小学奥数几何模块-图形的剪拼

图形的剪拼

模块一图形分割

嗨物“知识剖析ɪ

图形的剪拼是几何学中一个非常有趣的课题,研究图形的剪拼问题不仅可以增强对几何'

图形的直观感觉和判断能力，丰富对图形的想象力，而且有益于提高数学的思维能力.

下面是常见的一些图形剪拼:

♦正三角形的分割：

♦等腰直角三角形的分割：

♦正六边形的分割:

二4ɪɪ

一位农夫临终前把他的四个儿子叫到床前说：“我没什么留给你们的，只有祖上留下的几十

亩地.我死后，你们把它分了，为了避免争吵，你们还是平分吧农夫死后，他的四个儿

子开始分地，如图所示，地里恰好有四口井，四棵树，他们决定分成面积、形状相同的四

块，并且每人一口井，一棵树，请你帮助他们来分田地.

M练一练

如下图所示的正方形是由36个小正方格组成的.如图那样放着4颗黑子，4颗白子，现在

要把它切割成形状、大小都相同的四块，并使每一块中都有一颗黑子和一颗白子.试问如何

切割？

Λ∖例2

如图，请用三种不同的方案，用一条直线把下列图形分割成面积相等的两个图形，画出必要

的练一练

(1)如图，过点A用一条直线把下列图形分割成面积相等的两个图形，画出必要的辅助线.

(2)如图，用一条直线把下列图形分割成面积相等的两个图形，画出必要的辅助线.

(1)如图1,请过点A画一条直线交BC于点。，且将三角形ABC分成面积相等的两部分

并指出，此时BO与Cf)的大小关系；

(2)如图2,梯形A8Cf),AO平行SC,AC与BO相交于点0,图中有哪几对面积相等的

三角形，请直接写出来；

(3)如图3,某小区有一块四边形草地A8C，现欲过点A修一条笔直的小路(路宽忽略

不计)，将该草地分割成面积相等的两部分，请在图中画出小路，并简要说明作图过程.

大脸猫有一块如下图所示的一块五边形土地，为了方便灌溉，欲通过4修一条水渠，使得水

渠左右两边的地面积相同.请在图中画出水渠，并简要说明作图过程.

CD

米）模块二图形拼接

倏盛M知识剖析城螂

图形的剪拼是几何学中一个非常有趣的课题,研究图形的剪拼问题不仅可以增强对几何

图形的直观感觉和判断能力，丰富对图形的想象力，而且提高数学的思维能力

一番操作、

例题：有一个长方形的花圃，中间有一条宽2米的人行路.花圃长50米，宽30米，

那么种花的面积是多少？

解析：本题考虑长方形的面积及减去路径的面积时，路径的面积计算会比较繁琐，我们

可以采用把种花的两部分拼接起来.

拼接如图所示：

拼接后的图形是一个长方形，

长：50-2=48（厘米），宽：30-2=28（厘米），

种花的面积：48x28=1344（平方厘米）

答：种花的面积是1344平方厘米.

总结：遇到不规则图形时，可以用图形拼接来处理问题.

例4

在数学活动课上，小猪佩奇将一张等腰三角形纸片沿底边上的高剪开，得到两个直角三角形

纸片（如图1）,她将这两张纸片重新拼成一个与原先形状不同的等腰三角形（如图2）.你

能将图1中的两个三角形拼成四边形吗？如果可以，请你按照图2的表示方式，画出所有可

》练一练

这是由10个边长为1的小正方形组成的一个图形，对这个图形进行适当分割，然后拼接成

新的图形，拼接时不重叠、无空隙，并且拼接后新图形的顶点在所给正方形网格图中的格

点上，将由所得到的符合要求的新图形画在下边的正方形网格图中（画出分割的辅助线）.

（1）新图形为平行四边形；（2）新图形为正方形;

+T+T

I-

X1I

llIl

—

II—I

+TH十T

一十

XlL±lT-I-I-+-I-

」」一

IlI1l-J__1_1__L

IIIIIII

TrrTnTn

--

÷TF+HT^lΓ+H

ɪlL±J-÷H-I-±J

」

IlIII_J._LII

二4ɪʒ

不相等的长方形纸片，剪去一个正方形，余下一个四边形，称为第一次操作；在余下的四边

形纸片中再剪去一个正方形，又余下一个四边形，称为第二次操作....以此类推，若第〃

次操作后余下的四边形是正方形，则称原长方形为〃阶准正方形(例如，若第3次操作后余

下的四边形是正方形，则称原长方形为3阶准正方形).如图(1),长方形ABCD中，若

AB=∖,BC=2,则长方形ABe。为1阶准正方形.

