高等数学(高职教育)全套教学课件

高等数学全套可编辑PPT课件函数、极限与连续导数与微分导数的应用不定积分定积分及其应用模块1

函数、极限与连续1.1函数1.2初等函数1.3极限的概念1.4极限的运算1.5函数的连续性

案例（Excel表格中的函数）如图1-1所示，在Excel表格窗口中的第A列依次输入8个数，然后在第B列的第一行中输入公式“=2+A1^3”，按“回车”键后得到对应的B1单元的值为，向下拖动B1单元右下角的黑点，依次可得B2，B3，，B8单元对应的值．1.1函数图1-11.1.1函数的概念在实际问题中，函数的定义域是根据问题的实际意义确定的。但在数学上作一般性研究时，对于只给出表达式而没有说明实际背景的函数，我们规定：函数的定义域就是使函数表达式有意义的自变量的取值范围．图1-2图1-3

图1-4

图1-5

我们看到，有时一个函数要用几个式子表示．这种在自变量的不同变化范围内对应法则用不同式子来表示的函数，称为分段函数．

图1-61.1.2函数的几种特性1．函数的单调性

图1-7

图1-8如图1-7所示为单调增加函数，如图1-8所示为单调减少函数．分析函数的单调性时，要在轴上从左向右看函数值的变化．

图1-92．函数的奇偶性奇函数的图形关于原点对称，偶函数的图形关于轴对称，如图1-10所示．

图1-103．函数的周期性

图1-114．函数的有界性1.2初等函数1.2.1基本初等函数1．幂函数

（a）

（b）

（c）

（d）

（e）

（f）2．指数函数图1-133．对数函数图1-144．三角函数正弦函数是奇函数，其图形关于原点对称，如图1-15所示．图1-15余弦函数是偶函数，其图形关于

轴对称，如图1-16所示．图1-16图1-17

图1-185．三角函数1）反正弦函数图1-192）反余弦函数图1-203）反正切函数图1-214）反余切函数幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数，这五类函数统称为基本初等函数．图1-221.2.2复合函数上例表明，复合顺序不同，所得的复合函数是不同的．1.2.3初等函数1.3极限的概念案例1（水温的变化）一池60℃的热水在温度为10℃的自然环境里，水的温度将逐渐降低，随着时间的推移，水温会越来越接近自然温度10℃．我们把10℃称为这池热水的极限温度．如图1-23所示的高原温泉，温泉表面的温度保持在某一温度附近，随着空间逐渐向外推移，其温度逐渐由温泉表面的温度接近自然温度．图1-23图1-241.3.1数列的极限1.3.2函数的极限1．自变量趋向无穷大时函数的极限图1-25图1-25图1-262．自变量趋于有限值时函数的极限图1-27图1-28解观察图1-29知：图1-29图1-301.3.3无穷小与无穷大1．无穷小定义6

极限是零的变量，称为无穷小量，简称无穷小．2．无穷大图1-31图1-323．无穷小与无穷大的关系4．无穷小的比较1.4极限的运算1.4.1极限的四则运算法则1.4.2两个重要极限1.5函数的连续性案例1如图1-33所示，温度计中水银柱高度随温度的改变是如何变化的？图1-33案例2

