的函数/(可满足

/(x+2)=-∕(x),∕(l)=3,贝IJy∙(2023)=.

【答案】-3

【分析】由函数满足"x+2)=-∕(x),推得函数F(X)是以4为周期的周期函数，结

合函数的周期，即可求解.

【详解】因为在R上的函数/(x)满足"x+2)=-∕(x),且〃1)=3,

令x=l,有,l+2)=—/(l)n/(3)=—3,

又/(x+4)=f[(x+2)+2]=—/(》+2)=∕∙(x),

所以函数/(x)是以4为周期的周期函数，

所以/(2023)=/(505×4+3)=/(3)=-3.

故答案为：-3.

5.(2022•陕西•宝鸡市渭滨区教研室高二期末(文))已知函数/(x)是定义在R上的奇函数，

F(X)满足/(x+2)=一且当Xe(1,3)时,/(X)=IogX,则/(2020)+/(2022)的值为

f(x)2

【答案】1

【分析】由已知条件可得/(O)=O,函数的周期为4,再结合所给的解析式可求得答案

【详解】因为函数/O)是定义在R上.的奇函数，

所以/(0)=0,

因为小+2)=-总

1

所以/(x+4)=-

Tu+2)

所以f(x+4)=∕(x),

所以73的周期为4,

因为当Xe(1,3)时，/(x)≈Iog2Λ,

所以/(2020)+/(2022)

=/(4×505)+/(4×505+2)

=/(0)+/(2)

=0+Iog22=1,

故答案为：1

题型二：函数的对称性、奇偶性、周期性综合运用

【例1】(2022•安徽蚌埠•一模)已知定义在R上的偶函数/(x)满足"1—x)+f(l+X)=0,

若J(O)=3,则f(2022)+f(2023)=()

A.OB.-3C.3D.6

【答案】B

【分析】根据题意，分析可得函数/(x)是周期为4的周期函数，由此可得

/(2022)=/(2)=-/(0)=-3,/(2023)-/(3)=-/(1),用赋值法求出/⑴的值，由此计

算即可得答案.

【详解】根据题意,函数"x)满足“l-x)+∕(l+x)=0,则〃τ)+*2+x)=0,

又由f(x)为偶函数，则有"x+2)=-"x),

则有f(x+4)=-f(x+2)=f(x),

即函数/(x)是周期为4的周期函数，

/(l-x)+∕(l+x)=0,令X=O可得/⑴=0.

/(2022)=/(2)=-/(0)=-3,/(2023)=/(3)=-/(1)=。，

所以/(2022)+∕(2023)=-3

故选：B

【例2】(2022•黑龙江•牡丹江市第二高级中学高三阶段练习)已知函数/(x)是R上的奇函

数，且满足"x+l)=∕(X-1),当Xe(O』，/(x)=lnx,则下列关于函数"x)叙述正确的

是()

①函数F(X)的最小正周期为2

②函数f(x)在(0,2021)内单调递增

③函数f(x)相邻两个对称中心的距离为2

④函数y=∕(x)+lnx在区间(0,2021)内有IOll个零点

A.IB.2C.3D.4

【答案】B

【分析】根据已知关系式通过赋值确定函数/(x)的周期，由此判断①；由周期性、奇偶性和

函数在(0,l]H的解析式可得,f(x)图象，通过图象判断②③；将y="x)+lnx零点个数问题

转化为f(χ)与y=Tnx交点个数问题，通过数形结合判断④，由此确定正确命题的个数.

【详解】因为函数f(x)是R上的奇函数，所以f(-x)=-/(X),/(0)=0,

当x∈(0,l]./(x)=lnx,

所以X∈[-1,0),/(x)=-ln(-x),

所以函数J(X)在[T,0)和(0,1]上都单调递增,

由/(x+l)=∕(x-l)耳又χ=r+l可得/(f+2)=∕(f),

所以函数〃X)为周期函数，周期为2,

由以上条件可得F(X)大致图象如下图所示:

由图象可得“X)最小正周期为2,①正确；

函数f(x)在(0,2021)内不单调递增，②错误；

/(x)的对称中心为(左,。)仅wZ),则相邻的对称中心之间距离为1,③错误；

y=∕(x)+lnx在区间(0,2021)内的零点个数等价于/(x)与y=-lnx在(0,2021)内的交点个

数，在平面直角坐标系中画出F(X)与y=-lnx大致图象如下图所示：

由图象可知：f(x)与"-∣nx在区间(0,2)时的交点横坐标为1,在每个(2Z,2Z+2乂∕eN∙)内

都有1个交点，且交点横坐标小于2A+1,故两个函数在(0,2021)内有1011个交点，GP

y=∕(x)+lnx在区间(0,2021)内有1011个零点，④正确.

