考点11平面向量及其应用-【一轮复习讲义】2024年高考数学复习（解析版）

考点11平面向量及其应用（20种题型6个易错考点）

区一、真题多维细目表

考题考点考向

2022新高考1,第3题平面向量的概念及线性运算向量的线性运算

2022新高考2,第4题数量积的综合应用由夹角相等求参数值

2021新高考1,第10题数量积的定义及夹角与模问题利用坐标运算求解向量的模，数

量积

2021新高考2,第15题数量积的综合应用平面向量的数量积

2021全国乙理，第14题数量积的定义及夹角与模问题由向量垂直求参数

2020新高考2,第3题平面向量的概念及线性运算向量的线性运算

2020新高考1,第7题数量积的综合应用求数量积的取值范围

u二、命题规律与备考策略

高考对本章内容的考查以平面向量的基础知识、基本运算为主，考查与平面向量基本定理相关的线性运

算、向量的数量积运算、向量的夹角、向量的模。试题以中低档为主，以选择题或填空题的形式出现，分值

为5分。

高考对本章的考查依然是基础与能力并存，在知识形成过程、知识迁移种渗透数学运算、逻辑推理、直

观想象的核心素养，重视函数与方程、数形结合、转化与划归思想。

但三、2023真题抢先刷，考向提前知

一.选择题（共4小题）

1.（2023•甲卷）已知向量@=（3,1）,b—（2,2）,则cos〈a+b，a-b〉=（）

A.—B.2ZILC.渔D.

171755

【分析】根据题意，求出a+b和a-b的坐标，进而求出Ia+bl、Ia-bl和（a+b）«a-b）的值,进而由

数量积的计算公式计算可得答案.

【解答】解：根据题意，向量a=（3,1）,b=（2,2）,

则a+b=（5，3）,a-b=（1，-1）»

则有Ia+bl=V25+9la-bl=V1+1=V2»（a+b）*（a~b）=2,

故COS（ab.a-b>=

+@Ia+WbIIa-bIv34WV217

故选：B.

【点评】本题考查向量的夹角，涉及向量的数量积计算，属于基础题.

2.（2023•甲卷）向量lal=lbl=l，，且a+b+c=0，则cos〈a-c>b-"c）=（）

A.-AB.上C.2D.A

5555

【分析】根据题意，用Z、4表示W,利用模长公式求出cos〈Z，b>>再计算与的数量积和

夹角余弦值.

【解答】解:因为向量讨=两=1,■=&,且7+E+3=a所以-»+芯,

所以？2=；2+32+22总

即2=1+1+2X1X1XCOS〈W，b>-

解得cos<a，b>=0，

所以a-Lb,

又a-c=2a+b，b-c=a+2b，

所以（a-c）«b-C）=（2a+b），（a+2b）=2；2+2]2+5a，b=2+2+0=4,

la-cl=lb-cl=4a2+4a*b+b2=V^+O+I=V5，

所以C。式a-ob-c）

Ia-cIIb-cIv5Xv55

故选：D.

【点评】本题考查了平面向量的数量积与模长夹角的计算问题，是基础题.

3.（2023•乙卷）正方形ABC。的边长是2,E是AB的中点，则正•祝=（）

A.75B.3C.2遥D.5

【分析】由已知结合向量的线性表示及向量数量积的性质即可求解.

【解答】解：正方形A8CO的边长是2,E是A8的中点，

.—•....•.

所以EB・EA=7，EB1AD.EA1BC.BC・AD=2X2=4,

则砂面=（EB+BC）*（EA+AD）=EB-EA+EB-AD+EA-BC+BC-AD=-l+0+0+4=3.

故选：B.

【点评】本题主要考查了向量的线性表示及向量数量积的性质的应用，属于基础题.

4.（2023•新高考I）已知向量之=（1,1）,b=（L-1）.若（a+Ab）±（a+Pb），则（）

A.入+口=1B.入+―-1C.入产1D.入尸-1

【分析】由已知求得Z+入芯与W+PE的坐标，再由两向量垂直与数量积的关系列式求解.

