高等应用数学（高职院校）全套教学课件

高等应用数学全套可编辑PPT课件目录CONTENTS前言0002第2章导数与微分第4章不定积分04第1章函数与极限01第3章导数的应用03第5章微分方程05第6章微分方程06第7章多元函数微积分07函数与极限第1章1.1函数的概念、性质与常见函数1.2极限的概念与性质1.3无穷小与无穷大1.4极限的运算1.5两个重要极限及无穷小的比较1.6函数的连续性导学4函数刻画了变量之间的依赖关系，极限刻画了变量的变化趋势，它们是微积分的基础。本章主要介绍函数与极限的相关内容，为后续微积分的学习奠定基础。学习目标5理解函数的概念，掌握函数的性质；理解反函数、复合函数、分段函数的概念；掌握基本初等函数的性质和图像；了解数列极限、函数极限的概念与性质；了解无穷小和无穷大的概念、性质及其关系；掌握极限的运算法则和求解方法。学习目标6掌握两个重要极限的应用和无穷小的比较方法；理解函数连续的概念、几何意义；了解函数间断点的概念和类型；掌握连续函数的四则运算；了解常见函数的连续性；掌握闭区间上连续函数的性质。素质目标7深入社会实践、关注现实问题，弘扬主动探索、勇于发现的科学精神。弘扬服务集体、团结协作的团队精神。养成踏实细致、科学严谨、执着专注的学习态度。数的概念、性质与常见函数1.11.1.1函数的概念91.常量与变量在研究实际问题的过程中，常常会遇到两种量：一种是常量，它的数值在某一变化过程中始终保持不变；另一种是变量，它的数值在某一变化过程中会发生变化。1.1.1函数的概念10（1）区间：属于数集的一种，往往用来表示变量的连续变化范围。2.区间与邻域区间类型区间表示方法集合的表示方法有限区间开区间（a,b）{x|a<x<b}闭区间[a,b]{x|a≤x≤b}半开半闭区间左闭右开区间[a,b){x|a≤x<b}左开右闭区间(a,b]{x|a<x≤b}无限区间[a,+∞){x|x≥a}（a,+∞）{x|x>a}(-∞,b]{x|x≤b}（-∞,b）{x|x<b}（-∞,+∞）{x|-∞<x<+∞}1.1.1函数的概念11（2）领域设a与δ是两个实数，且δ﹥0，则称集合{x||x-a|﹤δ}为点a到δ的邻域，记作U（a,δ）,其中，a称为邻域中心，δ称为领域半径。去心邻域:去掉中心的邻域，即集合{x|0<|x-a|﹤δ}，称为点a的δ去心邻域，记作。

邻域去心邻域2.区间与邻域1.1.1函数的概念123.函数的定义定义

设x和y为两个变量，D是一个非空数集，当x在D内任取一个值时，按照一定对应法则f，总有唯一确定的值y与之对应，则称y是x的函数，记作y=f(x)，x∈D其中，D称为函数的定义域，x称为自变量，y称为因变量。当x取定义域D内的某一定值x0

时，按照对应法则f，所得的对应值y0称为函数y=f(x)在x0处的函数值，记作y0=y|x-x0=f(x0)。当x取遍定义域D中的所有值时，按照对应法则f，得到的所有对应值y构成的集合称为函数的值域，记作M={y|y=f(x)，x

∈D}。1.1.1函数的概念133.函数的定义设函数f(x)=3x2-2x-1,求f(0),

f(1)及f(-x)。例1

解：1.1.1函数的概念144.函数的两要素由函数的定义可知，定义域和对应法则一旦确定，函数也就随之唯一确定。因此，把函数的定义域和对应法则称为函数的两要素。判断下列函数是否为同一函数。例2

（1）

（2）

（2）两个函数的定义域和对应法则都相同，故它们是同一函数。1.1.1函数的概念155.函数的表示函数通常有三种不同的表示方法：解析法、表格法和图形法。（1）解析法解析法是指用数学式子表示函数的方法，也称公式法，如S=πr2

。解析法由于表达简单、便于运算，因此是高等应用数学中最常见的函数表示方法。1.1.1函数的概念165.函数的表示（2）表格法表格法是指用表格表示函数的方法。例如，如表所示给出了生产总值与年份之间的函数关系。表格法的优点是自变量与对应因变量的数值一目了然，不用计算。年份/年201120122013201420152016生产总值/亿元489300.6540367.4595244.4643974.0685505.8744127.01.1.1函数的概念175.函数的表示（3）图形法图形法是指用图形表示函数的方法，其优点是能直观地反映出函数的变化趋势。例如，股票K线图能够直观地反映出股票市场的变化。1.1.2函数的性质181.单调性设函数f(x)在区间I（函数f(x)的定义域或其定义域的一部分）上有定义。如果对于区间I内的任意两点x1,x2当x1>x2时当x1<x2时f(x1)<f(x2)f(x1)>f(x2)函数f(x)在区间I上是单调增加的，区间I称为单调增区间函数f(x)在区间I上是单调减少的，区间I称为单调减区间恒有恒有单调增加或单调减少的函数统称为单调函数。单调增区间和单调减区间统称为单调区间。1.1.2函数的性质191.单调性可以将上述中的“任意两点x1,x2”，改成“存在两点x1,x2”吗?思考1.1.2函数的性质202.奇偶性设函数f(x)的定义域D关于原点对称。若对于任意x∈D，都有：

则称f(x)为偶函数

则称f(x)为奇函数1.1.2函数的性质213.有界性设函数f(x)在区间I上有定义。如果存在一个正数M，使得对于任意x∈I，恒有：|f(x)|≤M,则称函数f(x)在I上有界；如果这样的M不存在，则称函数f(x)在I上无界。1.1.2函数的性质224.周期性设函数f(x)的定义域为D。若存在不为零的常数T，使得对于任意x∈D，有x+T∈D,且使f(x+T)=f(x),恒成立，则称f(x)是周期函数，称T是f(x)的周期。通常所说周期函数的周期是指其最小正周期。1.1.3反函数231.反函数的概念设函数y=f(x)的定义域为D,值域为M。如果对于任意y∈M，都有唯一确定的x∈D，使得f(x)=y成立，则得到一个定义在M上的以y为自变量、x为因变量的新函数，称这个函数为y=f(x)的反函数，记作x=f-1(y)。这时，称函数y=f(x)为直接函数。1.1.3反函数242.反函数的求解反函数可以通过以下两步来求解：（1）由y=f(x)解出x=f-1(y)（2）交换字母x和y求函数的反函数。例3

