2023年高考数学试题分类解析 第8章 导数【含答案解析】

第八章导数

第一节导数的概念与运算

1.(2023全国甲卷文科8)曲线y=$在点(I,］)处的切线方程为()

A.y=-xB.y=-xC.y=-x+-D.y=-x+—

■424424

【分析】先由切点设切线方程，再求函数的导数，把切点的横坐标代入导数得到切线的斜率,

代入所设方程即可求解.

【解析】设曲线>=三在点卜卷］处的切线方程为y-|=X：(x-l),

ex(x+1)—exxex

因为y=——,所以丁

X+1(x+1)2(x+1)2

所以k=y'|*=l=t，所以=

所以曲线卜=普■在点卜,|］处的切线方程为丫=2%+^.

故选C.

第二节函数的单调性、极值与最值

1.(2023全国乙卷理科16)设ae(O,l),若函数/(x)=优+(l+a)'在(0,+oo)上单调递增,

则实数a的取值范围是.

【解析】

因为ae(0,l),xc(0,+8),所以(空]]>1.所以只需一)na<1.

\a)ln(a+l)

即a2+a-l40na二于或a。7丁.又因为ae(0,l),所以

【评注】本题以单调性为载体，考查了不等式恒成立问题.

2.(2023新高考I卷11)已知函数“X)的定义域为R,/(W)=y2/(x)+x2/(y),则

()

Aj(O)=OB./(1)=OC./(x)是偶函数D.x=o为/(x)的极小值点

【解析】选项A,令x=y=O,则"0)=0,故A正确；

选项B,令x=y=l,则=+所以=故B正确；

选项C,令x=y=-l,则=+因为/0)=0,所以=

令y=-l,则=+=,所以/(x)是偶函数，故C正确；

,2/(孙)/(x)/(y)

选项D,对式子两边同时除以无2y270,得到土31r2+弋2,

x-y尤y

[0,x=0

故可以设/(x)=I

[xln|x|,x^0

当x>0时，/(x)=x2Inx,/'(x)=2xlnx+x2•—=x(21nx+l),

令/,(x)>。，解得x>N，令/'(x)<0,解得0<x<e

(1A

故/(x)在0,e2单调递减，在e5,+oo单调递增.

\/\7

(」、(2A

又/(x)是偶函数，所以/(x)在-e2,0单调递增，在-oo,-e万单调递减.

\7\7

/(x)的图像如图所示，所以x=0为了("的极大值点，故D错误.

故选ABC.

3.(2023新高考n卷6)已知函数/(力=念、-1门在区间(1,2)上单调递增，则。的最小值

为()

2-12

A.eB.ec.eD.E-

【解析】依题意尸(x)=”e”―—>0在区间(1,2)上恒成立,即a>'i，x£(l,2).

令g(x)=xe'，xw(l,2),^,(x)=(x+l)et>0,

所以g(x)在(1,2)上单调递增，所以e<g(x)<2e2,-4<-L<l,

2e~xee

所以a2',即a的最小值为1.故选C.

ee

4.(2023新高考n卷11)若函数/(x)=Hnx+2+「(aw0)既有极大值也有极小值，则

XX

()

A.>0B.ah>0C.b2+8tzc>0D.ac<0

【解析】尸(司，_刍_岑—、『c,(x>0).令g(x)=ox2-bx-2c,

若〃x)在(0,+00)上既有极大值也有极小值，

则g(x)在(0,内)上有2个变号零点，即△=户+84>0(必要条件).

b2c

令g(X1)=g(x,)=0,则％+&=—>0,得6|/?>0①，X|^2-...>0,CIC<0(2)

2aa

因此a%c<0,得bc<0.

综上，故选BCD.

第三节导数的综合应用

1.(2023北京卷20)设函数〃x)=x-x3e",曲线y=〃x)在点(1J⑴)处的切线方程

为y=一光+1.

(1)求4力的值：

(2)设g(x)=f'(x),求g(x)的单调区间:

(3)求3(6极值点的个数.