【解答】解：：彳=（1,1）,b=（1,-1）.

・♦&+入6=（入+1,1-入）,a+.b=（p+1，1~H）,

由（a+入b）-L（a+.b），得（入+1）（p+1）+（1-入）=0,

整理得：2入|i+2=0,即A|i=-1.

故选：D,

【点评】本题考查平面向量加法与数乘的坐标运算，考查两向量垂直与数量积的关系，是基础题.

二.填空题（共1小题）

5.（2023•新高考H）已知向量a，b满足la-bl=V§，Ia+bl=|2a~bl，则lbl=_V3_♦

【分析】根据向量数量积的性质及方程思想，即可求解.

【解答】解：:|a-bl=V§，Ia+bl=2a-bl，

•—2—♦2———2-♦2———2-*2——

••a+b-2a・b=3，a+b+2a，b=4a+b-4a，b，

IbI=A/3•

故答案为：V3.

【点评】本题考查向量数量积的性质及方程思想，属基础题.

四、考点清单

1.向量的有关概念

（1）向量：既有大小又有方向的量叫做向量,向量的大小叫做向量的模.

（2）零向量：长度为生的向量，其方向是任意的.

（3）单位向量：长度等于1个单位的向量.

（4）平行向量：方向相同或相反的非零向量,又叫共线向量，规定：。与任一向量共线.

(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量.

(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量.

2.向量的线性运算

向量运、-A-A-Z-K

定义法则(或几何意义)运算律

算

/交换律：a+b=b+

aa；

加法求两个向量和的运算三角形法则

结合律:(a+b)+c=

a+(A+c)

平行四边形法则

求a与b的相反向量

减法a—b=a+(—b)

一。的和的运算a

三角形法则

仇。|=|2||。|,当2>0

时，力合与。的方向

MNa)=a〃)a；

求实数2与向量。的相同;

数乘(2+；

积的运算当2<0时，4a与a

X(a+〃)=2a+Xb

的方向相反;

当2=0时，4a=0

3.两个向量共线定理

向量b与非零向量a共线的充要条件是有且只有一个实数2,使得b=Xa.

4.平面向量基本定理

如果ei,e2是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任意向量有且只有一对实数21,

a2,使a=，ei+42e2.

其中，不共线的向量e”e?叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.

5.平面向量的坐标运算

(1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模

设a=(xi，yi),b={x2,力)，则

a+l=(xi+x2，丫|+丫2)，a-b—(xi-%2，Vi-V2)>

-a=(Axi，dyi),|a|=M4+杀

(2)向量坐标的求法

①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标；

②设A(x”yi),8(x2,”)，则-8=(x2—X”、口一刈),

IA8|=(X2-xi)2+()，2—yi)2.

6.平面向量共线的坐标表示

设。=(汨，>'i),b=(xi,”)，其中Z>#0,a///><=>xiV2~X2Vi=0.

7.向量的夹角

⑴定义：已知两个非零向量。和。，作5A=a,OB=b,则N40B就是向量a与Z>的夹角.

(2)范围：设。是向量a与6的夹角，则0°W〃W180°.

(3)共线与垂直：若0=0°,则。与6同向;若。=180°,则a与b反向;若。=90°,则a与，垂直.

8.平面向量的数量积

设两个非零向量a,b的夹角为仇则

定义

|。||勿・cos_，叫做。与b的数量积，记作ab

lalcos〃叫做向量a在b方向上的投影，

投影

[cos。叫做向量b在a方向上的投影

数量积ab等于a的长度⑷与b在a的方向

几何意义

上的投影版|cos_〃的乘积

9.向量数量积的运算律

(\)a-b=b-a.

(2)(初)力=2(。山)=妇

(3)(a+bYc=a-c+b-c.