(1)①如图2,把长方形ABCD沿着BE折叠，使点A与点F重合，则四边形ABFE是

________形.

②邻边长分别为2和3的长方形是阶准正方形.

(2)若长方形ABCD的邻边长分别2、a(a>2),且是3阶准正方形，请画出长方形ABCQ

及裁剪线的示意图，并在图形下方写出。的值.

6,练一练

菱形的定义：在同一个平面内，把一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.邻边不相等的平

行四边形纸片，剪去一个菱形，余下一个四边形，称为第一次操作；在余下的四边形纸片

中再剪去一个菱形，又剩下一个四边形，称为第二次操作；……依次类推，若第"次操作

余下的四边形是菱形，则称原平行四边形为"阶菱形.如图1,平行四边形ABCD中，若

AB=I,BC=2,如图2,通过折叠可以得到一个菱形，则余下的四边形也是菱形，因此平行

四边形ABCZ）为1阶准菱形.

图①图②

（1）判断与推理：

邻边长分别为2和3的平行四边形是阶准菱形.

（2）操作、探究与计算：

①已知平行四边形ABCD的邻边长分别是1和“（α>l）,且是3阶准菱形，请画出

平行四边形ABCD及裁剪线的示意图，并在图形下方写出a的值；

②己知平行四边形ABC。的邻边长分别为a、b（a>b）,满足α=W+r,b=5r,请

写出平行四边形ABC。是几阶准菱形.

Λ∖例6

■_"z~

熊大从一张长方形纸片中，剪去一个最大的正方形后，又剪掉一个最大的正方形，此时剩

下了一个长4厘米，宽3厘米的长方形，那么原来纸片的面积可能为多少平方厘米？（要

求写出所有结果）

R练一练

熊二从一张长方形纸片中，剪去一个最大的正方形后，又剪掉一个最大的正方形，此时剩下

了一个长4厘米，宽2厘米的长方形，那么原来纸片的面积可能为多少平方厘米？（要求写

出所有结果）

W例7

-=-------1~~

有一块直角三角形的绿地，量得两直角边长分别为6m、8m,斜边长为IOm,现在要将绿地

扩成等腰三角形，且扩充部分是以8m为一条直角边的直角三角形，请画出你所想到的所有

扩充方案的示意图形.

6m

的练一练

请对图形进行如下操作：

（1）如图1,为正方形ABCn纸片，请以AB为一边，在纸片上画出一个等腰三角形.

（2）如图2,为长方形ABeC纸片，AB=2,BC=A,在纸片上画出一个面积最大的等腰三角

形，并求出此三角形的面积.

（3）如图3,为直角三角形ABC纸片，EM=90。，AB=4r,AC=3,BC=5,若要在纸片上裁出

一个等腰三角形，且两腰分别与原三角形的边重合，请画出所有符合要求的图形，并

求出其中最大的面积.

C思维提升

练习1.如图，长方形纸片长与宽分别为6和4,要将该纸片剪去3个等腰直角三角形后，使

剩余部分的面积最小，请在图中画出相应的裁剪线.

练习2.在下面的方格中有4个圆圈，请你把方格分成4个完全相同的非正方形，使每部分

都有1个圆圈（圆圈的位置相同）.动手画出你的方法.

练习3.新新从一张长方形纸片中，剪去一个最大的正方形后，又剪掉一个最大的正方形，此

时剩下了一个长4厘米，宽3厘米的长方形，那么原来纸片的面积可能为多少平方

厘米？（要求写出所有结果）.

练习4.已知给出一个边长均为4的正方形ABCD

③

（1）在图①中做出两条直线，是它们将正方形ABCD的面积四等分（要求其中一条

直线必须过点A）；

（2）图②中：已知点〃在边A。上且AM=2.在图②中作出两条直线使它们将正方形

ABCC的面积四等分（要求其中一条直线必须过点M）；

（3）图③中：己知点M在边AO上且4M=3.在图③中作出两条直线使它们将正方形

ABCO的面积四等分（要求其中一条直线必须过点M）；

（4）图④中：点M是正方形ABC。外的一点，能否在图④中也作出两条直线使它们

将正方形ABCZ）的面积四等分（要求其中一条直线必须过点M）?若能，请在图④中

直接作出；若不能，说明理由.

练习5.请在方格纸中，以线段AB为边画出两个面积为3的格点三角形，要求一个为锐角三

角形，一个为钝角三角形.（注：每个小方格的边长为I;格点三角形是指三角形的

三个顶点都在方格的交叉点上）

K思维提升

提升1.淘气在整理玩具时，找到一个直角三角形，一个直角梯形和一个中间有空心圆孔的

长方形铁片，他测量有关数