【分析】(1)先对/〈X)求导，利用导数的几何意义得到了⑴=0,尸(1)=—1,从而得到关

于a,。的方程组，解之即可；

(2)由(1)得g(x)的解析式，从而求得g'(x),利用数轴穿根法求得g'(x)<0与g'(x)>0

的解，由此求得g(x)的单调区间；

(3)结合(2)中结论，利用零点存在定理，依次分类讨论区间(-8,0),(0,玉)，(x,,x2)

与(马,+8)上了'(X)的零点的情况，从而利用导数与函数的极值点的关系求得了(X)的极值

点个数.

［解析］(1)因为/(x)=x_x3e&TxGR，所以r(x)=l_(3d+加)e"’”，

因为〃x）在（1"⑴）处的切线方程为y=-x+l,所以/⑴=-1+1=0,/（1）=-1,

l-l3xert+/,=0

则<,解得,所以a=—1,人=1.

1-(3+a)e»h=1

(2)由⑴得g(x)=/'(x)=l—(3f—丁区一计«£町,

则g'(x)=—x(%2—6x+6)ef+，

令f—6x+6=0,角用得九=3±6，不妨设玉=3—6,x?=3+6,则。<玉<马,

易知匕一"+|>0恒成立，

所以令g'(x)<。，解得0cx<玉或%>/；令g'(x)>。，解得x<0或为<x<X2；

所以g(x)在(0,%),(%2,+8)上单调递减，在(-8,0),(%,%)上单调递增，

即g(x)的单调递减区间为(0,3-@和(3+M+8),单调递增区间为(_g0)和

(3-73,3+73).

(3)由⑴得〃x)=x—Ve-"i(x€R),/,(x)=l-(3x2-x3)e-r+1,

由(2)知/'(x)(0,再)，(9,+«>)上单调递戒，在(一8,0),(%,%)上单调递增,

当x<0时，r(-l)=l-4e2<0,r(0)=l>0,即((-1)尸⑼<0

所以r(尤)在(-8,0)上存在唯一零点，不妨设为七，则一1<七<0,

此时,当x<Xj时，r(x)<0,则/(X)单调递减；当X3cxe0时,f'(x)>0,则“X)单

调递增；

所以“X)在(-8,0)上有一个极小值点；

当xe(o,xj时，/'(X)在(0,再)上单调递减，

则/'(%)=:(3-6)</'(1)=1-2<0,故((0)(&)<0,

所以/'(X)在(0,xJ上存在唯一零点，不妨设为乙,则0<匕<%,

此时，当0cx<%时，f'(x)>0,则f(x)单调递增；当匕<了<不时，f'(x)<0,

则/(X)单调递减；

所以“X)在(O,xJ上有一个极大值点：

当xw（%,X2）时,在（％，w）上单调递增,

则/'伉）=r（3+6）＞r⑶=1＞o,故尸（与）尸（当）＜o,

所以/'（X）在（X1，W）上存在唯一零点，不妨设为*5，则%]＜毛＜X2，

此时，当不＜》＜三时，f'（x）＜o,则/（x）单调递减；当*5＜%＜超时，/'（X）＞O,则/（X）

单调递增；

所以/（X）在（百,々）上有一个极小值点；

当x＞x,=3+y/3＞3时，3r—x3=（3—x）＜0,

所以r（x）=l—（3/-/卜-闭＞0,则/（X）单调递增，

所以“X）在（々，内）上无极值点；

综上，/（x）在（-%0）和（3,%）上各有一个极小值点，在（。,当）上有一个极大值点，共有3

个极值点.

【评注】关键点睛：本题第3小题的解题关键是判断尸（玉）与尸（%）的正负情况，充分利

用;（x）的单调性，寻找特殊点判断即可得解.

2.(2023全国甲卷理科21)已知函数〃x)=ox—金用,x.0,巴］.

cosxv2)

(1)若〃=8,讨论f(x)的单调性;

(2)若〃x)<sin2x恒成立，求。的取值范围.

