2022年高考数学强基计划讲义：函数的性质

2022年高考数学尖子生强基计划专题4：函数的性质

一、知识要点拓展

1、映射

对于任意两个集合43,依对应法则/,若对4中的任意一个元素x,在8中都有唯一

一个元素与之对应，则称f8为一个映射，记作/:/—用其中b称为像，a称为原

像。

如果f:ATB是一个映射且对任意x,yEA,x^y,都有/(x)wf(y),则

->8是/到6上称之为单射.

如果/:2-5是映射且对任意丁6民都有一个86力使得/(x)=y,则称

6是4到8上的满射.

如果/：/f8既是单射又是满射，则/:Zf6是/到5上叫做一一映射.

如果/：/-8是从集合A到集合B上的一一映射，并且对于B中每一个元素6,使b

在N中的原像a和它对应，这样所得的映射叫做8的逆映射，记作-4

2、函数方程问题

(1)代换法(或换元法)

把函数方程中的自变量适当地以别的自变量代换(代换时应注意使函数的定义域不会发

生变化)，得到一个新的函数方程，然后设法求得位置函数

例.设abwO,)(【解析】分别用x=；,x=.带入)

(2)待定系数法

当函数方程中的未知数是多项式时，可待定系数而求解.

例.已知工(x)=/(x)是一次函数，，(x)=/(，O)且£O(X)=1O24X+1O23,

求/(x).(【解析】设/6)=6+6(。工0)求解)

3、函数的性质

设函数y=/(x)的定义域为。

1.单调性：

(1)传统定义：在区间口，切上，^a<X]<x2<b,如果/(占)</(%)，则/(x)

在区间[a,切递增；如果/(西)>/区)，则/(x)在区间切递减；

(2)导数定义：在区间口，切上，如果/'(x)>0,则/(x)在区间口，切递增；

如果

/,(x)<0,则/(x)在区间[a,切递减；

①、小J——>。=/")在。上为增函数

注意：玉一"

7②、八\)二八七2<0o/(x)在。上为减函数

.X]一X2

2.复合函数的单调性：

(1)增函数+增函数=增函数减函数+减函数=减函数

增函数-减函数=增函数减函数-增函数=减函数

(2)对于取值恒为非负数的函数

增函数X增函数=增函数减函数X减函数=减函数

增函数♦减函数=增函数减函数♦增函数=减函数

(3)若/(x)、g(x)都是增(减)函数,则f(g(x))为增函数；

若/(X)、g(x)一个增函数,一个减函数，则/(g(x))为减函数。简称“同

增异减”

3.奇偶性：

(1)若函数卜=/8)满足/(一乃=-/(》)(》€。)，则/(X)叫做奇函数，其图象

关于原点对称；

(2)若函数y=/(x)满足/(—x)=/(x)(xeD),则/(x)叫做偶函数，其图象

关于y轴对称；

4.周期性：

(1)一般地，对于函数/(x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内

的每一个值时，都有

f(x+T)=f(x),那么函数/(x)就叫做周期函数。非零常数T叫做这个函数的周

期。

(2)对于非零常数4,若函数y=/(x)满足f(x+⑷=—/(X),则函数y=f(x)必

有一个周期为2/。

证明：f(x+2A)=f[A+(x+A)]=-f(x+A)=4-/U)]=/(X)，所以函数y=/(x)

的一个周期为2/o

(3)对于非零常数/,函数丁=/(x)满足/(》+/)=则函数歹=/(x)的一

./(X)

个周期为24。

(4)对于非零常数Z,函数y=/(x)满足/(x)=一焉，则函数y=/(X)的一

个周期为2〃。

5.对称性(分函数图像的自对称及函数图像的互对称)