10.平面向量数量积的有关结论

已知非零向量4=(X1，yi),b=(X2,yi),a与力的夹角为。.

结论几何表示坐标表示

模lal=A/胫+y?

八a一

夹角cos〃=的COS、房+vh由+通

的充

(rb=0工]电+丫1理=0

要条件

11.平面向量与解三角形的综合应用

(1)解决平面向量与三角函数的交汇问题，关键是准确利用向量的坐标运算化简已知条件，将其转化为

三角函数中的有关问题解决.

(2)还应熟练掌握向量数量积的坐标运算公式、几何意义、向量模、夹角的坐标运算公式以及三角恒等变换、

正、余弦定理等知识.

<常用结论》

1.五个特殊向量

(1)要注意。与0的区别，0是一个实数，0是一个向量，且|0|=0.

(2)单位向量有无数个，它们大小相等，但方向不一定相同.

(3)任一组平行向量都可以平移到同一直线上，因此平行向量也叫做共线向量.

(4)与向量。平行的单位向量有两个，即向量r和一俞.

2.五个常用结论

(1)一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的向量，

即4涓2+启3+R4H----特别地，一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量.

(2)若P为线段A8的中点，0为平面内任意一点，则讲=最后+丽.

(3)若A,B,C是平面内不共线的三点，则滋+无+的=0㈡P为△ABC的重心.

A

BDC

(4)在△△8c中，AD,BE,C尸分别为三角形三边上的中线，它们交于点G(如图所示)，易知G为△A8C

的重心，则有如下结论：

®GA+GB+GC=0-.

@AG=|(AB+AQ；

®GD=^GB+GC),GD=^(AB+AC).

(5)若d=7无+〃女(九〃为常数)，则A,B,C三点共线的充要条件是2+〃=1.

3.基底需要的关注三点

(I)基底0,02必须是同一平面内的两个不共线向量，零向量不能作为基底.

(2)基底给定，同一向量的分解形式唯一.

Ai=u\f

(3)如果对于一组基底约，€?,有〃=九。1+/262=〃1幻+〃2/，则可以得到J1

42=〃2.

4.共线向量定理应关注的两点

⑴若。=(即，y\),b=(M，?)，则〃〃b的充要条件不能表示成卢"=色因为如”有可能等于0，应表

兀2yi

示为A|V2—X2Vl=0.

(2)判断三点是否共线，先求每两点对应的向量，然后按两向量共线进行判定.

5.两个结论

(1)已知P为线段AB的中点，若A(x”％),3(X2,y2).则P点坐标为("上,吟耳.

1[+X2+X3yi+jt+yf

(2)巳知△ABC的顶点A(xi,yi),B(x，”)，C(x,券)，则△ABC的重心G的坐标为

2333

6.两个向量a,〃的夹角为锐角㈡a力＞0且a,b不共线;

两个向量。，上的夹角为钝角0a・bV0且a,b不共线.

7.平面向量数量积运算的常用公式

(l)(a+b)・(a-b)=/一加

(2)(。+〃)2=。2+2。3+力2.

(3)(。一〃)2=〃2-2。•力+/.

u五、题型方法

向量的概念与向量的模(共2小题)

1.(2023•叶城县校级模拟)已知ZE=-24,a+2b=(-5,2)，若2与E模相等，则1之1=()

A.3B.4C.5D.6

【分析】利用坐标求出Z+2%的模长，进而根据已知条件可以得到一个关于la|的方程，问题即可得到

解决.

【解答】解：因为彳+2石=(-5,2)＞所以IZ+251=收，

故口+25『=巧|2+4另|2+4之后=29,而又已知二最-24,且171=七1，

所以|a|*12+4|a|2-96=29＞

解得la1=5-

故选：C.

【点评】本题主要考查了向量的数量积运算，属于基础题.