1.1.4基本初等函数25基本初等函数是幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数等的统称。由常数和基本初等函数经过有限次的四则运算复合而成，并且可以用一个式子表示的函数称为初等函数。1.1.4基本初等函数261.幂函数y=xa（a为任意数）为幂函数，它的定义域和值域由a确定，且其图形都经过点（1,1）。常见幂函数的图形1.1.4基本初等函数27y=ax（a>0,且a≠1）为指数函数，它的定义域为（-∞,+∞），值域为（0,+∞）。指数函数的图形都经过点（0,1），且均在x轴上方。当a>1时，单调增加

当0<a<1时，单调减少

2.指数函数1.1.4基本初等函数28y=logax（a>0,且a≠1）为对数函数，它是指数函数y=ax的反函数，其定义域为（0,+∞），值域为（-∞,+∞）。对数函数的图形都经过点（1,0），且均在y轴右方。当a>1时，单调增加

当0<a<1时，单调减少

3.对数函数1.1.4基本初等函数294.三角函数135624正弦函数：y=sinx①②余弦函数：y=cosx③正切函数：y=tanx④余切函数：y=cotx⑤正割函数：y=secx⑥余割函数：y=cscx1.1.4基本初等函数304.三角函数类别定义域值域最小正周期奇偶性y=sinx（-∞,+∞）[-1,1]2π奇函数y=cosx偶函数1.1.4基本初等函数314.三角函数类别定义域值域最小正周期奇偶性y=tanx（-∞,+∞）π奇函数y=cosxx≠kπ（k∈Z）1.1.4基本初等函数324.三角函数类别定义域值域最小正周期奇偶性y=secx（-∞,-1]∪[1,+∞]2π偶y=cscxx≠kπ（k∈Z）奇1.1.4基本初等函数335.反三角函数反正弦函数：y=arcsinx①②反余弦函数：y=arccosx③反正切函数：y=arctanx④反余切函数：y=arccotx⑤反正割函数：y=arcsecx⑥反余割函数：y=arccscx反三角函数是各三角函数在其特定单调区间上的反函数。反三角函数1.1.4基本初等函数345.反三角函数

定义域值域[-1,1]1.1.4基本初等函数355.反三角函数

定义域值域[-1,1]1.1.4基本初等函数365.反三角函数

定义域值域（-∞,+∞）1.1.4基本初等函数375.反三角函数

定义域值域（-∞,+∞）1.1.5复合函数38设y是u的函数，y=f(u)，u是x的函数u=

φ(x)。如果u=

φ(x)的值域与y=f(u)的定义域的交集不是空集，则y通过u构成x的函数y=f[φ(x)]称为x的复合函数，其中u为中间变量。1.1.5复合函数39写出下列函数的复合过程。例4（1）y=(1+2x)3（2）y=e-x解：（1）y=(1+2x)3是由y=u3，u=1+2x复合而成的。解：（2）y=e-x是由y=eu，u=-x2复合而成的。1.1.6分段函数40引例某出租车的收费标准如下：若行驶里程不超过3公里，则收费13元；若行驶里程超过3公里，则超出的部分按每公里2.3元收费；另外每运次加收1元燃油附加费．那么每运次的行驶里程c（公里）与费用y（元）之间的关系为：是用一个式子来表示的，而是在自变量不同范围内用不同的式子来表示的，这样的函数称为分段函数。

课堂小结41函数的概念函数的性质反函数基本初等函数复合函数分段函数极限的概念与性质1.21.2.1数列极限的概念与性质431.数列极限的概念

项数列中的每一个数称为数列的项一般项（通项）第n项xn成为数列的一般项或通项

当自变量n依次取1,2,3···一切正整数时，对应的函数值就排列成数列{xn}1.2.1数列极限的概念与性质441.数列极限的概念

讨论下列数列的变化趋势，说明极限是否存在。若存在，则写出它们的极限。例1

1.2.1数列极限的概念与性质451.数列极限的概念讨论下列数列的变化趋势，说明极限是否存在。若存在，则写出它们的极限。例1

解：

1.2.1数列极限的概念与性质461.数列极限的概念讨论下列数列的变化趋势，说明极限是否存在。若存在，则写出它们的极限。例1

解：

1.2.1数列极限的概念与性质472.数列极限的性质性质1（唯一性）：若数列{xn}收敛，则数列{xn}的极限唯一。性质2（有界性）：若数列{xn}收敛，则数列{xn}一定有界。1.2.1数列极限的概念与性质482.数列极限的性质性质3（夹逼准则）

（1）存在自然数N0，当n>N0,有yn≤xn≤zn；

1.2.2函数极限的概念与性质491.函数极限的概念函数的极限如果在自变量x的某个变化过程中，对应的函数值f(x)无限接近于一个确定的常数A，则称常数A为函数f(x)在该变化过程中的极限，函数自变量x的变化过程一般可分为两种情况：x的绝对值|x|无限增大，记作|x|→+∞或x→∞；x无限接近于x0记作x→x0。1.2.2函数极限的概念与性质501.函数极限的概念

（1）当x→∞时，函数y=f(x)的极限1.2.2函数极限的概念与性质511.函数极限的概念（1）当x→∞时，函数y=f(x)的极限在求函数的极限时，可借助函数图形来直观理解。例如，根据图可得：

1.2.2函数极限的概念与性质521.函数极限的概念

例2

1.2.2函数极限的概念与性质531.函数极限的概念讨论当x→∞时函数y=ex及y=e-x的极限。例3

1.2.2函数极限的概念与性质541.函数极限的概念（2）当x→x0时，函数y=f(x)的极限

1.2.2函数极限的概念与性质551.函数极限的概念（2）当x→x0时，函数y=f(x)的极限

若当x从x0的左边趋于x0（通常记作x→x0-）时，函数值f(x)无限接近于A，则称A为函数f(x)在x→x0时的左极限，记作左极限1.2.2函数极限的概念与性质561.函数极限的概念（2）当x→x0时，函数y=f(x)的极限若当x从x0的右边趋于x0（通常记作x→x0+）时，函数值f(x)无限接近于A，则称A为函数f(x)在x→x0时的右极限，记作右极限

1.2.2函数极限的概念与性质572.函数极限的性质性质4（唯一性）：若函数f(x)在某一变化过程中有极限，则其极限唯一。性质5（有界性）：若函数f(x)在x→X0时存在极限，则必存在x的某一邻域，使得f(x)在该邻域内有界。1.2.2函数极限的概念与性质582.函数极限的性质性质6（夹逼准则）

