2022年中考数学复习《圆的综合题》

专题提升圆的综合题

类型一简单的圆的证明与计算

例1如图，AABC的点A,C在。。上，。。与AB相交于点D,连接CD,ZA=

30°,ZACD=45°,DC=^2.

⑴求圆心。到弦DC的距离；爪

⑵若NACB+NADC=180°.[)

①求证：BC是。。的切线;

②求BD的长.

跟踪训练

1.如图，AB为。。的直径，C为。0上的一点，D为BA延长线上的一点，ZACD

=ZB.

(1)求证：DC为。。的切线；

(2)线段DF分别交AC,BC于点E,F,且NCEF=45°,。。的半径为5,sinB

二已求CF的长.

5

2.(2019•陕西)如图，AC是。。的一条弦，AP是。。的切线，作BM=AB并与

AP交于点M,延长MB交AC于点E,交。。于点D,连接AD.

⑴求证:AB=BE；

(2)若。0的半径R=5,AB=6,求AD的长.

型二圆与动点

例2如图①，。。的直径AB=12,P是弦BC上一动点(与点B,C不重合)，ZABC

=30°,过点P作PD_LOP交。0于点D.

(1)如图②，当PD〃AB时，求PD的长；

(2)如图③，当弧AC与弧CD的长相等时，延长AB至点E,使BE=：AB,连接DE.

乙

①求证：DE是。。的切线；

②求PC的长.

图

跟踪训练电

1.(2019•河南)如图，在AABC中，BA=BC,ZABC=90°,以AB为直径的半

圆。交AC于点D,点E是弧BD上不与点B,D重合的任意一点，连接AE交BD

于点F,连接BE并延长交AC于点G.

(1)求证：△ADFZZXBDG；

⑵填空：

①若AB=4,且点E是弧BD的中点，则DF的长为；

②取弧AE的中点H,当NEAB的度数为时，四边形0BEH为菱形.

2.如图，已知。。的半径为2,AB为直径，CD为弦，AB与CD交于点M,将历沿

CD翻折后，点A与圆心0重合，延长0A至点P,使得AP=0A,连接PC.

(1)求CD的长；

(2)求证：PC是。。的切线;

⑶点G为A曲的中点，在PC延长线上有一动点Q,连接QG交AB于点E,交品于

点F(点F与B,C不重合)，问GEXGF是否为定值，如果是，求出该定值，如果

不是，说明理由.

Q

H

3.(2019•邵阳)如图①，已知。。外一点P向。。作切线PA,点A为切点，连

接P。并延长交。。于点B,连接A0并延长交。。于点C,过点C作CDLPB,分

别交PB于点E,交。。于点D,连接AD.

(1)求证：AAPO^ADCA；

(2)如图②,当AD=AO时.

①求NP的度数；

②连接AB,在。。上是否存在点Q,使得四边形APQB是菱形.若存在，请直接

P0

写出」的值；若不存在，请说明理由.

4.已知：在。。中，BC是。。的弦，点A是圆上一动点，连接AB,AC,过C点

引一条射线CD,且使NBCD=NA.

(1)当弦AC经过圆心。时，如图①，求证：射线CD是。0的切线;

⑵当弦AC不经过圆心。时，延长AB交射线CD于D,如图②.

①射线CD仍是。。的切线吗？(填“是”或“不是”)

②请在图中找一对相似三角形，并给予证明；

③当AB经过圆心。时，如图③，若BC=2,AC=4,求CD的长.

类型三圆与坐标系

例3如图①，②，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为(4,0),以点A为

圆心，4为半径的圆与x轴交于0,B两点，0C为弦，ZA0C=60°,P是x轴上

的一动点，连接CP.

⑴求NOAC的度数；

(2)如图①，当CP与。A相切时，求P0的长；

⑶如图②，当点P在直径0B上时，CP的延长线与。A相交于点Q,问P0为何

值时，AOCQ是等腰三角形.

1.如图，在平面直角坐标系中，已知点A(4,0),点B(0,4),动点C在以半

径为2的。。上，连接0C,将0C绕点。逆时针方向旋转90°得到0D,连接AB.

⑴若点C在第二象限的。。上运动，当OC〃AB时，NBOC的度数为；

⑵若点C在整个。。上运动，当点C运动到什么位置时，AABC的面积最大?

并求出4ABC的面积的最大值；

⑶若点C在第一、二象限的。。上运动，连接AD,当OC〃AD时：

①求出点C的坐标；

②直线BC是否为。。的切线？请作出判断，并说明理由.

效1=1案

【例1】（1）解：如解图①，分别连接OD,0C,过点。作OE_LDC于点E.

