高一数学复数专项讲练

I

第七章复数

§7.1复数的概念

7.1.1数系的扩充和复数的概念

【学习目标】1.了解引进虚数单位i的必要性，了解数系的扩充过程2理解在数系的扩充中由实数集扩展到

复数集出现的一些基本概念.3.掌握复数代数形式的表示方法，理解复数相等的充要条件.

【导语】

1545年，意大利数学家、物理学家卡尔丹在其所著《重要的艺术》一书中提出将10分成两部分，使

其积为40的问题，即求方程x(10—x)=40的根，他求出的根为5+J—15和5-15,积为25—(—15)

=40.由于这只是单纯从形式上推广而来，并且人们原先就已断言负数开平方是没有意义的.这样的结果令

他大为不解，甚至感到有些恐慌.负数真的不能开平方吗？

一、复数的有关概念

问题我们知道，方程x2+1=0在实数集中无解，联系从自然数集到实数集的扩充过程，你能给出一种方

法，适当扩充实数集，使这个方程有解吗？

提示为了解决x2+1=0这样的方程在实数系中无解的问题，我们设想引入一个新数i,使得x=i是方程

炉+1=0的解，即使i2=-1.

卽识梳理】

1.定义：我们把形如历(。，&GR)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位,满足］2=二1

2.表示方法：复数通常用字母z表示，即2=。+4(a,6CR),其中a叫做复数z的实部,人叫做复数z

的虚部.

3.数集

(1)定义：全体复数所构成的集合叫做复数集.

(2)表示：通常用大写字母C表示.

注意点：

⑴P=T

(2)i和实数之间能进行加法、乘法运算.

(3)a,b^R.

1

例1下列命题中正确的是()

A.若aGR,则(a+l)i是纯虚数

B.若a,R,且a>b,贝!|a+i>b+i

C.若(x2-4)+(x2+3x+2)i是纯虚数，贝！|实数x=±2

D.实数集是复数集的真子集

反思感悟在复数“+历(4,6GR)中，实数。和b分别叫做复数的实部和虚部.特别注意，b为复数的虚

部而不是虚部的系数，6连同它的符号叫做复数的虚部.

跟踪训练1(多选)对于复数66R),下列说法正确的是()

A.若a=0,则0+行为纯虚数

B.若”+(6—l)i=3—2i,则a=3,b=—1

C.若b=0,则a+bi为实数

D.i的平方等于1

二、复数的分类

【知识梳理】

1.复数z=a+bi(a,beR)

［实数(6=0),

标>(6#0)(当^^2时为纯虚数).

2.复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系

例2当用为何实数时，复数z=%2—巴―"2—2,"-15)i是下列数?

(1)虚数；(2)纯虚数；(3)实数.

2

延伸探究

若本例中条件不变，当w为何值时，z>0.

反思感悟复数分类问题的求解方法与步骤

(1)化标准式：解题时一定要先看复数是否为a+6i(a,6GR)的形式，以确定实部和虚部.

(2)定条件：复数的分类问题可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式,

列出实部和虚部满足的方程(不等式)即可.

(3)下结论：设所给复数为z=a+6i(a,6GR),则：

①z为实数ob=0;

②z为虚数QbWO;

③z为纯虚数Q4=o且6ro.

跟踪训练2若复数(标一3a+2)+(“一l)i是纯虚数，则实数〃的值为()

A.IB.2C.1或2D.-1

三、复数相等的充要条件

【知识梳理】

设a,b,c,"都是实数，则a+Z>i=c+di<=>a=c且b=".特别地,a+hi=O^a=b=O.

例3(1)若(x+y)+yi=(x+l)i,求实数x,夕的值.

(2)若关于x的方程3x2一支一1=(10-x-2x2)i有实数根，求实数a的值.

反思感悟复数相等问题的解题技巧

(1)必须是复数的代数形式才可以根据实部与实部相等，虚部与虚部相等列方程组求解.

(2)根据复数相等的条件，将复数问题转化为实数问题，为应用方程思想提供了条件，同时这也是复数问题

实数化思想的体现.

(3)如果两个复数都是实数，可以比较大小，否则是不能比较大小的.

