统计学的基础知识

关于统计学的基础知识统计学—statistics统计学是收集、分析、解释与报告数据资料的一门科学。“asciencedealingwiththecollection,analysis,interpretationandpresentationofmassesofnumericaldata”.

----Webster国际大辞典第2页,共112页，2024年2月25日，星期天第一节统计学的一些基本概念1.总体与样本2.变量与随机变量3.同质与变异4.参数与统计量5.误差与错误6.准确性与精确性第3页,共112页，2024年2月25日，星期天1.总体与样本

Populationandsample样本：从总体中随机抽取的部分观察单位。如某单位男士的身高总体：根据研究目的确定的同质研究对象的全体(集合)。如成年人的身高。分有限总体与无限总体第4页,共112页，2024年2月25日，星期天从总体中得到样本的方法：抽样。（抽样方法与样本量）从样本推论总体的方法：统计推断（区间估计，假设检验等）抽样与推断第5页,共112页，2024年2月25日，星期天变量——可以测量的任何特征或属性。Anycharacteristicorattributethatcanbemeasured。如热量值、蛋白质含量、碳水化合物含量。随机变量——在概率论中称变量为随机变量2、变量与随机变量Variableandrandomvariable第6页,共112页，2024年2月25日，星期天3、变量（随机变量）的分类离散型变量（discretevariable）：

计数资料（15，17，24，…）连续性变量（continuousvariable）：

计量资料（1.65,1.73,1.77，…）有序变量（ordinalvariable）：

等级资料（优、良、中、差）第7页,共112页，2024年2月25日，星期天4.参数与统计量

Parameterandstatistic参数：总体的统计指标，如总体均数、标准差，采用希腊字母分别记为μ、σ。通常是固定的常数。总体样本抽样

统计量

参数

推断统计量：样本的统计指标，如样本均数、标准差，采用拉丁字母分别记为。参数附近波动的随机变量。第8页,共112页，2024年2月25日，星期天误差与错误

Errorandmistake误差：试验中不可控因素所引起的实际观察值与客观真实值（真值）之差系统误差systematicerror随机误差randomerror错误：试验过程中，人为作用引起的差错如药品称量错误，数据录入错误等第9页,共112页，2024年2月25日，星期天误差（Error）测量值=真值+随机误差+非随机误差

Xi=

i+

i

1．随机误差（抽样误差）：影响因素众多，变化无方向性，不可避免，但可用统计方法进行分析。

2．系统误差受确定因素影响，大小变化有方向性。

3．非系统误差（错误）研究者偶然失误而造成的误差。偏差bias可以避免第10页,共112页，2024年2月25日，星期天6.

准确性与精确性准确度(accuracy)或真实性(validity)：观察值与真值的接近程度，受系统误差的影响(常用指标：如灵敏度、特异性)。精密度(precision)、也称可靠度（reliability）或重复性(repeatability）：重复观察时观察值与其均值的接近程度，受随机误差的影响（常用指标：一致百分率、Kappa值）。第11页,共112页，2024年2月25日，星期天系统误差使数据偏离了其理论值，影响数据的准确度。随机误差使数据相互分散，影响了数据的精密度。准确度和精密度都好准确度差、精密度好准确度？精密度差准确度和精密度都差第12页,共112页，2024年2月25日，星期天第二节计量资料的统计描述

连续型变量（可测量的变量）频数表与频数分布平均指标（算术均数、几何均数、中位数、众数）变异指标（极差、百分位数与四分位间距、方差、标准差、变异系数）第13页,共112页，2024年2月25日，星期天一、频数表与频数分布

(frequencytableandfrequencydistribution)第14页,共112页，2024年2月25日，星期天160名正常成年女子的

血清甘油三酯（mmol/L）

编号血清甘油三脂编号血清甘油三脂10.51……20.521531.6530.591541.6640.611551.6750.611561.6760.621571.6970.631581.780.641591.71……1601.77第15页,共112页，2024年2月25日，星期天组段（1）划记（2）频数，f（3）组中值，X（4）0.5～