（1）在x0的某去心领域内，有g(x)≤f(x)≤h(x)

；

课堂小结59数列极限的概念与性质函数极限的概念与性质无穷小与无穷大1.31.3.1无穷小611.无穷小的概念定义1当自变量x→x0(或x→∞）时，若函数f(x)的极限为0，则称函数f(x)为x→x0(或x→∞）时的无穷小量，简称无穷小，记作

1.3.1无穷小622.无穷小的运算性质性质1有限个无穷小的代数和仍是无穷小。性质2有限个无穷小的乘积仍是无穷小。性质3常数与无穷小的乘积仍是无穷小。性质4

有界函数与无穷小的乘积仍是无穷小。1.3.1无穷小632.无穷小的运算性质

例1

1.3.2无穷大64定义2

当自变量x→x0(或x→∞）时，若函数f(x)的绝对值无限增大，则称函数f(x)为x→x0(或x→∞）时的无穷大量，简称无穷大，记作

1.3.3无穷大与无穷小的关系65

无穷小量与无穷大量课堂小结66无穷小无穷大无穷大与无穷小的关系极限的运算1.4定理1.4.1极限的运算法则68若limf(x)=A,limg(x)=B,则有：

1.4.1极限的运算法则69

推论1若limf(x)=A，则有推论2

若limf(x)=A，则有1.4.2极限的求解方法701.直接代入法在求多项式函数f(x)=a0xn+a1xn-1+···+an-1+an（a0，a1，···，an是常系数）在x→x0的极限时，可直接用x0代替函数中的x，即

1.4.2极限的求解方法711.直接代入法

例1解：由于将x=1代入分母得12+7=8≠0，因此由直接代入法得，

例2解：直接代入法得，

1.4.2极限的求解方法722.倒数法

1.4.2极限的求解方法732.倒数法

例3

1.4.2极限的求解方法743.分解因式法

1.4.2极限的求解方法753.分解因式法

例4

1.4.2极限的求解方法763.分解因式法

例5

1.4.2极限的求解方法774.公式法

具体步骤：先将分子、分母同除以x的最高次方，使其转化成无穷小来求解，结果为:

0,当n<m时，

1.4.2极限的求解方法784.公式法

例6

1.4.2极限的求解方法794.公式法

例7

例8

1.4.2极限的求解方法804.公式法

例9

课堂小结81极限的运算法则极限的求解方法两个重要极限及无穷小的比较1.51.5.1两个重要极限831.第一重要极限两个重要极限

1.5.1两个重要极限841.第一重要极限

例1

1.5.1两个重要极限851.第一重要极限求下列极限。例2

解：

1.5.1两个重要极限862.第二重要极限

第二重要极限为1∞型，为强调其一般性，可写成

或

1.5.1两个重要极限872.第二重要极限求下列函数的极限。例3

解：

1.5.2无穷小的比较88可以用两个无穷小商的极限来比较它们趋于零的快慢，为此引入如下定义:定义设α，β是在自变量同一变化过程中（x→x0或x→∞）的无穷小，且α≠0。

1.5.2无穷小的比较89等价无穷小对求极限有重要作用，对此有下面的等价无穷小代换定理:

当x→0时，有

当x→0时，若k是不为0的常数，则有sinkx~kx,tankx~kx,arcsinkx~kx,arctankx~kxsinx~x,tanx~x,arcsinx~x,arctanx~x,

1.5.2无穷小的比较90例4

例5

课堂小结91两个重要极限无穷小的比较函数的连续性1.61.6.1函数连续的概念931.函数的增量输入标题定义1设函数y=f(x)在点x0的某邻域内有定义，若当自变量x在x0处的改变量趋于0时，函数的改变量Δy也相应地趋于0，即

1.6.1函数连续的概念941.函数的增量输入标题定义2设函数y=f(x)在点x0的某邻域内有定义，若当x→x0时，函数y=f(x)的极限存在且等于函数在点x0处的函数值，即

1.6.1函数连续的概念951.函数的增量输入标题

1.6.1函数连续的概念961.函数的增量输入标题定义4若函数f(x)在开区间(a,b)上各点处均连续，则称f(x)在开区间(a,b)上连续;若函数f(x)在开区间(a,b)上连续，且在x=α处右连续，在x=b处左连续，则称f(x)在闭区间[a,b]上连续。1.6.1函数连续的概念971.函数的增量例1

1.6.2函数连续的几何意义98函数y=f(x)在点x0处连续的几何意义函数y=f(x)的图形在点(x，f(x0))处不断开。函数y=f(x)在区间(a,b)上连续的几何意义函数y=f(x)的图形在(a,b)上是一条连绵不断的曲线。1.6.3函数的间断点1.间断点的定义

设函数y=f(x)在点x0的某去心邻域内有定义，若函数y=f(x)有下列三种情形之一，则称函数f(x)在点x0处不连续或间断，点x0称为函数f(x)的不连续点或间断点。定义5

991.6.3函数的间断点2.间断点的类型（1）设点x0为函数f(x)的不连续点或间断点x0为函数f(x)的第一类间断点x0为函数f(x)的可去间断点x0为函数f(x)的跳跃间断点可去间断点和跳跃间断点都属于第一类间断点1001.6.3函数的间断点2.间断点的类型（2）设点x0为函数f(x)的不连续点或间断点x0为函数f(x)的第二类间断点x0为函数f(x)的无穷间断点x0为函数f(x)的震荡间断点可去间断点和跳跃间断点都属于第一类间断点1011.6.3函数的间断点2.间断点的类型例2求下列函数的间断点，并判断其类型。

1021.6.3函数的间断点2.间断点的类型例2求下列函数的间断点，并判断其类型。

1031.6.3函数的间断点2.间断点的类型例2求下列函数的间断点，并判断其类型。

1041.6.3函数的间断点2.间断点的类型例2求下列函数的间断点，并判断其类型。

1051.6.4连续函数的四则运算106定理2若函数f(x)和g(x)都在点x0处连续，则它们的和、差、积、商（分母不等于0）也都在点x0处连续，即

1.6.5常见函数的连续性1071.反函数与复合函数的连续性定理3若函数y=f(x)在区间Ix上单调增加（或单调减少）且连续，则它的反函数，则它的反函数x=f-1(y)在对应区间Iy={y|y=f(x),x∈Ix}上也单调增加（或单调减少）且连续。1.6.5常见函数的连续性1081.反函数与复合函数的连续性定理4