3

跟踪训练3复数zi=（2〃?+7）+（机2—2）i,Z2=（，〃2—8）+（4机+3）i,机CR,若zi=Z2,则zn=

-课堂小结

1.知识清单：

(1)数系的扩充.

(2)复数的概念.

(3)复数的分类.

(4)复数相等的充要条件.

2.方法归纳：方程思想.

3.常见误区：未化成z=a+6i(a,bdR)的形式.

N随堂演练

1.在2+业1i,8+5i,(1一折,0.618这几个数中，纯虚数的个数为()

A.0B.1C.2D.3

2.(l+\5)i的实部与虚部分别是()

A.1,SB.1+3，0

C.0,1+SD.0,(1+物

3.若复数2=加一1+(加2—〃?-2)i为纯虚数，则实数〃7的值为()

A.-1B.±1C.1D.-2

4.已知/一炉+2砂i=2i(其中40),则实数长歹的值分别为.

4

课时对点练

L基础巩固

1.设a,6CR,贝卜'a=0"是''复数"+bi是纯虚数”的（）

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

2.以-3+i的虚部为实部，以3i+i2的实部为虚部的复数是（）

A.1-iB.1+iC.-3+3iD.3+3i

3.在复平面内，复数2=52—2°）+（°2—。-2乂562是纯虚数，贝lj（）

A.。=0或a=2B.a—0

C.。羊1且。云2D.a#l或

4.若a,b《R,i是虚数单位，a+2021i=2—历，则宗+历等于（）

A.2021+2iB.2021+4i

C.2+202HD.4-2021i

5.如果C,R,I分别表示复数集、实数集和纯虚数集，其中C为全集，则（）

A.C=RUIB.RUI={0}

C.R=cmD.RCI=0

6.（多选）下列命题中错误的有（）

A.若x,yWR,则x+yi=l+i的充要条件是x=y=l

B.若复数zGR,则其虚部不存在

C.若（Z|-Z2）2+（Z2—Z3）2=0,则Z|=Z2=Z3

D.若实数。与ai对应，则实数集与复数集一一对应

5

7.若实数x,y满足x+y+(x—y)i=2,则中=.

8.若复数z=sin2a—(1—cos2coi是纯虚数，则仪=.

9.当实数m取什么值时,复数z=(7W2+5/w+6)+(m2—2m—8)i是下列数？

(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数；(4)0.

10.分别求满足下列条件的实数小歹的值.

(l)2x—1+(y+l)i=x—y+(-%—y)i；

(2)'X~=^~6+(x2-2x-3)i=0.

L综合运用

11.已知复数z=/+(2a+3)i(“eR)的实部大于虚部，则实数”的取值范围是()

A.(-1,3)B.(一8,-i)u(3,+°°)

C.(-3,1)D.(-8,-3)U(1,4-oo)

6

12.若复数/一“一2+（•一1|一l）i（aGR）不是纯虚数，则（）

A.ci~~—1B.a#—1且a#2

C.aW-lD.aW2

13.已知关于x的方程。2+加工)+2田=-2—2i(mWR)有实数根〃，且z=〃?+〃i,则复数z等于()

A.3+iB.3-i

C.-3-iD.-3+i

14.使不等式/H2—(?w2—3/w)i<(/n2_4/??+3)i+10成立的实数m的取值集合是

L拓广探究

15.若复数z=m,—1)+6出"—I1是纯虚数G为虚数单位)，则tan[一胃的值为()

A.7B.--

7

C.-7D.-7或一」

7

16.已知复数zi=4—M+Q”—2)i,Z2=:+2sinJ+(cosJ—2)i(其中i是虚数单位,m,2,]GR).

(1)若4为纯虚数，求实数机的值；

(2)若Z|=Z2,求实数%的取值范围.

7

7.1.2复数的几何意义

【学习目标】1.理解可以用复平面内的点或以原点为起点的向量来表示复数及它们之间的一一对应关系2

掌握实轴、虚轴、模、共辗复数等概念3掌握用向量的模来表示复数的模的方法.