(1)函数y=/(x)满足/(a+x)=/(b-x)时，函数歹=/(x)的图像关于直线

》=号£对称。特别的，。=6=0时，该函数为偶函数。

证明：在函数y=/(x)上任取一点(4乂)，则乂=/(为)，点(孙乂)关于直线

x=的对称点为(a+b-/,必)。

f(a+b-xl)=f[a+(b-xl)]=f[b-(b-xl)]=f(xl)=yl,故点(。+6-玉,乂)也在函

数y=/(x)的图像上。由于点(项,乂)是图像上任意一点，因此，函数的图像关于

直线》=勺士对称。

1.函数y=/(x)满足f(a+x)+/(b-x)=c时，函数y=/(x)的图像关于点

(竽对称。特别地，当。=/,=c时，函数为奇函数。

证明：在函数y=/(x)上任取一点(斗必)，则必=/(%),点(斗乂)关于点

(竽■卷的对称点为

(a+b-xrc-y^。f(a+b-x]]=c-f[b-(b-xl)]=c-f(xi)=c-yl,即点

(a+b-x^c-y^在y=/(x)的图像上。由于点(%,乂)是函数y=/(x)上任意一点,

因此，函数歹=/(x)关于点(与士,；|对称。

h-a

2.函数y=/(a+x)的图像与y=/(b-x)的图像关于直线x=，_对称。

证明:在函数y=/(q+x)上任取一点&,乂)，则乂=/(。+再)，点(%,乂)关于直

线x=对称的点为3-”玉,乂)o由于

f[(b-(b-a-x[)}=f(b-b+a+xi)=f(a+xi)=yl,故点(b-a-x^y^在函数

y=/(6-x)上。由于点(西,乂)是夕=/(a+x)上任意一点，因此y=/(a+x)与

y=f(b-x)关于直线》=与，对称。

6.函数周期性和对称性之间的联系

1.设/(x)是定义在R上的函数，其图像关于直线x=a和x=b(awb)对称，则

/(x)是周期函数，且2(b-a)是它的一个周期。

证明：/(x)关于直线x=a和x=6对称，故/(x)=f(2a-x),f(x)=f(2b-x),xeR,

从而

fQa—x)=fQb—x),x&R。

将上式的-x以x代换，得/(2a+x)=f(2b+x),xeR。

所以f[x+2(h-er)]=/[(x-2a)+2h]=/'[(x-2a)+2a]=f{x),xeR

即/(x)是&上的周期函数，且2(6-0是它的一个周期。

(2)设/(x)是定义在火上的函数，其图像关于点/伍,0)中心对称，且其图像

关于直线x=b(b*a)对称，则函数/(x)是周期函数，且4(b-a)是它的一个周期。

证明：/(x)关于点〃(。,0)对称，故f(2a-x)=-f(x),xeR,/(x)关于直线x=b

对称，故

f(x)-f(2b-x),xeR,从而有f(2b-x)=-f(2a-x),xeRo

将上式中的—X以x代换，得/(2b+x)=—/(2a+x),xeH。

所以/[x+4s-a)]=/[2b+(x+2h-4a)]=-f[2a+(x+2b-4a)]

--f[2b+(x-2a)]-f[2a+(x-2tz)]-f(x),xGR,

即/(x)是火上的周期函数，且4(b-0是它的一个周期。

(3)设/(x)是定义在灭上的函数，其图像关于点〃(。,州)和N(b/o)(awb)

对称，则/(x)是周期函数，且23-0是它的一个周期。

证明：/(x)关于点火。,线)和N(b,凡)(awb)对称，故/(2a—x)=2几—/(X)，

f(2b-x)=2y0-f(x),xeR,从而有/(2q-x)=/(2b-x),xeT?。

将上式中的-x由x替换，得f(2a+x)=f(2b+x),xeR

所以/[x+2(b-a)]=f[2b+(x-2a)]=f[2a+(x—2a)]=/(x),xwR,

即/(x)是周期函数，且2(b-a)是它的一个周期。

4.抽象函数问题的解法

抽象函数是指没有给出具体的函数解析式或图像，只给出一些函数符号及

其满足的条件的函数，如给出函数的定义域、解析递推式、特定点的函数值、特

定的运算性质等，它是高中函数部分的难点，也是与高等数学函数部分的一个衔

接点。由于抽象函数没有具体的解析表达式作为载体，因此研究起来比较困难。

但由于此类试题既能考查函数的概念和性质，又能考查学生的思维能力，所以备

受命题者的青睐。那么，怎样求解抽象函数问题呢？我们可以利用函数性质法、

特殊化方法等多种方法从多角度、多层面去分析研究抽象函数问题。

1.函数性质法

函数的特征是通过其性质(如奇偶性、单调性、周期性等)反映出来的。

抽象函数也是如此，只有充分挖掘和利用题设条件和隐含的性质，灵活地进行等

价转化，才能将抽象函数问题化难为易。常用的方法有：①利用奇偶性整体思考;

②利用单调性等价转化；③利用周围性回归已知；④利用对称性数形结合；⑤借

助特殊点列方程。

2.特殊化方法

①在求解函数解析式或研究函数性质时，一般用代换的方法，将x换成-x或将x

换成其他字母等；

②在求函数值时，可用特殊值代入

③研究抽象函数的具体模型，用具体模型解选择题、填空题，或通过具体模型函

数为解答综合题提供思路和方法。

5.有界函数：

定义1：设/(x)为定义在。上的函数，若存在常数M、L,使得对每一个xe£)

有

侧称/(x)为。上的有上(下)界函数，/(£)称为/(X)为定义在。上的上(下)

