2023年中考数学几何模型-相似三角形的五种模型（讲+练）（原卷版）

专题07相似三角形的五种模型

相似三角形考查范围广，综合性强，其模型种类多，其中有关一线三垂直模型在前面的专题

已经很详细的讲解，这里就不在重复。

模;型一、A字型上

4(4).4(4)

BCC

A字型(平行)反A字型(不平行)

AjEAB

例.如图，在AABC中，点瓦厂分别在A民AC上，且一

Ai「一茄，

(1)求证：MEFAABC；

EC；_FG

(2)若点。在BC上，AD与EF交于点G,求证：一

BL)"CD-

BD%

【变式训练1】已知：如图，点O,尸在△ABC边AC上,点E在边BC上，且力E〃AB,

CD1=CF-CA.

(1)求证：EF//BD-,

(2)如果AC・C尸=8C・CE,求证：BD1=DE'BA.

B

【变式训练2】如图所示，在△ABC中，DE//BC,AD=5,80=10,AE=3.

(1)求CE的长.

(2)在AABC中，点。，E,Q分别是A8,AC,8c上，3.DE//BC,AQ交。E于点P.小

DPPE

明认为二77=二7,你认为小明的结论正确吗？请说明你的理由・

【变式训练3】如图，在&A48c中，ZACB=90°,NS4C=60。，AC=6,AO平分的C，

交边BC于点D,过点。作C4的平行线，交边A3于点E.(1)求线段DE的长；(2)

取线段AD的中点/，联结BM,交线段OE于点/，延长线段8M交边AC于点G，求

器的值.

C

模型二'8字型与反8字型相似

例.如图，已知在△ABC中，BE平分NABC交AC于E,点。在8E延长线上，且BA・BC=8。

•BE.(1)求证：AABDSAEBC；(2)求证：AD2=BD*DE.

【变式训练1】如图，AO与BC交于点O,EF过点0,交AB与点E,交CD与点、F,B0

3Q

=1,C0=3,A0=],D0=1.

(1)求证：NA=/£).

(2)若AE=BE,求证:

【变式训练2】如图，AG//BD,AF：FB=1：2,BC：CD=2：1,求一的值

【变式训练3】如图，四边形ABCD和四边形ACED都是平行四边形，点R为DE的中点，BR

分别交AC、CD于点P、Q.(1)求证：△PCQS/^RDQ；(2)求BP：PQ：QR的值.

模型三、AX型(A字型及X字型两者相结合)

例.如图，ZVIBC中，D.E分别是AB、AC上的点，且BD=24D,CE=2AE.

(1)求证：/\ADE^/SABC；(2)若。F=2,求FC的长度.

【变式训练1】如图，在菱形ABCD中，NADE、NCDF分别交BC、AB于点E、F,DF交对

角线AC于点M,且NADE=NCDF.(1)求证：CE=AF；(2)连接ME,若JC*E=——CD，AF

BECE

—2,求ME的长.

281

【变式训练2】如图，AB//CD,AC与相交于点£点F在线段3C上，—=

BF1

CF-2

(1)求证：AB//EF；

(2)求ABE：SAEBC：SAECD-

ID

【变式训练3】如图：AD//EG//BC,EG交02于点F,已知AO=6,3c=8,AE=6,EF

=2.

（1）求EB的长；（2）求FG的长.

模型四、共边角模型（子母型）

・4(C)

例.在R忆ABC中，ZACB=90°,CD上AB,垂足为O,AT>=8,O8=2,求CO的长

AD1

【变式训练1】如图，矩形ABCD中，F是。C上一点，BF1AC,垂足为E,—=-，ACEF

AB2

c

的面积为Si，AAEB的面积为52,则台的值等于（）

S2

11

C.一D.

425

【变式训练2】如图，在△ABC中，ZACB=90°,CD是AB边上的高.如果8D=4,CD=6,

C.3：V13D.2：V13.

【变式训练3】如图，在AABC中，AB=AC,点P、D分别是BC、AC边上的点，且/APD=/

B,(1)求证：AC»CD=CP»BP；(2)若AB=10,BC=12,当PD〃AB时，求BP的长.

模型五'手拉手模型

例.如图，在△ABC与△AOE中，ZACB^ZAED=90°,ZABC^AADE,连接80、CE,

若4C：BC=3：4,则B£＞：CE为（）

A.5：3B.4：3C.V5：2D.2：V3

【变式训练1】如图，XABCsMADE,ZBAC=ZDAE=()0o,AB与£>E交于点。，AB

=4,AC=3,尸是OE的中点，连接80,BF,若点E是射线C8上的动点，下列结论：①

/XAOD^AFOB,②△SOOsaEOA,③NFDB+NFBE=9。。,(4)BF=|A£,其中正确的

是()

EC

A.①②B.③④C.②③D.②③④

【变式训练2］已知I：如图，在△ABC中，点。、E分别在边BC、AC上，点尸在QE的延

长线上，AD=AF,AE・CE=DE・EF.

(1)求证：△AOES/\ACQ；

(2)如果AE・BO=EfAF,求证：AB=AC

A

【变式训练3】已知，ABC中，AB=AC,NBAC=2a。，点D为BC边中点，连接AD,点E

为线段AD上一动点，把线段CE绕点E顺时针旋转2a。得到线段EF,连接FG,FD.

BF

（1）如图1,当NBAC=60。时，请直接写出一的值；（2）如图2,当NBAC=90。时，（1）

AE

中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请写出正确的结论，并说明理由；

课后训练

1.如图，在『中，E、尸分别是边BC、CD的中点，AE.AF分别交8。于点G、H,

则图中阴影部分图形的面积与的面积之比为（）

A.7:12B.7:24C.13:36D.13:72

2.如图，△ABC中，。为BC中点，E为AD的中点，BE的延长线交AC于F,则不为（）

3.如图平行四边形ABC。，/为3。中点，延长4）至使。石:AT>=1:3,连结EF交DC

4.如图，等边三角形A8C中，A8=3,点。是C8延长线上一点，且80=1,点E在直线

AC上，当N3AO=NCQE时，AE的长为•

5.如图，在△48C中，点D,E分别在边48,4c上，/AED=/B,线段4G分别交线段。E,

BC于点F,G,且"=".(1)求证：/\ADF^/\ACG；(2)若空=3求空的值.

ACCGAC7FG

6.如图，在平行四边形ABC。中，点E在边8c上，连结AE并延长，交对角线BD于点F、

FE

求防的值.

7.己知中，ZACB=9Q°,NC48=30。（如图）.以线段AB为边向外作等边

三角形曲，点E是线段AB的中点，连接CE并延长交线段A。于点尸.（1）求证：四

边形BCE。为平行四边形；（2）连接CO,交A3于点①若4?=6,求8M的长；

②作M