【导语】

18世纪，瑞士人阿甘达(J.Argand,1768—1822)给出复数的一个几何解释，他注意到负数是正数的一个

扩充，它是将方向和大小结合起来得出的，他的思路是：能否利用新增添某种新的概念来扩充实数系.在

使人们接受复数方面，高斯的工作更为有效.他不仅将。+齿表示为复平面上的一点3,b),而且阐述了

复数的几何加法和乘法.他说几何表示可以使人们对复数真正有一个新的看法.同学们，你们想知道复数

的几何意义是什么吗？

一、复数与复平面内点的关系

问题1有序实数对是和坐标平面上的点一一对应的，复数能和坐标平面上的点一一对应吗？

提示复数a+bi(a,beR)实质上是实数的有序数对5，b),复数可以和坐标平面上的点一一对应.

卽识梳理】

1.建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴，实轴上的点都表示实

数：除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数.

2.复数集C和复平面内所有的点组成的集合是一一对应的，即复数z=a+bi-二强J复平面内的点Z(a,

b),这是复数的一种几何意义.

例1在复平面内,若复数z=(〃?2—2加-8)+(〃於+3〃7—10)i对应的点：(1)在虚轴上；(2)在第二象限；(3)

在y=x的图象上，分别求实数机的取值范围.

解复数z=(m?—2m—8)+(/w2+3w?—10)i的实部为加之一2m—8,虚部为〃户+3加一10.

⑴由题意得小―2〃?一8=0.

解得m=~2或加=4.

,什亠l/n2—8<0,

(2)由题意，得，2<m<4.

10>0,

⑶由已知得加2—2加-8=〃於+3加一10,故加=5.

反思感悟利用复数与点的对应关系解题的步骤

(1)找对应关系：复数的几何表示法即复数z=〃+3iQ,6WR)可以用复平面内的点Z(〃，6)来表示，是解决

此类问题的依据.

(2)列出方程：此类问题可建立复数的实部与虚部应满足的条件，通过解方程(组)或不等式(组)求解.

跟踪训练1求实数〃?分别取何值时，复数z=(加2一加-2)+(加2—3m+2)i对应的点Z满足下列条件：

(1)在复平面内的x轴上方；

8

(2)在实轴负半轴上.

二、复数与复平面内向量的关系

问题2能用平面向量表示复数吗？

提示在平面直角坐标系中，每一个平面向量都可以用一个有序实数对来表示，而有序实数对与复数是一

一对应的，这样就可以用平面向量来表示复数.

【知识梳理】

如图所示，设复平面内的点Z表示复数2=。+历，

连接OZ,显然向量及由点Z唯一确定；

反过来，点Z(相对于原点来说)也可以由向量为唯一确定.

例2在复平面内的长方形48CD的四个顶点中，点4B,C对应的复数分别是2+3i,3+2i,—2—3i,

求点。对应的复数.

反思感悟复数与平面向量的对应关系

(1)根据复数与平面向量的对应关系，可知当平面向量的起点在原点时，向量的终点对应的复数即为向量对

应的复数.反之复数对应的点确定后，从原点引出的指向该点的有向线段，即为复数对应的向量.

(2)解决复数与平面向量一一对应的问题时，一般以复数与复平面内的点一一对应为工具，实现复数、复平

面内的点、向量之间的转化.

跟踪训练2(1)向量应।对应的复数是5—4i,向量0Z对应的复数是一5+4i,则属i+应2对应的复数是

A.-10+8iB.10-8i

C.0D.10+8i

9

(2)己知平面直角坐标系中。是原点，向量为，油对应的复数分别为2—3i,-3+2i,那么向量法对应的

复数是()

A.-5+5iB.5-5i

C.5+5iD.-5-5i

三、复数的模

依口识梳理】

1.定义：向量玄的模叫做复数z=a+6i(a,bGR)的模或绝对值.

2.记法：复数z=a+bi的模记作团或|a+bi|.

3.公式：\z\=\a+hi\=\la2+h2.

例3(1)已知复数z满足z+|z|=2+8i,求复数z.

(2)设zdC,且满足下列条件，求在复平面内，复数z对应的点Z的集合是什么图形?

①|z|<3；②|z|=2.

反思感悟复数模的计算

(1)计算复数的模时，应先确定复数的实部和虚部，再利用模长公式计算.虽然两个虚数不能比较大小，但

它们的模可以比较大小.

(2)设出复数的代数形式，利用模的定义转化为实数问题求解.

