专题04单位圆与三角函数线的应用

专题04单位圆与三角函数线的应用借助单位圆与三角比值的交汇，通过引入三角函数线培养学生的逻辑推理、数学抽象及直观想象核心素养；一、《必修第二册》目录与内容提要第6章三角6.1正弦、余弦、正切、余切：6.1.1锐角的正弦、余弦、正切、余切，6.1.2任意角及其度量，6.1.3任意角的正弦、余弦、正切、余切，6.1.4诱导公式，6.1.5已知正弦、余弦或正切值求角6.2常用三角公式：6.2.1两角和与差的正弦、余弦、正切公式，6.2.2二倍角公式，6.2.3三角变换的应用6.3解三角形：6.3.1正弦定理，6.3.2余弦定理；第六章内容提要1、正弦、余弦、正切、余切单位圆：单位圆泛指半径为个单位的圆．本章中，在平面直角坐标系中，特指出以原点为圆心、以为半径的圆为单位圆；正弦、余弦、正切及余切的定义：在平面直角坐标系中，将角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的正半轴重合，在角的终边上任取异于原点的一点，就有，，（），（）；二、考点解读1、单位圆；半径为1的圆；在直角坐标系中，以坐标原点为圆心，以单位长度为半径的圆，称为单位圆；2、单位圆与三角比值的交汇如图所示，设α是任意角，其顶点与原点重合，始边与x轴非负半轴重合，终边与单位圆O交于点P(u，v)，则sinα＝v，cosα＝u，tanα＝eq\f(v,u)(u≠0)．【说明】单位圆在高一数学中的应用主要体现在三角函数中的应用，而三角函数在整个高中数学学习乃至高考中所占比重都很大，所以有必要充分利用单位圆来更好地学习掌握这部分知识；用单位圆上点的坐标来定义三角函数，可以使正弦函数、余弦函数从自变量（角的弧度数）到函数值（单位圆上点的横、纵坐标）之间的对应关系更清楚、简单，突出了三角函数的本质，也使三角函数反映的数形关系更直接，为后面讨论其他问题奠定基础；3、有向线段规定了方向(即规定了起点和终点)的线段；4、三角函数线【答案】1、单位圆在直角坐标系中，以坐标原点为圆心，以单位长度为半径的圆，称为单位圆；2、三角函数线如图，设单位圆与x轴的正半轴交于点A，与角α的终边交于P点，过点P作x轴的垂线PM，垂足为M，过A作单位圆的切线交OP的延长线(或反向延长线)于T点.单位圆中的有向线段MP，OM，AT分别叫作角α的正弦线、余弦线、正切线.记作：sinα＝MP，cosα＝OM，tanα＝AT.【注意】三角函数线的方向是怎样确定的？【解析】三角函数线的方向，即规定的有向线段的方向：凡三角函数线与x轴或y轴同向的相应三角函数值为正；题型1、对单位圆与任意角三角比值的理解例1、（1）3．设a<0，角α的终边与单位圆的交点为P(－3a,4a)，那么sinα＋2cosα的值等于()A．eq\f(2,5)B．－eq\f(2,5)C．eq\f(1,5)D．－eq\f(1,5)【答案】A；【解析】因为点P在单位圆上，则|OP|＝1，即eq\r(－3a2＋4a2)＝1，解得a＝±eq\f(1,5)，因为a<0，所以a＝－eq\f(1,5)，所以P点的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)，－\f(4,5))).所以sinα＝－eq\f(4,5)，cosα＝eq\f(3,5)，所以sinα＋2cosα＝－eq\f(4,5)＋2×eq\f(3,5)＝eq\f(2,5)；（2）列四个命题中，不正确的命题的序号是①α一定时，单位圆中的正弦线一定②单位圆中，有相同正弦线的角相等③α和α＋π有相同的正切线④具有相同正切线的两个角终边在同一条直线上【答案】②③；【解析】由三角函数线的定义①④正确，②③不正确；②中有相同正弦线的角可能不等，如eq\f(5π,6)与eq\f(π,6)；③中当α＝eq\f(π,2)时，α与α＋π都没有正切线；题型2、对三角函数线的理解例2、（1）如图，在单位圆中角α的正弦线、正切线完全正确的是()A．正弦线eq\o(PM,\s\up12(→))，正切线eq\o(A′T′,\s\up12(→))B．正弦线eq\o(MP,\s\up12(→))，正切线eq\o(A′T′,\s\up12(→))C．正弦线eq\o(MP,\s\up12(→))，正切线eq\o(AT,\s\up12(→))D．正弦线eq\o(PM,\s\up12(→))，正切线eq\o(AT,\s\up12(→))【答案】C；【解析】由三角函数线的定义知C正确；（2）角eq\f(π,5)和角eq\f(6π,5)有相同的()A．正弦线 B．余弦线C．正切线 D．不能确定【答案】C；【解析】eq\f(π,5)与eq\f(6π,5)的终边互为反向延长线，故它们有相同的正切线；题型3、三角函数线的初步理解例3、（1）在单位圆中，满足sinα＝eq\f(1,2)的正弦线有几条？试在图中明确．【解析】两条，如图所示，MP1与NP2都等于eq\f(1,2).（2）在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边的范围，并由此写出角α的集合：①②sinα≥eq\f(\r(3),2)；②cosα≤－eq\f(1,2).