2023-2024学年河南省郑州市高新二中高一（下）质检数学试卷（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年河南省郑州市高新二中高一（下）质检数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知向量a=(2,1)，A.2 B.3 C.4 D.52.设D为△ABC所在平面内一点，若BCA.AD=−13AB+43.设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcosC+ccA.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.不确定4.已知|a|=5，|b|=4，且aA.−35b B.35b 5.在平行四边形ABCD中，E是对角线AC上靠近点C的三等分点，点F在BE上，若AFA.23

B.45

C.566.在△ABC中，内角A，B，c所对的边分别为a，b，c，则下列条件能确定三角形有两解的是A.a=5，b=4，A=π6 B.a=4，b=5，A=π47.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若sinA：sinB：sA.1320 B.3740 C.−58.窗花是贴在窗子或窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图1是一个正八边形窗花隔断，图2是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图.如图2，若正八边形ABCDEFGH的边长为2，P是正八边形A.2 B.0 C.−2二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知平面向量a=(1,3)A.|a|=10 B.(2a−b)⊥b

10.已知△ABC中，其内角A，B，C的对边分别为a，b，c，下列命题正确的有A.若A>B，则cosA>cosB

B.若A=π6，a=4，则△ABC外接圆半径为11.设点M是△ABC所在平面内一点，则下列说法正确的是A.若AM=12AB+12AC，则点M是边BC的中点

B.若AM=2AB−AC，则点M在边BC的延长线上三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知平面向量a=(2,−1)，b=(−413.一条河宽为8000m，一船从A处出发垂直航行到达河正对岸的B处，船速为20km/h，水速为12km14.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知bsinC+四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

设向量a=(−1,2)，b=(1,−1)，c=(4,−5)．

(Ⅰ)求|a+2b|；

(Ⅱ)若c16.(本小题15分)

某货轮在A处看灯塔B在货轮北偏东75°，距离为126n mile；在A处看灯塔C在货轮的北偏西30°，距离为83n(Ⅰ)A处与D(Ⅱ)灯塔C与D处之间的距离．17.(本小题15分)

单位向量a，b满足(a+2b)⋅(a−b)=−23．

(118.(本小题17分)

已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，c=3，而且(a+b)2=c19.(本小题17分)

记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC面积为3，D为BC的中点，且AD=1．

(1)若∠AD答案和解析1.【答案】D

【解析】解：a−b=(4,−3)，

2.【答案】A

【解析】解：因为BC=3CD，所以CD=13BC，

3.【答案】B

【解析】【分析】本题考查正弦定理及变形、两角和与差的正弦公式的逆用、利用诱导公式化简，属于基础题．

由题意利用正弦定理可得sinBcosC+【解答】

解：△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，由题意知bcosC+ccosB=asinA，

由正弦定理得b=2RsinB，c=4.【答案】C

【解析】解：设a与b的夹角为θ，

则cosθ=a⋅b|a||b|=−125×4=−35.【答案】C

【解析】解：由题可知AE=23(AB+AD)，

∵点F在BE上，

∴AF=λAB+(6.【答案】B

【解析】解：A、∵a=5，b=4，A=π6，

∴由正弦定理asinA=bsinB得：sinB=bsinAa=4×125=25，

∵b<a，∴B<A，

则B只有一解，不合题意；

B、∵a=4，b=5，A=π4，

∴由正弦定理asinA=bsinB得：sinB=bsinAa=5×27.【答案】A

【解析】解：∵△ABC中，sinA：sinB：sinC=2：4：5，

∴由正弦定理，可得a：b：c：=2：4：5，

设a=2x，b=4x，c=5x，

8.【答案】C

【解析】解：AF⊥AB，以点A为坐标原点，

分别以AB，AF所在直线为x，y轴，建立平面直角坐标系，

正八边形内角和为(8−2)×180°=1080°，

则∠HAB=18×1080°=135°，

所以A(0,0)，B(2,0)，设P(x,y)，

则−9.【答案】AD【解析】解：已知平面向量a=(1,3)，b=(−2,1)，

对于选项A，|a|=12+32=10，即选项A正确；

对于选项B，2a−b=(4,5)，则(2a−b)10.【答案】BD【解析】解：对于A.当A=π2,B=π4，此时cosA<cosB，故A错误；

对于B.由正弦定理asinA=2R，可知2R=8，R=4，故B正确；

对于C.因为a=2bcosC，

所以sinA=2sinBcosC，即sin(B11.【答案】AC【解析】解：若AM=12AB+12AC，则点M是边BC的中点，故A正确；

若AM=2AB−AC，即有AM−AB=AB−AC，即BM=CB，

则点M在边CB的延长线上，故B错误；

若AM=−BM−CM，即AM+BM+12.【答案】2

【解析】解：a=(2,−1)，b=(−4,x)，

则a+b=(−2,13.【答案】12【解析】解：如图，

则v实际=v船+v水=v1+v2，|v1|=20，|v2|=12，

∴14.【答案】2【解析】【分析】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦定理和余弦定理的应用及三角形面积公式的应用．

直接利用正弦定理求出A的值，进一步利用余弦定理求出bc【解答】

解：△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．

bsinC+csinB=4asinBsinC，

利用正弦定理可得sinBsinC+sinCsinB=4sinAsinBsinC，

由于0<B15.【答案】解：(Ⅰ)∵向量a=(−1,2)，b=(1,−1)，

∴a+2b=(1,0)，

∴|a+2b|=1．

(Ⅱ)∵c=λa+μb，【解析】(Ⅰ)利用向量的线性坐标运算即可求解．

(Ⅱ)利用向量的数乘和相等的坐标运算即可求解．

(Ⅲ)利用向量的共线证明即可．

本题主要考查了平面向量的坐标计算，向量的共线，属中档题．16.【答案】解：(Ⅰ)在△ABD中，由已知得∠ADB=60°，B=45°

由正弦定理得AD=ABsinBsinADB【解析】(Ⅰ)利用已知条件，利用正弦定理求得AD的长．

(Ⅱ)在△ADC中由余弦定理可求得17.【答案】解：(1)因为|a|=|b|=1，(a+2b)⋅(a−b)=−23，

所以a2+a⋅b−2b2=−23，即1+a⋅b−2=−23，

则a⋅b=13，

则cos〈a,b〉=a⋅b|a||b|=13，

即a与b夹角的余弦值13；【解析】(1)利用向量数量积的运算法则求得a⋅b，再由模长与数量积求得a与b夹角的余弦值；

(2)由题意得(ka+18.【答案】解：(1)因为(a+b)2=c2+3ab，所以a2+b2−c2=ab，

由余弦定理得cosC=a2+b2−c22ab