2022-2023学年湖南省长沙市高一年级上册期末模拟数学模拟试题（含解析）

2022-2023学年湖南省长沙市高一上册期末模拟数学模拟试题

(含解析)

一、单选题

I.命题“心€[0,+8),/-3/+2对”的否定是()

A.3x∈[θ,+∞),X3-3x2+2<OB.∀x∈(→o,0),χ3-3x2+2≥0

C.3x∈(-∞,θ),x3-3X2+2<0D.VXe[θ,+ɑ?),/-3/+2<0

【答案】A

【分析】根据全称命题的否定理解判断.

【详解】命题“Wxe[(),+8),/—3χ-+230"的否定是"Hv∈^0,+°o),x,-3x^+2<0,,.

故选：A.

2.已知集合A={x∣l0g2X≤l},B={y∣y=3"+1},则AB=()

A.[L2]B.(1,2]C.D.(9]

【答案】B

【分析】解对数不等式求出集合A,再求出指数函数的值域即可求出集合B,进而根据交集的概念

即可求出结果.

【详解】因为logzX41,即0<x≤2,所以A={x∣0<x≤2},

而由于3'>0,则y>i,即B={y∣y>l}

所以Aβ≈(l,2].

故选：B.

3.下列说法正确的是()

A.若a>b,∣⅛∣Jac2>bc2B.若一2vα<3,1v力<2则一3Va-力<1

mffi

C.若α>Z?,Od,贝IJaCD.若a>b>0,m>G,则一<一

ab

【答案】D

【分析】利用不等式的性质、结合特例法逐一判断即可.

【详解】A：当C=O时，显然〃/不成立，因此本选项说法不正确；

B：l<b<2=>-2<-b<-l,而一2vav3,所以有-4<。一力<2,因此本选项说法不正确；

C：当〃=-2,〃=-3,c=-4,d=-5时，显然满足c>d,但是。c>〃”不成立，因此本选项说法

不正确；

D：由a>6>0=">0n£∩>h£nI；>l乙,而〃?>(),所/以77即777竺ITl<I：TL,因此本选项说法正

ababbabaab

确，

故选：D

sin-+a-cos(π∙-α)

4.已知角α终边上一点尸(1,2),则一~γ-----------------=()

sinlɪ-erl-sin(2^÷6τ)

2

A.2B.-2C.0D."

3

【答案】B

【分析】通过坐标点得出角。的正切值，化简式子，即可求出结果.

【详解】解：由题意，

角α终边上一点P(l,2),

.*.tanα=2

sin-+α-cos(^r-a)

.(2Jv_2λcosa_2λ_1

.(π∖./c∖CoSa-Sina1-tana

sιnlɪ-ɑl-sιn(2^-+a)

【分析】根据函数的奇偶性可得函数为偶函数，可排除CD,然后根据x∈(0,π)时的函数值可排除

B.

【详解】因为/(x)=(l—高卜nx=(W卜nx,定义域为R,

乂/(T)=[τ771]sin(--r)=汨∙sinx=∕(x),

所以/(x)是偶函数，图象关于轴对称，故排除CD,

又当x∈((),兀)时，］二1>0,SinX>0,/(x)>O,故排除B.

et+1

故选：A.

6.若正数1、V满足x+2y=2xy,若不等式x+2y≥6的恒成立，则阳的最大值等于()

A.4B.IC.4√2D.8

【答案】A

【分析】由已知得出,+；=1,将代数式x+2y与；相乘，展开后利用基本不等式可求得x+2y

X2yX2y

的最小值，即可得出实数机的最大值.

【详解】已知正数X、y满足x+2y=2盯，可得I=W^=L+},

2xyX2y

所以x+2y=(x+2y)∖+J∣=2+热+等2+2点手4,

当且仅当X=2y时，即尤=2,y=l时，等号成立，

所以X+2y的最小值为4,

.,.∕n≤4.

因此，实数加的最大值为4∙

故选：A.

7.己知函数/(x)=SimUyX-GCOSTt5(0>0)在［。,1］内恰有3个最值点和4个零点，则实数。的取

值范围是()

flθ23］「1023、Γ1713、<1723'

A∙B∙-T*7-C∙^ς^,Td∙7^'7"

【答案】B

【分析】数形结合，由第4个正零点小于等于1,第4个正最值点大于1可解.