2.(2023•广西模拟)已知彳和了是两个正交单位向量,;=2彳+3彳，1=,+kG且|=&，则k=()

A.2或3B.2或4C.3或5D.3或4

【分析】根据题意得到；=(2,3)，b=(l,k)，求得3-k)-根据向量模的计算公式，列

出方程，即可求解.

【解答】解：因为M和7是正交单位向量，Z=2i+3l=(2,3)，b=i+k3=(l1k)，

可得ZG=(1,3-k)-所以|7V|Wl+3-k)2=©，

解得k=2或k=4.

故选：B.

【点评】本题考查向量的运算，属于基础题.

二.向量相等与共线（共2小题）

3.（2023•南通模拟）若向量:，石满足|Z+E|=|Z|+|EI，则向量三一定满足的关系为（）

A.a=0

B.存在实数入，使得Z二入三

C.存在实数相，n,使得ma二nb

D.|a-bI=IaITbI

【分析】对|a+b1=lal+|b|两边平方即可得出。E=laIlbI，进而得出Z//b，从而判断A不正

确；b=0时，3不一定成立；时，。不成立,这样只能选C

【解答】解：=Ia+bI=IaI+IbI，

22

•-（7+b）=（|；|+|b|）>

,•a+b+2a*b=a+b+2|a||bp

awb=IaIIbb

,•cos〈a,b>=r<a,b>=（?

•e•a//b，

・・・ZV不一定成立;b=0,Z箍时，a二入b不成立；时，la-bl=lal-lbI不成立.

故选：C.

【点评】本题考查了向量数量积的计算公式，共线向量基本定理，考查了计算能力，属于基础题.

4.（2023•湖北模拟）已知向量1则与E共线”是“存在唯一实数入使得之=入5”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【分析】充分性根据］=万，］户3验证；必要性直接证明即可.

【解答】解：当己=石，3时，满足a与b共线,

但是不存在实数入使得a=、b，

故充分性不成立;

存在唯一实数入使得之=入总则之与E共线成立,

即必要性成立,

故"二与E共线”是“存在唯一实数入使得之=入己”的必要不充分条件.

故选：B.

【点评】本题主要考查了共线向量的定义，考查了充分条件和必要条件的定义，属于基础题.

三.平面向量的线性运算（共1小题）

5.（2023•济南三模）在△48C中，若|标+正|=2,|前+就则△A8C面积的最大值为（）

A.旦B.3C.1D.近

842

【分析】由平面向量的线性运算，结合三角形的面积公式求解即可.

【解答】解：设点A、B为线段QE的三等分点，

因为屈+疝|=2,辰+就|=&

所以lAB+BC-BAI=IBC-2BA1=IBC-BDI=IDCI=2，IBC-BEI=IECI=3>

则SaABcIs&ZDEqx2x|CD|x|CE|XsinZDCE<4X-^-X2X3=1>

当且仅当CD_LCE时取等号，

即△ABC面积的最大值为1.

故选：C.

【点评】本题考查了平面向量的线性运算，重点考查了三角形的面积公式，属中档题.

四.向量的加法（共1小题）

6.（2023•浙江模拟）设M是平行四边形ABC。的对角线的交点，则应+2而+2证+而=（）

A.ABB.CEc.2ABD-±CD

2

【分析】利用向量的线性运算法则求解.

【解答】解：•••四边形ABC。为平行四边形，是AC,BO的中点，

•••MA+MC=O«HB+MD=O-

•••MA+2MB+2MC+MD=MC+MB=yAC<AC+DB）=y（AC+DC+CB）^（AB+DC）=AB

乙乙乙乙乙

-DC.

故选:A.

【点评】本题主要考查了向量的线性运算，属于基础题.

五.向量的减法（共1小题）

7.（2023•防城港模拟）在△ABC中，力为8c的中点，则而-福=（）

A.ACB.CAC.BAD.AB

【分析】利用平面向量的线性运算求解即可.

【解答】解：•在△ABC中，。为8c的中点，...而=企，

CD-DA-DB-DA=AB>

故选：D.