【解析】①作直线y＝eq\f(\r(3),2)交单位圆于A，B两点，连结OA，OB，则OA与OB围成的区域(图①阴影部分)即为角α的终边的范围，故满足条件的角α的集合为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(αeq\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(2kπ＋\f(π,3)≤α≤2kπ＋\f(2π,3)，k∈Z)))).②作直线x＝－eq\f(1,2)交单位圆于C、D两点，连结OC、OD，则OC与OD围成的区域(图②阴影部分)即为角α终边的范围，故满足条件的角α的集合为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(2kπ＋\f(2,3)π≤α≤2kπ＋\f(4,3)π，k∈Z))))；题型4、三角函数线的做法例4、（1）作出eq\f(3π,4)的正弦线、余弦线和正切线；【解析】如图，角eq\f(3π,4)的终边与单位圆的交点为P.作PM垂直于x轴，垂足为M，过A(1,0)作单位圆的切线AT，与eq\f(3π,4)的终边的反向延长线交于点T，则eq\f(3π,4)的正弦线为MP，余弦线为OM，正切线为AT.（2）作出－eq\f(9π,4)的正弦线、余弦线和正切线．【解析】如图所示，－eq\f(9π,4)的正弦线为MP，余弦线为OM，正切线为AT.【说明】三角函数线的画法：1、作正弦线、余弦线时，首先找到角的终边与单位圆的交点，然后过此交点作x轴的垂线，得到垂足，从而得正弦线和余弦线；2、作正切线时，应从A(1,0)点引x轴的垂线，交α的终点(α为第一或第四象限角)或α终边的反向延长线(α为第二或第三象限角)于点T，即可得到正切线AT；题型5、借助三角函数线的判别与证明例5、（1）设P点为角α的终边与单位圆O的交点，且sinα＝MP，cosα＝OM，则下列命题成立的是()A．总有MP＋OM＞1B．总有MP＋OM＝1C．存在角α，使MP＋OM＝1D．不存在角α，使MP＋OM＜0【答案】C；【解析】显然，当角α的终边不在第一象限时，MP＋OM＜1，MP＋OM＜0都有可能成立；当角α的终边落在x轴或y轴正半轴时，MP＋OM＝1，故选C；（2）利用三角函数线证明：|sinα|＋|cosα|≥1.【证明】在△OMP中，OP＝1，OM＝|cosα|，MP＝|sinα|，因为三角形两边之和大于第三边，所以|sinα|＋|cosα|＞1.当点P在坐标轴上时，|sinα|＋|cosα|＝1.综上可知，|sinα|＋|cosα|≥1.题型6、利用三角函数线证明例6、已知α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，试比较sinα，α，tanα的大小．【提示】本题可以利用正弦线，所对的弧长及正切线来表示sinα，α，tanα，并借助它们所在的扇形及三角形的面积大小来解决；【解析】如图所示，设角α的终边与单位圆交于点P，单位圆交x轴正半轴于点A，作PM⊥x轴，PN⊥y轴，作AT⊥x轴，交α的终边于点T，由三角函数线定义，得sinα＝MP，tanα＝AT，又α＝eq\x\to(AP)的长，∴S△AOP＝eq\f(1,2)·OA·MP＝eq\f(1,2)sinα，S扇形AOP＝eq\f(1,2)·eq\x\to(AP)·OA＝eq\f(1,2)·eq\x\to(AP)＝eq\f(1,2)α，S△AOT＝eq\f(1,2)·OA·AT＝eq\f(1,2)tanα.又∵S△AOP＜S扇形AOP＜S△AOT，∴sinα＜α＜tanα.【说明】1、本题的实质是数形结合思想，即要求找到与所研究问题相应的几何解释，再由图形相关性质解决问题；2、三角函数线是单位圆中的有向线段，比较三角函数值大小时，一般把三角函数值转化为单位圆中的某些线段，进而用几何方法解决问题；题型7、利用单位圆中三角函数线解三角不等式例7、在单位圆中画出适合下列条件的角α终边的范围，并由此写出角α的集合．（1）sinα≥eq\f(\r(3),2)；（2）cosα≤－eq\f(1,2).【提示】作出满足sinα＝eq\f(\r(3),2)，cosα＝－eq\f(1,2)的角的终边，然后根据已知条件确定角α终边的范围．【解析】（1）作直线y＝eq\f(\r(3),2)，交单位圆于A，B两点，连接OA，OB，则OA与OB围成的区域(图(1)中阴影部分)即为角α的终边的范围；故满足条件的角α的集合为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(2kπ＋\f(π,3)≤α≤2kπ＋\f(2π,3)，k∈Z)))).（2）作直线x＝－eq\f(1,2)，交单位圆于C，D两点，连接OC与OD，则OC与OD围成的区域(图(2)中的阴影部分)即为角α的终边的范围；故满足条件的角α的集合为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(2kπ＋\f(2π,3)≤α≤2kπ＋\f(4π,3)，k∈Z))))；【说明】1、通过解答本题，我们可以总结出用三角函数线来解基本的三角不等式的步骤：（1）作出取等号的角的终边；（2）利用三角函数线的直观性，在单位圆中确定满足不等式的角的范围；（3）将图中的范围用不等式表示出来．