【详解】F(X)=Sin兀(yχ-百c°sπ<υx=2sin^π<υx-jj,

因为x∈［0,l］,所以TUyX-^∙e-p<yπ~y,

又因为函数/(x)=sinτuυx-J^COSτuυx(<υ>O)在［0,1］内恰有3个最值点和4个零点,

由图像得：3n≤twπ-与，解得：,

故选：B

8.已知定义在R上的函数y=∕(χ)对于任意的X都满足/(χ+2)=∕(χ),当-L,X<1时，∕ω=X3,

若函数g(x)=/(x)-log“IXl至少有6个零点，则”的取值范围是()

A.(0,—]<J(5,+∞)B.(0,—)<J15,+∞)

C.(i.∣)(5,7)D.(ɪ∣)u∣5(7)

【答案】A

【分析】函数的根转化为两个新函数图像的焦点问题，再对对数函数的“进行分类讨论即可.

【详解】由/(x+2)=∕(x)知/(x)是周期为2的周期函数，

函数g(χ)="χ)-1OgJH至少有6个零点等价于函数y=/(χ)与g(χ)=iogJX的图象至少有6个交

点，

①当α>i时,画出函数y=∕(χ)与g(χ)=logjχ∣的图象如下图所示，

根据图象可得g⑸=IogQ<1,即α>5.

②当0<“<i时,画出函数y="χ)与g(x)=k>g∕x∣的图象如下图所示,

根据图象可得g(-5)=log.5ZT,即0<α<-.

综上所述的取值范围是(OqU(5,+8).

故选：A

二、多选题

9.下列说法中，正确的是()

A.集合A={l,2}和B={(l,2)}表示同一个集合

B.函数/(x)=j3+2x-*的单调增区间为(一1,1)

C.若log,3=α,log,7=⅛,则用α,6表示1。8娘56=

a+b+∖

2

D.已知/(x)是定义在(-,O)U(O,内)上的奇函数，当x>0时，/(x)=x+i-l,则当x<0时，

/(x)=-x2-→l

【答案】BC

【分析】对于A,根据集合的定义即可判断；对于B,利用复合函数的单调性即可判断；对于C,

利用对数的换底公式及运算性质即可判断；对于D,利用函数的奇偶性求对称区间上的解析式即可

判断.

【详解】对于A,集合A={L2}中元素为数，集合8={(1,2)}为点，可知表示的不是同一个集合，所

以A选项错误；

对于B,根据3+2x-d≥o解得函数F(X)=J3+2x-χ2的定义域为[—1,3],

令f=3+2x-炉则y-∖[t,

∕=3+2x-炉为二次函数，开口向下，对称轴为χ=l,所以函数f=3+2x-/在区间(—1,1)上单调递

增，在区间(1,3)上单调递减，

函数y=〃为增函数，根据复合函数的单调性可知函数f(x)=√3+2X-X2的单调增区间为(-1,1),

所以B选项正确；

对于C,因为K)g23=",log27=⅛,根据对数的换底公式可得

*56=霭I=詈赛*雷赛=记舞意⅛=M'所以C选项正确;

对于D,因为当x>0时，f(x)=x2+--∖,可令x<O,则-x>O,所以

/(-X)=(-Λ)2+^-1=X2-I-I,又因为/(x)是定义在(y,0)U(0,48)上的奇函数，所以

/(x)=-∕(-x)=-x2+→l,与题干结果不符，所以D选项错误.

故选：BC.

10.下列说法不正确的是()

A.函数y=∕-χ-2的零点是(TO)和(2,0)

119

β∙正实数〃’力满足°+人=1'则不等式％+方的最小值为W

f+3

C.函数y=的最小值为2

√X2+2

D.x，<1的一个必要不充分条件是OVXel

【答案】ACD

【分析】A：求出函数的零点即可判断；B：利用:+，=(：+α+b)和基本不等式即可判断求

解；C：令En=f，利用换元法和基本不等式即可判断；D：判断从O<x<l是否可得∕<ι,结

合充分条件和必要条件的概念即可判断.

【详解】对于选项A：y=0nf—x—2=0=(x—2)(x+l)=0=x=2或-1,

则函数的零点是2或T,故A错误;

对.于选项B：.a>O,b>O,a+b=],

当且仅当9力即”时，等号成立，故的最小值为？故B正确;

对于选项C：令JX2+2=t..2，则寸=/一2,

则函数化为y='尹=y=f+}≥2j∣=2,当且仅当r=；,即f=l时等号成立,

X24-3

∙.∙z≥2,故等号不成立,即>=讨>2,故C错误;

对于选项D：若OVXV1,则fvi,即OVXVl是f<1的充分条件，故D错误.

故选：ACD.