跟踪训练3已知0<"3,复数z=a+i(i是虚数单位)，则忸的取值范围是()

A.(1,Vib)B.(1,韵)

C.(1,3)D.(1,10)

10

四、共辗复数

佚口识梳理】

1.定义：当两个复数的实部相等,虚部互为相反数时,这两个复数叫做互为共轨复数.虚部不等于0的

两个共腕复数也叫做共聊虚数.

2.表示：复数z的共辗复数用z表示，即如果z=a+6i（a,b^R）,那么z=。一历.

例4复数z=3—4i的共辗复数对应的点在（）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

反思感悟互为共相复数的两个复数在复平面内所对应的点关于实轴对称.特别地，实数和它的共朝复数

在复平面内所对应的点重合，且在实轴上.

跟踪训练4（多选）下列说法正确的是（）

A.复数和其共辗复数都是成对出现的

B.实数不存在共轲复数

C.互为共鋸复数的两个复数在复平面内对应的点关于虚轴对称

D.复数和其共规复数的模相等

-课堂小结

1.知识清单：

（1）复数与复平面内的点、向量之间的对应关系.

（2）复数的模及几何意义.

⑶共辄复数.

2.方法归纳：待定系数法、数形结合.

3.常见误区：虚数不能比较大小，虚数的模可以比较大小.

N随堂演练

1.复数z=-l-2i（i为虚数单位）在复平面内对应的点位于（）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

11

2.已知z=m—l+(m+2)i在复平面内对应的点在第二象限，则实数用的取值范围是()

A.(-1,2)B.(-2,1)

C.(1,+8)D.(-8,-2)

3.向量a=(3,4),设向量4对应的复数为z,则z的共规复数z=,|z|=.

4.在复平面内，复数6+5i,-2+3i对应的点分别为4B,若C为线段48的中点，则点C对应的复数

是.

课时对点练

L基础巩固

1.已知复数Z|=2+i,Z2=-i,则科等于()

㈤

A.亜B.-C.#D.5

55

2.在复平面内，。为原点，向量为对应的复数为-1—2i,若点4关于虚轴的对称点为8,则向量仍对应

的复数为()

A.-2-iB.2+iC.l-2iD.-l+2i

3.已知a为实数，若复数z=(“2—3a—4)+(a—4)i为纯虚数，则复数a-ai在复平面内对应的点位于()

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

12

4.已知复数2=0+3M@2在复平面内对应的点位于第二象限，且团=2,则复数Z等于()

-l+SiB.l+3i

-1+Si或l+3iD.—2+3i

5.(多选)已知复数z=(m-3)+(〃?-l)i的模等于2,则实数洲的值可以为()

A.1B.2C.3D.4

6.已知复数z满足|邛-2团一3=0,则复数z对应的点Z的集合是什么图形？()

A.一个圆线段

C.两点两个圆

7.若复数幻=2+历与复数Z2=a—4i(a,b^R)互为共辄复数，贝Ua=,b=.

8.若复数z对应的点在夕=2%的图象上，且|z|=3,则复数z=.

9.在复平面内，。是原点，向量为对应的复数为2+i.

(1)如果点A关于实轴的对称点为点B,求向量无对应的复数：

(2)如果(1)中的点8关于虚轴的对称点为点C,求点C对应的复数.

13

10.设2=》+以¥,ydR）,若lW|z|W価，判断复数W=x+y+（x—y）i的对应点的集合表示什么图形，并

求其面积.

L综合运用

11.（多选）已知zi，Z2是复数，则以下结论正确的是（）

A.若Z1+Z2=O,则Z1=O,且Z2=0

B.若忆||+忆2]=0,则Zl=0,且Z2=0

C.若匕||=口|,则向量房I和必重合

D.若|ZLZ2|=O,则Z1=Z2

12.在复平面内，把复数3—对应的向量按顺时针方向旋转;，则所得向量对应的复数是（）

A.B.-2eC.3-3iD.3+@

13.设4,8为锐角三角形的两个内角，则复数z=（cos8—tan/l）+itan8对应的点位于复平面的（）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

14.若复数3—5i/一i和一2+出在复平面上对应的点在同一条直线上，则实数a的值为

14

L拓广探究

15.已知复平面内的点48对应的复数分别是zi=sin2g+i,Z2——cos2d+icos20,其中6G(0,n).设

对应的复数是z.若复数z对应的点尸在y=^x的图象上，贝力=.

