新版高中数学人教A版选修2-2习题第二章推理与证明2.3

2.3数学归纳法课时过关·能力提升基础巩固1用数学归纳法证明3n≥n3(n≥3,n∈N*),第一步应验证()A.当n=1时,不等式成立B.当n=2时,不等式成立C.当n=3时,不等式成立D.当n=4时,不等式成立解析由题知n的最小值为3,所以第一步验证当n=3时,不等式成立,选C.答案C2已知f(n)=1n+1n+1+1n+2+A.f(n)共有n项,当n=2时,f(2)=1B.f(n)共有(n+1)项,当n=2时,f(2)=1C.f(n)共有(n2n)项,当n=2时,f(2)=1D.f(n)共有(n2n+1)项,当n=2时,f(2)=1解析由题意知f(n)的最后一项的分母为n2,故f(2)=12+13+1又f(n)=1n+0+1n所以f(n)的项数为n2n+1.故选D.答案D3已知n为正偶数,用数学归纳法证明112+13-14+…+1n-1-1n=21n+2+1n+4A.当n=k+1时,等式成立B.当n=k+2时,等式成立C.当n=2k+2时,等式成立D.当n=2(k+2)时,等式成立解析因为假设n=k(k≥2,且为偶数),故下一个偶数为k+2,故选B.答案B4用数学归纳法证明不等式1+12+14+…+12n-1>12764(nA.7 B.8 C.9 D.10解析左边=1+12+14+…+12n-1=答案B5用数学归纳法证明112+13-14+…+12n-1-12n=1A.1B.1C.1D.1解析当n=k时,左边=112+13-14+…+12k-1-12k答案C6用数学归纳法证明“当n为正奇数时,xn+yn能被x+y整除”,当第二步假设n=2k1(k∈N*)命题为真时,进而需证n=时,命题为真.

解析因为n为正奇数,所以奇数2k1之后的奇数是2k+1.答案2k+17在用数学归纳法证明“34n+2+52n+1(n∈N*)能被14整除”的过程中,当n=k+1时,式子34(k+1)+2+52(k+1)+1应变形为.

答案(34k+2+52k+1)34+52k+1(5234)8用数学归纳法证明122+132+142+…+1n2<分析验证当n=2时不等式成立→假设当n=k时

不等式成立→证明当n=k+1时不等式成立→结论证明(1)当n=2时,左边=122=14,因为14<1(2)假设当n=k(k≥2,k∈N*)时,不等式成立,即122+132+1则当n=k+1时,122+132+=1(k+1)2-k=11k所以当n=k+1时,不等式也成立.综上所述,对任意n≥2的正整数,不等式都成立.9用数学归纳法证明1×4+2×7+3×10+…+n(3n+1)=n(n+1)2(其中n∈N*).证明(1)当n=1时,左边=1×4=4,右边=1×22=4,左边=右边,等式成立.(2)假设当n=k(k∈N*)时等式成立,即1×4+2×7+3×10+…+k(3k+1)=k(k+1)2,则当n=k+1时,1×4+2×7+3×10+…+k(3k+1)+(k+1)·[3(k+1)+1]=k(k+1)2+(k+1)[3(k+1)+1]=(k+1)(k2+4k+4)=(k+1)[(k+1)+1]2,即当n=k+1时等式也成立.根据(1)和(2),可知等式对任何n∈N*都成立.能力提升1某同学解答“用数学归纳法证明n(n+1)<n+1(n∈N*)证明:①当n=1时,显然命题是正确的;②假设当n=k(k≥1,k∈N*)时,有k(k+1)<k+1,则当n=k+1时,(k+1)2+(k+1)=k2+3k+2<k2+4k+4=(A.从n=k到n=k+1的推理过程中没有使用归纳假设B.假设的写法不正确C.从n=k到n=k+1的推理不严密D.当n=1时,验证过程不具体解析由分析证明过程中的②可知,从n=k到n=k+1的推理过程中没有使用归纳假设,故该证法不能叫数学归纳法,选A.答案A2用数学归纳法证明“凸n(n≥3,n∈N*)边形的内角和公式”时,由n=k到n=k+1增加的是()A.π2 B.π C.3π2 D解析如图,由n=k到n=k+1时,凸n边形的内角和增加的是∠1+∠2+∠3=π,故选B.答案B3用数学归纳法证明(n+1)(n+2)·…·(n+n)=2n·1·3·…·(2n1),从n=k到n=k+1,左边需要增乘的代数式为()A.2k+1 B.2(2k+1)C.2k+1k解析当n=k时,等式左边为(k+1)(k+2)·…·(k+k),而当n=k+1时,等式左边为(k+1+1)(k+1+2)·…·(k+1+k+1)=(k+2)·(k+3)·…·(k+k+2),前边少了一项(k+1),后边多了两项(k+k+1)(k+k+2),故增乘的代数式为(k+k+1)(答案B★4某个与正整数有关的命题:若当n=k(k∈N*)时,命题成立,则可以推出当n=k+1时,该命题也成立.现已知当n=5时,命题不成立,则可以推得()A.当n=4时,命题不成立B.当n=6时,命题不成立C.当n=4时,命题成立D.当n=6时,命题成立解析“若n=k时,命题成立,则n=k+1时,该命题也成立”的等价命题是“若n=k+1时,命题不成立,则n=k时,命题也不成立.”故选A.答案A★5用数学归纳法证明“n3+5n能被6整除”的过程中,当n=k+1时,式子(k+1)3+5(k+1)应变形为.