故选：B.

【例3】(2022.湖北.高三开学考试)定义在R上的函数/(χ)满足/(x+1)=；/(x),且当

2

x∈[0,l)时，/(x)=l-∣2x-l∣.若对DXWl>,+oo),都有f(x)≤—,则加的取值范围是()

81

-ιo[「11)

A.旨+引B.旨+刃

^13)Γ14、

C.—,+∞D.—+∞

【答案】B

【分析】根据已知，利用分段函数的解析式，结合图像进行求解.

2x,0≤x<g?

【详解】因为当XelO,1)时,/(x)=1-|2x-l∣,所以/(X)=

2-2%,—≤Λ<1

2

故选：B.

【例4】(2022•福建♦福州三中高二期末)设函数/B的定义域为R,/G+D为偶函数,

/(x+2)为奇函数，当x∈[l,2],/(x)=αr2+⅛,若/(0)+/(3)=6,则/(?)=()

9ɪ75

A.B.C.D.

4222

【答案】C

【分析】根据函数的图像变换以及奇偶性，可得函数的所有对称中心和对称轴，进而可得函

数的周期，以及所过的点，求得部分解析式，可得答案.

【详解】根据函数的图像变换，由∕α+D为偶函数，∕ɑ+2)为奇函数，

直线χ=ι,(2,0)分别为函数/(%)的对称轴与对称中心,

即函数〃外的对称轴的方程为x=2"-l("∈Z)与对称中心坐标为(2多θ)("∈z),

易知"0)=0,函数/(x)的周期7=4,

由F(O)+/(3)=6,pl∣J/(3)=6,即"l)=-6,且/(2)=0,

∖a+b=—6,∖a=2八/、

可得方程：力八八，解得八,即当"∈[1,2],/X=2x-8,

[4a+b=0[⅛=-8o'/

G卜《1+4卜图=2、图：-8="∙

故选：C.

【例5】(2022•全国•高一单元测试)已知函数/&)的定义域为R,且满足：

f(-x+2)=-f(x+2),又f(x+D为偶函数,当x∈[0,2]时,f(x)=ax2+2x+b,则

/(1)+/(3)+/(5)+/⑺的值为()

A.4B.-4C.0D.2

【答案】C

【分析】由F(T+2)=-F(X+2),可得F(I)+f(3)=0,再根据条件得到周期后即可求解.

【详解】由A-X+2)=-f{x+2),可知函数f(x)关于点(2,0)中心对称，即有∕ω=-∕(4-x);

由/(x+l)为偶函数,可知函数/S)关于X=I对称,即有/(χ)=∕(2-χ).

于是有/(2-x)=-∕(4-x),从而可得/(X)=/(4+x),因此可得函数/U)的周期为4.

所以/(5)=∕(1),/(7)=/(3).

再由f(-x+2)=∙√(x+2),令χ=l,⅛/(1)=-/(3),BP∕(1)+/(3)=0.

所以/。)+/0)+/(5)+/⑺=/(D+/(3)+/(1)+/(3)=2(/(1)+/(3)]=0.

故选：C

【例6】(2022•河北深州市中学高三阶段练习)已知定义域为R的函数/(x)满足：对任意的

XGR,有"x+2)=2—"力，且当xe[0,l]时，/(x)=l+l0g2(x+l),则“2023)=()

A.OB.IC.2D.3

【答案】A

【分析】由题意可得函数/(x)是周期为4的周期函数，所以/(2023)=f⑶，令x=3有

/(3)=2—/(1)=0,即可求出答案.

【详解】/(x+2)=2-∕(x),用x+2代换X,有"x+4)=∕(x)恒成立，

所以函数/(x)是周期为4的周期函数.

所以“2023)="4X505+3)="3).

