2020-2021学年北师大版高中数学选修4-4同步配套：-

2024/3/302020—2021学年北师大版高中数学选修4-4同步配套：-1.能在极坐标系中,求直线或圆的极坐标方程.2.会进行曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化.3.了解圆锥曲线统一的极坐标方程.1.直线和圆的极坐标方程(1)极坐标方程与曲线.在极坐标系中,曲线可以用含有ρ,θ这两个变量的方程φ(ρ,θ)=0来表示.如果曲线C上的点与一个二元方程φ(ρ,θ)=0建立了如下的关系:①曲线C上的每个点的极坐标中至少有一组(ρ,θ)满足方程φ(ρ,θ)=0;②极坐标满足方程φ(ρ,θ)=0的点都在曲线C上.那么方程φ(ρ,θ)=0叫作曲线C的极坐标方程,曲线C叫作极坐标方程φ(ρ,θ)=0的曲线.(2)直线的极坐标方程.直线l经过极点,倾斜角为α,则直线l的极坐标方程是θ=α(ρ∈R).(3)圆的极坐标方程.①圆心在极点,半径为r的圆的极坐标方程是ρ=r;②圆心在(a,0)(a>0),半径为a的圆的极坐标方程是ρ=2acosθ.

解析:如图所示,设P(ρ,θ)(ρ≥0)为所求直线上除点M外的任意一点,连接OM,OP.即ρsin

θ=2(ρ≥0).显然点M也在这条直线上,故所求直线的极坐标方程为ρsin

θ=2(ρ≥0).答案:ρsinθ=2(ρ≥0)2.曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化根据点的直角坐标与极坐标互化关系式,曲线方程两种形式的互化可以顺利完成.点的直角坐标与极坐标互化关系如下:【做一做2】

直角坐标方程x2+(y-2)2=4化为极坐标方程为

.

解析:x2+(y-2)2=4可化为x2+y2=4y,把x=ρcos

θ,y=ρsin

θ代入,得(ρcos

θ)2+(ρsin

θ)2=4ρsin

θ,化简得ρ=4sin

θ.答案:ρ=4sinθ名师点拨在极坐标系中,椭圆、抛物线、双曲线的方程得到了完美的统一.值得注意的是,圆锥曲线的极坐标统一方程,是以焦点为极点,其中椭圆是以左焦点为极点,双曲线是以右焦点为极点.当e>0,ρ>0时方程只表示双曲线的右支,定点F是它的右焦点,定直线l是它的右准线.如果允许ρ<0,方程就表示整个双曲线.题型一题型二题型三题型一

求直线的极坐标方程

分析:设M(ρ,θ)(ρ≥0)是直线l上除点P外的任意一点,极点为O,构造三角形求出ρ与θ之间的关系式.题型一题型二题型三解:如图所示,设M(ρ,θ)(ρ≥0)为直线l上除点P外的任意一点,极点为O,连接OM,OP,该直线交Ox于点A,则有|OM|=ρ,|OP|=2,题型一题型二题型三反思在极坐标系中,求直线的极坐标方程的一般方法:设M(ρ,θ)为直线上任意一点,极点为O,连接OM,构造出含有OM的三角形,再找出我们需要的ρ与θ的关系,即为直线的极坐标方程.也可以先求出直角坐标方程,再化为极坐标方程.题型一题型二题型三题型一题型二题型三题型一题型二题型三题型二

求圆的极坐标方程【例2】

求以C(4,0)为圆心,半径等于4的圆的极坐标方程.解:如图所示,由题设可知,这个圆经过极点,圆心在极轴上,设圆与极轴的另一个交点是A,在圆上任取一点P(ρ,θ),连接OP,PA.在Rt△OPA中,|OA|=8,|OP|=ρ,∠AOP=θ,所以|OA|·cos

θ=ρ,即8cos

θ=ρ,即ρ=8cos

θ就是圆C的极坐标方程.题型一题型二题型三反思在极坐标系中,求圆的极坐标方程时,关键是找出曲线上的点满足的关系,将它用坐标表示并化简,得到ρ和θ的关系,即为所求的极坐标方程.题型一题型二题型三题型一题型二题型三题型三

极坐标方程和直角坐标方程的互化【例3】

将下列式子进行直角坐标方程与极坐标方程之间的互化.解:(1)将x=ρcos

θ,y=ρsin

θ代入x2+y2=4,得(ρcos

θ)2+(ρsin

θ)2=4,即ρ2=4.(2)因为ρ=3cos

θ,所以ρ2=3ρcos

θ,即x2+y2=3x.题型一题型二题型三反思极坐标系和直角坐标系都是用一对有序实数来确定平面上点的位置的方法,都是研究平面图形的重要工具.在进行极坐标方程与直角坐标方程互化时,除了正确使用互化公式外,还要注意变形的等价性.题型一题型二题型三【变式训练3】

将下列各题进行直角坐标与极坐标方程的互化.123451在极坐标系中,圆ρ=-2sinθ的圆心的极坐标为(

).答案:B123452过点A(2,0),并且垂直于极轴的直线的极坐标方程是

(

).A.ρcosθ=2 B.ρsinθ=2 C.ρcosθ=1 D.ρsinθ=1解析:如图所示,设M(ρ,θ)为直线上除点A(2,0)外的任意一点,连接OM,则有△AOM为直角三角形,并且∠AOM=θ,|OA|=2,|OM|=ρ,所以有|OM|cos

θ=|OA|,即ρcos

θ=2,显然当ρ=2,θ=0时,也满足方