【解析】(1)若〃=8,/(x)=8x--S^n---,0<x<—,

'7cos3x2

3

…、°COS,COSA:-sinx-3cos2x-(-sinx)°cos2x+3sin2x

fW=8------------------6---------------=8--------4-----

COSXCOSX

8cos4x-cos?x—3sin2x8cos4x-cos2x-3(l-cos2x)

4—4

COSXCOSX

8cos4x+2cos2x-3(2cos2x-l)(4cos2x+3)

4-4,

COSXCOSX

令/")=0得》='，当0<x<(时，:(x)>0,/(x)在卜),()上单调递增;

..7C71„./(x)在(昔)上单调递减.

当一<X<一时,rw<o,

42

(2)/(x)<sin2x(zr--^^-<sin2x,0<x<—.

cosx2

人\sinx•八八兀

令F(x)=ax----r----sin2x,0<x<—,

'/cos3x2

尸(0)=0,F(x)<F(0)=0,则尸(0),,0.

cos4x-sinx-3cos2x(-sinx)cos2x+3sin2x

又尸'(X)=Q_-2cos2x=a--2cos2x,

64

cosxCOSX

〃(0)=々一3,,0得4,3(必要条件).

win丫

当6,3B寸，F(x)„3x---~~—-sin2x.

cos'x

令G(x)=3x--S^n^--sin2x,0<x<-^,G(0)=0,

cos4x-sinx-3cos2x-(-sinx)cos2x+3sin2x

G'(x)=3_-2cos2x

6-4-

cosxCOSX

2242

Z)..2xl+2sinx(1+4sinx)cosx-(l+2sinx

=(1+4sinxj4=j

'/cosxcosx

(1-sin2x)(1+4sin2x)-(1+2sin2x)

二4•

COSX

令，=sin。，由于0cxe工，所以Ovrvl.

2

令gS=(lT)2(l+4f)_(l+2f),0<f<l,g(0)=0，

^(r)=-2(l-r)(l+4r)+4(l-r)2-2=2(l-/)[2(l-r)-(l+4r)]-2,

=2(l-z)(l-6r)-2=2r(6r-7)

则g'(f)<0,g(f)单调递减，因此g(t)<g(O)=O,O<t<l,

所以G'(x)<0,G(x)在(0,5)上单调递减，G(x)<G(0)=0.证毕.

综上，a的取值范围是(-8,3].

【评注】本题的充分性的证明也可以利用巧妙的放缩来进行.

qinx

放缩一：当④3时，F(x)„3x-----sin2x.

cosx

G(x)=3x-S^nX-sin2x

令cosx

2

2

3-2COSX2c2c2

G'x)=3--4COS2X+2=6--A—i「+--------——F2cosx+2cos-x„0.

cos4XCOS-XCOSX

6

显然此时必有尸(“<尸(0)=0,符合题意.

综上，当3时/(x)<sin2x.

放缩二：当xe0,巴时，由Pade逼近知

...3x

从而有43时/(x)<sin2x.

【评注】本题考察了导数与三角函数的综合，对于结构的变形处理有一定的要求，同时还考

察到了高考重难点中的含参取点问题.当遇到复杂结构时，要主动关注函数本体的结构及性

质，学会从宏观的角度去简化问题.

3.(2023全国甲卷文科20)已知函数"x)=or-篙:xe((),£|.

(1)若a=l,讨论/(x)的单调性；

(2)若/(x)+sinx<0,求4的取值范围.

【分析】(1)代入a=l后，再对/(x)求导，同时利用三角函数的平方关系化简尸(x),再

利用换元法判断得其分子与分母的正负情况，从而得解；

(2)解法一：构造函数g(x)=f(x)+sinx,从而得到g(x)<0,注意到g(0)=0,从而

得到g'(0)40,进而得到再分类讨论a=0与4<0两种情况即可得解；

sin%

解法二:先化简并判断得sinx-＜0恒成立，再分类讨论。=0,与。＞0三种情

cos2X

况，利用零点存在定理与隐零点的知识判断得。＞0时不满足题意，从而得解.