界。

根据定义，/(X)在。上的有上(下)界，意味着值域是一个有上下界的数

集。又若A/(L)为/(x)在。上的上(下)界，则任何大于(小于)M(A)的数也

是/(x)在。上的上(下)界。

定义2：设/(x)为定义在。上的函数，若存在正数使得对每一个都有

|/(x)|<A/,则称/(x)为。上的有界函数。

根据定义，/(x)在。上的有界，意味着值域是一有界集。又按定义不难验

证：/.(X)在。上的有界的充要条件是/(X)在。上的既有上界又有下界。

「(X)仔"的几何意义是：若/(X)在。上的有界函数，则/(X)的图象完全落在

直线y=M与丁=-M之间。

6、函数的迭代

一个函数的自复合，叫做迭代。我们用g*(x)表示g(x)的左次迭代函数。

g°(x)=x

即，

[gi(x)=g(g"(x))

fg'(x)=x.、

如果,〃、则称g(x)有迭代周期p.

/(X)不怛等于X《=l,2,…,P—1)

迭代问题的解法通常是找它的迭代周期。一般来说，若y=g(x)的图像关于直线歹=x

对称，则一定有g（g（x））=x.它的迭代周期就是2.下面是几个常见函数的迭代周期。

/、2x-7

g（x）=«_，迭代周期是3；

X—1

g（x）=k，迭代周期是4；

7、凹凸函数

设/为定义在区间/上的函数，若对/上任意两点%、马和实数九e（0,1）,总有

/（Xx,+（1-X）x2）<X/G）+（1-九）/'（%），则称/为/上的凸函数（有时也称下凸函

数）。反之，如果总有不等式/。玉+（1-）x2）>V（%,）+（1-）/（x2）,则称则称/为/

上的凹函数（有时也称上凸函数）。

特别地，九=:时，有/地/（%）；/（工2）（凸函数）或

如何判断一个函数是凸函数（凹函数），除了定义以外，还有下面的定理：

设/为/上二阶可导函数，则/为/上的凸（凹）函数的充要条件是/〃（x）»0

凸函数更一般的情形是下面的琴生不等式：若/为上的凸函数，则对任意

X,e[a/],%>0。=1,2,…,〃），且£%=1,则

i=l

3』7i=l

二、热身练习

1、（复旦）若要求关于》的函数怆1080.524+"+1的定义域是（-00,+8）,则4、b的取值范围

是（）

（4）0（5）a<0-4a<0（D）a=b^0

2、（复旦）某校有一个班级，设变量x是该班同学的姓名，变量y是该班同学的学号，变量

z是该班同学的身高，变量w是该班同学某一门课程的考试成绩，则下列选项中正确的是

（）

（Z）y是x的函数（8）z是y的函数（C）w是z的函数（D）w是x的函数

3、（复旦）设/（x）是定义在实数集上的周期为2的周期函数，且是偶函数。已知当xe[2,3]

时，f（x）=—x,则当xe[—2,0]时，“X）的表达式为（）

（Z）—3+|x+l|（8）2—|x+11（C3—|x+11（。）2+1x+11

4、（复旦）设有三个函数，第一个是y=/（x）,它的反函数就是第二个函数，而第三个函

数的图像与第二个函数的图像关于直线x+y=0对称，则第三个函数是（）

（z）y=-/（X）=（C）y=-f-'（x）（。）y=-f-'（-x）

三、高考真题讲解

例I.【2020年高考全国n卷文数12理数11]若2"-2''<3-、-3-'，贝IJ()

A.ln(j^-x+l)>oB.ln(^-x+l)<0c.ln|x-j|>0D.ln|r-y|<0

例2.【2020年高考全国H卷理数9】设函数/(x)=ln|2x+lbln|2x—l|,则/(x)()

A.是偶函数，且在(?，+oo)单调递增B.是奇函数，且在(-：，：)单调递减

C.是偶函数，且在(-oo,_单调递增D.是奇函数，且在1-8,—单调递减

例3.【2020年高考山东卷6】基本再生数4与世代间隔是新冠肺炎的流行病学基本参数.基

本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔是指相邻两代间传染所需的平均时间.在

新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：/(，)=e”描述累计感染病例数/。)随时间/(单

位：天)的变化规律，指数增长率r与与，7近似满足4=1+”.有学者基于已有数据估

计出勺=3.28,7=6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的

时间约为(In2々0.69)()

A.1.2天B.1.8天C.2.5天D.3.5天

例4.【2020年高考山东海南卷8】若定义在R上的奇函数/(x)在(-8,0)单调递减，且

/(2)=0,则满足4Xx-l)20的x的取值范围是()

A.[-l,l]U[3,+<x>)B.[-3,-l]U[0,l]C.[-1,O]U[1,+«))