30.550.6～正90.650.7～正正120.750.8～正正130.850.9～正正正170.951.0～正正正181.051.1～正正正正201.151.2～正正正181.251.3～正正正171.351.4～正正131.451.5～正91.551.6～正81.651.7～1.8

合计

31.75160第16页,共112页，2024年2月25日，星期天男子血清总胆固醇水平（mmol/L）Stem-and-LeafPlotFrequencyStem&Leaf5.002.7899913.003.011122233344434.003.555555556666666677777888899999999932.004.0000000111111122222333333444444435.004.5555555556666666667777788888889999917.005.0011222223333334410.005.55556778994.006.0022Stemwidth:1.00Eachleaf:1case(s)茎叶图第17页,共112页，2024年2月25日，星期天二.平均指标总称为平均数（average）反映了资料的集中趋势（centraltendency）。常用的有：

1.算术均数（arithmeticmean），简称均数（mean）

2.几何均数（geometricmean）

3.中位数（median）

4.众数（mode）

5.调和均数（harmonicmean）

6.截尾平均值（5%trimmedmean）第18页,共112页，2024年2月25日，星期天1.均数（mean）适用条件：资料呈正态或近似正态分布的资料第19页,共112页，2024年2月25日，星期天2.几何均数（geometricmean）第20页,共112页，2024年2月25日，星期天几何均数的适用条件与实例适用条件：呈倍数关系的等比资料或对数正态分布（正偏态）资料；如增长速度、抗体滴度资料抗体的效价滴度的倒数分别为：10、100、1000、10000、100000，求几何均数。此例的算术均数为22222，显然不能代表滴度的平均水平。对于同一资料，几何均数<均数第21页,共112页，2024年2月25日，星期天3.中位数（median）

中位数是将一批数据从小至大排列后位次居中的数据值，符号为Md，反映一批观察值在位次上的平均水平。

适用条件：适合各种类型的资料。尤其适合于①大样本偏态分布的资料；②资料有不确定数值；③资料分布不明等。

第22页,共112页，2024年2月25日，星期天中位数计算公式与实例先将观察值按从小到大顺序排列，再按以下公式计算：特点：仅仅利用了中间的1～2个数据第23页,共112页，2024年2月25日，星期天例随机抽查了9名中学生某月的到校天数分别为12，13，14，14，15，15，15，17,

19天，求其中位数。第24页,共112页，2024年2月25日，星期天4.众数（mode）出现次数（或频数）最多的观察值；在频数分布图中对应于高峰所在位置的观察值。适用于大样本；较粗糙。第25页,共112页，2024年2月25日，星期天均数、中位数、众数三者关系正态分布时：均数＝中位数＝众数正偏态分布时：均数>中位数>众数负偏态分布时：均数<中位数<众数第26页,共112页，2024年2月25日，星期天5、调和平均数

资料中各观测值倒数的算术平均数的倒数，称为调和平均数，记为H，即

调和平均数主要用于反映变量不同阶段的平均增长率或平均规模。第27页,共112页，2024年2月25日，星期天某种转基因鱼不同世代鱼群保种的规模分别为：F0代200尾，F1代400尾，F2代600尾；F3代900尾，F4代1500尾，试求其平均规模。第28页,共112页，2024年2月25日，星期天对于同一资料：算术平均数>几何平均数>调和平均数上述五种平均数，最常用的是算术平均数。几种平均数之间的关系第29页,共112页，2024年2月25日，星期天5%trimmedmean：将一组数中去掉最小的5％数值，再去掉最大的5％，然后将剩余的90％计算平均值得出的数值。减小了极端值的影响。

截尾平均值第30页,共112页，2024年2月25日，星期天三.变异（variation）指标反映数据的离散度（Dispersion）。即个体观察值的变异程度。常用的指标有：

1.极差（Range）

(全距)