定理4也可表示为：

1.6.5常见函数的连续性1091.反函数与复合函数的连续性例3

解：

1.6.5常见函数的连续性1102.初等函数的连续性定理5一切初等函数在其定义域内都是连续的。例4

解：

1.6.5常见函数的连续性1112.初等函数的连续性例5求下列函数的极限。

解：1.6.6闭区间上连续函数的性质112性质

1有界与最值定理若函数y=f(x)在闭区间[a,b]上连续，则函数y=f(x)在该区间上有界，且必有最大值和最小值。性质1的几何意义：若函数f(x)在[a,b]上连续，则在[a,b]上至少有一点ξ1使得f(x)在点ξ1处取最大值M；同样地，至少有一点ξ2，使得f(x)在点ξ2处取最小值，如图所示。1.6.6闭区间上连续函数的性质113性质

2介值定理若函数y=f(x)在闭区间[a,b]上连续，且f(a)≠f(b)，C为介于f(a)与f(b)之间的任意数，则在开区间(a,b)内至少存在一点ξ，使得f(ξ)=C(a<ξ<b)。性质2的几何意义：连续曲线弧y=f(x)与水平直线y=C至少相交于一点，如图所示。1.6.6闭区间上连续函数的性质114性质

3零点定理若函数y=f(x)在闭区间[a,b]上连续，且f(a)与f(b)异号，即f(a)·f(b)<0，那么在开区间(a,b)内至少存在一点ξ，使得f(ξ)=0。性质3的几何意义：若连续曲线弧y=f(x)的两个端点位于x轴的不同侧，则这段连续曲线弧与x轴至少相交于一点，如图所示。1.6.6闭区间上连续函数的性质115例6证明x3+2x=6至少有一个介于1和3之间的根。证明：设f(x)=x3+2x-6,则f(x)在[1,3]上连续，且f(1)=-3<0，

f(3)=27>0。由零点定理可知，在(1,3)内至少有一点ξ，使f(ξ)=0，即方程x3+2x=6在(1,3)内至少有一个根。课堂小结116函数连续的概念函数连续的几何意义函数的间断点连续函数的四则运算常见函数的连续性闭区间上连续函数的性质THANKS感谢聆听高等应用数学目录CONTENTS前言0002第2章导数与微分第4章不定积分04第1章函数与极限01第3章导数的应用03第5章微分方程05第6章微分方程06第7章多元函数微积分07导数与微分第2章2.1导数的概念2.2导数的运算2.3高阶导数2.4隐函数的导数和由参数方程所确定的函数的导数2.5

函数的微分导学121本章将在函数和极限的基础上介绍微分学的两个基本概念：导数与微分。我们在解决实际问题时，除了需要确定变量之间的函数关系外，有时还需要研究函数相对于自变量变化的快慢程度（即函数的变化率），以及当自变量发生微小变化时函数的近似改变量。这两个问题就是我们本章所要讨论的主要内容——导数与微分。导学学习目标122理解导数的定义、几何意义；理解函数可导性与连续性的关系；掌握函数的和、差、积、商的求导法则；掌握反函数的求导法则；掌握复合函数的求导法则；掌握基本初等函数的导数公式；理解高阶导数的概念；会求二阶导数和n阶导数；理解隐函数的概念，掌握隐函数的一般求导法与对数求导法；会求由参数方程所确定的函数的导数；理解微分的概念、几何意义；掌握微分的求解方法掌握微分在近似计算中的应用。素质目标123提高逻辑思维、辩证思维和创新思维能力。学会运用所学知识揭示生活中的奥秘，在实践中深化认识，达到学以致用的目的。弘扬实事求是、一丝不苟的科学精神。导数的概念2.12.1.1导数的定义125引例1速度问题设某物体做变速直线运动，运动方程为s=s(t)，现在求该物体在t0时刻的瞬时速度v(t0)。物体在t0到t0+Δt这段时间内的平均速度为：

当时间t由t0变到t0+Δt时，物体的路程s(t)由s(t0)变到s(t0+Δt)，路程的增量Δs为：Δs=s(t0+Δt)-s(t0)2.1.1导数的定义126引例1速度问题

2.1.1导数的定义127引例2切线问题如图所示，设函数y=f(x)的图形为曲线L，在曲线L上取一定点M(x0,y0)，再取一动点N(x0+Δx,y0+Δy)，作割线MN。当点N沿着曲线L无限接近于点M时割线MN的极限位置MT就是曲线L在点M处的切线要确定切线MT只要确定曲线L在点M处的切线斜率kMT即可。2.1.1导数的定义128引例2切线问题

2.1.1导数的定义129

定义1

也可记作：

x=x0x=x0x=x02.1.1导数的定义130

若令x=x0+Δx，则当Δx→0时，有x→x0，故函数y=f(x)在点x0处的导数f’(x0)也可以表示为

2.1.1导数的定义131极限定义2

函数y=f(x)在点x0处的左导数f’-(x0)函数y=f(x)在点x0处的左导数f’+(x0)函数y=f(x)在点x0处可导的充分必要条件是函数y=f(x)在点x0处的左、右导数都存在且相等。2.1.1导数的定义132函数y=f(x)在区间（a,b）内每一点都可导，则称y=f(x)在区间（a,b）内可导。这时，对于任一x∈（a,b）,都对应着f(x)的一个确定的导数值。这样就构成了一个新的函数，该函数为函数f(x)的导函数，记作f’(x),即定义3

也可记作：

或

2.1.2导数的几何意义133由切线问题的讨论及导数的定义可知，函数y=f(x)在点x0处的导数f’(x0),在几何上表示曲线y=f(x)在点M（x0，y0）处的切线斜率，即f’(x0)=tanα其中α是切线的倾斜角，如图所示。2.1.2导数的几何意义134若f’(x0)≠0，则由直线的点斜式方程可知，曲线y=f(x)在点M（x0，y0）处切线方程为:法线方程为：