16.已知x为实数，复数z=x—2+(x+2)i.

(1)当x为何值时，复数z的模最小？

(2)当复数z的模最小时，复数z在复平面内对应的点Z在一次函数y=—mx+〃的图象上，其中“

求丄+丄的最小值及取得最小值时m,n的值.

mn

15

§7.2复数的四则运算

7.2.1复数的加、减运算及其几何意义

【学习目标】1.熟练掌握复数代数形式的加、减运算法则2理解复数加减法的几何意义，能够利用“数形结

合”的思想解题.

【导语】

1.上一节我们学习了复数的几何意义，请同学们思考：复数、点、向量之间的对应关系是什么？

2.实数可以进行加减乘除四则运算，且运算的结果仍为一个实数，那么复数呢？

3.多项式的加、减运算法则，合并同类项法则是什么？

一、复数的加、减法运算

I：知识梳理】

1.设zi=a+bi,Z2=c+di(a,b,c,dGR)是任意两个复数，则：

(1)zi+22=(a+c)+(b+</)i；

(2)zi-Z2=(a-c)+(b—6f)i.

2.对任意Zl,Z2,Z3^C,有：

⑴zi4~z?—z?+zi；

(2)(Z|+Z2)+Z3=Z1+(Z2+Z3).

例1设机GR,复数zi=""±㈣+(w—15)i,Z2=-2+w(w—3)i>若zi+z2是虚数，求"？的取值范围.

/n+2

反思感悟复数加、减运算的解题思路

两个复数相加(减)，就是把两个复数的实部相加(减)，虚部相加(减).复数的减法是加法的逆运算.当多个

复数相加(减)时，可将这些复数的所有实部相加G咸)，所有虚部相加(减).

跟踪训练1复数(l+2i)+(3—4i)—(—5—3i)对应的点在()

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

16

二、复数加、减法的几何意义

问题我们知道，复数与复平面内以原点为起点的向量一一对应，平面向量的坐标运算法则是什么？向量

加法的几何意义是什么？

提示设方i=(a,b),OZ2=(c,d),则市i+宓=(a,b)+(c,d)=(a+c,h+d).

几何意义是以OZx,应2为邻边作平行四边形0Z|ZZ2的对角线.

佚口识梳理】

如图，设复数Z|,Z2对应的向量分别为龙।,右2,

四边形OZ1ZZ2为平行四边形，则向量玄与复数Zl+Z2对应,

向量Z?Z；与复数ZI-Z2对应.

例2如图所示，平行四边形的顶点。，A,C对应的复数分别为0,3+2i,-2+4i.求:

(1)元对应的复数：

(2)均对应的复数；

(3)为对应的复数及|加啲长度.

反思感悟复数与向量的对应关系的两个关注点

(1)复数z=a+历(a,6GR)是与以原点为起点，Z(a,3为终点的向量---对应的.

(2)一个向量可以平移，其对应的复数不变，但是其起点与终点所对应的复数发生改变.

跟踪训练2⑴已知复平面内的向量晶,而对应的复数分别是-2+i,3+2i,则|为尸.

(2)若zi=l+2i,Z2=2+ai,复数Z2—zi所对应的点在第四象限内，则实数a的取值范围是

17

三、复数模的综合问题

例3如果复数z满足|z+i|+|z-i|=2,那么|z+i+l|的最小值是()

A.1B.-C.2D.3

2

反思感悟两个复数差的模的几何意义

(，z-zo|表示复数z,Z0对应的点之间的距离，在应用时，要把绝对值号内变为两复数差的形式.

(2)|z-zo|=r表示以zo对应的点为圆心，r为半径的圆.

(3)涉及复数模的最值问题以及点的集合所表示的图形问题，均可从两点间距离公式的复数表达形式入手进

行分析判断，然后通过几何方法进行求解.

跟踪训练3△ZBC的三个顶点所对应的复数分别为z”Z2,Z3,复数Z满足|z—Z1产匕一Z2|=|z—Z3|,则z

对应的点P是△/BC的()

A.外心B.内心C.重心D.垂心

-课堂小结

1.知识清单：

(1)复数代数形式的加、减运算法则.

(2)复数加、减法的几何意义.

(3)复平面上两点间的距离公式.