2、求与三角函数有关的定义域时，先转化为三角不等式(组)，然后借助三角函数线解此不等式(组)即可得函数的定义域；题型8、利用三角函数线求函数的定义域例8、（1）求函数f(α)＝eq\r(2sinα－1)的定义域．【解析】要使函数f(α)有意义，则sinα≥eq\f(1,2).如图所示，画出单位圆，作直线y＝eq\f(1,2)，交单位圆于P1，P2两点，连接OP1，OP2，过点P1，P2作x轴的垂线，垂足分别为M1，M2，易知正弦线M1P1＝M2P2＝eq\f(1,2).在[0,2π)范围内，sineq\f(π,6)＝sineq\f(5π,6)＝eq\f(1,2)，则点P1，P2分别在eq\f(5π,6)，eq\f(π,6)的终边上，又sinα≥eq\f(1,2)，结合图形可知，图中阴影部分(包括边界)即满足sinα≥eq\f(1,2)的角α的终边所在的范围，即当α∈[0,2π)时，eq\f(π,6)≤α≤eq\f(5π,6)，故函数f(α)的定义域为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(2kπ＋\f(π,6)≤α≤2kπ＋\f(5π,6)，k∈Z)))).（2）求函数f(x)＝eq\r(1－2cosx)＋lneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sinx－\f(\r(2),2)))的定义域．【提示】借助单位圆解不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－2cosx≥0,sinx－\f(\r(2),2)＞0))便可；【解析】由题意，自变量x应满足不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－2cosx≥0，,sinx－\f(\r(2),2)＞0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(cosx≤\f(1,2)，,sinx＞\f(\r(2),2).))则不等式组的解的集合如图(阴影部分)所示，∴eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(2kπ＋\f(π,3)≤x＜2kπ＋\f(3,4)π，k∈Z)))).【说明】1、利用三角函数线解三角不等式的方法：（1）正弦、余弦型不等式的解法：对于sinx≥b，cosx≥a(sinx≤b，cosx≤a)，求解的关键是恰当地寻求点，只需作直线y＝b或x＝a与单位圆相交，连结原点与交点即得角的终边所在的位置，此时再根据方向即可确定相应的范围；（2）正切型不等式的解法：对于tanx≥c，取点(1，c)连结该点和原点并反向延长，即得角的终边所在的位置，结合图象可确定相应的范围．2、利用三角函数线求函数的定义域：解答此类题目的关键在于借助于单位圆，作出等号成立时角α的三角函数线，然后运用运动的观点，找出符合条件的角的范围．在这个解题过程中实现了一个转化，即把代数问题几何化，体现了数形结合的思想；题型9、有关单位圆、三角函数线的综合问题例9、在直角坐标系xOy中，角α的始边为x轴的正半轴，顶点为坐标原点O，已知角α的终边l与单位圆交于点A(0.6，m)，将l绕原点逆时针旋转eq\f(π,2)与单位圆交于点B(x，y)，若tanα＝－eq\f(4,3)，则x＝()A．0.6 B．0.8C．－0.6 D.－0.8【答案】B；【解析】已知角α的终边l与单位圆交于点A(0.6，m)，且tanα＝－eq\f(4,3)，则tanα＝eq\f(m,0.6)＝－eq\f(4,3)，解得m＝－0.8，所以A(0.6，－0.8)在第四象限，角α为第四象限角；由l绕原点逆时针旋转eq\f(π,2)与单位圆交于点B(x，y)，可知点B(x，y)在第一象限，则∠BOx＝eq\f(π,2)＋α，所以cos∠BOx＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(eq\f(π,2)＋α))＝－sinα，即eq\f(x,1)＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(eq\f(－0.8,1)))，解得x＝0.8.例10、函数y＝lg(3－4sin2x)的定义域为_____________________________【答案】eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ－\f(π,3)，kπ＋\f(π,3)))(k∈Z)【解析】因为3－4sin2x>0，所以sin2x<eq\f(3,4)，所以－eq\f(\r(3),2)<sinx<eq\f(\r(3),2).利用三角函数线画出x满足条件的终边范围(如图阴影部分所示)，所以x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ－\f(π,3)，kπ＋\f(π,3)))(k∈Z)．