【解析】(1)因为Q=l,所以/(x)=x-"凹竽,

cosx\2)

cosxcos2x-2cosx(-sinx)sinxcos2x+2sin2x

则/(%)=1-

cos4Xcos3x

32232

cosX-COSX-2(1-COSX)COSX+COSX-2

cos3xcos3X

令广=85元，由于0,^1,所以r=cosx£(0,l),

所以cos^x+cos2x-2=t'+广—2=f3—广+2/-2=产(f—1)+2(f+—1)

=(r+2f+2)("l),

因为产+2f+2=(f+iy+l>0,r-l<0,cos3x=?>0,

在、，…\cos3x+cos2x-2

所以•/(')=一v0在[(),万上恒成立,

所以/(x)在上单调递减.

sinx

(2)解法一:构造g(x)=/(x)+sin%=ax-24-sinx0<x<—

COSXI2

.，/、1+sin2x(八兀、

贝1]g(x)=a-------z——+cosx0<x<—,

cosx\2)

若g(x)=/(x)+sinx<0,且g(O)=/(O)+sinO=O,

则g'(O)=a-l+l=qWO,解得a<0.(必要条件)

,c,.sinx.八1

当。=0时，因为smx-------=sin%1-------

cosx\cosx

又所以Ovsinxvl,0<cosx<l,则一>1,

V2)cosx

sin尤

所以/(x)+sinx=sinx--一「<0,满足题意；

cos-x

TT

当a<0时，由于0<x<一,显然办vO,

2

所以+sinx=ar--^竽-+sinx<sinx一包=〈(),满足题意；

cosxcosx

综上所述：若/(x)+sinr<0,等价于。工0,

所以。的取值范围为(-8,0].

解法二.因为_sinxcos2x-sinx_sinx(cosx-l)_sin3x

cos2xcos2xcos2xcos2x

因为所以Ovsinxvl,0<cosx<l,

故sinx--^"<0在(0二]上恒成立，

cosx\2J

citnV,

所以当。=0时，f(x)+sinx=sinx---~7—vO,满足题意；

cos-x

TT

当a<0时，由于Ovxv—,显然ax<0,

2

sinKqinx

所以f(x]+sinx=ax--~—+sinx<sinx--~—<0,满足题意；

cosxcosx

SnXsnx

当a>0时，因为/(x)+sinx=ar--^2-+sinx=ar-^,

cos-xcos'x

z、sin3xf兀)，/、3sin2xcos2x+2sin4x

令g(X)=GC———0<X<-,则g,x)=Q---------------------,

COS2)cos3x

.、生zi，小3sin2Ocos20+2sin40八

汪意到g(0)=4---------------------=。皿

若V0<x<],g'(x)>0,则g(x)在(o.?上单调递增，

注意到g(o)=o,所以g(x)>g(o)=o,即f(x)+sinx>0,不满足题意;

若前<与<2，g'(Xo)<O,则g,(o)g,(xo)〈o,

所以在上最靠近x=0处必存在零点百e(O,xo),使得g1xJ=0,

此时g'(x)在(O,xJ上有g'(x)>0,所以g(x)在(0,西)上单调递增:

则在(0,再)上有g(x)>g(O)=O,即/(x)+sinx>0,不满足题意;

综上：a<0.

【评注】本题解法二第2小问讨论a>0这种情况的关键是，注意到g'(0)>0,从而分类讨

论g'(x)在(0,鼻上的正负情况，得到总存在靠近x=0处的一个区间，使得g'(x)>0,从

而推得存在g(x)>g(O)=O,由此得解.

4.(2023全国乙卷理科21)已知函数/(x)=E+q)ln(x+l).

(1)当a=T时，求曲线y=f(x)在点(1,/(1))处的切线方程；

(2)是否存在使得曲线y=关于直线x=6对称，若存在，求a,b的值，若不

存在，说明理由；

(3)若/(X)在(o,4w)存在极值，求Q的取值范围.