D.[-l,0]U[l,3]

四、高考模拟训练

1.(2021•重庆•西南大学附中高三月考)已知定义在R上的函数/(x)满足如下条件：①函数

3

/(x)的图象关于y轴对称；②对于任意xeR,〃x)=〃2-x)；③当xe[0,1]时，/\x)=爹》；

④g(x)=/(4x).若过点(T，°)的直线/与函数g(x)的图象在xe[0,2]上恰有8个交点，则

直线/斜率左的取值范围是()

A.(0,刁B.(0,；)C.(0,1)

2.(2021•江西•高三月考(理))已知a=1.2,b=；,c=e02,则(

A.a<b<cB.c<a<h

C.a<c<bD.c<b<a

3.(2021•上海市吴淞中学高三期中)如图，半径为1的半圆O与等边三角形Z8C夹在两平

行线之间，〃4，/与半圆相交于足G两点，与三角形N2C两边相交于点E、D,设

弧尸G的长为x(0<x<7t),y=EB+BC+CD,若/从/1平行移动到的则函数y=/(x)的

图像大致是()

4.(2021・四川资阳•高三月考(理))若不等式xe、-“x+2)ilnxN0恒成立，则。的取值

范围是()

1|「八21「八11F,el0,£o[l,e]

A.0o,_B.0,_C.0,_1,_D.

eJeJ[_eju2eJ

5.(2021・安徽•六安一中高三月考(理))已知函数/(x)=(x2一2x)e，」，若当x>l时，

/(x)-/nx+l+，"4°有解，则实数优的取值范围为()

A.(-0>,1]B.C.(T,+«))D.口,+8)

6.(2021•广西桂林•模拟预测(理))已知函数=[尸

g(x)=x2-2x,设

IInx,e-<x<e

。为实数，若存在实数〃?，使2g(a)=0,则实数。的取值范围为()

A.[-1,+<»)B.(-oo,-l]u[3,+oo)

C.[-1,3]D.(―叫3]

五、强基校考真题讲解

例1.(2021年上海交大强基计划)实数a,1>1,满足lg(a+b)=lga+lgb,求lg(a

—1)+1g(b-1)的值.

例2.（2021年中科大强基计划）已知正实数〃，二次函数/（x）=ax2_x+i,若任

意长度为1的区间上，存在两点函数值之差的绝对值不小于1,则

a的最小值为.

例3（2021年北大强基计划）若a,b,c,为非负实数，且

222

a+Z?+c-ab-be-ca=9贝UQ+b+c的最小值为

ax2+8x+6

例4（交大）函数V=——r——的最大值为9,最小值为1,求实数Q、b.

X4.1

例5.（复旦）设演，Z€°，提,且引力毛，下列不等式中成立的是()

1z、X.4-X.

(tanxx+tanx2J>tan1]?;

1z、X+羽

②爹(tan%+tanx2J<tan'】?;

>sin"Z

③

2

1

④<sin2・

2

（Z）©©（8）①④（C）②③（。）②④

例6.（清华）。>0/>0,。+6=1,〃EN*,求证：a2n^b2n

2

2x_l

例7.（交大）已知函数'（x）=iTT对于〃=1，2,…，定义（x）=/（/"（X）），若

h（x）=fs（X），则以（x）=---------

例8.（北大）/（X）=，_53X+196+|X2一53x+196|,求/（1）+/（2）+…+”50）.

例9、（交大）函数/（x）=|lgx|,有0<a<b且/«）=/（6）=2/1勺1}

（1）求凡b满足的关系：

（2）证明：存在这样的"使3<6<4.

六、校考强化训练

（A组）

1、（复旦）若存在",使对任意xe。（。为函数/（x）的定义域），都有

|/（》）区用,则称函数/@）有界。问函数/（x）=lsin_L在x

上是否有界？

XX

2、(复旦)若a>l,b>l且lg(a+b)=lga+lg8则1g(。一l)+lg(b—l)=()

(Z)lg2(5)1(C)不是与a,b无关的常数(。)0

3、(复旦)定义在R上的函数/(x)(xHl)满足/(X)+2/1X+2002=4015—x

则/(2004)=.

4、设/(x)=|x+l|+|x+2|+…+|x+2013|+|x-l|+|x-2|+…+|x—2013|(xeR)

且/«2一3a+2)=/(a—1),则a的值有()

(4)1个(8)2个(C)3个(。)无数个

5、(2000交大)求函数/(x)=#x+J1+/+3%-5/1+7:(X€火)的反函数

6、(模拟题)求函数/(x)=-----------------在区间［—1,1］上的值域.

