高三数学二轮专题复习利用导数解决恒成立和有解存在性问题（原卷版）

2024届高三二轮专题复习利用导数解决恒成立和有解、存在性问题本专题解题策略总结恒成立问题与有解问题是高考数学的重要知识,其中不等式恒成立问题经常与导数及其几何意义、函数、方程等知识相交汇,综合考查学生分析问题、解决问题的能力,一般作为压轴题出现,难度略大.利用导数研究恒成立与能成立问题的常用的方法有：一种先利用综合法，结合导函数的零点之间的大小关系的决定条件，确定分类讨论的标准，分类后，判断不同区间函数的单调性，得到最值，构造不等式求解；另外一种，直接通过导函数的式子，解出导函数值正负的分类标准，通常导函数为二次函数或者一次函数.恒成立问题中求参数取值范围的基本步骤(1)将参数与变量分离,化为f1(λ)≥f2(x)或f1(λ)≤f2(x)的形式.(2)求f2(x)在x∈D时的最大值或最小值.(3)解不等式f1(λ)≥f2(x)max或f1(λ)≤f2(x)min,得到λ的取值范围.【提分秘籍】①若)对恒成立，则只需；②若对恒成立，则只需．③，使得能成立；④，使得能成立．等价转化法解决恒成立问题的策略(1)遇到“f(x)≥g(x)”型的不等式恒成立问题时,一般采用作差法,构造“左减右”的函数h(x)=f(x)g(x)或“右减左”的函数u(x)=g(x)f(x),进而只需满足h(x)min≥0或u(x)max≤0;(2)将比较法的思想融入函数中,转化为求解函数最值的问题,适用范围较广,但是往往需要对参数进行分类讨论.不等式能成立问题的解题关键点典例(2023·辽宁省实验中学5月模拟)已知函数,若存在实数使得不等式2>成立，则的取值范围为（） B.(,3] C. D.含参不等式能成立问题(有解问题)可转化为恒成立问题解决,常见的转化有:(1)∀x1∈M,∃x2∈N,f(x1)>g(x2)⇔f(x)min>g(x)min;(2)∀x1∈M,∀x2∈N,f(x1)>g(x2)⇔f(x)min>g(x)max;(3)∃x1∈M,∃x2∈N,f(x1)>g(x2)⇔f(x)max>g(x)min;(4)∃x1∈M,∀x2∈N,f(x1)>g(x2)⇔f(x)max>g(x)max.双变量恒成立与能成立问题解题策略1．最值定位法解双变量不等式恒成立问题的思路策略(1)用最值定位法解双变量不等式恒成立问题是指通过不等式两端的最值进行定位，转化为不等式两端函数的最值之间的不等式，列出参数所满足的不等式，从而求解参数的取值范围．(2)有关两个函数在各自指定范围内的不等式恒成立问题，这里两个函数在指定范围内的自变量是没有关联的，这类不等式的恒成立问题就应该通过最值进行定位．2．常见的双变量恒成立能成立问题的类型(1)对于任意的x1∈[a，b]，x2∈[m，n]，使得f(x1)≥g(x2)⇔f(x1)min≥g(x2)max．(如图1)(2)若存在x1∈[a，b]，总存在x2∈[m，n]，使得f(x1)≥g(x2)⇔f(x1)max≥g(x2)min．(如图2)(3)对于任意的x1∈[a，b]，总存在x2∈[m，n]，使得f(x1)≥g(x2)⇔f(x1)min≥g(x2)min．(如图3)(4)若存在x1∈[a，b]，对任意的x2∈[m，n]，使得f(x1)≥g(x2)⇔f(x1)max≥g(x2)max．(如图4)(5)若存在x1∈[a，b]，对任意的x2∈[m，n]，使得f(x1)＝g(x2)⇔f(x1)max≥g(x2)max．(如图4)(6)若存在x1∈[a，b]，总存在x2∈[m，n]，使得f(x1)＝g(x2)⇔f(x)的值域与g(x)的值域的交集非空．(如图5)最值定位法解决双参不等式问题（1）,,使得成立（2）,,使得成立（3）,,使得成立（4）,,使得成立本专题解法归纳命题角度1单变量不等式恒成立问题题型一：分离变量+最值法（分离参数法或构造函数法）【典例分析】【例题1】（2023·全国·高三专题练习）若对任意的实数恒成立，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【例题2】(2023重庆西南大学附中5月模拟改编)已知函数,若对任意的恒成立,求实数的取值范围.