2.百分位数与四分位数间距

PercentileandQuartilerange

3.方差

Variance

4.标准差StandardDeviation

5.变异系数

CoefficientofVariation

第31页,共112页，2024年2月25日，星期天1.极差（Range）（全距）优点：简便缺点：1.只利用了两个极端值

2.n大，R也会大

3.不稳定第32页,共112页，2024年2月25日，星期天

1.6m1.8m2.百分位数与四分位数间距

Percentileandquartilerange百分位数：数据从小到大排列，在百分尺度下，所占百分比对应的值。记为Px。四分位间距Quartilerange：QR＝P75－P25四分位半间距Quartiledeviation：QD＝QR/2XFrequency

25%75%第33页,共112页，2024年2月25日，星期天3.方差

方差（variance）也称均方差（meansquaredeviation），样本观察值的离均差平方和的均值。表示一组数据的平均离散情况。第34页,共112页，2024年2月25日，星期天4.标准差

标准差（Standarddeviation,Std,SD）即方差的正平方根；其单位与原变量X的单位相同。总体标准差第35页,共112页，2024年2月25日，星期天样本方差为什么要除以（n－1）与自由度（degreesoffreedom）有关。自由度是数学名词，在统计学中，n个数据如不受任何条件的限制，则n个数据可取任意值，称为有n个自由度。若受到k个条件的限制，就只有（n－k）个自由度了。例如一个有5个观察值的样本，因为受到统计数的约束，在5个离均差中，只有4个数值可以在一定范围内自由变动取值，而第五个离均差必须满足这一限制条件。第36页,共112页，2024年2月25日，星期天基本概念：样本容量及样本个数

样本容量(n)：指一个样本所包含的单位数。

一般将样本单位数不少于三十个(50?)的样本称为大样本，样本单位数不到三十个的样本称为小样本。

样本个数(g)：又称样本可能数目，是指从一个总体中抽取了多少个样本。第37页,共112页，2024年2月25日，星期天基本概念：抽样误差

抽样误差：指按照随机原则抽样时，样本指标与总体指标之间存在的误差。主要包括：

总体平均数和样本平均数的误差；总体标准差和样本标准差的误差。第38页,共112页，2024年2月25日，星期天基本概念：抽样平均误差

为什么要研究抽样平均误差？

未知

实际误差未知：

即使知道，由于样本均值是随机的，每次的误差也不一样。第39页,共112页，2024年2月25日，星期天均数的抽样误差与标准误例如，从总体均数μ=4.136mmol/L、标准差σ=0.817mmol/L的正态分布总体N(4.136,0.8172)中，随机抽取n人为一个样本（n=5,10,20,30），并计算该样本的均数、标准差。如此重复抽取1000次（g=1000），可得到1000份样本，可得到1000份均数和标准差S。第40页,共112页，2024年2月25日，星期天1000份样本的均数和标准差均数的抽样误差与标准误第41页,共112页，2024年2月25日，星期天将这1000份样本的均数看成新变量值，按频数分布方法，得到这1000份样本均数的直方图。随机抽样所得1000份样本均数的分布当n＝5时第42页,共112页，2024年2月25日，星期天当n＝10时第43页,共112页，2024年2月25日，星期天当n＝20时第44页,共112页，2024年2月25日，星期天当n＝30时第45页,共112页，2024年2月25日，星期天

1000份样本均数的抽样分布特点样本含量均数均数标准差

nmeansd54.140300.36305

104.140390.25024204.138590.17849304.141730.14954

总体均数μ＝4.136总体标准差σ＝0.817第46页,共112页，2024年2月25日，星期天

1000份样本均数的抽样分布特点：①

1000份样本均数中，各样本均数间存在差异，但各样本均数在总体均数周围波动。②

样本均数的分布曲线为中间高，两边低，左右对称，近似服从正态分布。③

随着样本量增加，样本均数的标准差明显变小：第47页,共112页，2024年2月25日，星期天4个抽样实验结果比较通过增加样本含量n来降低抽样误差。第48页,共112页，2024年2月25日，星期天5.变异系数(Coefficientofvariation，CV)适用条件：①观察指标单位不同，如身高、体重②同单位资料，但均数相差悬殊均数标准差变异系数青年男子身高170cm6cm3.5％体重60kg7kg11.7％第49页,共112页，2024年2月25日，星期天6.数据的标准得分假定两个水平类似的班级（一班和二班）上同一门课，但是由于两个任课老师的评分标准不同，使得两个班成绩的均值和标准差都不一样(SPSS数据：grade.sav)。