【点评】本题考查了平面向量的线性运算，是基础题.

六.向量的三角形法则（共2小题）

8.（2023•普宁市校级二模）设彳是单位向量，思=3彳，CD=-3e>1标1=3,则四边形A8CZ）（）

A.梯形B.菱形C.矩形D.正方形

【分析】据向量相反向量的定义得四边形为平行四边形，再据邻边相等四边形为菱形.

【解答】解：.•.标=3%,CD=-3e>

•••AB=-CD

...四边形ABCD是平行四边形

又瓦1=3

四边形4BCO是菱形

故选：B.

【点评】本题考查相反向量的定义，菱形满足的条件.

9.（2023•西宁模拟）在△4BC中，。是AB边上的中点，则混=（）

A.2CD+CAB.CE-2CAc.2CD-CAD.CD+2CA

【分析】利用向量加法法则直接求解.

【解答】解：在△ABC中，。是A8边上的中点，

则混=而+DB=CD+AE

-CD+(AC+CD)

=2CD-CA.

故选：C.

【点评】本题考查向量的表示，考查向量加法法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.

七.向量加减混合运算（共1小题）

10.（2023•雁塔区校级模拟）已知之=（1,M）,b=（2,0）,则弓-3%=（）

A.277B.2&C.24D.28

【分析】可根据条件求出的坐标，从而可求出|I-3bI.

【解答】解:；-3b=（-5,炳）；

•••la-3b1=725+3=277.

故选：A.

【点评】考查向量坐标的减法和数乘运算，根据向量坐标求向量长度的方法.

八.两向量的和或差的模的最值（共3小题）

11.（2023•安徽模拟）AABC中，|版+菽|=2|标-菽则sinA的最大值为（）

A.—B.一3匹C.—D.N恒

5555

【分析】由IAB+ACI=2|AB-ACI>两边|瓦+正12=4|AB-AC|2）整理得到

10-|AB|-|AC|-cosA=3|AB12+3|AC12）结合基本不等式进而得到cosA的最小值，再利用平方关

系求解.

【解答】解：Si|AB+ACI=2|AB-ACb

两边同时平方得|屈+菽12=4正12，

展开整理得10遍正=3|靛|2+3|AC|2-

即10-|AB|•|AC|-cosA=3|AB|2+3|AC|2-

...3|屈1+3|而-6.|标|.|正|二3

10-|AB|-|AC|^10-|AB|•|AC|"5>

当且仅当|AB1=|AC|时等号成立.

又；sir^A+cosZA=1且sinA>0,cosA="^^1

5

所以sinA取最大值乌.

5

故选：C.

【点评】本题主要考查向量模的运算性质，数量积运算，考查运算求解能力，属于中档题.

12.（2023•张家口一模）已知向量；,b-7都是单位向量，若（Z-3）2+（E;产=3,则口工|的最大值

为（）

A.生B.2C.D.V3

42

【分析】根据数量积的运算律得到（；+E）设〈G+E）,c>=6）即可得到I；+E|2》/，再

由.田|2=4-（；+芯）2求出|；-E|的范围,即可得解.

【解答】解：由（；:）2+6二）2=3,得；2+/+2［2_2（；+»/3,BP（；+b）-c^|-

设〈（Z+E）,3〉=8，则（a+b）-c=|a+b|cos8=］，显然cosONO,

所以|a+b12=------―

4cos204

又+b）2+（a-b）2=2a2+2b2=4,所以Ia-b|2=4-（a+b）?44—=票，

所以|；-E|4隼，即la-b|的最大值为隼•

故选：c.

【点评】本题主要考查平面向量的数量积运算，属于中档题.

13.（2023•市中区校级一模）若平面向量a，b,c满足IaI=1'"c=0,"ab=r"a--c=-1,则lb+c|

的最小值为2.