如图1-34所示，邮费随邮件重量的增加是如何变化的？图1-341.5.1函数的增量1.5.2函数连续的定义图1-35图1-361.5.3函数的间断点举例：图1-371.5.4连续函数的运算法则及初等函数的连续性因为分段函数一般不是初等函数，所以定理3对分段函数一般不成立．在讨论分段函数的连续性时，要根据连续的定义讨论分界点的连续性．1.5.5闭区间上连续函数的性质图1-38图1-39上述推论又称为零点定理．数学实验用MATLAB绘图、求极限1．MATLAB简介MATLAB（MatrixLaboratory，即矩阵实验室）是由美国TheMathWorks公司开发，并于1984年推出的一套数值计算软件．它分为总包和若干个工具箱，可以实现数值分析、优化、统计、偏微分方程数值解、自动控制、信号处理、图像处理等若干个领域的计算和图形显示功能，而且利用符号工具箱可得出各种数学问题的解析解．它将不同数学分支的算法以函数的形式分类成库，使用时直接调用这些函数并赋予实际参数就可以解决问题，快速而且准确．MATLAB具有简单易学、代码短小高效、计算功能强大、绘图方便、可扩展性强等特点．下面我们将逐章介绍MATLAB的一些简单用法．MATLAB安装成功后，在Windows桌面：“开始”>“程序”>“MATLAB”菜单项（或双击桌面上的MATLAB快捷键）即可打开MATLAB界面，如图1-40所示．图1-40界面中，第一栏为MATLAB标题栏，第二栏为菜单栏，第三栏为工具栏．在工具栏中，除了一般的Windows程序通用按钮之外，还有一个仿真程序启动按钮，此外在最右端还有一个当前目录窗口．界面下面有多个窗口，右边最大的窗口为命令窗口（CommandWindow），“>>”代表命令提示符，用户可在此键入命令；左边一列窗口分别为历史命令（CommandHistory）窗口、工作空间（Workspace）窗口和路径编辑器窗口，这些窗口可通过View菜单打开或关闭．历史命令窗口保留了每次运行过的所有命令以及操作时间，双击历史命令窗口中的某一命令，则可在命令窗口再次运行该命令．工作空间窗口显示出当前MATLAB工作空间所有的变量名和占用内存的情况，并可对变量及其赋值进行修改．若要退出，单击右上角关闭按钮即可．2．函数简介3．上机实验THEEND

高等数学模块2

导数与微分2.1导数的概念2.2导数的运算2.3高阶导数2.4函数的微分图2-1

案例（自由落体的瞬时速度）

如图2-1所示为著名的伽利略自由落体实验的场景．如果物体在真空中自由下落，则它的运动方程为分析：当物体做匀速直线运动时，它在任意时刻的速度可用公式图2-22.1.1导数的定义2.1.2导数的几何意义图2-32.1.3可导与连续的关系图2-42.2导数的运算图2-52.2.1导数的基本公式2.2.2函数和、差、积、商的求导法则

由此得函数商的求导法则：两个可导函数商的导数等于分子的导数与分母的乘积减去分母的导数与分子的乘积，再除以分母的平方．2.2.3复合函数的求导法则

从以上两例可以看出，应用复合函数求导法则求导时，关键是将函数分解为可以求导的若干个简单函数．在熟练了复合函数求导法则以后，中间变量可以不写出来，从外到内逐层求导，一直求到对自变量的导数为止．2.2.4隐函数的导数先取对数，再利用隐函数的求导法则求导，这种方法称为对数求导法．2.3高阶导数图2-62.3.1高阶导数的定义2.3.2高阶导数的计算2.4函数的微分图2-72.4.1微分的定义2.4.2微分的几何意义图2-82.4.3微分公式与微分运算法则1．微分的基本公式2．函数和、差、积、商的微分法则3．复合函数的微分法则2.4.4微分在近似计算中的应用数学实验

用MATLAB求导数THEEND

高等数学模块3

导数的应用3.1中值定理3.2洛必达法则3.3函数的单调性与极值、最值3.4曲线的凹凸性与拐点3.1中值定理图3-1图3-13.1.1罗尔（Rolle）定理图3-23.1.2拉格朗日（Lagrange）定理图3-3由推论1可得到下面的推论．3.1.3柯西（Cauchy）定理3.2洛必达法则

洛必达法则虽然是求未定式的一种有效方法，但不一定是最简捷的方法．因此，在求极限过程中，最好将洛必达法则与其他求极限的方法结合使用．例如，能化简时应尽可能化简，能用两个重要极限时应尽可能用两个重要极限等．只有这样才能使运算简捷．另外，应注意洛必达法则的条件．否则，洛必达法则可能失效．当法则失效时，并不意味着原极限不存在，这时应改用其他方法求解．3.2.3其他类型的未定式3.3函数的单调性与极值、最值图3-4

