专题08三角函数及恒等变换（解密讲义）（原卷版）

专题08三角函数及恒等变换（解密讲义）【知识梳理】【考点1】任意角的三角函数1．任意角的三角函数(1)定义：在直角坐标系中，设α是一个任意角，α终边上任意一点（除了原点）的坐标为，它与原点的距离为，那么（1）比值叫做α的正弦，记作，即；（2）比值叫做α的余弦，记作，即；（3）比值叫做α的正切，记作，即；（4）比值叫做α的余切，记作，即；说明：①α的始边与轴的非负半轴重合，α的终边没有表明α一定是正角或负角，以及α的大小，只表明与α的终边相同的角所在的位置；②当时，α的终边在轴上，终边上任意一点的横坐标都等于，所以无意义；同理当时，无意义；(2)几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示，正弦线的起点都在x轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是(1，0).如图中有向线段MP，OM，AT分别叫做角α的正弦线、余弦线和正切线.2．扇形的弧长和面积公式设扇形的半径为R，弧长为l，α(0＜α＜2π)为其圆心角，则：(1)弧长公式：l＝αR．(2)扇形面积公式：S＝eq\f(1,2)lR＝eq\f(1,2)αR2．3．同角三角函数的基本关系(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1.(2)商数关系：eq\f(sinα,cosα)＝tanα.4．三角函数的诱导公式公式一二三四五六角2kπ＋α(k∈Z)π＋α－απ－αeq\f(π,2)－αeq\f(π,2)＋α正弦sinα－sinα－sinαsinαcosαcosα余弦cosα－cosαcosα－cosαsinα－sinα正切tanαtanα－tanα－tanα口诀函数名不变，符号看象限函数名改变，符号看象限这组公式的作用是可把任意角的三角函数值问题转化为0～2π间角的三角函数值问题．方法技巧：对于三角函数诱导公式，为了便于记忆，我们可以利用两种三角函数定义的一致性，将直角三角形置于平面直角坐标系的第一象限，使一锐角顶点与原点重合，一直角边与x轴的非负半轴重合，利用我们熟悉的锐角三角函数类比记忆.【考点2】三角恒等变换1．两角和与差的正弦、余弦和正切公式基本公式辅助角公式2．二倍角的正弦、余弦、正切公式；．．注意：方法技巧：1.三角函数式化简的方法：弦切互化，异名化同名，异角化同角，降幂或升幂．在三角函数式的化简中“次降角升”和“次升角降”是基本的规律，根号中含有三角函数式时，一般需要升次．2.“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角并且消除非特殊角的三角函数而得解．3.“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系．4.“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角．考点命题点考题任意角的三角函数=1\*GB3①任意角及扇形相关公式=2\*GB3②同角三角函数关系=3\*GB3③三角函数诱导公式2023北京卷T13，2023全国乙卷（文）T142022浙江卷T14，2022全国甲卷（理）T82021年北京卷T14三角恒等变换=1\*GB3①两角和与差的三角函数=2\*GB3②二倍角公式2023新课标I卷T8，2023新课标II卷T72022新高考II卷T6，2021全国乙卷（文）T62021新高考I卷T6考点一任意角的三角函数命题点1任意角及扇形相关公式典例01（2022·全国·统考高考真题）沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，如图，AB是以O为圆心，OA为半径的圆弧，C是AB的中点，D在AB上，CD⊥AB．“会圆术”给出AB的弧长的近似值s的计算公式：s=AB+CD2OA．当OA=2,∠AOB=60°时，A．11-332 B．11-432 C．典例02（2021·北京·统考高考真题）若点A(cosθ,sinθ)关于y轴对称点为B(cos典例03（2020·浙江·统考高考真题）已知圆锥的侧面积（单位：cm2）为2π，且它的侧面积展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径（单位：cm）是命题点2同角三角函数关系典例01（2023·全国·统考高考真题）设甲：sin2α+sin2β=1A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件典例02（2022·浙江·统考高考真题）设x∈R，则“sinx=1”是“cosx=0”的（A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件典例03（2023·全国·统考高考真题）若θ∈0,π2,命题点3三角函数诱导公式典例01（2021·全国·统考高考真题）cos2π12A．