【分析】在平面直角坐标系中，不妨设；=（1,0）.b=（X1，Y1）-c=（x2，丫？），再结合平面向

量的数量积运算，以及基本不等式的公式，即可求解.

【解答】解：在平面直角坐标系中，不妨设a=（l,0）,b=（x।>yj，C=（X2，72）,

.（—♦—♦—♦—♦—♦—♦

,bc=O,ab=rac=-l,

.*.xiA：2+yiy2—0,xi=l,X2=-1,

••y\y2=1，

•••Ib+c|=7（1-1）2+。［+丫2）2="+）’2尸Iyi力尸Iy/2^|yiI-|^j-=2，

当且仅当力=土1时，等号成立，

故|b+c|的最小值为2.

故答案为：2.

【点评】本题主要考查平面向量的数量积运算，考查转化能力，属于中档题.

九.向量数乘和线性运算（共2小题）

14.（2023•石狮市校级模拟）我国古代入民早在几千年以前就已经发现并应用勾股定理了，勾股定理最早的

证明是东汉数学家赵爽在为《周髀算经》作注时给出的，被后人称为“赵爽弦图”.“赵爽弦图”是数形

结合思想的体现，是中国古代数学的图腾，还被用作第24届国际数学家大会的会徽.如图，大正方形

ABCO是由4个全等的直角三角形和中间的小正方形组成的，若标=Z,AD=b>片为的中点，则

AE=（）

【分析】如图所示，建立直角坐标系.不妨设AB=1,BE=x,贝ij4E=2x.利用勾股定理可得x,通过RT

△ABE的边角关系，可得E的坐标，设标=〃?旋+〃标，路坐标运算性质即可得出.

【解答】解：如图所示，建立直角坐标系.

不妨设AB=1,BE=x,则AE=2r.

.,.X2+4X2=1,解得X=^_.

5

设N8AE=。，WlJsin0=2Z§,,cos0=2ZZL.

55

/.XE—cosQ=—,yE=^-^-s\nQ=—.

55-55

iSAE=wAB+nAD-

则（且，2）=加（1,o）+n（0,1）.

55

4.o

・・"i=三,n=—.

55

・.♦AE—-4-a*+,—27b»

55

另解：过E分别作EM_LA8,ENJ_4。，垂足分别为M,N.

通过三角形相似及其已知可得：AM=^AB,AN=2A。.

55

即可得出结论.

故选：A.

【点评】本题考查了直角三角形的边角关系、三角函数求值、平面向量基本定理，考查了推理能力与计

算能力，属于中档题.

15.（2023•湖南模拟）如图，正方形A8C。中，M、N分别是8C、的中点，若京=入近+以困，贝U入+R

A.2B.BC.§D.区

355

【分析】建立平面直角坐标系，使用坐标进行计算，列方程组解出入，H.

【解答】解：以AB,AO为坐标轴建立平面直角坐标系，如图：

设正方形边长为1,则AM=（I,—）.BN=（-,，1）,AC=（1，I）.

22

VAC=AAM+HBN.

入卷艮=1.6

卜飞

，解得，

yX+|1=1

以5

.*.A+u=—.

5

故选：D.

【点评】本题考查了平面向量的基本定理，属于基础题.

一十.平面向量数量积的含义与物理意义（共2小题）

16.（2023・天门模拟）已知向量之,与满足；.（[+5）=2，且GI=1，则向量E在向量Z上的投影向量为（）

A.1B.-1C.aD.-a

———

【分析】根据数量积的运算律求出ZE，在根据向量E在向量之上的投影向量为£2x3■计算可得.

lailai

【解答】解：因为彳.（之+5）=2,且口1=1，

所以/+2十=2，即|a『+a，b=2，

所以ZE=i，

———

所以向量E在向量之上的投影向量为£上xT-=]

Ia||a|

故选：C.

【点评】本题主要考查投影向量的公式，属于基础题.