分数的均值标准差CV一班78.539.4312%二班70.197.0010%那么得到90分的一班的张颖是不是比得到82分的二班的刘涛成绩更好呢？怎么比较才能合理呢？第50页,共112页，2024年2月25日，星期天数据的标准得分均值和标准差不同的数据不能够直接比较，但是可以把它们进行标准化，然后再比较标准化后的数据。一个标准化的方法是把原始观测值（亦称得分，score）和均值之差除以标准差；得到的度量称为标准得分(standardscore，又称为z-score)。即：第51页,共112页，2024年2月25日，星期天数据的标准得分然后可以比较来自不同样本的标准得分。这样：张颖的标准得分为

刘涛的标准得分为

显然如果两个班级水平差不多，刘涛的成绩应该优于张颖的成绩；这是在标准化之前的数据中不易看到的。第52页,共112页，2024年2月25日，星期天原始数据是在各自的均值附近，散布也不一样。但它们的标准得分则在0周围散布，而且散布也差不多。实际上，任何样本经过这样的标准化后，就都变换成均值为0、方差为1的样本。标准化后不同样本观测值的比较只有相对意义，没有绝对意义。第53页,共112页，2024年2月25日，星期天第三节计数资料的统计描述第54页,共112页，2024年2月25日，星期天按年龄（2岁一组）与职业整理年龄工人管理人员农民商业服务无知识分子总计18

2

0

0

0

3

0

520

9

2

610

18

0

452228

71024

70111502450342852153443612650432545133703662834351034

78572483011141122

39171143214

2

314

24

3

6034

4

2

5

3

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2

2836

2

1

1

4

5

1

1438

3

1

1

0

2

1

840

0

0

2

0

0

0

2合计

207

1411022085372061401第55页,共112页，2024年2月25日，星期天统计软件的种类SPSS：这是一个很受欢迎的统计软件；容易操作，输出漂亮，功能齐全;对于非统计工作者是很好的选择。

Excel：作为数据表格软件，有一定统计计算功能；对于简单分析比较方便；对于较复杂的分析，需要使用函数，甚至根本没有相应的方法了。多数专门一些的统计推断问题还需要其他专门的统计软件来处理。第56页,共112页，2024年2月25日，星期天统计软件的种类SAS：功能非常齐全的软件；某些美国政府机构认可；需要一定的训练才可以使用，对于非专业统计人员不那么方便。

S-plus：统计学家喜爱的软件；其功能齐全，具有强大的编程功能；专业统计人员可以编制自己的程序来实现自己的理论和方法。第57页,共112页，2024年2月25日，星期天统计软件的种类Statistica：容易操作;统计资料分析、图表、资料管理;应用程序开发。Origin：容易操作;输出图形的清晰度高（很多杂志要求）。第58页,共112页，2024年2月25日，星期天第三节常见的概率分布

一概率的有关概念二概率分布概述三离散型随机变量的概率分布四正态分布五常用的抽样分布第59页,共112页，2024年2月25日，星期天一概率的有关概念

第60页,共112页，2024年2月25日，星期天

样本的实际发生率称为频率。设在相同条件下，独立重复进行n次试验，事件A出现f次，则事件A出现的频率为f/n。

概率：随机事件发生的可能性大小，用大写的P表示；取值[0，1]。

样本含量n越大，频率的波动幅度越小，频率越接近概率。频率与概率

frequencyandprobability第61页,共112页，2024年2月25日，星期天必然事件P=1随机事件0<P<1不可能事件P=0

P≤0.05（5％）或P≤0.01（1％）称为小概率事件(习惯)，统计学上认为不大可能发生。随机事件

RandomeventsCertainImpossible0.501第62页,共112页，2024年2月25日，星期天

概率分布：描述随机变量值xi及这些值对应概率P(X=xi)的表格、公式或图形。

离散型随机变量概率分布连续型随机变量概率分布二概率分布概述第63页,共112页，2024年2月25日，星期天1.离散型随机变量的概率分布第64页,共112页，2024年2月25日，星期天离散型随机变量的概率分布（例一）抗体滴度人数,x比例,f(x)1:10