若f’(x0)=∞，则切线垂直于x轴，切线方程为：x=x0若f’(x0)=0，则法线垂直于x轴，法线方程为：x=x02.1.2导数的几何意义135

例1解：

2.1.3求导数举例136

2.1.3求导数举例137求f(x)=C(C为常数)的导数。例2

以上例子说明，常数函数的导数等于0。解：2.1.3求导数举例138求y=x2的导数。例3

解：一般地，对幂函数y=xu(u∈R)，有如下求导公式：

2.1.3求导数举例139求函数y=sinx的导数。例4

解：即：

用类似的方法，可求得：

2.1.3求导数举例140求函数y=lnx的导数。例5

解：即：

2.1.4函数可导性与连续性的关系141定理如果函数y=f(x)在点x0处可导，则函数y=f(x)在点x0处一定连续。

例6证：

课堂小结142导数的定义导数的几何意义求导数举例函数可导性与连续性的关系导数的运算2.22.2.1函数的和、差、积、商的求导法则144

定理1（1）（u±v)’=u’±v’。（2）（uv)’=u’v+uv’。

2.2.1函数的和、差、积、商的求导法则145求下列函数的导数。例1

(1)y'=(3x²-2x+1)'=(3x²)-(2x)'+1'=3(x²)'-2x'=6x-2

解：解：2.2.1函数的和、差、积、商的求导法则146求y=tanx的导数

。例2

解：解：2.2.1函数的和、差、积、商的求导法则147求y=tanx的导数

。例2解：

即，用类似的方法，还可以得到下列导数公式：

2.2.1函数的和、差、积、商的求导法则148设函数y=xtanx-2secx，求y’

。例3解：

例4根据对数的换底公式有解：

2.2.2反函数的求导法则149若函数x=f(y)在区间Iy内单调、可导，且f’(y)≠0，则它的反函数y=f-l(x)在区间Ix={x|x=f(y),y∈Iy}内也可导，且有定理2

或

2.2.2反函数的求导法则150求y=ax(a>0,a≠1)的导数。例5解：

所以

,即

2.2.3复合函数的求导法则151定理3复合函数求导法则若u=φ(x)在x处可导，函数y=f(u)在对应点u处可导，则复合函数y=f[φ(x)]在点x处也可导，并且

或记作

2.2.3复合函数的求导法则152

例6解：因为y=sin2x是由y=sinu，u=2x复合而成的，所以

例7

2.2.3复合函数的求导法则153

例8解：

例9解：

例10解：

2.2.4导数公式154（1）(C)’=0（2）(xu)’=uxu-1（3）(ax)’=axlna(a>0,a≠1)（4）(ex)’=ex（8）(cosx)’=-sinx（10）(cotx)’=-csc2x（12）(cscx)’=-cscxcotx常数函数和一些基本初等函数的导数公式：课堂小结155函数的和、差、积、商的求导法则反函数的求导法则复合函数的求导法则导数公式高阶导数2.32.3.1高阶导数的概念157定义

类似地，二阶导数的导数称为函数f(x)的三阶导数；三阶导数的导数称为函数f(x)的四阶导数；······；（n-1）阶导数的导数称为函数f(x)的n阶导数．它们可分别记作y’’,y(4),···,y(n)也可分别记作f’’’(x),f(4)(x),···,f(n)(x)二阶及二阶以上的导数统称为高阶导数。2.3.2高阶导数的计算158设函数y=x4+x3-x2+1，求y”。例1解：

设函数y=e-xcos2x，求y”。例2解：y’=-

e-xcos2x-2e-xsin2x

2.3.2高阶导数的计算159设函数y=sinx，求y(n)

。例3解：

依此类推，可得

即

2.3.2高阶导数的计算160设函数y=ln(x-1)(x>1)，求y(n)

。例5解：设函数y=ex，求y(n)

。例4y’=ex,y’’=ex,···,y(n-1)

=ex,y(n)

=ex

依此类推，可得解：

(n=1,2,3···)课堂小结161高阶导数的概念高阶导数的计算隐函数的导数和由参数方程所确定的函数的导数2.42.4.1隐函数的导数1631.隐函数的概念显函数等号左端是因变量的符号，右端是含有自变量的式子，这种形式的函数。如y=x2+3。隐函数如方程x+y3-1=0也表示一个函数因为当变量x在（-∞，+∞）内取值时变量y有唯一确定的值与之对应，这样的函数称为隐函数。2.4.1隐函数的导数1641.隐函数的概念一般地，如果变量x,y满足一个方程F(x,y)=0在一定条件下，当x取某区间内的任一值时，相应地总有满足此方程的唯一的y值存在那么就说方程F(x,y)=0在该区间内确定了一个隐函数。2.4.1隐函数的导数1652.隐函数求导对隐函数求导时，可以先将隐函数化成显函数（称为隐函数的显化），再求导。隐函数求导的一般方法将方程F(x,y)=0两边同时对x求导,遇到y时,把y看成x的函数y=f(x)，利用复合函数的求导法则,先对y求导，再乘以y对x的导数y’，得到一个含有y’的方程，由此解出y’即可。2.4.1隐函数的导数166

例1解：

例2解：

由上式解出y’便得到隐函数的导数，即

2.4.1隐函数的导数1673.对数求导法先将y=f(x)两边同时取对数，再利用隐函数求导的一般方法进行求解导数的方法为对数求导法。求y=xsinx(x>0)的导数。例3解：

方程两边同时取对数，得

将上式两边同时对x求导，得

2.4.1隐函数的导数168

例4解：

方程两边同时取对数，得

将上式两边同时对x求导，得

2.4.2由参数方程所确定的函数的导数169

即

或

2.4.2由参数方程所确定的函数的导数170

例5解：因为所以

y’(t)=bcost，x’(t)=-asint，2.4.2由参数方程所确定的函数的导数171

例6解：因为

所以

因此，摆线在点P处的导数为

，即摆线在点P处的切线斜率为1。

即

课堂小结172隐函数的导数由参数方程所确定的函数的导数函数的微分2.52.5.1微分的概念174引例1

175

2.5.1微分的概念176

2.5.1微分的概念

1772.5.1微分的概念函数的微分

从而有

由上式和微分定义可知，导数等于函数的微分与自变量的微分之商，因此导数也称为微商。1782.5.1微分的概念

例1解：

函数y=x3在任一点x处的微分为

例2解：

1792.5.2微分的几何意义

过点P作曲线的切线PT，它的倾角为α，则

180

2.5.2微分的几何意义1812.5.3微分的运算1.函数的和、差、积、商的微分法则（1）d（u±v)=du±dv。（2）d（uv)=udv+vdu。

（3）d（Cu)=Cdu（C为常数）

。1822.5.3微分的运算2.复合函数的微分法则由微分的定义可知，当u是自变量时，函数y=f(u)的微分是

1832.5.3微分的运算设函数y=sin(1+2x3)，求dy。例3解：方法1：直接应用微分公式dy=y’dx计算，则有

方法2：把(1+2x3)看成中间变量u，则有

例4解：

1842.5.3微分的运算3.微分公式（1）d(C)=0（2）d(xu)=uxu-1dx（3）d(ax)=axlnadx(a>0,a≠1)（4）d(ex)=exdx（8）d(cosx)=-sinxdx（10）d(cotx)=-csc2xdx（12）d(cscx)=-cscxcotxdx1851.计算函数增量的近似值