【例题3】（2023·浙江·镇海中学高二期中）已知函数.(1)若在上恒成立,求实数的取值范围;(2)若函数在上单调递增,求实数的取值范围.【例题4】(2023·成都七中5月质检)已知函数若,求函数的单调区间.(2)若在上恒成立，求的取值范围.方法提炼：求解含参不等式恒成立问题的关键是过“双关”转化关：通过分离参数法，先转化为对任意}为定义域恒成立，再转化为或最值关：求函数在区间上的最大值(或最小值).题型二：化曲为直思想【例题5】(2023·山东潍坊4月二模改编)若在上恒成立，则的取值范围为题型三：洛必达法则知识储备法则1若函数和满足下列条件：及（2）在点的某去心邻域内，与都可导且（3）为有限数或者±那么法则2若函数和满足下列条件：及在点的某去心邻域内，与都可导且为有限数或者±).那么注意：(1)将公式中的换成,,,洛必达法则也成立.洛必达法则可处理型未定式（3）在着手求极限以前，首先要检查是否满足型未定式，否则滥用洛必达法则会出错.【变式演练1】1.江苏淮阴中学5月检测)已知e(1)当时，求曲线在处的切线方程；(2)当时，恒成立，求的取值范围.2.已知函数f(x)＝lnx.若对任意x>0，不等式f(x)≤ax≤x2＋1恒成立，求实数a的取值范围.3.已知f(x)＝ex－ax2，若f(x)≥x＋(1－x)ex在[0，＋∞)恒成立，求实数a的取值范围.（二）命题角度2单变量不等式能成立或有解问题【例题6】(2023.江苏天一中学5月模拟)已知函数(1)当时，求的单调区间与极值；(2)若在上有解，求实数的取值范围，【例题7】(2023·长春外国语学校4月模拟)已知函数(1)当时，讨论的单调性；(2)设,若关于的不等式在[1,2]上有解，求的取值范围.【变式演练2】1.已知函数f(x)＝ax－ex(a∈R)，g(x)＝eq\f(lnx,x)，若∃x∈(0，＋∞)，使不等式f(x)≤g(x)－ex成立，求a的取值范围.2.已知函数f(x)＝x－alnx，g(x)＝－eq\f(1＋a,x)(a∈R).(1)设函数h(x)＝f(x)－g(x)，求函数h(x)的单调区间；(2)若在区间[1，e]上存在一点x0，使得f(x0)<g(x0)成立，求a的取值范围.（三）命题角度3双变量不等式恒(能)成立问题考点一双任意与双存在不等问题 (1)f(x)，g(x)是在闭区间D上的连续函数且∀x1，x2∈D，使得f(x1)＞g(x2)，等价于f(x)min＞g(x)max．其等价转化的目标是函数y＝f(x)的任意一个函数值均大于函数y＝g(x)的任意一个函数值．如图⑤．(2)存在x1，x2∈D，使得f(x1)＞g(x2)，等价于f(x)max＞g(x)min．其等价转化的目标是函数y＝f(x)的某一个函数值大于函数y＝g(x)的某些函数值．如图⑥．【例题8】设f(x)＝eq\f(a,x)＋xlnx，g(x)＝x3－x2－3．(1)如果存在x1，x2∈[0，2]，使得g(x1)－g(x2)≥M成立，求满足上述条件的最大整数M；(2)如果对于任意的s，t∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2))，都有f(s)≥g(t)成立，求实数a的取值范围．【例题9】已知f(x)＝x＋eq\f(a2,x)(a＞0)，g(x)＝x＋lnx．(1)若对任意的x1，x2∈[1，e]，都有f(x1)≥g(x2)成立，求实数a的取值范围；(2)若存在x1，x2∈[1，e]，使得f(x1)＜g(x2)，求实数a的取值范围．考点二存在与任意嵌套不等问题 (1)∀x1∈D1，∃x2∈D2，使f(x1)＞g(x2)，等价于函数f(x)在D1上的最小值大于g(x)在D2上的最小值，即f(x)min＞g(x)min(这里假设f(x)min，g(x)min存在)．其等价转化的目标是函数y＝f(x)的任意一个函数值大于函数y＝g(x)的某一个函数值．如图⑦．∀x1∈D1，∃x2∈D2，使f(x1)＜g(x2)，等价于函数f(x)在D1上的最大值小于g(x)在D2上的最大值，即f(x)max＜g(x)max．