【解析】(1)当々=—1时，

ln(x+1),=--yln(x+l)+(—1j-------,

xxjx+1

f(l)=0,/⑴=-ln2,

曲线y=/(x)在点。，/⑴)处的切线方程为=/⑴(x-l),即y=-ln2(x-l).

令g(x)=/(，)=(x+a)ln[l+，]，且1+，>0得A^>0,即x>0或x<-l.

\\X)XX

所以匕=一一，则g(x)=g(T-x)，

2

fl]=(T-x+

即(x+a)ln|1=(-l-x+6z)ln

Ix+\)'7x+\

v1]

得(2a-l)ln-----=0,即〃二万

(3)/(x)=1«ln(x+1)在(0,+8)上存在极值，求々的取值范围.

X+

即在(0,+8)上，尸(X)存在变号零点.

r(x)=Tln(x+l)+[+,,士=-(x+l)ln(x+1)+(-l)xax2+x-(x4-l)ln(x+l)

22

人\AJ人।JLx(x+l)x(x+l)

令g(x)=ax2+x-(x+l)ln(x+l),x>0,

g(0)=0,当“，0时，x>0,得由己，0,ln(x+l)>—,

则g(x)=M4-x-(x+l)ln(x+1)„x-(x+l)ln(x4-1)<0.

所以当④0时，r(x)<0,函数〃力在(0,+8)上单调递减，

因此不存在极值点，与题意不符，故舍去.(注：一看原函数的符号)

^r(x)=2or+l-ln(x+l)-l=2ox-ln(x+l),

当a.g时，2av..x,x>ln(x+l),x>0,则g'(x)>0,

函数g(x)在(0,+oo)上单调递增，故g(x)>g(0)=0,

即/'(x)>0,在(0,+8)上单调递增，所以/(x)在(0,+8)上没有极值点，与题意不

符，故舍去.(注：二看导函数的符号)

当0<。<；时，g(x)=ax2+x-(x+l)ln(x+l),

g(0)=0,g'(x)=2or+l—ln(x+l)-l=2dx-ln(x+l),g'(0)=0,

g\x)=2a--^.g”(0)=2a-l<0,屋⑺=：万〉0，

则g"(x)在(0,+oo)上单调递增，且g"1_i+()=0

因此，当0<x<T+：时,g"(x)<0,g'(x)单调递减；

当x>-l+1-时，g"(x)>0,g'(x)单调递增，

2a

又g'(0)=0,且x>0时，ln(x+l)=21nVx+l<2(Jx+l.

(因为dx+1—\[x—x+l-x1<1,所以Jx+1-1<)

Jx+1+y[xJx+1+\fx

故8’(力>20¥_2«=2«(々«_1)=0得工=二,

因此据零点存在定理知，使得(优)=0,

且当0cx</时，g'(x)<0,g(x)单调递减;当%>入0时,g[x)>0,g(x)单调递增.

又g(o)=o,当o<a<；,找一个实数%>0,使得

g(X)=膏+X-(片+1)In(K+1)>0,K>0,

++一二―

又In®+l)=2ln+1<2^XQ+1-]^<2yjx^,

所以g(工)>ax：+x；+1)>a点+ax[-+1)=ax[(玉；+1)-25/^"+1)

=("D(&-2寓)=0,得x=5.

因此g(g)>0,由零点存在定理知三斗£(0,弓)，使得g(xj=(),

且当0<工<西时，g(x)<0,当时，g(x)>0,

即当Ovxv芭时,/r(x)<0,/(x)单调递减;

当演时,g(x)>0,/r(x)>0,/(力单调递增.

因此，当0<a<g时，/(x)在(0,+8)上存在唯一极小值点，满足题意.

综上所述，若f(x)在(0,+8)上存在极值，则a的取值范围是(0,g).