半径为10cm的金属圆片加热后，半径伸长了0.05cm，问该金属圆片的面积大约增大了多少？例5

2.5.4微分在近似计算中的应用2.5.4微分在近似计算中的应用1862.计算函数值的近似值

计算例6

2.5.4微分在近似计算中的应用1872.计算函数值的近似值证：

证明当|x|较小时，例7

。

所以

，即

2.5.4微分在近似计算中的应用1882.计算函数值的近似值

例8

例9解：

利用近似公式

得，

课堂小结189导数的概念导数的运算高阶导数隐函数的导数和由参数方程所确定的函数的导数函数的微分THANKS感谢聆听高等应用数学目录CONTENTS前言0002第2章导数与微分第4章不定积分04第1章函数与极限01第3章导数的应用03第5章微分方程05第6章微分方程06第7章多元函数微积分07导数的应用第3章3.1微分中值定理与洛必达法则3.2函数的单调性、极值与最值3.3函数图形的描绘3.4曲率导学194上一章介绍了导数和微分的概念、运算法则等．本章将应用导数来研究函数的性质及其图形的形态．在此之前，要先介绍微分中值定理及洛必达法则，它们是导数应用的理论基础。导学学习目标195理解微分中值定理；掌握使用洛必达法则求极限的方法；理解函数单调性和极值的概念；掌握求函数单调区间和极值的方法；掌握利用导数求解最大值、最小值的应用问题；理解曲线凹凸性和拐点的概念，掌握凹凸区间和拐点的判定方法；理解三类曲线渐近线的概念，会描绘函数图形；理解曲率的概念，熟练掌握曲率的计算公式。素质目标196培养数学素质，提高运算能力和数学建模能力。培养观察能力、空间想象能力、分析与解决问题能力、数学思维能力。养成良好的学习习惯、实事求是的科学态度。微分中值定理与洛必达法则3.13.1.1微分中值定理1981.罗尔中值定理如果函数y=f(x)满足下列条件，当那么在开区间(a,b)内至少存在一点ξ，使得f’(ξ)=0。（1）在闭区间[a,b]上连续；（2）在开区间(a,b)内可导；（3）在区间端点处的函数值相等，即f(a)=f(b)。定理1罗尔中值定理3.1.1微分中值定理1992.拉格朗日中值定理

定理2拉格朗日中值定理

3.1.1微分中值定理200推论1如果函数y=f(x)在区间(a,b)内满足f’(x)=0,则在(a,b)内有f(x)=C(C为常数)。推论2如果对(a,b)内的任意x，均有f’(x)=g’(x)，则在(a,b)内有f(x)

=g(x)+C(C为常数)。2.拉格朗日中值定理3.1.1微分中值定理201

例1证：

由推论1可知f(x)=C（C为常数)，即

取x=1，有

因此

3.1.1微分中值定理2023.柯西中值定理

定理3柯西中值定理罗尔中值定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理统称为微分中值定理。3.1.2洛必达法则203

定理4洛必达法则

在一定条件下，通过分子、分母分别求导再求极限来计算未定式极限的方法，称为洛必达法则。3.1.2洛必达法则204

例2

例3

3.1.2洛必达法则205

例4

0

例5

0洛必达法则其他类型3.1.2洛必达法则206

例6

例7

0课堂小结207微分中值定理洛必达法则函数的单调性、极值与最值3.2如果函数y=f(x)在[a，b]上单调增加，那么它的切线斜率f’(x)是非负的。3.2.1函数的单调性209函数在区间[a，b]上的单调性和它的导数有密切关系。如果函数y=f(x)在[a，b]上单调减少，那么它的切线斜率f’(x)是非正的。3.2.1函数的单调性210定理1因此，我们有如下定理：设函数f(x)在[a，b]上连续，在(a,b)内可导，则有(1）如果在(a，b)内f'(x)≥0，且等号仅在有限多个点处成立，则函数f(x)在[a,b]上单调增加；(2）如果在(a，b)内f’(x)≤0，且等号仅在有限多个点处成立，则函数f(x)在[a，b]上单调减少。要确定可导函数的单调区间，首先要求出使f’(x)=0点(驻点)；然后用这些驻点将f(x)定义域分成若干个子区间，最后在每个子区间上用定理1判断函数的单调性。3.2.1函数的单调性211确定函数单调性的一般步骤如下:(1）确定函数f(x)的定义域；(2）求出使函数f’(x)=0和f’(x)不存在的点，并以这些点为分界点，将定义域划分成若干个子区间。(3）确定f’(x)在各个子区间的符号（正或负），从而确定f(x)的单调性。3.2.1函数的单调性212讨论函数f(x)=3x2-x3的单调性。例1

x(0，2)f’(x)-+-f(x)单调减少单调增加单调减少

3.2.2函数的极值213定义设函数f(x)在点x0的某邻域内有定义，若对此邻域内任一点x(x≠0,)，均有f(x)<f(x0)，则称f(x0)是函数f(x)的一个极大值。同样，若对此邻域内任一点x(x≠x0，均有f(x)>f(x0)，则称f(x0)是函数f(x)的一个极小值。函数的极大值与极小值统称为函数的极值。使函数取得极值的点x0称为极值点。3.2.2函数的极值214定理2由上图可知，可导函数在取得极值处的切线是水平的，即在极值点x0处，必有f’(x0)=0。设f(x)在点x0处具有导数，并且在点x0处取得极值,那么f’(x0)=0。极值存在的必要条件由定理2可知，可导函数f(x)的极值点必是f(x)的驻点，反之，驻点却不一定是f(x)的极值点。对于一个连续函数，它的极值点还可能是使其导数不存在的点，这种点称为尖点。3.2.2函数的极值215定理3连续函数f(x)的极值点只能是其驻点或尖点，极值点可以通过以下定理进行判断求函数f(x)在点x0处连续，且在点x0的某去心邻域内可导。当x由小到大经过点x0时，存在以下三种情况：极值存在的第一充分条件(1）如果f’(x)由正变负，那么点x0是极大值点；(2）如果f’(x)由负变正，那么点x0是极小值点；(3）如果f’(x)不变号，那么点x0不是极值点。3.2.2函数的极值216综上可知，求函数极值的一般步骤如下:确定函数f(x)的定义域求出,f(x)的所有驻点、尖点判断,f(x)所有驻点、尖点两侧一阶导数的符号，确定极值点求出极值点处的函数值，得到极值（1）（2）（3）（4）3.2.2函数的极值217求函数y=1-x2的极值。例2

x0y’+0-y单调增加极大值y|x=0=1单调减少由表可知，函数y=1-x在x=0处取得极大值y=1。3.2.2函数的极值218定理4极值点还可以通过以下定理进行判断设f(x)在点x0处具有二阶导数，且f’(x0)=0,f’’(x0)≠0，则存在以下两种情况：极值存在的第二充分条件(1）当f’’(x0)<0时，f