11.已知函数/(x)=ASin(ox+e)(其中A>O,0>O,-]<e<5)的部分图象如图所示，则下列结

C.函数y=∕(x)在区间(E∕,E+SJ(AeZ)上单调递增

D.函数y="χ)在区间行,兀上的取值范围是[-6,1]

【答案】AC

【分析】由图得A、。，点值,2)在图象上求得9及/(x)的解析式可判断A;根据图象平移规律可

判断B；利用正弦函数的单调性可判断C；根据X的范围求得Sin(2x+^)可判断D.

【详解】由图得A=2,gτ=粤一B=手，所以T="=%。=2,

41264ω

所以"x)=2sin(2x+e),因为点2)在图象上，所以2=2Sin(2x/"，

sin]+s)=I,因为-]<Q<∣∙,所以*=看，可得/(x)=2sin(2x+e),故A正确；

对于B,将/(x)的图象向左平移W个单位，得到

y=2sin]2∣x+∙∣>已=2sin(2x+与+看)=2sin(2x+^)的图象，故B错误；

对于C,

所以函数y"(x)在区间[E∕,祈+Sj(keZ)上单调递增，故C正确;

一「7兀1,c兀「4兀13π^].(八兀、「‹1

对于D,X∈—*π时，2x÷-∈—,所以sin2冗+Z∈-1,—,

12Jo|_ɔojIO√2_

函数y="x)在区间上的取值范围是[-2』，故D错误.

故选：AC.

12.已知函数"x)=[y*]<'F°若方程/(x)-m=O有三个不同的解”,6,c,且α<6<c,则下列

[2x-25,x>10

说法正确的是()

A.LaClB.l<b<lθC.∖2.5<abc<l3D.O<m<∖

IO

【答案】BC

【分析】画出/(x)的图象，结合图象以及对数运算确定正确答案.

-lgx,0<x<1

【详解】由题意可知，/(x)=∙⅛r,l≤x≤10,作出/(x)的图象，如图所示：

2Λ-25,X>10

因为方程/(x)=O有三个不同的解α,"c(α<b<c),由图可知0<m≤l,故D错误;

且Tn=-Iga=Igb=2c-25,lgα+lg⅛=lga⅛=O,Λ⅛=l,

所以α=l(Γ"∈ɪ,l^ɪlθ-'e(l,lθ],故A错误，B正确；

Vfj+25

所以αbc∙=c=F-W(12.5,13],故C正确；

故选：BC

【点睛】关于形如y=∣bg"H'y=iogjχ∣等函数图象的画法，可结合绝对值的意义、函数的奇偶性、

函数的单调性进行作图，作图过程中要注意曲线“弯曲”的方向，也要注意函数定义域的影响.

三、填空题

TT

13.函数f(x)=3sin(ox+1)的最小正周期7=π,则。=.

【答案】±2

【分析】根据正弦型函数的周期公式求解.

【详解】因为/(X)=3Sin(S+a，

π

所以T="—^=，国军得ω=±29

故答案为：±2.

14.函数/(χ)=JX-IT的值域为.

【答案】[-∞)-∣

【分析】利用换元法结合二次函数的性质求值域.

【详解】令f=JX-I≥O,则X=r+1,

22

可得：γ=r-(r÷ι)=→+r-i(r≥o),

；函数y=--+∕-l的对称轴为f=g>O,

•••当f=g时，函数丫=-产+一取到最大值ynm=-13+g-1=-(，

即函数/(x)的最大值为-%故函数/(x)的值域为,8,一；,

故答案为：

,or

15.已知COSa=2:,sin=且ɑe(θ,^),e(θ,ɪ],则+夕的值是-

【答案】V

【分析】由平方关系求得Sinα,CoS/，再求出cos(e+0即可得解.

【详解】解：因为CoSa=竽，sin#=噜，且α∈[θ,5),

所以Sina=COSβ=JEL且α+∕w(0,兀)，

则c°s(α+0=浊X亚-旦叵=也，

v'5105102

所以α+万=；.

故答案为：了.

16.若函数F(X)与g(x)对于任意％,j⅛e[c,d],都有∕α)∙g(w)2m,则称函数/(x)与g(x)是区

间[c,d]上的“加阶依附函数”.已知函数"χ)=3χ-l与g(x)=f-ax-α+4是区间口,2]上的“2阶依附

函数”，则实数。的取值范围是.