解析采取凑配法,凑出归纳假设k3+5k来,(k+1)3+5(k+1)=k3+3k2+3k+1+5k+5=(k3+5k)+3k(k+1)+6.答案(k3+5k)+3k(k+1)+66设实数c>0,整数p>1,n∈N*.(1)用数学归纳法证明:当x>1,且x≠0时,(1+x)p>1+px;(2)数列{an}满足a1>c1p,an+1=p-1pan+cpan1-p证明(1)①当p=2时,(1+x)2=1+2x+x2>1+2x,原不等式成立.②假设当p=k(k≥2,k∈N*)时,不等式(1+x)k>1+kx成立.则当p=k+1时,(1+x)k+1=(1+x)(1+x)k>(1+x)(1+kx)=1+(k+1)x+kx2>1+(k+1)x.所以当p=k+1时,原不等式也成立.综合①②可得,当x>1,x≠0时,对一切整数p>1,不等式(1+x)p>1+px均成立.(2)先用数学归纳法证明an>c1①当n=1时,由题设a1>c1p知an>c②假设当n=k(k≥1,k∈N*)时,不等式ak>c1p由an+1=p-1pan+cpan1-p及a1>c1p>0,易知an>0,=1+1p由ak>c1p>0,得1<1p由(1)中的结论得ak+1akp=1+1pcakp-1p>所以当n=k+1时,不等式an>c1p综合①②可得,对一切正整数n,不等式an>c1p均成立.因此an+1>c再由an+1an=1+1即an+1<an.综上所述,an>an+1>c1p,n∈N7已知集合X={1,2,3},Yn={1,2,3,…,n}(n∈N*),设Sn={(a,b)|a整除b或b整除a,a∈X,b∈Yn}.令f(n)表示集合Sn所含元素的个数.(1)写出f(6)的值;(2)当n≥6时,写出f(n)的表达式,并用数学归纳法证明.解(1)f(6)=13.(2)当n≥6时,f(n)=n+2+n2+n3,下面用数学归纳法证明:①当n=6时,f(6)=6+2+62+63②假设当n=k(k≥6)时结论成立,那么n=k+1时,Sk+1在Sk的基础上新增加的元素在(1,k+1),(2,k+1),(3,k+1)中产生,分以下情形讨论:1)若k+1=6t,则k=6(t1)+5,此时有f(k+1)=f(k)+3=k+2+k-1=(k+1)+2+k+12+2)若k+1=6t+1,则k=6t,此时有f(k+1)=f(k)+1=k+2+k2+=(k+1)+2+(k+1)-3)若k+1=6t+2,则k=6t+1,此时有f(k+1)=f(k)+2=k+2+k-1=(k+1)+2+k+12+4)若k+1=6t+3,则k=6t+2,此时有