(x)在点x0处取得极大值；(2）当f’’(x0)>0时，f

(x)在点x0处取得极小值。3.2.2函数的极值219求函数f(x)=x3-6x2+9x的极值。例3

x1(1,3)3y’+0-0y单调增加极大值f(1)=4单调减少极大值f(3)=0单调增加f(1)=4为函数f(x)的极大值，f(3)=0为函数f(x)的极小值。3.2.2函数的极值220求函数f(x)=x3-6x2+9x的极值。例3

因为f“(0)=-6<0，所以f4)=4为f(x)的极大值;因为f”(3)=6>0,所以，f(3)=0为f(x)的极小值。3.2.3函数的最值221函数f(x)在其定义域上的最大值与最小值统称为函数f(x)的最值。若函数f(x)在闭区间[a，b]上连续，则在该区间上一定存在最大值和最小值。一般情况下，将函数所有的极大值、极小值与区间[a，b]的端点函数值f(a)，f(b)相比较，这些值中的最大者就是函数f(x)在[a，b]上的最大值，最小者就是函数f(x)在[a，b]上的最小值。定理13.2.3函数的最值222求函数f(x)=2x3+3x2-12x在区间[-3,4]上的最大值和最小值。例4解：

因为函数f(x)=2x3+3x2-12x在区间[-3,4]上连续，所以在该区间上一定存在最大值和最小值。该函数的导数为f’(x)=6x2+6x-12=6(x+2)(x-1),令f’(x)=0，得驻点x1=-2，x2=1。因为f(-2)=20，f(1)=-7，f(-3)=9，f(4)=128，所以，比较各值，可知函数f(x)在区间[-3,4]上的最大值为f(4)=128，最小值为f(1)=-7。课堂小结223函数的和、差、积、商的求导法则反函数的求导法则复合函数的求导法则导数公式函数图形的描绘3.33.3.1曲线的凹凸性225定义1设y=f(x)在区间（a，b）内各点均有切线，如果曲线段总是位于切线的上方，则称该曲线段在(a，b）内是凹的，区间（a，b)称为凹区间；如果曲线段总是位于切线的下方，则称该曲线段在(a，b)内是凸的，区间（a，b)称为凸区间。曲线段AB是凸的，曲线段BC是凹的3.3.1曲线的凹凸性226判别曲线凹凸性的法则：定理1设函数y=f(x)在[a，b]上连续，在(a，b）内具有一阶和二阶导数，那么存在以下两种情况：(1）若在(a,b)内f"(x)>0，则曲线y=f(x)在(a，b)内是凹的；(2）若在(a，b)内f“(x)<0，则曲线y=f(x)在(a,b)内是凸的。定理1中的区间改为无穷区间，结论仍然成立。3.3.1曲线的凹凸性227判别曲线凹凸性的法则：定理1设函数y=f(x)在[a，b]上连续，在(a，b）内具有一阶和二阶导数，那么存在以下两种情况：(1）若在(a,b)内f"(x)>0，则曲线y=f(x)在(a，b)内是凹的；(2）若在(a，b)内f“(x)<0，则曲线y=f(x)在(a,b)内是凸的。定理1中的区间改为无穷区间，结论仍然成立。3.3.1曲线的凹凸性228判定曲线y=lnx的凹凸性。例1

3.3.2曲线的拐点229定义2若连续曲线y=f(x)上的点P是曲线凹凸的分界点，则称点P是曲线y=f(x)的拐点。通过以下步骤来求连续曲线y=f(x)在区间(a,b)的拐点:(1）求f“(x)。(2)求出在(a,b)内使f“(x)=0和f”(x)不存在的点，用这些点将(a，b)分成若干子区间判断每个子区间上f“(x)的符号。(3）若f“(x)在某点xi两侧异号，则点(xi，f(xi))是曲线y=f(x)的拐点。3.3.2曲线的拐点230判定曲线y=x3的凹凸性，并求其拐点。例2

y’’>0，曲线y=x3是凹的。所以，点(0,0)为曲线y=x3的拐点。3.3.3曲线的渐近线231对于一般曲线的渐近线，有如下定义。定义3若曲线C上的动点P沿着曲线无限远离原点时，点P与某一固定直线L的距离趋于0，则称直线L为曲线C的渐近线，如图所示。3.3.3曲线的渐近线232定义4斜渐近线1.斜渐近线若曲线y=f(x)满足下列条件，则曲线y=f(x)有

斜渐近线

y=kx+b。

3.3.3曲线的渐近线233

例3解：

根据定理2有

因此，曲线f(x)的斜渐近线为y=x-2。3.3.3曲线的渐近线234定义4垂直渐近线2.垂直渐近线

3.3.3曲线的渐近线235定义5水平渐近线3.水平渐近线

y=0为曲线y=ex-2的水平渐近线3.3.4函数图形描绘的一般步骤236(1）确定函数f(x)的定义域及函数所具有的某些特性（如奇偶性、周期性等)。(2）求出函数f(x)的一阶导数f“(x)、二阶导数f”(x)，然后求出使f‘(x)，f“(x)等于零或不存在的点，并求出函数f(x)的间断点，用这些点将函数定义域划分为若干个子区间。(3）确定各个子区间内f‘(x)，f“(x）的符号，由此确定函数f(x)的升降、凹凸、极值点及拐点等。3.3.4函数图形描绘的一般步骤237(4）确定函数f(x)的渐近线。(5）算出使f‘(x)，f“(x)等于零或不存在的点所对应的函数值，定出图形上相应的点。（6）根据以上信息联结各点画出函数的图形。3.3.4函数图形描绘的一般步骤238

例4解：

3.3.4函数图形描绘的一般步骤239

例4(3）各个子区间内f’(x)，f’’(x)的符号及相应曲线弧的升降、凹凸等如表所示。x36f’(x)_+0___f’’(x)____0+极大值点拐点注：表示曲线弧是下降且凸的，