【评注】本题第一问比较常规，第二问考查了同学们的基本功，只需注意到定义域关于

x=-1对称，答案并不难得到.第三问具有一定难度，但是可以通过提取转化对问题进行简

2

化，当然这道题目最重要的还是考查了同学们分类讨论及含参取点的能力.

5.(2023全国乙卷文科8)函数〃x)=x3+ar+2存在3个零点，则。的取值范围是()

A.(-°°.-2)B.(-oo,-3)C.(-4,-l)D.(-3,0)

【分析】写由/'(幻=3/+“，并求出极值点，转化为极大值大于0且极小值小于0即可.

【解析】f(x)=x3+ar+2,则/'(x)=3x?+〃，

若/(x)要存在3个零点，则/(x)要存在极大值和极小值，则avO,

令/")=3—+a=0,解得x=或

故〃x)的极大值为/,极小值为

+2>0

若f(x)要存在3个零点，则<,即♦

<0y+2<0

解得a<-3.故选B.

6.(2023全国乙卷文科20)已知函数〃x)=《+，，ln(l+x).

(1)当a=-l时，求曲线y=/(x)在点处的切线方程;

(2)若函数f(x)在(0,+8)单调递增，求〃的取值范围.

【解析】(1)当。=—1时,

r(x)=-5历(彳+1)+匚_1).七

\人)人\4J人I1

/(1)=0,r(l)=-ln2,

曲线y=〃x)在点(1J0))处的切线方程为y-f(l)=/⑴(x-l),即y=—ln2(x-l).

(2)由函数的解析式可得/'(x)=(—7)ln(x+l)+(—Fa)x---(x>—1),

满足题意时/'(X)20在区间(0,+8)上恒成立.

令ln(x+l)+*士20,则-(％+1)111(%+1)+(%+加)20,

令g(x)=ar2+x-(x+[)m(x+l),原问题等价于g(x)NO在区间(0,+8)上恒成立,

则gf(x)=2or-ln(x+l)。

当aWO时，由于2orW0/n(x+l)>0,故g'(x)<0,g(x)在区间(0,内)上单调递减，

此时g(力vg(O)=O,不合题意;

令〃(x)=g'(x)=2or-ln(x+l),则h,(x)=2a———,

x+1

当aN，，2aNl时，由于」一<1,所以〃'(x)>0,〃(x)在区间(0,+(»)上单调递增，

2x+l

即g'(x)在区间(0,+8)上单调递增,

所以g'(x)>g'(O)=O,g(x)在区间(0,+8)上单调递增，g(x)>g(o)=o,满足题意.

当0<a<—时，由〃'(x)=2a-----=0可得彳=-----1,

2''x+12a

当时，l(x)<0,〃(x)在区间上单调递减，即g'(x)单调递减，

注意到g'(0)=0,故当时，g'(x)<g'(O)=O,g(x)单调递减，

由于g(0)=0,故当时，g(x)vg(O)=O,不合题意.

综上可知，实数”得取值范围是

【评注】方法点睛：

(1)求切线方程的核心是利用导函数求切线的斜率，求函数的导数要准确地把函数拆分成

基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导，和函数求导，应由外到内逐层求导，

必要时要进行换元.

(2)由函数的单调性求参数的取值范围的方法

①函数在区间(4力)上单调，实际上就是在该区间上尸(x)20(或f'(x)40)恒成立.

②函数在区间(a力)上存在单调区间，实际上就是/'(x)W0(或f'(x)40)在该区间上存在解

集.

7.(2023新高考I卷19)已知函数/(x)=a(e*+a)-x.

(1)讨论/(x)的单调性;

3

(2)证明：当a>0时，/(x)>21n«+—.

【解析】(1)尸(x)=ae，-l,

当aWO时,/r(x)<0,在R上单调递减;

当Q>0时，令/'(x)=0,得e'=L即x=-lna,

函数/(x)在(-8,-Ina)上单调递减，在(-Ina,+8)上单调递增.