7、(模拟题)已知/(X)是定义在及上的函数，且/(x+2)［l—/(x)］=l+/(x)

(1)试证明/(x)是周期函数；

(2)若/(1)=2+JJ,试求/(2013)

8、(模拟题)已知/(x)=/(x)是一次函数，£(x)=/(九(X))且儿(x)=1024x+1023.

求/(x)

9、(模拟题)已知实数X满足V+2=2J5,求/+，

X'%-

10,(2001交大)已知函数/'(x)=x2+2x+2,xe+的最小值是g«)，试着写出g(')

的解析表达式。

(B组)

1、(交大)已知函数［々)=依2+bx+c(aH0),且/(x)=x没有实数根.那么

尤是否有实数根？并证明你的结论.

2、(模拟题)已知函数/々"ax?+26x+4c(a,b,cH0).

(1)函数/(x)的图像与直线y=±x均无公共点，求证：4〃-16ac<—1

(2)若a〉0且a+b=l,又|x区2时，恒有|/(x)R2,求/.(x)的解析式.

3、(模拟题)已知/(1),且当〃〉］时有/,—1)=2力(〃「)+1求/(“)(〃GN+)

57(〃)1-2/(M)'/

4、(模拟题)已知/(X)是定义在公上的不恒为。的函数，且对于任意的“力G&,有

f(ab)=WQ)+bf(a).

(1)求〃0)J(l)的值.

(2)判断/(x)的奇偶性，并证明你的结论.

(3)若/\2)=2,露=9(…)，求数列｛%,｝的前〃项和s..

n1

2022年高考数学尖子生强基计划专题4：函数的性质

一、知识要点拓展

1、映射

对于任意两个集合43,依对应法则/,若对4中的任意一个元素x,在8中都有唯一

一个元素与之对应，则称f8为一个映射，记作/:/—用其中b称为像，a称为原

像。

如果f:ATB是一个映射且对任意x,yEA,x^y,都有/(x)wf(y),则

->8是/到6上称之为单射.

如果f:ATB是映射且对任意yeB,都有一个xeZ使得f(x)=y,则称

-6是/到6上的满射.

如果/：/f8既是单射又是满射，则/:N->6是/到8上叫做一一映射.

如果/:f8是从集合A到集合B上的一一映射，并且对于B中每一个元素b,使b

在N中的原像a和它对应，这样所得的映射叫做f8的逆映射，记作34

2、函数方程问题

(1)代换法(或换元法)

把函数方程中的自变量适当地以别的自变量代换(代换时应注意使函数的定义域不会发

生变化)，得到一个新的函数方程，然后设法求得位置函数

例.设2Hb2,求力■(》)+勿=的解.(【解析】分别用x==f带入)

(2)待定系数法

当函数方程中的未知数是多项式时，可待定系数而求解.

例.已知，(x)="x)是一次函数，<(x)=/(/；」(x))且儿(x)=1024x+1023,

求/(x).(【解析】设/(x)=ax+b(aoO)求解)

3、函数的性质

设函数v=/a)的定义域为。

2.单调性：

(3)传统定义：在区间口，6］上，若玉如果/(占)</(0)，则〃x)

在区间口,切递增；如果/(%)>/区)，则/(x)在区间期切递减；

(4)导数定义：在区间［%切上，如果/'(x)>0,则/(x)在区间［小切递增；

如果

f(x)<0,则/(x)在区间［a,6］递减;

①、仆|)一"“)>0o/(x)在。上为增函数

注意：玉一“

z②、二"avo=/a)在。上为减函数

,X\-X2

2.复合函数的单调性：

(4)增函数+增函数=增函数减函数+减函数=减函数

增函数-减函数=增函数减函数-增函数=减函数

(5)对于取值恒为非负数的函数

增函数X增函数=增函数减函数X减函数=减函数

增函数♦减函数=增函数减函数♦增函数=减函数

(6)若/(x)、g(x)都是增(减)函数,则f(g(x))为增函数；

若/(X)、g(x)一个增函数,一个减函数，则/(g(x))为减函数。简称“同

增异减”

3.奇偶性：

(3)若函数卜=/8)满足/(一乃=-/(》)(》€。)，则/(X)叫做奇函数，其图象

关于原点对称；

(4)若函数y=/(x)满足/(—x)=/(x)(xeD),则/(x)叫做偶函数，其图象

关于y轴对称；

4.周期性：

(1)一般地，对于函数/(x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内

的每一个值时，都有

f(x+T)=f(x),那么函数/(x)就叫做周期函数。非零常数T叫做这个函数的周

期。

(2)对于非零常数4,若函数y=/(x)满足f(x+⑷=—/(X),则函数y=f(x)必

有一个周期为2/。

证明：f(x+2A)=f[A+(x+A)]=-f(x+A)=4-/U)]=/(X)，所以函数y=/(x)

