2024年新高考数学一轮复习知识梳理与题型归纳第39讲空间点直线平面之间的位置关系学生版

第39讲空间点、直线、平面之间的位置关系思维导图知识梳理1．四个公理公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内．公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面．公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行．2．空间直线的位置关系(1)位置关系的分类eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(共面直线\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(平行,相交)),异面直线：不同在任何一个平面内))(2)异面直线所成的角①定义：设a，b是两条异面直线，经过空间中任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)；②范围：eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))．(3)定理空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．3．空间中直线与平面、平面与平面的位置关系(1)空间中直线与平面的位置关系位置关系图形表示符号表示公共点直线a在平面α内a⊂α有无数个公共点直线在平面外直线a与平面α平行a∥α没有公共点直线a与平面α斜交a∩α＝A有且只有一个公共点直线a与平面α垂直a⊥α(2)空间中两个平面的位置关系位置关系图形表示符号表示公共点两平面平行α∥β没有公共点两平面相交斜交α∩β＝l有一条公共直线垂直α⊥β且α∩β＝a题型归纳题型1平面的基本性质及应用【例1-1】如图，空间四边形中，、分别是、的中点，、分别在、上，且．（1）求证：、、、四点共面；（2）设与交于点，求证：、、三点共线．【跟踪训练1-1】如图，在正四棱柱中，，，点为正方形的中心，点为的中点，点为的中点，则A．、、、四点共面，且 B．、、、四点共面，且 C．、、、四点不共面，且 D．、、、四点不共面，且【跟踪训练1-2】如图所示，正方体中，与截面交于点，，交于点，求证：，，三点共线．【名师指导】1．证明点或线共面问题的2种方法(1)首先由所给条件中的部分线(或点)确定一个平面，然后再证其余的线(或点)在这个平面内；(2)将所有条件分为两部分，然后分别确定平面，再证两平面重合．2．证明点共线问题的2种方法(1)先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上；(2)直接证明这些点都在同一条特定直线上．3．证明线共点问题的常用方法先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点．题型2空间两直线位置关系的判定【例2-1】如图，在四棱锥中，底面为梯形，，，，，分别为棱，的中点，则A．，且直线，是共面直线 B．，且直线，是异面直线 C．，且直线，是异面直线 D．，且直线，是共面直线【跟踪训练2-1】正方体，下列命题中正确的是A．与相交直线且垂直 B．与是异面直线且垂直 C．与是相交直线且垂直 D．与是异面直线且垂直【跟踪训练2-2】如图，正方体的所有棱中，其所在的直线与直线成异面直线的共有条．【跟踪训练2-3】在图中，、、、分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线、是异面直线的图形有．（填上所有正确答案的序号）【名师指导】异面直线的判定方法题型3求异面直线所成的角【例3-1】在正方体中，为棱的中点，则异面直线与所成角的正切值为A． B． C． D．【例3-2】在空间四边形中，已知，，，分别是，的中点，，则异面直线与所成角的大小为A． B． C． D．【跟踪训练3-1】如图所示，三棱柱所有棱长均相等，各侧棱与底面垂直，，分别为棱，的中点，则异面直线与所成角的余弦值为A． B． C． D．【跟踪训练3-2】在四棱锥中，平面，，四边形是边长为2的正方形，是的中点，则异面直线与所成角的余弦值是A． B． C． D．【跟踪训练3-3】已知三棱锥，底面，，底面是等腰直角三角形，，是的中点．求（1）三棱锥的体积；（2）异面直线与所成角的大小．【名师指导】用平移法求异面直线所成的角的三步骤(1)一作：根据定义作平行线，作出异面直线