案例2（易拉罐的设计）

图3-5所示为生活中常见的易拉罐．企业在设计易拉罐时，为了用最小的成本获得最大的利润，需要考虑在体积一定的情况下用料最省的问题．测量一个你身边的易拉罐，分析它的设计是否达到了企业的期望．如果没有达到，请你改进．图3-53.3.1函数的单调性（a）

（b）

图3-6 表3-1例3表明，导数不存在的点也是单调区间的分界点．3.3.2函数的极值1．函数极值的定义图3-7

由定义知，函数的极值概念是局部性的．在指定的区间上，一个函数可能有多个极值，极大值也可能小于极小值，但函数的极值一定出现在区间的内部．2．函数极值的判定和求法图3-7下面研究极值存在的充分条件．图3-10

图3-11图3-8图3-9

综上所述，函数的极值只可能在驻点或导数不存在的点取得．因此，求函数的极值时，可以先求出函数的所有驻点和导数不存在的点，再判别这些点中哪些是极值点．3.3.3函数的最值及其应用（a）

（b）

图3-123.4曲线的凹凸性与拐点

在图3-13和图3-14中的曲线上各点作切线，可以看出：当曲线弧是凹的时，曲线弧上每一点的切线都位于该曲线弧的下方；当曲线弧是凸的时，曲线弧上每一点的切线都位于该曲线弧的上方．图3-13图3-14图3-15数学实验

用MATLAB求一元函数的最大值和最小值THEEND

高等数学模块4

不定积分4.1不定积分的概念4.2不定积分的基本公式与运算法则、直接积分法4.3换元积分法4.4分部积分法4.1不定积分的概念图4-14.1.1原函数的概念

满足何种条件的函数必定存在原函数？如果存在，是否唯一？？因为初等函数在其定义区间上连续，所以初等函数在其定义区间上有原函数．4.1.2不定积分的定义4.1.3

不定积分的几何意义图4-2图4-34.2不定积分的基本公式与运算法则、直接积分法图4-44.2.1不定积分的基本公式表4-1牢记4.2.2不定积分的基本运算法则法则2对于有限个函数的代数和的情形也是成立的．

在分项积分后，每个不定积分的结果都应有一个积分常数，但任意常数之和仍是任意常数，因此最后结果只要写一个任意常数即可．4.2.3直接积分法直接用积分基本公式与运算性质求不定积分，或者对被积函数进行适当的恒等变形（包括代数变形和三角变形），再利用积分基本公式与运算法则求不定积分的方法称为直接积分法．4.3换元积分法图4-54.3.1第一类换元积分法熟记下列微分式，将对解题有很大帮助：4.3.2第二类换元积分法于是变量置换法主要解决被积函数中带有根式积分．4.4分部积分法图4-6从上面的例子可以看出：（1）分部积分法一般用于被积函数为不同类型的函数乘积式，但也用于某些函数，如对数函数、反三角函数．数学实验

用MATLAB求不定积分THEEND

高等数学模块5

定积分及其应用5.1定积分的概念与性质5.2微积分基本公式5.3定积分的计算5.4定积分的应用5.1定积分的概念与性质案例（窗户的采光面积）

如图5-1所示为现在房屋中出现较多的欧式窗户，如图5-2所示为其平面图（单位：cm），其曲线段是抛物线型．试计算窗户的采光面积．图5-1图5-2分析不难看出，将长方形的面积减去图中阴影部分的面积即得所求的面积．因此，只需要求出图中阴影部分的面积即可．下面我们研究如何求该部分面积．为了方便，将图5-2中的阴影部分旋转180°，得到图5-3（a）．该图形由三条直线（其中两条互相平行且与第三条垂直）与一条连续曲线所围成，这样的图形称为曲边梯形．图5-3如图5-3（b）所示，建立直角坐标系，求得抛物线的方程为．（a）（b）图5-4表5-2图5-55.1.1定积