的一个周期为2/o

(3)对于非零常数/,函数丁=/(x)满足/(》+/)=则函数歹=/(x)的一

./(X)

个周期为24。

(4)对于非零常数Z,函数y=/(x)满足/(x)=一焉，则函数y=/(X)的一

个周期为2〃。

5.对称性(分函数图像的自对称及函数图像的互对称)

(1)函数y=/(x)满足/(a+x)=/(b-x)时，函数歹=/(x)的图像关于直线

》=号£对称。特别的，。=6=0时，该函数为偶函数。

证明：在函数y=/(x)上任取一点(4乂)，则乂=/(为)，点(孙乂)关于直线

x=的对称点为(a+b-/,必)。

f(a+b-xl)=f[a+(b-xl)]=f[b-(b-xl)]=f(xl)=yl,故点(。+6-玉,乂)也在函

数y=/(x)的图像上。由于点(项,乂)是图像上任意一点，因此，函数的图像关于

直线》=勺士对称。

3.函数y=/(x)满足f(a+x)+/(b-x)=c时，函数y=/(x)的图像关于点

(竽对称。特别地，当。=/,=c时，函数为奇函数。

证明：在函数y=/(x)上任取一点(斗必)，则必=/(%),点(斗乂)关于点

(竽■卷的对称点为

(a+b-xrc-y^。f(a+b-x]]=c-f[b-(b-xl)]=c-f(xi)=c-yl,即点

(a+b-x^c-y^在y=/(x)的图像上。由于点(%,乂)是函数y=/(x)上任意一点,

因此，函数歹=/(x)关于点(与士,；|对称。

h-a

4.函数y=/(a+x)的图像与丁=/(b-x)的图像关于直线x—对称。

证明:在函数y=/(q+x)上任取一点&,乂)，则乂=/(。+再)，点(%,乂)关于直

线x=对称的点为3-”玉,乂)o由于

f[(b-(b-a-x[)}=f(b-b+a+xi)=f(a+xi)=yl,故点(b-a-x^y^在函数

y=/(6-x)上。由于点(西,乂)是夕=/(a+x)上任意一点，因此y=/(a+x)与

y=f(b-x)关于直线》=与，对称。

6.函数周期性和对称性之间的联系

2.设/(x)是定义在R上的函数，其图像关于直线x=a和x=b(awb)对称，则

/(x)是周期函数，且2(b-a)是它的一个周期。

证明：/(x)关于直线x=a和x=6对称，故/(x)=f(2a-x),f(x)=f(2b-x),xeR,

从而

fQa—x)=fQb—x),x&R。

将上式的-x以x代换，得/(2a+x)=f(2b+x),xeR。

所以f[x+2(h-er)]=/[(x-2a)+2h]=/'[(x-2a)+2a]=f{x),xeR

即/(x)是&上的周期函数，且2(6-0是它的一个周期。

(2)设/(x)是定义在火上的函数，其图像关于点/伍,0)中心对称，且其图像

关于直线x=b(b*a)对称，则函数/(x)是周期函数，且4(b-a)是它的一个周期。

证明：/(x)关于点〃(。,0)对称，故f(2a-x)=-f(x),xeR,/(x)关于直线x=b

对称，故

f(x)-f(2b-x),xeR,从而有f(2b-x)=-f(2a-x),xeRo

将上式中的—X以x代换，得/(2b+x)=—/(2a+x),xeH。

所以/[x+4s-a)]=/[2b+(x+2h-4a)]=-f[2a+(x+2b-4a)]

--f[2b+(x-2a)]-f[2a+(x-2tz)]-f(x),xGR,

即/(x)是火上的周期函数，且4(b-0是它的一个周期。

(3)设/(x)是定义在灭上的函数，其图像关于点〃(。,州)和N(b/o)(awb)