其等价转化的目标是函数y＝f(x)的任意一个函数值小于函数y＝g(x)的某一个函数值．如图⑧．【例题10】（2023·湖南省临澧县第一中学高二阶段练习）已知函数若对,使得成立,则实数的最小值是A． B． C．2 D．3【例题11】已知函数f(x)＝x－(a＋1)lnx－eq\f(a,x)(a∈R且a<e)，g(x)＝eq\f(1,2)x2＋ex－xex．(1)当x∈[1，e]时，求f(x)的最小值；(2)当a＜1时，若存在x1∈[e，e2]，使得对任意的x2∈[－2，0]，f(x1)＜g(x2)恒成立，求a的取值范围．考点三双任意与存在相等问题 (1)∃x1∈D1，∃x2∈D2，使得f(x1)＝g(x2)等价于函数f(x)在D1上的值域A与g(x)在D2上的值域B的交集不是空集，即A∩B≠∅，如图⑨．其等价转化的目标是两个函数有相等的函数值．图⑨图⑩(2)∀x1∈D1，∃x2∈D2，使得f(x1)＝g(x2)等价于函数f(x)在D1上的值域A是g(x)在D2上的值域B的子集，即A⊆B，如图⑩．其等价转化的目标是函数y＝f(x)的值域都在函数y＝g(x)的值域之中．说明：图⑨，图⑩中的条形图表示函数在相应定义域上的值域在y轴上的投影．【例题12】已知函数f(x)＝alnx－x＋2，a∈R．(1)求函数f(x)的单调区间；(2)若对任意的x1∈[1，e]，总存在x2∈[1，e]，使得f(x1)＋f(x2)＝4，求实数a的值．【例题13】已知函数f(x)＝x2－eq\f(2,3)ax3，a＞0，x∈R，g(x)＝eq\f(1,x2(1－x))．(1)若∃x1∈(－∞，－1]，∃x2∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(1,2)))，使得f(x1)＝g(x2)，求实数a的取值范围；(2)当a＝eq\f(3,2)时，求证：对任意的x1∈(2，＋∞)，都存在x2∈(1，＋∞)，使得f(x1)＝g(x2)．考点四单函数双任意型 【例题14】已知函数f(x)＝eq\f(lnx,x)＋ax＋b的图象在点A(1，f(1))处的切线与直线l：2x－4y＋3＝0平行．(1)求证：函数y＝f(x)在区间(1，e)上存在最大值；(2)记函数g(x)＝xf(x)＋c，若g(x)≤0对一切x∈(0，＋∞)，b∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(3,2)))恒成立，求实数c的取值范围．【例题15】已知函数f(x)＝(logax)2＋x－lnx(a>1)．(1)求证：函数f(x)在(1，＋∞)上单调递增；(2)若关于x的方程|f(x)－t|＝1在(0，＋∞)上有三个零点，求实数t的值；(3)若对任意的x1，x2∈[a－1，a]，|f(x1)－f(x2)|≤e－1恒成立(e为自然对数的底数)，求实数a的取值范围．考点五双函数双任意型 【例题16】（2023·广东珠海一中5月阶段检测)已知,（1）求函数的单调区间;（2）若,求实数的取值范围.【例题17】已知函数f(x)＝lnx－ax，g(x)＝ax2＋1，其中e为自然对数的底数．(1)讨论函数f(x)在区间[1，e]上的单调性；(2)已知a∉(0，e)，若对任意x1，x2∈[1，e]，有f(x1)>g(x2)，求实数a的取值范围．考点六任意存在型 【例题18】(2023·重庆长寿中学4月阶段检测)已知函数讨论的单调区间；(2)设,若对任意的,存在,使成立，求实数的取值范围.,【例题19】（2023·全国·高二课时练习）已知函数,,若对任意都存在使成立,则实数的取值范围是______.【例题20】（2023·广东·汕头市达濠华侨中学高三阶段练习）设函数，其中.若对，都，使得不等式成立，则的最大值为（