例11、在(0,2π)内，使sinα＞cosα成立的α的取值范围是()A．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,2)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π，\f(5π,4))) B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，π))C．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(5π,4))) D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，π))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,4)，\f(3π,2)))【答案】C；【解析】如图所示，当α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(5π,4)))时，恒有MP＞OM，而当α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,4)，2π))时，则是MP＜OM.故选C．例12、若α是三角形的内角，且sinα＋cosα＝eq\f(2,3)，则这个三角形是()A．等边三角形 B．直角三角形C．锐角三角形 D．钝角三角形【答案】D；【解析】当0＜α≤eq\f(π,2)时，由单位圆中的三角函数线知，sinα＋cosα≥1，而sinα＋cosα＝eq\f(2,3)，所以α必为钝角．故选D.1、角eq\f(5π,6)的终边与单位圆的交点的坐标是________．【答案】eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),2)，\f(1,2)))；【解析】由于角eq\f(5π,6)的终边与单位圆的交点横坐标是coseq\f(5π,6)＝－eq\f(\r(3),2)，纵坐标是sineq\f(5π,6)＝eq\f(1,2)，∴角eq\f(5π,6)的终边与单位圆的交点的坐标是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),2)，\f(1,2)))；2、使不等式eq\r(2)－2sinx≥0成立的x的取值集合是【答案】eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|2kπ－\f(5π,4)≤x≤2kπ＋\f(π,4)，k∈Z))【解析】由题意知sinx≤eq\f(\r(2),2)，利用单位圆解得2kπ－eq\f(5π,4)≤x≤2kπ＋eq\f(π,4)(k∈Z)；3、在[－π，π]上，满足sinx≤eq\f(1,2)的x的取值范围是________.【答案】eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－π，\f(π,6)))∪eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)，π))【解析】如图所示，因为sineq\f(π,6)＝sineq\f(5π,6)＝eq\f(1,2)，所以满足sinx≤eq\f(1,2)的x的取值范围为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－π，\f(π,6)))∪eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)，π)).4、不等式tanα＋eq\f(\r(3),3)>0的解集是【答案】eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α|kπ－\f(π,6)<α<kπ＋\f(π,2)，k∈Z))【解析】不等式的解集如图所示(阴影部分)，∴所求解集为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α|kπ－\f(π,6)<α<kπ＋\f(π,2)，k∈Z))；5、若角α的正弦线的长度为eq\f(1,2)，且方向与y轴的正方向相反，则sinα的值为．【答案】－eq\f(1,2)6、函数y＝lg(sinx－cosx)的定义域为．【答案】eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋2kπ<x<\f(5,4)π＋2kπ，k∈Z))))【解析】利用三角函数线，如图，MN为正弦线，OM为余弦线，要使sinx>cosx，即MN>OM，则eq\f(π,4)<x<eq\f(5,4)π(在[0,2π]内)．∴定义域为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋2kπ<x<\f(5,4)π＋2kπ，k∈Z)))).7、已知角α(0＜α＜2π)的正弦线与余弦线的长度相等，且符号相异，那么α的值为()A．eq\f(π,4)B．eq\f(3π,4)C．eq\f(5π,4)D．eq\f