令x=3有/⑶=2-/⑴=(),所以“2023)=/(3)=().

故选：A

【例7】(2022•河南・郑州四中高三阶段练习(文))己知/(x)是定义域为R的函数，满足

/(x)=∕(x-4),/(x+2)=∕(2-x),当0≤χ42时，/(x)=x2-x,则下列说法错误的是

()

A.函数/(x)是偶函数B.函数〃x)的最小正周期为4

C.当0≤x≤4时，函数/(x)的最小值为D.方程"x)=bg3∣x∣有IO个根

【答案】C

【分析】利用偶函数的定义判断A；利用函数周期的定义判断B：根据对称性以及二次函数

的性质可判断C；利用数形结合的判断D.

【详解】因为/(x)是定义域为R的函数，

由"x+2)=f(2-x),则"x)=∕(4r),

又F(X)=J。-4),

所以/(4-X)=/(x-4),即/[-(x-4)]=/(Λ-4),

所以/(-x)=∕(x),所以函数"x)是偶函数，故A正确；

由/(x)=∕(x-4),根据周期的定义可知函数的最小正周期为4,故B正确；

当0≤X≤2时，/(χ)=χ2-χ=(χ-g),

函数的最小值为==,

由/(x+2)=∕(2-x),所以x=2为对称轴，

所以当0≤x≤4时，函数/(x)的最小值为故C不正确；

作出x>0时y=∕(x)与y=l0g3X的图像，由图像可知x>0时，函数有5个交点，

又y=∕(χ)与y=bg3∣H为偶函数，

由对称性可知方程F(X)=IOg3W有10个根，故D正确.

故选：C.

【例8】若函数/(x)的定义域为R,且/(%+〉)+/。一丁)=/(》)/(〉),/(1)=1,则

22

£/W=()

λ=l

A.-3B.-2C.OD.1

【答案】A

【解析】

【分析】根据题意赋值即可知函数/(x)的一个周期为6,求出函数一个周期中的

/(1),∕(2),,/(6)的值，即可解出.

【详解】因为/(%+丁)+/(%—丁)=/(》)/(丁)，令*=1,丁=0可得，2/(1)=/(1)/(0),

所以“0)=2,令X=O可得，"y)+"-y)=2∕(y),即/(>)=〃—>)，所以函数/(χ)

为偶函数，令y=l得，/(x+l)+"x-l)=∕(x)∕(l)=√(x),即有

/(x+2)+∕(x)=∕(x+l),从而可知/(%+2)=_/(%-1),f(x-l)=-/(X—4),

故/(x+2)=∕(x-4),即/(x)=∕(x+6),所以函数/(x)的一个周期为6.

因为"2)=∕(I)T(O)=I-2=-1,/(3)=/(2)-/(1)=-1-1=-2,

/(4)=/(-2)=/(2)=-1,/(5)=/(-1)=/(1)=1,/(6)=∕(0)=2,所以

一个周期内的“l)+"2)++/(6)=0.由于22除以6余4,

22

所以£/(%)=〃1)+/(2)+〃3)+/(4)=1-1—2-1=一3.

k=∖

故选：A.

【题型专练】

1.(2022•陕西•长安一中高一期末)已知函数〃X)的定义域为R,/(x+2)为奇函数，

“2x+l)为偶函数，则函数f(x)的周期是()

A.2B.3C.4D.5

【答案】C

【分析】由奇函数性质可得〃r+2)=∙√(x+2),由偶函数性质可得/(—2x+l)=∕(2x+l),

化简整理可得/(x+2)=-/(》)，即可求出周期.

【详解】因为/(x+2)为奇函数，所以f(r+2)=-F(X+2),

因为/(2x+l)为偶函数，所以/(-2x+l)=∕(2x+l),则/(-x+l)=∕(x+l),

则/[-(x+l)+l]=∙f(x+2),BP∕(-x)=∕(x+2),

所以/(r+2)=-∕(r),即“x+2)=-∕(x),则/(x+4)=-∕(x+2)=∕(x),

所以“x)的周期是4.

故选：C.

2.(2022・湖南・长沙一中高三开学考试)已知f(x)是定义在R上的奇函数，/(x-l)为偶函

数，且当0<x≤l时，/(x)=log22x,则/⑵)=()

A.-1B.0C.Iog23D.1

【答案】D

【分析】根据奇偶性的性质化简可得/(同是以4为周期的函数，即可求出.