12 B．33 C．22典例02（2023·全国·统考高考真题）在△ABC中，内角A,B,C的对边分别是a,b,c，若acosB-bcosA=c，且C=πA．π10 B．π5 C．3π10典例03（2023·全国·统考高考真题）若fx=(x-1)21．已知直线l:2x+3y-1=0的倾斜角为θ，则sinθ-π⋅A．613 B．-613 C．22．我国“复兴号”高铁列车是世界上运营速度最快的轮轨列车．在平直的铁轨上停着一辆“复兴号”高铁列车，列车与铁轨上表面接触的车轮半径为R，且某个车轮上的点P刚好与铁轨的上表面接触，若该列车行驶了距离s，则此时P到铁轨上表面的距离为（

）A．RsinsR B．2RsinsR3．如图，直径AB=10的半圆，D为圆心，点C在半圆弧上，sin∠ADC=0.8,P为AB的中点，AP与BC相交于点E，则cos∠PEC=考点二三角恒等变换命题点1两角和与差的三角函数典例01（2022·全国·统考高考真题）若sin(α+β)+cos(α+β)=2A．tan(α-β)=1 B．C．tan(α-β)=-1 D．典例02（2023·全国·统考高考真题）已知sinα-β=13,A．79 B．19 C．-1典例03（2021·全国·统考高考真题）已知O为坐标原点，点P1(cosα,sinα)，P2A．|OP1C．OA⋅OP3命题点2二倍角公式典例01（2023·全国·统考高考真题）已知α为锐角，cosα=1+54，则A．3-58 B．-1+58 C．2．（2022·北京·统考高考真题）已知函数f(x)=cos2x-A．f(x)在-π2,-π6上单调递减 BC．f(x)在0,π3上单调递减 D．f(x)在3．（2021·全国·统考高考真题）若α∈0,π2,tanA．1515 B．55 C．531．已知cosα-π3-3A．725 B．2425 C．-72．已知sin2α+π4-A．2m B．-2m C．12m D．3．若sinα+20°+cosα+20°=A．79 B．-79 C．144．已知cosα+3sinα=26A．-23 B．23 C．-AA·新题速递1．（2023·浙江·统考一模）已知α∈(-π2,0)，且tan(πA．-16 B．-13 C．2．（2023·湖南·校联考模拟预测）设α∈0,π2，β∈0,πA．2α+β=π2 B．2α-β=π2 C．3．（2023·贵州·清华中学校联考模拟预测）已知sinx+π3=1A．32 B．3 C．12 D4．（2023·全国·模拟预测）已知sinα-cosβ=13，cosA．572 B．-572 C．595．（2023·重庆北碚·西南大学附中校考模拟预测）已知α为锐角，sinα+π3=3A．3-4310 B．43-310 C6．（2023·浙江金华·校联考模拟预测）如图，水利灌溉工具筒车的转轮中心O到水面的距离为1m，筒车的半径是3m，盛水筒的初始位置为P0,OP0与水平正方向的夹角为π6．若筒车以角速度2rad/minA．cost=12 B．sint=227．（2023·辽宁沈阳·东北育才学校校考模拟预测）已知α∈-π2,0且tan8．（2023·河南·信阳高中校联考模拟预测）已知函数fx(1)若fα+π4(2)设gx=fx+π9．（2024·云南楚雄·云南省楚雄彝族自治州民族中学校考一模）△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，且满足1tan(1)求tanA(2)若cosAcosB=1010，△ABCBB·易错提升1．已知sinα+π4cosα+A．1-32 B．1+32 C．2．已知函数f(x)=3sin4x+π3+4sin4x-A．-43 B．-34 C．3．若3sinθ+cosθ=10A．-7 B．-14 C．17 D．4．已知α∈0,π6，β∈0,πA．β4<α<βC．α2<β<α D5．（多选）通过研究宋代李诫所著的《营造法式》等古建资料，可以得到中国宋代建筑的屋顶蕴含着丰富的数学元素，体现了数学的对称美，并且符合两个特点：一、从檐口到屋脊的曲线为屋面曲线，左、右屋面曲线对称，可用圆弧拟合屋面曲线，且圆弧所对的圆心角为30°±2°；二、从檐口到屋脊的垂直距离为坡屋面高度半径，水平距离为半坡宽度，且坡屋面高度半径半坡宽度=0.57±0.3．如图为某宋代建筑模型的结构图，其中A为屋脊，B，C为檐口，且AC所对的圆心角θ=π6，AC所在圆的半径为4，A．AC的长为2B．AC=2C．若AB与AC所在两圆的圆心距为43D．若AB与AC所在两圆的圆心距为4，要想此建筑的屋顶符合宋代建筑屋顶的特点，可将圆心角θ缩小6．（多