【答案】(Y>,2]

【分析】由题意得〃X)Inin∙g(x)mh,≥2在［1,2］上恒成立,X∕(x)mjn=2,所以g(x)≥l在［L2］上恒成

立，即“≤匕把在［1,2］上恒成立，令x+l=r,fe［2,3］,⅛Λ(z)=f+--2,研究〃⑺的最小值即可.

x+1t

【详解】因为函数/(x)=3χ-l与g(x)=χ2-θr-a+4是区间［1,2］上的“2阶依附函数”，

所以f(x)min∙g(x"nN2在［1,2］上恒成立,

又“X)=31在［1,2］上单调递增，则/(x)min=/⑴=2,

所以g(x)=χ2-奴-α+421在［1,2］上恒成立，即α≤土二在［1,2］上恒成立，

x+l

22

X÷3(x+l-l)÷314.

x÷lx+1x+1

令x+l=√,r∈［2,3］,设〃(/)=，+；-2,

//(,)=I-A=?≥0,则Mt)在［2,3］上单调递增,

所以MfL=M2)=2，

所以α≤2.

故答案为：(-∞,2］.

四、解答题

17.已知函数/(x)=Ig(X-1)+"工的定义域为A,g(x)=3、+I(XWO,2］)的值域为B.

⑴求A和B；

(2)若［α,α+l］=Ac3,求。的最大值.

【答案】(I)A为(1,4］,B为［0,10］

(2)3

fx-l>O

【分析】(1)根据函数的解析式有意义，得到满足，、八，即可求解函数的定义域A；根据

［4-x≥0

g(x)=3*+I(Xe［0,2］)在定义域内为增函数，即可求出值域8

(2)由(1)可知ACg=(1,4］,根据集合间的包含关系可求出参数。的范围，则可得出。的最大值.

x-l>0

【详解】(1)解：由题意，函数/(χ)=Ig(X-1)+满足

4-x≥0,

解得l<x≤4,所以函数/(X)的定义域为(1,4J,

而函数g(x)=3jr+I(XwO,2])在R上是增函数,

g(0)=3°+l=2,g⑵=32+l=lO,

所以函数g(力=3'+1(xe[0,2])的值域为[0,10],

故定义域A为(1,4],值域B为[0,10].

(2)解：由(1)可知AC3=(1,4],若卜,α+l]αAcB,

a>1,

则…4,解得“？3,

所以“的最大值为3,此时满足[3,4]£(1,4卜

故最大值为3.

18.已知函数/(6=25式5-8$23：+加(。<刃<1)的图象关于点(5,2卜寸称.

(1)求的值;

⑵将/("的图象向左平移5个单位长度，再将所得图象的横坐标伸长到原来的3倍，纵坐标不变,

得到函数g(x)的图象，求g(x)在[0,3司上的值域.

【答案】(1)"7=1,①=；

(2)[2-√2,4]

【分析】(1)由二倍角公式降累后，由余弦函数的对称性可求得外加值;

(2)由图象变换得出g(x)的表达式，再由余弦函数值域得结论.

【详解】(1)/(x)=1-cos2ωx-cos2ωxΛ-m=m+∖-2cos2ωx,

依题意可得“7+1=2,T=%+kτr,^∈Z(0<<υ<l),

则/M=1,<y=ɪ.

(2)由(1)知/(x)=2-2CoSX,则g(x)=2-2cos[^+d.

Xππ5π

当xe［0,3句时,一+-∈,

347T

故g(x)在［0,3π］上的值域为［2-夜,4］.

19.已知函数〃=是定义在［-1』上的奇函数.

(1)判断函数/(x)的单调性并用定义加以证明；

⑵求使/(1-2,")<0成立的实数m的取值范围.

【答案】(υ"χ)在上是增函数，证明见解析；

⑵网•

【分析】(1)根据奇函数利用/(O)=O求出“，再验证即可，由函数单调性定义证明即可;

(2)根据函数的单调性列出不等式组求解即可.

【详解】(1)定义在［一15上的奇函数，所以/(O)=爷子=-α=0,所以α=0,

r)γ—9r

当α=0时，/(x)=V,满足Ar)=,、，∣=-∕(x),故α=0满足题意.

x^+1(-x)+1

OV-

“无)=ʌ在［T1］上是增函数,证明如下：

设Vx⅛,J⅛e［T,l］且XI<X2>

2x∣_2x?_2x∣(x；+l)-2±(J+1)_2(%--)(-7)

则〃％)-，(％)=

22

xl+1名+1(Xi+l乂考+1)(片+1)(若+1)

2

因为％,x2e[T,l]且否Cx2,所以Λ2-%>0,xix2-1<0,(x∣+l)(x;+l)>0,

所以〃为)一〃W)<。，所以"％)</($)，所以/(x)在［-1』上是增函数;

(2)由/(加_1)_/(1_26)<0,得〃mT)<∕(l-2m)

由(1)知f(x)=/J(X)在[T,l]上是增函数，

-1<m-∖<1O≤/n≤2

所以'2

l≤l-2m≤l,即<O≤∕n<l,解得0≤m<].

m-∖<∖-2tn2

m<—

[3

所以实数机的取值范围是0,∣j∙

20.如图，风景区的形状是如图所示的扇形OAB区域，其半径为4千米，圆心角为60。，点C在弧

AB上.现在风景区中规划三条商业街道。E、CD、CE,要求街道。C与OA平行，交。B于点。，

街道OE与OA垂直(垂足E在OA上).