对称，则/(x)是周期函数，且23-0是它的一个周期。

证明：/(x)关于点火。,线)和N(b,凡)(awb)对称，故/(2a—x)=2几—/(X)，

f(2b-x)=2y0-f(x),xeR,从而有/(2q-x)=/(2b-x),xeT?。

将上式中的-x由x替换，得f(2a+x)=f(2b+x),xeR

所以/[x+2(b-a)]=f[2b+(x-2a)]=f[2a+(x—2a)]=/(x),xwR,

即/(x)是周期函数，且2(b-a)是它的一个周期。

4.抽象函数问题的解法

抽象函数是指没有给出具体的函数解析式或图像，只给出一些函数符号及

其满足的条件的函数，如给出函数的定义域、解析递推式、特定点的函数值、特

定的运算性质等，它是高中函数部分的难点，也是与高等数学函数部分的一个衔

接点。由于抽象函数没有具体的解析表达式作为载体，因此研究起来比较困难。

但由于此类试题既能考查函数的概念和性质，又能考查学生的思维能力，所以备

受命题者的青睐。那么，怎样求解抽象函数问题呢？我们可以利用函数性质法、

特殊化方法等多种方法从多角度、多层面去分析研究抽象函数问题。

3.函数性质法

函数的特征是通过其性质(如奇偶性、单调性、周期性等)反映出来的。

抽象函数也是如此，只有充分挖掘和利用题设条件和隐含的性质，灵活地进行等

价转化，才能将抽象函数问题化难为易。常用的方法有：①利用奇偶性整体思考;

②利用单调性等价转化；③利用周围性回归已知；④利用对称性数形结合；⑤借

助特殊点列方程。

4.特殊化方法

①在求解函数解析式或研究函数性质时，一般用代换的方法，将x换成-x或将x

换成其他字母等；

②在求函数值时，可用特殊值代入

③研究抽象函数的具体模型，用具体模型解选择题、填空题，或通过具体模型函

数为解答综合题提供思路和方法。

5.有界函数：

定义1：设/(x)为定义在。上的函数，若存在常数M、L,使得对每一个xe£)

有

侧称/(x)为。上的有上(下)界函数，/(£)称为/(X)为定义在。上的上(下)

界。

根据定义，/(X)在。上的有上(下)界，意味着值域是一个有上下界的数

集。又若A/(L)为/(x)在。上的上(下)界，则任何大于(小于)M(A)的数也

是/(x)在。上的上(下)界。

定义2：设/(x)为定义在。上的函数，若存在正数使得对每一个都有

|/(x)|<A/,则称/(x)为。上的有界函数。

根据定义，/(x)在。上的有界，意味着值域是一有界集。又按定义不难验

证：/.(X)在。上的有界的充要条件是/(X)在。上的既有上界又有下界。

「(X)仔"的几何意义是：若/(X)在。上的有界函数，则/(X)的图象完全落在

直线y=M与丁=-M之间。

6、函数的迭代

一个函数的自复合，叫做迭代。我们用g*(x)表示g(x)的左次迭代函数。

g°(x)=x

即，

[gi(x)=g(g"(x))

fg'(x)=x.、

如果,〃、则称g(x)有迭代周期p.

/(X)不怛等于X《=l,2,…,P—1)

迭代问题的解法通常是找它的迭代周期。一般来说，若y=g(x)的图像关于直线歹=x

对称，则一定有g(g(x))=x.它的迭代周期就是2.下面是几个常见函数的迭代周期。

/、2x-7

g(x)=«_，迭代周期是3；

X—1

g(x)=总了迭代周期是4；

7、凹凸函数

设/为定义在区间/上的函数，若对/上任意两点%、马和实数九e(0,1),总有

玉+(1-九用)<X)+(1-九)/'(%)，则称/为/上的凸函数(有时也称下凸函

数)。反之，如果总有不等式/。玉+(1-)x2)>V(%,)+(1-)/(x2),则称则称/为/

上的凹函数(有时也称上凸函数)。

特别地，九=:时，有(凸函数)或

生…四

如何判断一个函数是凸函数(凹函数)，除了定义以外，还有下面的定理：

设/为/上二阶可导函数，则/为/上的凸(凹)函数的充要条件是/〃(x)»0

凸函数更一般的情形是下面的琴生不等式：若/为上的凸函数，则对任意

x,e[a/],%〉o0=1,2,且£%=1，则

/=1

3=17i=l

二、热身练习

1、(复旦)若要求关于》的函数怆1080.524+"+1的定义域是(-00,+8),则4、b的取值范围

是()

(A)0(B)a<0-4a<0(D)a=b^0

2

[解析]选A.由1glog052/+&+1>0=>0<2-+&+i<1=>ax+bx+1<0对

p<0

\小6(-00,+00)恒成立01，2,八=这样的不存在。

''Z)-4a<0

2、(复旦)某校有一个班级，设变量x是该班同学的姓名，变量y是该班同学的学号，变量

z是该班同学的身高，变量w是该班同学某一门课程的考试成绩，则下列选项中正确的是

()

(Z)y是x的函数(8)z是y的函数(C)w是z的函数是x的函数

【解析】按照函数的定义，由于班上可能会有相同的姓名，故A不正确。而任意一个学生

的学号是唯一的，也对应了一个唯一的身高，故选项B正确；同理，C,。均不正确。

3、(复旦)设/(x)是定义在实数集上的周期为2的周期函数，且是偶函数。已知当xe[2,3]