17.（2023•淮北二模）已知向量之，E满足W，E=10，且芯=（-3,4）,则Z在E上的投影向量为（）

A.（-6,8）B.（6,-8）C.（,旦）D.（旦，-B）

5555

【分析】根据投影向量的定义计算即可.

【解答】解：因为q，E=10,且4=（-3,4）,

所以Z在E上的投影向量Nlcos<W，b>^—=・b.=iox（_3，_4）_=（-A,&）.

Ibl|t|29+1655

故选：c.

【点评】本题考查了投影向量的定义与计算问题，是基础题.

一十一.平面向量数量积的性质及其运算（共3小题）

18.（2023•射洪市校级模拟）已知平面向量G|=2,后1=1，Z,E的夹角为6°。，lZ+t%If巧（t€R），

则实数t（）

A.-1B.IC.—D.±1

2

【分析】对|a+tb|3两边平方，再由数量积公式计算可得答案.

【解答】解：因为|Z+R|=«，所以|；/+2；E-t+t2E|2=3，

即4+2X2Xcos60°什』=3,解得f=-1.

故选：A.

【点评】本题主要考查平面向量的数量积运算，属于基础题.

19.（2023•鼓楼区校级模拟）在边长为2的菱形ABC。中，ZBAD=60°.AE=xABAD>x€[0,1]，

3

则瓦•锭的最小值为（）

A.-2B./C.上D.」

332

【分析】由平面向量的线性运算，结合平面向量数量积的运算求解即可.

【解答】解：己知在边长为2的菱形ABC。中,ZBAD=60°.AE=xAB-^AD»x€[0,1]，

则瓦•菽=2X2X]=2,

则DE・DC=（AE-AD）-AB=AE-AB-AD-AB=XAB）会巧・他=生产，

又xe[0,1],

则当x=o时，而•前取最小值

3

故选：B.

【点评】本题考查了平面向量的线性运算，重点考查了平面向量数量积的运算，属中档题.

20.（2023•虹口区校级三模）已知平面向量？，%,彳满足彳/；=1,b-e=-l,履用|=4,贝心।一耳।

的取值范围是_(-2^3,273

【分析】设1=(1,0)，则7=(1,x),b=(-l.y)，得到lx-v1=蓊，结合绝对值三角不等式,

即可求解.

【解答】解:不妨设%=(1,0>则Z=(l,x),b=(-1.y),

由Ia-bI=4>可得Ix-y|=2^3,

则IIa|-|b||=Nl+x2N1+y2|=|.■~\-------

Vl+x2+V1+y

2_2

<卜I*I+LII=Hx|-|y||4|x-y|=273'

Ix|+|y|

所以|ZI-|EI的取值范围是(-2百，2«).

故答案为：(-273,273).

【点评】本题考查了平面向量数量积的运算和性质以及绝对值不等式的应用，属于中档题.

一十二.平面向量数量积的坐标表示、模、夹角(共2小题)

21.(2023•广州三模)已知向量；=(3,4>b=(4,m),且G+EI=|ZVI，则lE1=()

A.3B.4C.5D.6

【分析】利用向量的数量积运算求出〃?，再利用向量的求模公式求解.

【解答】解：Ia+bI=Ia-bI，

••・铲+芯2+274=；2+芯2_2H.y0,

7a=(3,4),b=(4,m>

；.12+4机=0,m=-3,

/•b=(4,-3),

lbl=V42+(-3)2=5-

故选：c.

【点评】本题考查了向量的数量积，向量的求模公式，属于基础题.

22.(2023•丹东模拟)已知向量；=(2,1).b=(3,2)'则；京4)=()

A.-5B.-3C.3D.5

【分析】由已知求得Z-E的坐标，再由平面向量数量积的坐标运算求解.

【解答】解：，•,；=(2,1)，b=(3,2),*>-a-b=(-l>-1),

则；W)=2X(-1)+1X(-1)=-3.

故选：B.

【点评】本题考查向量减法的坐标运算及数量积的坐标运算，是基础题.