2.方法归纳：类比、数形结合.

3.常见误区：忽略模的几何意义.

N随堂演练

1.计算(l-i)—(2+i)+3i等于()

A.—1+iB.1—iC.iD.—i

18

2.已知zi=2+i,Z2=l—2i,则复数z=Z2—zi对应的点位于（）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

3.已知复数zi=(q2—2)+(a—4)i,Z2=a—(次―2)i(aCR),且zi—Z2为纯虚数，则a=.

4.设平行四边形/8CC在复平面内，4为原点，B,。两点对应的复数分别是3+2i和2—4i,则点C对

应的复数是.

课时对点练

L基础巩固

1.已知z+5—6i=3+4i,则复数2为()

A.-4+20iB.-2+10i

C.-8+20iD.-2+20i

2.（多选）复数（3+加）一（2+i）对应的点在第一象限内，则实数加可能是（）

A.-1B.3C.1D.2

3.已知复数z对应的向量如图所示，则复数z+1所对应的向量正确的是（）

19

4.若zi=2+i,Z2=3+ai（〃eR）,且zi+z2所对应的点在实轴上，则。的值为（）

A.3B.2C.1D.-1

5.如果|z|+z=5+3i,那么z—z等于()

A.—B.2由C.—+2^iD.--2^/3i

6.若|z-l|=|z+l|,则复数z对应的点在（）

A.实轴上B.虚轴上C.第一象限D.第二象限

7.已知|z|=4,且z+2i是实数，则复数2=.

8.设y(z)=z—3i+团，若zi=-2+4i,Z2—5—i)则_/(zi+z2)=.

9.计算:

(】卜3上冋

(2)(3+2i)+(S—2)i；

(3)(l+2i)+(i+i2)+|3+4i|；

(4)(6-3i)+(3+2i)-(3-4i)-(-2+i).

20

10.在复平面内,已知复数Zl,Z2满足匕||=|Z21=3,且匕Z2|=3/,求|ZI+Z21.

L综合运用

11.在复平面内点4B,C所对应的复数分别为l+3i,-i,2+i,若前）=懿,则点。对应的复数是（）

A.1—3iB.—3-i

C.3+5iD.5+3i

12.复数zi=l+icos仇Z2=sin0-i,则出一zz|的最大值为()

A.3-2/B,A/2-1C.3+2/D.3+1

13.A,8分别是复数zi,Z2在复平面内对应的点，。是坐标原点，若,+z2|=|zi-Z2|,则△408一定是

（）

A.等腰三角形B.直角三角形

C.等边三角形D.等腰直角三角形

14.设实数x,y,。满足以下关系：x+yi=3+5cos9+i（—4+5sin。），则d+产的最大值是

21

L拓广探究

15.如图，在复平面内，向量/对应的复数zi=2+i,万i绕点。逆时针旋转90。后对应的复数为Z2,则比

16.已知在复平面内有一平行四边形点Z对应的复数为2+i,向量满对应的复数为l+2i,向量病

对应的复数为3-i,O为坐标原点.

(1)求点C,。对应的复数：

(2)求分188的面积.

22

7.2.2复数的乘、除运算

【学习目标】1.掌握复数代数形式的乘法和除法运算.2.理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配

律.

【导语】

我们知道，两个一次式相乘，有(ax+b)(cx+J)="cx2+(6c+a«/)x+%d,复数的加减法也可以看作多项

式相加减，那么复数的乘除法又该如何定义呢？

【知识梳理】

1.复数的乘法法则

设zi=a+6i,Z2=c+di(a,b,c,ddR)是任意两个复数，则z「Z2=(a+Z>i)(c+di)=(4c~~Z)m+(ad+bc)i.

2.复数乘法的运算律

对任意复数Z”Z2,Z3GC,有

交换律Z\Z2=Z2Z\

结合律(Z1Z2)Z3=Z1(Z2Z3)

乘法对加法的分配律Z1⑵+Z3)=Z[Z2+Z|Z3

例1计算下列各题.

(l)(l-i)(l+i)+(2+i)2；(2)(2-i)(-1+5i)(3-4i)+2i.

反思感悟(1)两个复数代数形式的乘法运算的一般步骤

①首先按多项式的乘法展开；

②再将i2换成一1；

③然后再进行复数的加、减运算.