时，f(x)=—x,则当xe[—2,0]时，/(x)的表达式为()

(Z)—3+|x+l|(S)2-|x+l|(C)3-|x+l|(r>)2+|x+l|

【解析】选A可以考虑特殊值。/(-2)=/(2)=-2,〃-1)=/(1)=/(3)=-3,

/(0)=/(2)=-2o符合条件的只有选项A了。

4、(复旦)设有三个函数，第一个是y=/(x),它的反函数就是第二个函数，而第三个函

数的图像与第二个函数的图像关于直线x+y=O对称，则第三个函数是()

(4)y=-/(x)(8)尸-x)(c)y=-//(x)(。)v=-/"(-x)

【解析】选8。第二个函数是V=/"(》,)第三个函数为-X=7」(一V),即y=-/(-x)

四、高考真题讲解

例1.例020年高考全国n卷文数12理数11］若2工_2><3-、-3~，则)

A.ln(y-x+l)〉0B.ln(y-x+l)<0C.ln|x-^|>0D.ln|r-v|<0

【答案】A

【思路导引】将不等式变为2'-3T<2、一3->,根据/1)=2'-3"的单调性知x<N,以

此去判断各个选项中真数与1的大小关系，进而得到结果.

【解析】由2，一2,<3-一3r得：2，_3T<2:3一，，令/《)=2'一3",

•••y=2、为火上的增函数，歹=3-，为R上的减函数，。为及上的增函数，

Qy—x>0,y—x+1>1,ln(y—x+1)〉0,则A正确，B错误；、「一)［与1的大

小不确定，故CD无法确定，故选A.

例2.【2020年高考全国H卷理数9】设函数/(x)=ln|2x+l|-ln|2x-l|,则f(x)

A.是偶函数，且在(g,+8)单调递增B.是奇函数，且在单调递减

C.是偶函数，且在1-00,-单调递增D.是奇函数，且在1-8,-3)单调递减

【答案】D

【思路导引】根据奇偶性的定义可判断出/(x)为奇函数，排除AC；当时，

利用函数单调性的性质可判断出/(x)单调递增，排除B；当8,-时，利用复合

函数单调性可判断出/(x)单调递减，从而得到结果.

【解析】由/(》)=111|2》+1卜1111丫一1|得/(》)定义域为卜户*±；1,关于坐标原点对

称,

又/(-X)=In|1-2x|-ln卜2x-1|=ta|2x-1|-ln|2x+1|=-/(x),

・••/（x）为定义域上的奇函数，可排除AC；

当时，/（x）=ln（2x+l）-ln（l-2x）,

Qy=ln（2x+l）在上单调递增，y=ln（l-2x）在上单调递减,

・••/（X）在（一］，蒙）上单调递增,排除B；

2%4-1

f(x)=In(一2x_l)_In(l_2x)=In

2x-l

•••N=在（一8，一3）上单调递减，f（N）=Inn在定义域内单调递增，

根据复合函数单调性可知：/（x）在1-8,-上单调递减，D正确.故选D.

例3.【2020年高考山东卷6】基本再生数队与世代间隔是新冠肺炎的流行病学基本参数.基

本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔是指相邻两代间传染所需的平均时间.在

新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：/（f）=e”描述累计感染病例数/⑺随时间f（单

位：天）的变化规律，指数增长率r与4，7近似满足%=1+”・有学者基于已有数据估

计出4=3.28,7=6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的

时间约为（In2名0.69）（）

A.1.2天B.1.8天C.2,5天D.3,5天

【答案】B

【思路导引】根据题意可得/1）=e"=e°38,，设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例

数增加1倍需要的时间为《天，根据e°-38（，+，'）=2e038,，解得《即可得结果•

328_1

【解析】因为4=328，7=6,4=1+”,所以r=,一=0.38,所以

。

()="=638/

设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间为4天，则

e°38«+Q=2e°，381所以3M=2,所以0.38（=山2,所以乙=仙2ao-69仪天，故

0.380.38

选B.

【专家解读】本题的特点是注重知识的应用，本题考查了指数型函数模型的应用，考查指数

式与对数式互化，考查函数与方程思想，考查数学运算、数学建模等学科素养.解题关键是

正确进行指数式与对数式的互化.

例4.【2020年高考山东海南卷8】若定义在R上的奇函数/(X)在(-8,0)单调递减，且

/(2)=0,则满足犷(x-l)WO的x的取值范围是()

A.[-l,l]U[3,+s)B.[-3,-l]U[0,l]C.[-1,O]U[1,+oo)

D.[-1,O]U[1,3]

【答案】D

【思路导引】首先根据函数奇偶