•:△ADC内接于。0,ZA=30°,

AZD0C=60°.

VOD=OC,DC=0

••.△DOC是等边三角形，

.*.OD=OC=DC=^2.

V0E±DC,；.DE=gZDE0=90°,ZD0E=30°,

；.0E=串）E=芈,即圆心。至IJDC的星巨离为

例1题解图①

(2)①证明：由⑴得△DOC是等边三角形，.../€0)=60°,

VZACB+ZADC=180°，ZCDB+ZADC=180°,

.•.ZACB=ZCDB.VZB=ZB,

，AABC^ACBD,

ZBCD=ZA=30°,

.,.Z0CB=90°,

.••BC是。。的切线.

……A—ABCB.

②由△ACBs^CDB,得手二,，即CB2=AB-BD.

LDDD

如解图②，过点D作DFLAC于点F,.-.ZAFD=ZCFD=90°.

VZA=30°,NACD=45。,DC=0

.-.DF=^DC=1,AD=2DF=2.

VZA=ZBCD=30°,ZACD=45°,

ZB=ZCDB=75°,，CB=CD=0.

设BD为x,则为=x(2+x),

解得x=^j3—1或x=—/—1(舍)，

例1题解图②

跟踪训练

L(1)证明：连接0C,如解图.

E

'D

O]A

第1题解图

VOB=OC,.•.ZOBC=ZOCB.

TAB是。。的直径，

Z.ZACB=90°..,.Z0CA+Z0CB=90°.

又：ZACD=ZB,

AZACD+Z0CA=90°.

.,.OC±CD.

TOC为。0的半径，...CD是。。的切线.

(2)解：由NCEF=45°,ZACB=90°,

可知NCFE=NCEF=45°,

3

.•.CF=CE.由sinB=k，AB=2X5=10,可得AC=6,

5

由勾股定理，得BC=8,设CF=CE=x,

由NCED=NBFD,ZECD=ZFBD,

可知，△CEDs/XBFD,

BFFD8-x„

则nlNCDE=NBDF,而:=而=——，①

CEEDx

由NCFD=NAED,ZEDA=ZFDC,

CFFDx

可知△CFDS/^AED,则a=而=^一，②

AEED6—x

2424

联立①②得，x=-,即CF的长为了

2.(1)证明：：AP是。。的切线,

，NEAM=90°.M

P

：.ZBAE+ZMAB=90°,ZAEB+ZAMB=90°.

YAB=BM,ZMAB=ZAMB,ZBAE=ZAEB,

.*.AB=BE.

⑵解:连接BC,：AC是。。的直径，.*.ZABC=90o.

在RtZ\ABC中,AC=10,AB=6,ABC=8.

VBE=AB=BM,.*.EM=12.

由（1）矢口NBAE=NAEB,/.△ABC^AEAM,

EMAMnr12AM

.*.ZC=ZAME,—,即1一二—

ACDC108

4848

ZD=ZC,AZD=ZAMD,.e.AD=AM=y,

【例2】(1)解：连接OD,如解图①.

：PD〃AB,Z0PD=90°,APOIOB.

XVZABC=30°,

.,.PO=BO・tan30°=2^3,

在RtZXOPD中，由勾股定理，得

PD=^0D2-0P2=2^6.

⑵①连接0D交BC于点F,连接BD.如解图②,

由笈=鼠，ZABC=30°,得优和鼠所对的圆心角都为2X30。=60°,

故ND0B=60°,

AAOBD是等边三角形,

cD

例2题解图②

.*.BD=OB.

1

VBE=^-AB=OB=BD,

乙

...△BDE是等腰三角形，

ZE=30°,

.,.Z0DE=180°-30°-60°=90°,

即OD±DE.

：0D是。。的半径，

.•.DE是。。的切线.

②由AOBD是等边三角形，Z0BC=30°可知，

BF是N0BD的平分线，

BF±OD,且F是0D中点，

二.BC是0D的垂直平分线，

故PO=PD,

/.A0PD是等腰直角三角形，

1

.,.PF=0D=3.

7乙

XVBF=0B•cos30°=3口

BC=AB・cos30°=6yp,

.,.PC=6^3-3^3-3=3^3-3.

跟踪训练

1.(1)证明：VBA=BC,ZABC=90°,ZBAC=45°.

：AB是。。的直径，...NADB=NBDG=90。,

AZABD+ZBAC=90°,

ZABD=ZBAC=45°,，AD=BD,

,/NDAF=ZDBG,Z.AADF^ABDG.

⑵解：①4—20②30。.