(2)解法一：由(1)知，当a>0时,

/(xL="Tna)=a(e，+a^+\na=aya+—+lna,

3(1A3

要证明〃x)>21n«+—,等价于证明a\a+—\+\na>2\na+—,

a2

即/-InQ—L>。，a>0.

2

设g(a)=〃2_[na」，则gr(a}=2a--=———-

2aa

当0<4<#时，g'(a)<0,函数g(a)在|o,

上单调递减;

当a〉孝时，g'(a)>。，函数g(〃)在叵)

《-,+8j上单调递增,

,n-,n>0

贝Ig(a)>g-^4-Tr^)证毕.

2

3

解法二：目标式+a)-x>21na+Q,

即。"+/一1—2in。—？>0,

2

u>e'lnrt-(x+lna+l)+a~-Ina—>0,

筹遴舞姿_(%+lna+l)+g(

a2-In6/2_])+—>0、比

2，证毕.

..o

【命题背景揭示】凸函数的切线不等式

1

当a>0时，给出函数g(x)=ae*+/-21na其在点ln-处的切线方程为：

y-g(1/In-|[x-ln-I，

Ia

又g，(x)=ae'd'4=

g(ln—j=tz2-21na+l,

j、3

因此，y=x-ln—+/-21na+l=x+/—lna+1,该切线与直线y=x+—平行,

a2

且/_Q+~L+—>0=^>tz2-—><7-l>ln6z,

242

33

即。~—In+1>—,得x+—Ina+1>x+—,

22

由凸函数的切线不等式可知g(x)=ae"+q2-2\na..x+l+a2-\na>x+^,

3

即a(e*+a)-x>21na+万.

【评注】本题考查函数与导数的单调性分析和函数不等式的证明，考查函数形式依旧是指、

对混合形式.

8.(2023年全国新高考II卷第22题)(1)证明：当0<x<l时，x-x2<sinx<^；

(2)已知函数/(x)=cosax-ln(l-x2),若x=0是/(x)的极大值点，求a的取值范围.

【解析】⑴设/(x)=sinx-x,0cx<1,则/(0)=0,

/'(x)=cosx-l<0,函数/(x)在(0,1)上单调递减，则“力</(0)=0,

所以sinxvx.

设g(x)=xr2_sinx,则g(0)=0,^'(x)=l-2x-cosx,g*(0)=0.

g"(x)=—2+sinxv0,g'(x)在(0,1)上单调递减，则g'(x)vg'(0)=0,

所以g(x)在(0,1)上单调递减,因此g(x)<g(O)=O,所以％—幺〈sin%.

综上，当。<%<1时，x-x2<sinx<x.

1a

本题还可以让学生证明，对于任意x>0,X一一X3<sinx<x(泰勒展开).

6

(2)解法一：由题意，函数/(力的定义域为(-11)，且/(x)为偶函数.

—2x.2x

yr(x)=—tzsinax—=-asinord-----/(可是奇函数.

1-x21-x2T

又0是的极大值点=/'(O)=O,显然成立,

JL3^>0,当%«-。0),r(x)>0,〃x)单调递增;

当X£(O»),r(“<0,”力单调递减.

、2(1-X2)—2元.2x)、2(l+x?)

又f"(x)=一矿cosax+-----------z------=-a~cosax+------g

,(T)(I。’

/〃(。)=-。2+2<0得4>血或4<一夜，

〃(加入3+2.2G行一("不一打(一2力=入*+卬3+，,

I)(I—)

小，、，12(x4+6x2+l)

尸(0)=0,/)(x)=acosar+—-----3~

(I)

若同〉夜，当国<5时，0„\ax\<\,则产)(x)>0,

则r(x)在0,吉上单调递增，又/”(0)=0,因此f"(x)>0,

所以尸(x)在|o,而上单调递增，又/⑼=2-/<(),

、

1'11

若干"，，0,则XW0,同，尸(了)<0恒成立,

、147

则xe0,后,广(x)单调递减，贝"(x)<_f(O)=O,

所以当。<1<百时，”工)单