【详解】因为/(x)是定义在R上的奇函数，故可得"x)=-"τ),

乂/(X-1)为偶函数，故可得/(X-1)=∕(-X-1)=-∕(X+1),

则/(x)=—“X+2)=-[—/(X+4)]=/(x+4),故/(x)以4为周期，

故/(21)=∕(l)=bg22=L

故选：D.

3.(2023•江苏•南京市第一中学模拟预测)已知定义域是R的函数/(x)满足：VxeR,

/(4+x)+∕(-x)=0,f(l+x)为偶函数，"1)=1,则f(2023)=()

A.1B.-1C.2D.-3

【答案】B

【分析】根据对称性可得函数具有周期性，根据周期可将“2023)="3)=∙√⑴=T

【详解】因为“1+”为偶函数，所以"x)的图象关于直线x=l对称，所以"2r)=∕(x),

又由/(4+x)+∕(-x)=0,得/(4+x)=-y(-x),所以/(8+x)=-/(-4-X)=~√(6+x),

所以“x+2)=T(x),所以/(x+4)="x),故f(x)的周期为4,所以

/(2O23)="3)=-"1)=T.

故选:B.

4.(2022.广西梧州.高二期末(理))已知"x)是定义在R上的偶函数，且对任意x∈R,有

/(l+x)=-∕(l-x),当XwO,1]时∙，/(X)=X2+AT-2,则下列结论错误的是()

A.〃x)是以4为周期的周期函数

B./(2021)+/(2022)=-2

C.函数y=∕(x)T0g2(x+l)有3个零点

D.当x∈[3,4]时,/(X)=Λ2-9X+18

【答案】B

【分析】根据函数对称性和奇偶性，可得/(x)的周期，即可判断A的正误，根据〃X)解

析式及周期，代入数据，可判断B的正误；分别作出y=l0g2(χ+i)和y=∕(χ)的图像，即

可判断C的正误；根据函数周期及奇偶性，化简整理，可判断D的正误，即可得答案.

【详解】因为〃l+χ)=-∕(I-X),且/(χ)为偶函数,

所以〃x+4)=〃l+x+3)=-/0-(x+3))=-“-2-x)=-4-(2+x))

=-∕(2+χ)=-∕(l+l+χ)=∕(l-(l+χ))=∕(-χ)=∕(χ).

故f(x)的周期为4,故A正确.

由〃力的周期为4,则42021)="1)=0,/(2022)=/(2)=-/(0)=2,

所以/(2021)+/(2022)=2,故B错误；

令y=∕(χ)-iog2(x+i)=。，可得/(χ)=bg2(χ+1),

作函数y=log?(χ+1)和y=F(χ)的图像如下图所示，

由图可知，两个函数图像有3个交点，故C正确；

当xe[3,4]时，4-x∈[0,l],则“x)=∕Qx)=∕(4-x)=(4—幻2+(4_力_2=/_%+18,

故D正确.

故选：B.

5.(2022•吉林・长春十一高高二期末)己知定义域为R的函数/(x)满足：对任意的x∈R,

有F(X)+f(-x)=2,y=f(-x+l)为偶函数，且当xw[0,l]时,/(x)=l+log2(x+l),则

/(2023)=()

A.0B.1C.2D.3

【答案】A

【分析】先判断出函数f(x)是周期为4的周期函数，利用周期性宜接求解.

【详解】因为y=/(—x+l)为偶函数，所以/(-x+l)=∕(x+l),用x-1代换X,可得：

/(x)"(r+2)①

对任意的x∈R,有f(x)+/(T)=2,把①代入有：/(-x+2)+∕(-x)=2,即

“x+2)+∕(x)=2②

在②式中，用一代换X,有"x)+∕(x-2)=2③.

②③对照可得：/(x+2)=∕(x-2),用χ+2代换X,有/(x)=∕(x+4)恒成立，

所以函数/(x)是周期为4的周期函数.

所以/(2023)=/(4×505+3)=/(3).

在③中，令x=3有/(3)+∕(3-2)=2,所以/(3)=_/(1)+2=_(1+1)+2=0,

所以42023)="3)=0.