）A．0 B． C．1 D．【例题21】(2023·重庆市朝阳中学5月诊断)已知函数,函数,若对任意的,存在,使得,则实数的取值范围为考点七存在任意型 【例题22】已知函数f(x)＝eq\f(lnx＋a,x)，a∈R．(1)求函数f(x)的单调区间；(2)设函数g(x)＝(x－k)ex＋k，k∈Z，e＝2.71828…为自然对数的底数．当a＝1时，若∃x1∈(0，＋∞)，∀x2∈(0，＋∞)，不等式5f(x1)＋g(x2)＞0成立，求k的最大值．【例题23】已知函数f(x)＝x－(a＋1)lnx－eq\f(a,x)(a∈R)，g(x)＝eq\f(1,2)x2＋ex－xex．(1)当x∈[1，e]时，求f(x)的最小值；(2)当a＜1时，若存在x1∈[e，e2]，使得对任意的x2∈[－2，0]，f(x1)＜g(x2)恒成立，求a的取值范围．考点八双存在型 【例题24】已知函数f(x)＝x－alnx＋eq\f(b,x)在x＝1处取得极值.(1)若a>1，求函数f(x)的单调区间；(2)若a>3，函数g(x)＝a2x2＋3，若存在m1，m2∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2))，使得|f(m1)－g(m2)|<9成立，求a的取值范围．【例题25】已知函数f(x)＝(x－1)ex＋1＋mx2，当0＜m≤6时，g(x)＝x3－eq\f(4,x)－mx，x∈(0，2]，若存在x1∈R，x2∈(0，2]，使f(x1)≤g(x2)成立，求实数m的取值范围．【提分秘籍】一般地，已知函数，（1）若，，有成立，故；（2）若，，有成立，故；（3）若，，有成立，故；（4）若，，有成立，故；（5）若，，有，则的值域是值域的子集．【变式演练3】1.已知函数f(x)＝eq\f(1,3)x3＋x2＋ax，函数g(x)＝eq\f(x,ex)，若对∀x1∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2))，∃x2∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2))，使f′(x1)≤g(x2)成立，求实数a的取值范围.2.已知函数f(x)＝xex－ex，函数g(x)＝mx－m(m>0)，若对任意的x1∈[－2，2]，总存在x2∈[－2，2]使得f(x1)＝g(x2)，求实数m的取值范围.（四）命题角度4同构法解决不等式恒(能)成立问题【例题26】（2023·河北·模拟预测）已知.(1)当时，求的单调性；(2)若恒大于0，求的取值范围.【例题27】（2023·贵州·高三阶段练习（理））已知，.(1)若恒成立，求的取值范围；(2)若不等式在区间上恒成立，求的取值范围．【提分秘籍】①对原不等式同解变形，如移项、通分、取对数、系数升指数等，把不等式转化为左右两边是相同结构的式子的结构，根据“相同结构”构造辅助函数．②为了实现不等式两边“结构”相同的目的，需时时对指对式进行“改头换面”，常用的方法有：、、、、、，有时也需要对两边同时加、乘某式等.③与为常见同构式：，；与为常见同构式：，.【变式演练4】1．（多选）（2023·云南·昆明一中高三阶段练习）已知函数，若恒成立，则实数的可能的值为（

）A． B． C． D．2．（2023·湖北·高三阶段练习）已知函数．(1)若，求的单调区间；(2)若，求的取值范围．3．（2023·江苏苏州·高三阶段练习）已知函数.(1)讨论函数的单调性；(2)当时，在时恒成立，求实数的最小值.三、本专题同步训练题一．选择题1．已知定义在（0，+∞）上的函数f（x）的导数为f′（x），f（x）＞0且f（e）＝1，若xf'（x）lnx+f（x）＞0对任意x∈（0，+∞）恒成立，则不等式1f(x)A．（0，1） B．（1，+∞） C．（e，+∞） D．（0，e）2．已知函数f(x)=emx−1mlnx，当x＞0时，A．（1，+∞） B．（e，+∞） C．(1e，e)3．已知定义在R上的函数φ（x）满足：当x1≠x2时，恒有φ(x1)−φ(x2)x1−x2＞0，若对任意x∈R，φA．e B．e2 C．e D．e4．已知不等式ekx+1＞(x+1)lnxkx对∀x∈（0，+∞）恒成立，则实数A．（﹣∞，0）∪（1e，+∞） B．（1eC．（﹣∞，0）∪（e，+∞） D．（e，+∞）5．若不等式tetx−(1−1x)ln(x−1)≥0对任意xA．