(2)常用公式

①(。+历)2=。2—"+2。尻(。,6GR);②(。+历)(。一历)=/+按(凡(GR)；③(1土i)2=±2i.

跟踪训练1(1)计算：(1—i>—(2—3i)(2+3i)等于()

A.2i-13B.13+2i

C.13-2iD.-13-2i

23

(2)若复数(1—i)(〃+i)在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是()

A.(—8,1)B.(-8,-I)

C.(1,+8)D.(-1,+8)

二、复数除法的运算法则

【知识梳理】

设zi=a+bi,Z2=c+di(a,b,c,dGR,且c+diWO)是任意两个复数，

贝ljZia+bi(a+bi)(c~~di)qc+6d।be-ad、

Z2c+di(c+di)(c—di)c2-\-cPc^-^d2-

复数的除法的实质是分母实数化.若分母为型，则分子、分母同乘。一从；若分母为。一历型,则分

子、分母同乘”+6i,即分子、分母同乘分母的共辗复数.

例2(1)若复数z满足z(2—i)=ll+7i(i为虚数单位)，贝”为()

A.3+5iB.3-5i

C.-3+5iD.-3-5i

(l+i)(4+3i)

⑵计算:

(2-i)(l-i)

反思感悟复数的除法运算法则的应用

复数的除法法则在实际操作中不方便使用，一般将除法写成分式形式，采用“分母实数化”的方法，即将

分子、分母同乘分母的共辄复数，使分母成为实数，再计算.

跟踪训练2设复数z满足1—亠1—7=i,则|z|等于()

1—Z

A.1B侦

C.y/3D.2

24

三、在复数范围内解方程

例3在复数范围内解方程*2+6X+10=0.

反思感悟在复数范围内，实系数一元二次方程aN+Ax+cnOSKO)的求解方法

⑴求根公式法

①当心0时，x=-b±7b2-4ac；②当/〈°时，*」±正(*4心

2a1a

(2)利用复数相等的定义求解

设方程的根为x=〃?+〃i(/n,«eR),将此根代入方程"2+队+。=05-0),化简后利用复数相等的定义求

解.

跟踪训练3已知1+i是方程x2+&x+c=0(6,c1为实数)的一个根.

(1)求6,c的值；

(2)试判断l—i是不是方程的根.

-课堂小结

1.知识清单：

(1)复数的乘法及运算律.(2)复数的除法运算.

(3)在复数范围内解方程.(4)i的运算性质.

2.方法归纳：分母实数化、配方法、求根公式法.

3.常见误区：分母实数化时忽视i2=-l造成运算错误.

25

3随堂演练

1.若a,b£R,i为虚数单位，且(a+i)i=6+i,贝！J()

A.。=1,Z?=lB.a=-1,b=\

C.a=-1,b=-1D.a=\fb=~1

2.在复平面内，复数」一+(1+Si)2对应的点位于()

1+i

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

3.方程x2+3=0在复数范围内的解为x=.

4.计算：（1）14246+（1+2评=

叫+科尹戶

课时对点练

L基础巩固

1.在复平面内，复数z=i(-2+i)对应的点位于()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

26

2.设。是实数，且亠一+上且是实数，则a等于()

1+i2

13

A.-B.1C.-D.2

22

3.复数(l+i)2(2+3i)的值为()

A.6-4iB.-6-4i

C.6+4iD.—6+4i

4.(多选)下列各式的运算结果为纯虚数的是()

A.i3(l+i)2B.i2(l-i)2

喈

5.(l+i)2°—(l—i)2。的值是()

A.-1024B.1024C.0D.512

6.若z+z=6,z-z=10,则z等于()

A.l±3iB.3土i

C.3+iD.3-i

7.在复数范围内方程2x2+3x+4=0的解为.

27

2

8.复数z=一一，，则l+z+z2=________.

1+黄

9.计算:

(3)咼7

）（1+i（2+i）(l+2i)2+3(l-i)S+血

d-?；(2)；

3—亚

10.已知复数z=。一式+3。+|）

2-i

⑴求复数z：

（2）若z2+az+/?=1—i,求实数a,b的值.

L综合运用

11.若复数亠一的实部与虚部分别为a,b,则点力（b,a）必在下列哪个函数的图象上（）

—3—i

A.尸2*B.