2.(1解：)如解图①，连接OC,•.•弧CD沿CD翻折后，点A与圆心0重合,

第2题解图①

1I______________L

CD±OA.VOC=2,CD=2CM=2^0C2-0M2=2^3.

(2)证明：VPA=OA=2,AM=OM=1,CM=；CD=0,ZCMP=Z0MC=90°,

.,.PC=qMC2：PM2=2FVOC=2,P0=4,

...PC2+OC2=PO2,ZPC0=90°,

；.PC是。。的切线.

⑶GEXGF是定值8.

理由：如解图②，连接GO并延长，交。。于点H,连接HF,

第2题解图②

•.,点G是⑥的中点，

AZG0E=90°.

VZHFG=90°,且NOGE=NFGH,

AOGGE

/.△OGE^AAFGH,.,.GEXGF=0GXGH=8.

GFGH

3.(1)证明：...PA切。。于点A,AC是。。的直径，

ZPA0=ZCDA=90°.

VCD±PB,.•.NCEP=90°,

.,.ZCEP=ZCDA,，PB〃AD,

NP0A=ZCAD,AAPO^ADCA.

⑵解:①连接OD,VAD=AO,OD=AO,

.,.△AOD是等边三角形，

.,.Z0AD=60°.

•「PB〃AD,AZP0A=Z0AD=60°.

VZPA0=90°,

AZP=90°-ZP0A=30°.

第3题解图

②存在.如解图，过点B作BQJ_AC交。。于点Q,连接PQ,BC,CQ,

由①得NP0A=60。，NPA0=90°，

ZB0C=ZP0A=60°.

/OB=OC,AZACB=60°，

：.ZBQC=ZBAC=30°.

VBQXAC,.*.CQ=BC.

VBC=OB=OA,.,.△CBQ^AOBA,

ABQ=AB.VZ0BA=Z0PA=30°,

，AB=AP,.*.BQ=AP,

VAP±AC,，BQ〃AP,

•••四边形ABQP是平行四边形.

VAB=AP,四边形ABQP是菱形，，PQ=AB,

PQAB

••5=^=tan60o=y/3.

cyDLv

4.⑴证明：•.》(：是。。的直径，

ZA+ZACB=90°.

,/ZA=ZBCD,

AZACB+ZBCD=90°,即AC_LCD,「.CD是。。的切线.

(2)解：①是

②△DBCs/^DCA,

证明：VZBCD=ZA,ZD=ZD,

ADBC^ADCA.

.DB_DC_BC_2_1

③•.•△DBCS/^DCA,，DC=DA=AC=4=2,

.*.DC=2DB,DC2=DB•DA,

设DB=x,贝l]DC=2x,VAB=^+4^=2^,

.*.DA=x+2^5,

.•.X;挛，，DC=2x=芋.

【例3】解：(1)VZA0C=60°,AO=AC,.'.△AOC是等边三角形，，N0AC

=60°.

(2)•「CP与。A相切，.•.NACP=90。.

ZAPC=90°-Z0AC=30°.

,点A(4,0),.*.AC=A0=4,.*.PA=2AC=8,

.•.P0=PA-0A=4.

(3)①如解图，过点C作CP_LOB,垂足为P,延长CP交。A于Q.

1111

•「OA是半径，.,.宽=g,.•.OCuOQ,

11

/.AOCQ是等腰三角形.

1

又「△AOC是等边三角形，.“0=%0=2；

12

②如解图，过点A作ADLOC于D,延长DA交。A于Q,CQ与x轴交于P,

222

ADQ垂直平分OC,ACQ=0Q,AAOCQ是等腰三角形，

2222

过点Q作QELx轴于E,在RtZXAQE中，

222

•.,NQAE=NOAD=[NOAC=3O。，

2z

1广

/.QE-AQ=2,AE=2p

.二点Q,的坐标为(4+2f,-2)；

在Rt^COP中，VP0=2,ZA0C=60°，

11

.,.CP|=2/,.•.点C的坐标为(2,2^3)；

-2=(4+2f)k+b,

设直线CQ的关系式为y=kx+b,则

2

k=~l,

解得

当y=0时，x=2+2>j3,

.,.P,O=2+20

综上可知，当P0为2或2+20时，AOCQ为等腰三角形.

跟踪训练

1.解:(1)45°；

⑵当点C到AB的距离最大时，4ABC的面积最大,

如解图①，过。点作OE1_AB于E,0E的反向延长线交。。于C,止匕时C点至IJAB

的距离最大，即为CE的长.

•「△OAB为等腰直角三角形，••.AB=0OA=40,

1L

.*.OE=^AB=2