(1)如果弧BC的长为弧CA长的三分之一，求三条商业街道围成的AC。E的面积；

(2)试求街道CE长度的最小值.

【答案】(1)12-46平方千米

3

(2)2国一26千米

3

【分析】(1)结合已知角及线段长，利用三角形的面积公式可求；

(2)由已知结合解三角形的知识，利用三角函数恒等变换可表示CE,然后结合正弦函数性质可求.

【详解】(1)如下图，连接OC,过C作CRLOA,垂足为R.当弧BC的长为弧C4长的三分之一

时，NCoR=45。,在ACOR中，OC=4,CRVOA,故CR=2&OR=2近.在一OZ)E中，

DE=CR=2近,ZDOR=GOo,所以空=tan60。=右，则OE=迎，所以

OE3

CO=RE=2√Σ-侦=盛二毡■,可得.C£>E的面积S=LCO∙DE='J夜-2、).2夜=已-4屿(平

332233

方千米)；

(2)设NCo4=。(0<。<至，则CR=4sin，，OR=4cosd,DE=CR=4sin8,

又空=tan6(Γ=6,则OE=迪sin。，所以C£>=ER=4cos。-迪sin。.在直角三角形CoE中,

OE33

CE'=CD2+DE2=(4cosθ--sin6»):+(4sin6»)2=---(2√3sin20+cos2(9)=-l∙sin(29+φ),其中

33333

IanW=3(0<0<生).因为O<θ<E,所以9<20+><§+>,又O<g<f,所以当20+夕=生时，CE2

623322

有最小值为空警，即CE”,,,=楞Ξ誓=迈卢叵.综上，街道CE长度的最小值为名普

千米.

B

21.用打点滴的方式治疗"新冠''病患时∙，血药浓度(血药浓度是指药物吸收后，在血浆内的总浓度,

单位：mg∕ml)随时间(单位：小时)变化的函数符合Ce)=穹其函数图象如图所示，

其中恤为药物进入人体时的速率，k是药物的分解或排泄速率与当前浓度的比值.此种药物在人体内

有效治疗效果的浓度在4mg/ml到15mg/ml之间，当达到上限浓度时(即浓度达到15mg/ml时)，

必须马上停止注射，之后血药浓度随时间变化的函数符合C?")=,?-*',其中C为停药时的人体血药

浓度.

⑴求出函数q⑺的解析式;

(2)一病患开始注射后，最多隔多长时间停止注射？为保证治疗效果，最多再隔多长时间开始进行第

二次注射？(结果保留小数点后一位，参考数据：lg2≈0.3,lgl5≈1.18)

【答案】(l)q(∕)=161-2^(∕≥0)

\/

(2)从开始注射后，最多隔16小时停止注射，为保证治疗效果，最多再隔7.7小时后开始进行第二次

注射

【分析】(1)根据图象可知，两个点(4,8),(8,12)在函数图象上，代入后求解参数，求。⑺；

(2)由(1)求15中，的范围；求得C?")后，再求JQ)∙∙4中l的范围.

【详解】⑴解:由图象可知点(4,8由8,12)在函数图象上,

=8

1_2^4Λ21

则两式相除得⅛Γ=∣>解得：Z=ZM)=2400，

1—Zɔz+

=12

(J_∖

.∙.函数q(r)=161-2」(r≥0).

∖7

(2)解：由161-24≤15,得2-4ɪ≥-L1=2-4,解得，()≤f≤16,

I)16

.∙.从开始注射后，最多隔16小时停止注射；

由题意可知c=15,又&=；，∙,∙c,(/)=15-27,

I,-L4

由15∙24≥4,得24≥百，

即一;Nl°g?W22_log?15=>_；≥2-^^∙≈≡2一^^BT.93,

所以解得：()≤f≤7.7,

.∙.为保证治疗效果，最多再隔7.7小时后开始进行第二次注射.

22.设函数/(x)的定义域为D,若存在x°wZ),使得F(XO)=不成立，则称.%为/(x)的一个“不动

点“，也称/(x)在定义域。上存在不动点.已知函数〃力=地2(4'-