最值导数在经济分析中的应用

最值导数在经济分析中的应用复习1、若在内，则在内单调增加2、若在内，则在内单调减少3、如果在点处取得极值且可导，则4、如果在点的左侧，右侧，则是极大值；则是极小值；5、如果在点的左侧，右侧，求函数的单调区间、极值、极值点解：令，得：，的单调增加区间是单调减少区间是极大值极小值极大值为；极大值点为极小值为；极小值点为6、观察下面函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象,回答:(1)在哪一点处函数y=

f(x)有极大值和极小值?(2)函数y=

f(x)在[a,b]上有最大值和最小值吗?如果有,最大值和最小值分别是什么?极大:x=x1x=x2x=x3x=x5极小:x=x43.4.2函数的最大值与最小值观察下面函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象,回答:(1)在哪一点处函数y=

f(x)有极大值和极小值?(2)函数y=

f(x)在[a,b]上有最大值和最小值吗?如果有,最大值和最小值分别是什么?极大:x=x1x=x2x=x3极小:abxyx1Ox2x3问题question1、函数的最值在哪些点处取得？极值点端点2、怎样求函数的最值？求出极值，求出端点处的函数值，比较其大小3、求最值的简化方法：求出所有可能极值点处的函数值，再求出端点处的函数值，比较其大小即可驻点和不可导点①求出在内的所有驻点和一阶②求出端点的函数值和；求最大值和最小值的步骤如下：③比较前面求出的所有函数值，其中最大的就是在上的最大值,最小的就是在上的最小值.导数不存在的连续点，并计算各点的函数值；求函数在上的最大值与最小值.令，解得：解：又例4，，则，，，所以最大值为最小值为特别地：如果在一个区间内可导且只有一个驻点当是极大值时，就是该区间上的最大值当是极小值时，就是该区间上的最小值在应用问题中往往遇到这样的情形，此时可以当作极值问题来解决，不必与区间的端点值相比较设窗框的宽为，欲用长的铝合金料加工一日字形窗框，问它的长和宽分别为多少时，才能使窗户面积最大，最大面积是多少？于是窗户的面积解：则长为例7所以是极大值点由于在区间(0，2)内有唯一的极大值，所以当窗户的宽为，长为时，令，最大面积为则这个极大值就是最大值.窗户的面积最大，则显然时，；时，；求得驻点观察下列图形的特点：3.6.1函数的凹凸性与拐点１、曲线凹凸性的定义如果在某区间内，曲线弧位于其上任意一点的切线的上方，则称曲线在该区间内是凹的；如果在某区间内，曲线弧位于其上任意一点的切线的下方，则称曲线在该区间内是凸的；xyoθ1θ2θ3ab•••x1x2x3切线斜率k↗凹曲线2、曲线凹凸性的判定xyoθ1θ2θ3ab•••x1x2x3凸曲线

切线斜率k↘定理3.8设函数y=f(x)在区间(a,b)内的二阶导数存在(1)若在(a,b)内f

(x)>0,则曲线y=f(x)在区间(a,b)内是凹的；(2)若在(a,b)内f

(x)<0,则曲线y=f(x)在区间(a,b)内是凸的。即为则是凹的为则是凸的曲线凹与凸的分界点称为曲线的拐点.求拐点的一般步骤：②令，解出全部根，并求出所有二阶导数不存在的点；①求函数的二阶导数；③对步骤②求出的每一个点，检查其左、右邻近的的符号，如果异号则该点为曲线的拐点；如果同号则该点不是曲线的拐点．拐点的概念拐点的求法例1求曲线的凹凸区间和拐点解：拐点拐点令，得：，的凹区间是凸区间是；拐点是和3.6利用导数研究函数我们学过用“描点法”来画函数的图形。在中学数学中，但“描点法”有着固有的局限性，不能准确地画出函数的图形。在高等数学中，我们学会了利用函数的导数来确定函数的单调区间和极值点；学会了利用函数的二阶导数来确定函数的凹凸区间及拐点……知道了这些知识后，我们就能较准确地描绘出函数的图形。为了更准确地描绘函数的图形，我们再来学习一个概念——渐近线，然后，再来研究函数图形描绘的基本步骤和技巧！3.6.2曲线的渐近线1.水平渐近线例如有两条水平渐近线:xy(平行于x轴的渐近线)则称直线为曲线的水平渐近线如果或或例如有两条铅垂渐近线:2.铅垂渐近线(垂直于x轴的渐近线)则称直线为曲线的铅垂渐近线如果或或求曲线的水平渐近线和铅垂渐近线解：是曲线的水平渐近线是曲线的铅垂渐近线例43.6.3函数作图步骤：1、确定函数的定义域(值域)2、讨论函数的奇偶性图像的范围图像的对称性3、求出曲线的特殊点曲线与坐标轴的交点4、判断函数的单调区间并求极值5、确定函数的凹凸区间和拐点6、求出曲线的渐近线7、列表讨论，并描绘函数的图像求求使曲线的趋势更精确解:例7（1）定义域：（2）非奇非偶函数（3）特殊点：令，得：解得：故曲线与轴交点（4）是曲线的水平渐近线是曲线的铅垂渐近线令，得：（5）令，得：（6）极值点间断点列表确定函数单调区间,凹凸