表示曲线弧是上升且凸的，

表示曲线弧是下降且凹的。3.3.4函数图形描绘的一般步骤240

例4

(5）算出x=3，x=6处的函数值，即

课堂小结241曲线的凹凸性曲线的拐点曲线的渐近线函数图形描绘的一般步骤曲率3.43.4.1曲率的概念与曲率的计算公式2431.曲率的概念

3.4.1曲率的概念与曲率的计算公式2441.曲率的概念

3.4.1曲率的概念与曲率的计算公式245例1

3.4.1曲率的概念与曲率的计算公式246例1

3.4.1曲率的概念与曲率的计算公式2472.曲率的计算公式如图所示，设曲线L的函数为y=f(x)，且f(x)具有二阶导数，因为y’=tana上式两边取微分得y"dx=sec2ada所以

3.4.1曲率的概念与曲率的计算公式248例2计算双曲线y=1在点(1,1)处的曲率。

3.4.2曲率圆与曲率半径249如图所示，设曲线y=f(x)在点M(x，y)处的曲率为K（K≠0)。在点M(x，y)处曲线的法线上，在凹的一侧取一点D，使|DM|=K-1=ρ。以点D为圆心，ρ为半径作圆，这个圆称为曲线在点M处的曲率圆，曲率圆的圆心D称为曲线在点M处的曲率中心，曲率圆的半径ρ称为曲线在点M处的曲率半径。曲线在点M处的曲率K（K≠0)与曲线在点M处的曲率半径ρ有如下关系：

3.4.2曲率圆与曲率半径250例3如图所示，设工件内表面的截线为抛物线y=0.4x2。现要用砂轮磨削其内表面，问选用砂轮的直径为多大时才比较合适？3.4.2曲率圆与曲率半径251例3解：为避免砂轮磨削工件太多，砂轮的半径应不大于抛物线的最小曲率半径，即小于抛物线在其顶点

处的曲率半径。因为

所以，抛物线在其顶点处的曲率为

于是，抛物线在其顶点处的曲率半径为

因此，所选砂轮的半径不得超过1.25单位长，即直径不得超过2.50单位长。课堂小结252曲率的概念与曲率的计算公式曲率圆与曲率半径THANKS感谢聆听高等应用数学目录CONTENTS前言0002第2章导数与微分第4章不定积分04第1章函数与极限01第3章导数的应用03第5章微分方程05第6章微分方程06第7章多元函数微积分07不定积分第4章4.1不定积分概述4.2不定积分的积分方法导学257微积分包含微分学和积分学两部分内容。17世纪中期，牛顿和莱布尼茨发现了微分与积分的互逆关系，创建了微积分．在这其中，连接微分学和积分学的重要知识就是不定积分。导学学习目标2581．理解原函数和不定积分的概念，了解不定积分的几何意义，熟练掌握不定积分的基本公式，了解不定积分的性质。2．熟练掌握不定积分的换元法和分部积分法，能求基本类型函数的不定积分。素质目标2591．弘扬主动探索、勇于发现的科学精神。2．弘扬服务集体、团结协作的团队精神。3．养成踏实细致、科学严谨、执着专注的学习态度。不定积分概述4.14.1.1原函数与不定积分的概念261引例已知物体的运动速度为v(t)=2t，怎样确定它的运动方程s=s(t)呢？根据导数的几何意义可知，s’(t)=v(t)=2t，从数学角度思考，要确定s=s(t)，需寻找一个函数使它的导数等于已知函数v(t)=2t即可，s(t)=t2就满足上述要求,此时我们称s(t)=t2为

v(t)=2t的一个原函数。4.1.1原函数与不定积分的概念262定义1设函数f(x)是定义在区间I上的已知函数，若存在函数F(x)，使对于区间I上任意一点x都有F'(x)=f(x)或dF(x)=f(x)dx，则称函数F(x)是f(x)在区间I上的一个原函数。4.1.1原函数与不定积分的概念263定理如果函数F(x)是f(x)的一个原函数，则f(x)有无穷多个原函数，且F(x)+C（C是任意常数）是f(x)的全体原函数。4.1.1原函数与不定积分的概念264定义2在区间Ⅰ上，函数f(x)的全体原函数F(x)+C（C是任意常数）称为f(x)的不定积分，记作∫f(x)dx。其中，∫称为积分号，f(x)称为被积函数，f(x)dx称为被积表达式，x称为积分变量。由以上定义可知，若F(x)=f(x)，则有∫f(x)dx=F(x)+C。4.1.1原函数与不定积分的概念265求∫x2dx。例1

求∫sinxdx。例2

4.1.1原函数与不定积分的概念266不定积分与导数（或微分）之间有如下运算关系:(1)[∫f(x)dx]’=f(x)或d[∫f(x)dx]=f(x)dx(2)∫F’(x)dx=F(x)+C或

∫dF(x)=F(x)+C4.1.2不定积分的几何意义267如图所示，设F(x)是f(x)的一个原函数，则称函数y=F(x)的图形为f(x)的一条积分曲线.显然，将这条积分曲线沿着y轴的方向上下平移就可以得到无数条曲线，它们表示的函数就是f(x)的不定积分F(x)+C，这些曲线为f(x)的积分曲线族。4.1.3不定积分的基本积分公式268（1）∫kdx=kx+C（k是常数）（4）∫exdx=ex+C（6）∫cosxdx=sinx+C4.1.4不定积分的性质269根据不定积分的定义，可以推得如下性质:性质1被积函数中不为零的常数因子可以提到积分号前面，即性质2两个函数代数和的不定积分等于这两个函数不定积分的代数和，即

4.1.4不定积分的性质270求：例3

解：

4.1.4不定积分的性质271解：求：例4

求：例5

解：

4.1.4不定积分的性质272解：求：例6

解：

求：例7

4.1.4不定积分的性质273解：因为求：例8

，所以

4.1.4不定积分的性质274解：例9已知某物体以速度v=(2t2+1)m/s做直线运动，当时间t为1s时，物体经过路程s为3m,求该物体的运动方程。设所求物体的运动方程为s=s（t），则有s'(t)=v=2t2+1，所以

已知，当t=1时，S=3，代入上式有

所以，所求物体的运动方程为

课堂小结275原函数与不定积分的概念不定积分的几何意义不定积分的基本积分公式不定积分的性质不定积分的积分方法4.24.2.1不定积分的换元积分法277换元积分法是指通过引进中间变量，作变量替换，使被积函数变成容易积分