[ln22e+1，+∞) C．(0，ln2+12e+1)6．已知关于x的不等式exx3−x﹣alnx≥1对于任意xA．（﹣∞，1﹣e] B．（﹣∞，﹣3] C．（﹣∞，﹣2] D．（﹣∞，2﹣e2]7．若不等式ex﹣aln（ax﹣1）+1≥0对∀x∈[12，1]恒成立（e为自然对数的底数），则实数aA．e+1 B．e C．e2+1 D．e28．设实数m＞0，若对任意的x∈（1，+∞），不等式2e2mx−A．12 B．12e C．1 9．若x∈（1，+∞）时，关于x的不等式axa﹣1lnx﹣ex≤0恒成立，则a的取值范围为（）A．(−∞，1e] B．（﹣∞，e] C．(0，10．已知关于x的不等式（a+1）x≥lnx+b恒成立，则aeb﹣1的最小值为（）A．﹣1 B．−12 C．−111．若不等式x2+4≥﹣3xlnx+mx在区间（0，3]上恒成立，则实数m的取值范围为（）A．（﹣∞，5] B．（﹣∞，4+3ln2] C．（﹣∞，5） D．（﹣∞，4+3ln2）12．若关于x的不等式2+lnx≤ax+b≤ex恒成立，则实数a的取值范围是（）A．[1e，1] B．[1，e] C．[1，13．已知函数g（x）＝e﹣x+ax，若g（x）≥0恒成立，则a的取值范围是（）A．[0，e2] B．[0，e] C．[0，1] D．（0，e）14．若不等式ex+x（alnx﹣ax+e2）≥0在x＞0上恒成立，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，e] B．（﹣∞，e2] C．(−∞，e2]15．已知函数f（x）＝eax﹣2lnx﹣x2+ax，若f（x）＞0恒成立，则实数a的取值范围为（）A．（1，+∞） B．(2e，+∞) C．(116．已知f（x）是R上的单调递增函数，∀x∈（0，+∞），不等式f(−m)+f(lnxx)≤f(1+m)+f(1−A．(−∞，e−12] B．[217．若x2e3x≥（k+5）x+2lnx+1在（0，+∞）恒成立，则k的取值范围为（）A．k≥﹣1 B．k≥﹣2 C．k≤﹣2 D．k≤﹣118．已知a＞0，f（x）＝ex﹣ax，g（x）＝lnx﹣x+lna，若f（x）≥g（x）恒成立，则a的最大值为（）A．e4 B．e2 C．e 19.（2023·浙江·高二阶段练习）已知函数，若对任意的恒成立，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．20．（2023·广东·红岭中学高二期中）若关于的不等式，对恒成立，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．21．（2023·全国·高三专题练习）已知，若∃，使，则实数的取值范围为（

）A． B．C． D．22．（2023·全国·高三专题练习）若函数与满足：存在实数，使得，则称函数为的“友导”函数．已知函数为函数的“友导”函数，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．23．（2023·广东·高三开学考试）已知，若对任意的恒成立，则实数a的最小值为（

）A．e B． C． D．24．（2023·安徽滁州·高二期末）已知当，不等式恒成立，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．25．（2023·辽宁沈阳·高三阶段练习）已知函数，，若，使得成立，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．26．（2023·河南·濮阳南乐一高高三阶段练习（理））已知函数，．若，都，使成立，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．27．（2023·甘肃省民乐县第一中学高二期中（文））若函数在上单调递减，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．28．（2023·全国·高三专题练习）若不等式对任意实数x都成立，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．二、多选题29．（2023·江苏·句容碧桂园学校高三阶段练习）已知函数，满足对任意的，恒成立，则实数a的取值可以是（