一十三.向量的投影(共2小题)

23.(2023•翠屏区校级模拟)已知向量1=(1,O),E=(2,2)，若3=Z-E，则3在W方向上的投影为

()

A.1B.-1C.-AD.—

55

【分析】利用坐标运算求出然后求投影即可.

【解答】解：1=(1,0)，b=(2,2)，

则3=(-1,-2)，

则3在z方向上的投影为：昇二=-1

Ia|1

故选：B.

【点评】本题主要考查向量的投影公式，属于基础题.

24.(2023•宜宾模拟)己知点例是圆C：(x-4)2+)2=4上的一个动点，点N是直线y=x上除原点。外的

任意一点，则向量诬在向量祈上的投影的最大值是()

A.2V2+2B.2V2c.3V2+2D.372

【分析】取点N(“，a),则。r0,设点M(4+2cos0,2sin6),其中0We<2ir,利用向量投影的定义以

及三角恒等变换可求得向量诬在向量而上的投影的最大值.

【解答】解：取点N(m。)，则设点M(4+2cos0,2sin0),其中0W6<2IT,

所以,向量而在向量加上的投影为10M|cos-0N>=|0M|•

|0M|•|0N|

OM^ONa(4+2sin，+2cos8)

|ON|V2|a|

若向量OM在向量ON取最大值，则a>0，

所以，|祈Icos标，0N>=a(4+2sin8+2cos8)=V2sin0W2cos6+2亚

V2laI

=2sin(9-t兀-y)+27I2<2+272-

因为ow8<2n,则e〈史L,

当且仅当8二』时，等号成立，故向量而在向量加上的投影的最大值是为2^+2.

42

故选：A.

【点评】本题主要考查向量的投影，考查转化能力，属于中档题.

一十四.投影向量(共2小题)

r_〜—♦—♦—♦

25.(2023•东莞市校级三模)已知向量2=(2,-1),b=(l,3)，则向量a+2b在向量a方向上的投影向

量为()

A.(6,-3)B.(2>/5,-V5)C.-3产)口.4,得)

【分析】根据己知向量坐标，求投影向量公式求解即可.

【解答】因为。⑵-1),b=(l,3)，

所以a+2b=(4,5)，a=(2,T>

(2,-1)

故所求投影向量为：«+*a*=|■⑵-1)=-1).

=7T333

故选：D.

【点评】本题主要考查投影向量的公式，属于基础题.

26.(2023•开福区校级二模)已知单位向量W，E的夹角为60°,则向量Z+E在Z方向上的投影向量为()

【分析】根据向量的数量积公式及投影向量的定义即可求解.

【解答】解：因为两个单位向量之和E的夹角为60°,

Ml'b=lX

所以(a+b)a=a+a-b=l+y=^2-*——♦2f—

Ia+b+2ab+b-y3,

(a+b)-aV3

cos(a+b，

故所求投影向量为G+E1cosG+E,7>=!

IaI2

故选：C.

【点评】本题主要考查向量的数量积公式及投影向量的定义，属于基础题.

一十五.平面向量的基本定理（共3小题）

27.（2023•斗门区校级三模）在梯形A8CO中，AC,8。交于点O,3BC=4AD>则衣=（）

Q••Q»••Q••Q.

A--7-0B+0CB.-^-OB-OCC.0B吟OCD.OB4-OC

4444

【分析】根据平面向量的线性运算可求出结果.

【解答】解：如图，

由3前=4标，可得坨薯•萼（利用平行关系求得线段比），

OBBC4

则口0多8，

4

_>99Q9.

所以DC=DO+OCW"OB+OC-

4

故选：A.

【点评】本题主要考查了平面向量的线性运算，属于基础题.

28.（2023•流水县校级三模）在平行四边形ABC。中，BE』BC，AF^AE-若AB=mDFtnAE，则机-〃

24

=（）

A.AB.3C.上D.卫

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