1:201:401:801:1601:3201:6401:1280

合计431010111514269.058.043.145.145.159.217.203.0291.000f(x)第65页,共112页，2024年2月25日，星期天离散型随机变量的概率分布（例二）N=10,π=0.2如新手上路某事件出错的概率是0.2，连续进行10次这样的事件，出现0~10次错误的概率分布：第66页,共112页，2024年2月25日，星期天2.连续型随机变量的概率分布与离散型变量不同的是连续型变量的取值充满整个数值区间，无法一一列出其每一个可能值。一般将连续型随机变量整理成频数表，对频数作直方图，直方图的每个矩形顶端连接的阶梯形曲线来描述连续型变量的频数分布。第67页,共112页，2024年2月25日，星期天第68页,共112页，2024年2月25日，星期天如果样本量很大，组段很多，矩形顶端组成的阶梯型曲线可变成光滑的分布曲线。

大多数情况下，可采用一个函数拟合这一光滑曲线。这种函数称为概率密度函数（Probabilitydensityfunction，Pdf）。xxxfff第69页,共112页，2024年2月25日，星期天如果连续型随机变量X的概率密度函数记为：则在区间[x1,x2]范围内的概率可由微积分函数定义第70页,共112页，2024年2月25日，星期天三离散型随机变量的概率分布

离散型随机变量的分布

1、二项分布

2、泊松分布

连续型随机变量的分布

正态分布第71页,共112页，2024年2月25日，星期天毒性试验：白鼠死亡——生存临床试验：病人治愈——未愈临床化验：血清阳性——阴性任一事件成功（A）——失败（非A）这类“成功─失败型”试验称为Bernoulli试验。1、二项分布

Binomialdistribution第72页,共112页，2024年2月25日，星期天Bernoulli试验序列n次Bernoulli试验构成了Bernoulli试验序列。其特点（如抛硬币）如下：(1)每次试验结果，只能是两个互斥的结果之一(A或非A)。(2)每次试验的条件不变。即每次试验中，结果A发生的概率不变，均为π。(3)各次试验独立。即一次试验出现什么样的结果与前面已出现的结果无关。第73页,共112页，2024年2月25日，星期天成功次数的概率分布——二项分布例设某毒理试验采用白鼠共3只，它们有相同的死亡概率π，相应存活概率为1-π。记试验后白鼠死亡的例数为X，分别求X＝0、1、2和3的概率第74页,共112页，2024年2月25日，星期天3只白鼠各种试验结果及其发生概率第75页,共112页，2024年2月25日，星期天第76页,共112页，2024年2月25日，星期天二项分布的概率计算=BINOMDIST(1,3,0.4,0)第77页,共112页，2024年2月25日，星期天π=0.5，正态π<0.5，右偏（指峰在左边，右边有较长的尾巴）π>0.5，左偏二项分布的特点第78页,共112页，2024年2月25日，星期天2、泊松分布当二项分布中n很大，π很小时，二项分布就变成为Poisson分布，所以Poisson分布实际上是二项分布的极限分布。由二项分布的概率函数可得到泊松分布的概率函数为：第79页,共112页，2024年2月25日，星期天全部右偏μ越大越趋于正态PPoisson分布概率的特点第80页,共112页，2024年2月25日，星期天Poisson分布与

正态分布及二项分布的关系当较小时，Poisson分布呈偏态分布，随着增大，迅速接近正态分布，当20时，可以认为近似正态分布。Poisson分布是二项分布的特例，某现象的发生率很小，而样本例数n很大时，则二项分布接近于Piosson分布。