故选：A

6.(2022・山西长治•高二期末)若定义在R上的奇函数/(x)满足"2-x)=∕(x),在区间

(0,1)上，有(X-Λ2)[∕(XJ-∕(Λ2)]>0,则下列说法正确的是()

A.函数/(x)的图象关于点(1,0)成中心对称

B.函数/(x)的图象关于直线x=2成轴对称

C.在区间(2,3)上,f(x)为减函数

D∙∙O>∕∣1)

【答案】C

【分析】对于A：根据题意结合奇函数可得“4-x)+∕(x)=0,结合对称中心结论

“"LX)+∕(X+/)=2⅛,则/(x)关于1岁可成中心对称理解判断；对于B：根据对称

轴的结论：/(m-x)=∕(x+w),则〃力关于X=誓成轴对称，结合题意理解判断；对

于C：根据题意可得：f(x)在(OJ)内单调递增，结合轴对称性质：对称区间单调性相反理

解判断；对于D：整理可得f(x+4)=∕(x),则/(x)的周期为4,结合单调性整理分析.

【详解】/(4-x)=∕[2-(x-2)]=∕(x-2)=-∕(2-x)=-∕(%),即“4—x)+∕(x)=0,

故/(x)关于(2,0)成中心对称，A不正确；

V∕(2-x)=∕(x),则/(x)关于x=l成轴对称，B错误；

根据题意可得：/(x)在(0,1)内单调递增

.."(可关于x=l成轴对称，(2,0)中心对称,则J(X)在(2,3)内单调递减:C正确；

又∙∙∙f(x)=∕(2-x)=—f(x-2),则/(x+2)=—/(x)

.••/(x+4)=—4x+2)=∕(x),可知/(x)的周期为4

则()心卜呜"错误

故选：C.

7.(2022.广东湛江.高二期末)已知函数/(力为R上的奇函数，g(x)=∕(x+l)为偶函数,

则下列说法错误的是()

A./(x)的图象关于直线X=-I对称

B.5(2023)=O

C.g(x)的最小正周期为4

D.对任意的x∈R都有"2-x)=∕(x)

【答案】C

【分析】由奇偶性知“X)的对称中心为(0,0)、对称轴为X=1,进而推得F(4+χ)=f(χ),

即可判断各选项的正误.

【详解】由/(x)的对称中心为(0,0),对称轴为X=1,

则f(x)也关于直线x=—1对称旦/(x)=∕(2τ),A、D正确，

由A分析知：/(jf)=∕(2-^)=-∕(-χ),故/(2+x)=—/(x),

所以/(4+幻=—八2+X)=f(X),

所以/(x)的周期为4,贝∣Jg(2023)=/(2024)=/(0)=0,B正确：

但不能说明"x)最小正周期为4,C错误；

故选：C

8.(2022・海南•嘉积中学高二期末)F(X)的定义域为R,且f(x+y)+f(X-A=/(x)f(y)，

9θ22

/(1)=1,则Ef(X)=()

k=i

A.-3B.-2C.0D.1

【答案】C

【分析】令y=i,M∣J∕(χ+l)=∕ω-∕(χ-l),由此可推出f(χ+6)=-∕(χ+3)=∕(x),则/(X)

的周期为6,然后利用赋值法求出/(2)J(3)"(4),∕(5)J(6)的值，可求出一个周期上的6

2022

个函数值的和，从而可求出Z-(X)

i=l

【详解】令y=i,则/(χ+D+F(D"(χ),Kp/(χ+D=/(%)-/(%-1),

所以/(x+2)=f(x+l)-∕(x),f(x+3)=/(x+2)-/(x+1),

所以/(x+3)=-/(X),

所以/(x+6)=-/(x+3)=f(x),

所以/(x)的周期为6,

令x=l,y=0,则/(I)+/⑴=f(l)xf(O),得/(0)=2,

因为/(X+1)=F(X-I),

所以J(2)=/(l)_J(O)=I-2=7,

/(3)=/(2)-/(1)=-1-1=-2,

/(4)=/(3)-/(2)=-2+I=-I,

/(5)=/(4)-/(3)=-1+2=1,

/(6)=/(5)-/(4)=1+1=2,

所以/(D+/(2)+/(3)+/(4)+/(5)+/(6)=0,

2022

所