2x

C.y=|x|D.y=_2x2—1

12.（多选）设复数z满z足+3士=—i,则下列说法正确的是（）

Z—1

A.z为纯虚数B.在复平面内，z对应的点位于第三象限

C.z的虚部为2iD.|z戶近

28

l+2i

13.已知i为虚数单位，若复数zZ的共駆复数为Z,则匕.Z+z2M|等于()

2-i

A.1B.SC.—D.2

9

14.已知关于x的方程0%2+1+。=0(4,c£R)的一个根是2+3i,则a—c=.

L拓广探究

15.据记载，欧拉公式e4=cosx+isinx(xGR)是由瑞士著名数学家欧拉发现的，该公式被誉为“数学中的

天桥”.特别是当》=冗时，得到一个令人着迷的优美恒等式，这个恒等式将数学中五个重要的数(自然对

数的底数e,圆周率兀，虚数单位i,自然数的单位1和零元0)联系到了一起，有些数学家评价它是“最完

美的公式”.根据欧拉公式，若复数z=e7的共梔复数为z,则z等于()

A.-亜-必B.-也+必

2222

C.---1---1D.-------1

2222

16.已知复数z满足z+2i,二-均为实数，复数(z+xi)2(xeR)在复平面内对应的点在第一象限，其中i为

2—i

虚数单位.

⑴求复数Z；

(2)求实数x的取值范围.

29

章末复习课

■知识网络

复T复数的分类|

数

的复数相等

概复数的模

念

H复数的儿何認—共舸复数

复平面上两点间的距离|

复

数

复H复数的加法凝n

数T复数的减法痴|

的―|复数的代数运宜

运

复数的乘法丽

算

-I复数的除法凝T

一、复数的概念

1.复数的概念是掌握复数的基础，如虚数、纯虚数、复数相等、复数的模等.有关复数的题目不同于实

数，应注意根据复数的相关概念解答.

2.掌握复数的相关概念，培养数学抽象素养.

例1已知Z=lg(w2—2"?—2)+(〃/+3机+2)i,试求实数加的取值，使(l)z是纯虚数；(2)z是实数；(3)z在

复平面内对应的点位于第二象限.

反思感悟处理复数概念问题的两个注意点

(1)当复数不是”+6i(a,6WR)的形式时，要通过变形化为。+从的形式，以便确定其实部和虚部.

(2)求解时，要注意实部和虚部本身对变量的要求，否则容易产生增根.

跟踪训练1(1)若复数Z=l+i(i为虚数单位)，Z是z的共範复数，则z2+Z2的虚部为()

A.0B.-1C.1D.-2

(2)已知z\—m2—3m+m2i,Z2=4+(5加+6)i,其中m为实数，i为虚数单位，若zi—Z2=0,则m的值为()

A.4B.-1C.6D.-1或6

30

二、复数的几何意义

1.复数运算与复数几何意义的综合是高考常见的考查题型，解答此类问题的关键是利用复数运算将复数

化为代数形式，再利用复数的几何意义解题.

2.通过复数几何意义的学习，培养直观想象素养.

例2(1)已知复数Z|=5+/i,Z2=-7+—则2=且在复平面内对应的点位于()

2222Z2

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

(2)已知复数zi=2+3i,z2=a+bi(a,ftSR),z3=l-4i,它们在复平面内所对应的点分别为4,B,C.若。

为原点，且灰?=2为+为，贝！|。=,b=.

反思感悟在复平面内确定复数对应的点的步骤

(1)由复数确定有序实数对，即2=0+加(a,6GR)确定有序实数对(a,b).

(2)由有序实数对(a,6)确定复平面内的点Z(a,b).

跟踪训练2复平面内点4B,C对应的复数分别为i,l,4+2i,由按逆时针顺序作。/BCD,

求的.

三、复数的四则运算

1.复数运算是本章的重要内容，是高考考查的重点和热点，每年高考都有考查，一般以复数的乘法和除

法运算为主.

2.借助复数运算的学习，提升数学运算素养.

例3计算：⑴包4+[^2。2。；

(1一1)

31

(2)(4-i5)(6+2i7)+(7+i")(4-3i).

反思感悟进行复数代数运算的策略

(1)复数代数形式的运