）A． B． C． D．30．（2023·全国·高三专题练习）设函数，若恒成立，则实数的可能取值是（

）A．1 B．2 C．3 D．431．（2023·湖南·长郡中学模拟预测）若存在正实数x，y，使得等式成立，其中e为自然对数的底数，则a的取值可能是（

）A． B． C． D．232.（2023·海南·模拟预测）若时，关于的不等式恒成立，则实数的值可以为（

）（附：）A． B． C． D．33．（2023·湖北·仙桃市田家炳实验高级中学高三阶段练习）若不等式（其中是自然对数的底数）对恒成立，则实数的取值范围为________导数中的恒成立、存在性问题大题专项训练1．（2023·广东·高三阶段练习）已知f(x)=e(1)若x∈0,2π，求函数f(x)(2)若对∀x1,x22．（2023·四川·高三阶段练习（理））已知函数f(x)=ln(1)求f(x)极大值；(2)若x∈[1,+∞),e3．（2023·江苏·高三阶段练习）已知a>0，函数fx(1)证明fx(2)若存在a，使得fx≤a+b对任意x∈0,+4．（2023·河北·模拟预测）已知fx(1)当a=1时，求g(x)的单调性；(2)若f(x)恒大于0，求a的取值范围.5．（2023·江苏·高二期末）已知函数f(x)=ln x−ax−1(1)若曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线经过点(3,92)(2)当x>0时，f(x)<0恒成立，求a的取值范围．6．（2023·安徽·高三阶段练习（理））已知函数fx(1)若x=e时，fx取得极值，求(2)若函数gx=xfx+x,x∈1,+7．（2023·河北·高三期中）已知函数fx(1)若a=−2e−1，求(2)记函数gx=−x2−a8．（2023·黑龙江·高三阶段练习）已知函数f(x)=4ax(1)讨论函数fx(2)若a为整数，且fx<2x9．（2023·北京高三阶段练习）设函数fx(1)若曲线y=fx在点2,f2处的切线斜率为e2(2)若fx存在两个极值点x1,x210．（2023·广西贵港·高三阶段练习）已知函数fx(1)证明不等式：sinx≤x，x∈(2)若∃x1,x2∈0,+11．（2023·河南·高二期末（文））设函数fx(1)a=0时，求fx(2)若fx≥0在0,+∞12．（2023·陕西汉中·模拟预测（理））已知函数fx(1)若a>0，求函数fx(2)当x∈0,+∞时，不等式fx13．（2023·江苏省高三阶段练习）

已知函数f(x)满足2f(x)+f(−x)=x+2(1)求y=f(x)的解析式，并求f(x)在[−3,−1]上的值域；(2)若对∀x1,x2∈(2,4)且14．（2023·全国·模拟预测）已知函数fx=e(1)讨论函数fx(2)当p=1时，若存在q，使得不等式gx≥fx15．（2023·山东·高三期中）已知函数fx=ln(1)若fx的最大值是1，求m(2)若对其定义域内任意x，fx≤gx16．（2023·全国·模拟预测）已知函数fx=ex−x，g(1)若直线y=kx与曲线y=fx，y=gx都相切，求(2)若fx≥gx17．（2023·四川·高三期中（文））已知函数fx(1)若函数gx在x=0处的切线方程为x−y+a=0，求实数a(2)若∃x0∈0,+∞18．（2023·全国·模拟预测）已知函数fx=x−a+(1)讨论函数fx在区间0,(2)当a=2时，不等式fx<2te19．（2023·全国·高三专题练习）设函数，曲线处的切线斜率为0求b;若存在使得，求a的取值范围．20．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，(Ⅰ)设函数，讨论函数的单调性；（Ⅱ）求证：当时，21．（2023·福建省漳州第一中学高二