＝n

（应用：Poisson替代二项分布）第81页,共112页，2024年2月25日，星期天四正态分布

正态分布（Normaldistribution）也叫高斯分布（Gaussiandistribution），是最常见、最重要的一种连续型分布。

1、正态分布的数学形式

2、正态曲线

3、标准正态分布

4、曲线下面积第82页,共112页，2024年2月25日，星期天1、数学形式第83页,共112页，2024年2月25日，星期天2、正态曲线（normalcurve）图形特点：钟型中间高两头低左右对称最高处对应于X轴的值就是均数曲线下面积为1标准差决定曲线的形状Xf(X)m第84页,共112页，2024年2月25日，星期天N（μ，0.52）、N（μ，12）、N（μ，22）

N（μ1

，σ2）、N（μ2

，σ2）

正态分布曲线由两个参数决定，即总体均数μ和总体标准差σ。在σ不变的情况下，函数曲线形状不变，若μ变大时，曲线位置向右移；若变小时，曲线位置向左移，故称μ为位置参数。在μ不变的情况下，函数曲线位置不变，若σ变大时，曲线形状变的越来越“胖”和“矮”；若σ变小时，曲线形状变的越来越“瘦”和“高”，故称σ为形态参数或变异度参数。第85页,共112页，2024年2月25日，星期天3、标准正态分布标准正态离差标准正态分布：N(0,1)正态分布：第86页,共112页，2024年2月25日，星期天标准正态分布的概率密度函数实质上就是正态分布的概率密度函数中μ=0，σ=1的情形。实质上是作了一个坐标轴的平移和尺度变换，使正态分布具有平均数为μ=0，标准差σ=1。这种变换称为标准化正态变换。因此将这种具有平均数为μ=0，标准差σ=1的正态分布称为标准正态分布，记为N（0，1）。第87页,共112页，2024年2月25日，星期天

4、曲线下面积u-∞累计概率分布函数：第88页,共112页，2024年2月25日，星期天曲线下面积分布规律0-11-1.961.96-2.582.5868.27%95.00%99.00%μμ-σμ+σμ-1.96σμ+1.96σμ-2.58σμ+2.58σ68.27%95.00%99.00%第89页,共112页，2024年2月25日，星期天正态分布的特征，归纳起来有两点：对称性（symmetry）正态峰(mesokurtosis)

偏度系数和峰度系数

skewnessandkurtosis第90页,共112页，2024年2月25日，星期天偏度skewness正态分布时，mean、median、mode相等第91页,共112页，2024年2月25日，星期天偏度系数(skewness):若分布是以平均值对称的，则偏度=0；若分布是右偏的，则偏度系数>0；若分布是左偏的，则偏度系数<0。第92页,共112页，2024年2月25日，星期天峰度系数是描述随机变量陡峭度的参数，分为：正态峰、平阔峰、尖峭峰。峰度kurtosisa.尖峭峰

b.正态峰

c.平阔峰

第93页,共112页，2024年2月25日，星期天峰度系数(kurtosis)：Skewness＝.088kurtosis＝-0.2215血清总胆固醇.sav第94页,共112页，2024年2月25日，星期天正态分布在横轴上方均数处最高。正态分布以均数μ为中心，左右对称。正态分布由参数μ和σ确定。

μ是位置参数，当σ不变时,μ越大，则曲线沿横轴越向右移动；反之，μ越小，曲线沿横轴越向左移动

σ是变异度参数，当μ不变时，σ越大，表示数据越分散，曲线越平坦；σ越小，表示数据越集中，曲线越陡峭标准正态分布曲线与X轴所围成的面积为1。在μ±σ的区间内占总面积的68.27%，在μ±1.96σ的区间内占总面积的95%；在μ±2.58σ的区间内占总面积的99%。5、正态分布的特征

第95页,共112页，2024年2月25日，星期天五常用的抽样分布第96页,共112页，2024年2月25日，星期天如果总体不是正态总体，但其均数和标准差分别为μ和σ，则当样本含量n不断增大时，样本均数的分布也趋近于正态分布，且其均数为μ，标准差为

不论总体的分布形式如何，只要样本含量n足够大时，样本均数的分布就近似正态分布，此称为中心极限定理。

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