2024年新高考数学一轮复习知识梳理与题型归纳第23讲函数y＝Asinωx+φ的图象及应用学生版

第23讲函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及应用（讲）思维导图知识梳理1．函数y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)振幅周期频率相位初相AT＝eq\f(2π,ω)f＝eq\f(1,T)＝eq\f(ω,2π)ωx＋φφ2．用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)一个周期内的简图用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示：ωx＋φ0eq\f(π,2)πeq\f(3π,2)2πx－eq\f(φ,ω)eq\f(π,2ω)－eq\f(φ,ω)eq\f(π－φ,ω)eq\f(3π,2ω)－eq\f(φ,ω)eq\f(2π－φ,ω)y＝Asin(ωx＋φ)0A0－A0五点法作图的步骤用“五点法”作函数y＝Asin(ωx＋φ)的简图，精髄是通过变量代换，设z＝ωx＋φ，由z取0，eq\f(π,2)，π，eq\f(3π,2)，2π来求出相应的x，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象，其中相邻两点的横向距离均为eq\f(T,4).3．由函数y＝sinx的图象通过变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象的两种方法题型归纳题型1“五点法”作图及图象变换【例1-1】（1）利用“五点法”画出函数在长度为一个周期的闭区间的简图．列表：作图：（2）并说明该函数图象可由的图象经过怎么变换得到的．（3）求函数图象的对称轴方程．【例1-2】要得到函数的图象，只需将函数的图象A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移1个单位长度 D．向右平移1个单位长度【跟踪训练1-1】函数的图象向左平移个单位长度，所得图象关于轴对称，则的一个可能取值是A．2 B． C． D．【跟踪训练1-2】已知函数，，将的图象经过下列哪种变换可以与的图象重合A．向左平移个单位，再把各点的横坐标缩短到原来的 B．向左平移个单位，再把各点的横坐标缩短到原来的 C．向左平移个单位，再把各点的横坐标伸长到原来的2倍 D．向左平移个单位，再把各点的横坐标伸长到原来的2倍【跟踪训练1-3】已知函数．（Ⅰ）求函数的最小正周期并用五点作图法画出函数在区间，上的图象；（Ⅱ）若将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，求函数的解析式，并求当时，函数的最小值及此时的值．【名师指导】(1)y＝Asin(ωx＋φ)的图象可用“五点法”作简图得到，可通过变量代换z＝ωx＋φ计算五点坐标．(2)由y＝sinωx到y＝sin(ωx＋φ)的变换：向左平移eq\f(φ,ω)(ω>0，φ>0)个单位长度而非φ个单位长度．(3)平移前后两个三角函数的名称如果不一致，应先利用诱导公式化为同名函数，ω为负时应先变成正值．题型2求函数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式【例2-1】如图，，是函数，，的图象与轴的两个相邻交点，是函数的图象的一个最高点，若是等腰直角三角形，则函数的解析式是A． B． C． D．【例2-2】已知函数（其中，，，均为常数，，的部分图象如图所示，则的值为A． B． C． D．【跟踪训练2-1】已知函数，，的部分图象如图所示，则A． B．1 C． D．【跟踪训练2-2】函数，，的部分图象如图所示，将函数的图象向右平移个单位后，所得到的图象对应的函数为A． B． C． D．【跟踪训练2-3】已知函数，的图象如图所示，则，．【名师指导】确定y＝Asin(ωx＋φ)＋B(A>0，ω>0)的解析式的步骤(1)求A，B，确定函数的最大值M和最小值m，则A＝eq\f(M－m,2)，B＝eq\f(M＋m,2).(2)求ω，确定函数的周期T，则ω＝eq\f(2π,T).(3)求φ，常用方法有：①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间还是在下降区间)或把图象的最高点或最低点代入；②五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口．具体如下：“第一点”(即图象上升时与x轴的交点)为ωx＋φ＝0；“第二点”(即图象的“峰点”)为ωx＋φ＝eq\f(π,2)；“第三点”(即图象下降时与x轴的交点)为ωx＋φ＝π；“第四点”(即图象的“谷点”)为ωx＋φ＝eq\f(3π,2)；“第五点”(即图象上升时与x轴的交点)为ωx＋φ＝2π.题型3三角函数图象与性质的综合问题【例3-1】关于函数，给出下列命题：（1）函数在，上是增函数；（2）函数的图象关于点，对称；（3）为得到函数的图象，只要把函数的图象上所有的点向右平行移动个单位长度．其中正确命题的个数是A．0 B．1 C．2 D．3【例3-2】下面是一半径为2米的水轮，水轮的圆心距离水面1米，已知水轮自点开始以1分钟旋转4圈的速度顺时针旋转，点距水面的高度（米（在水平面下为负数）与时间（秒满足函数关系式，则函数关系式为．【例3-3】设函数在区间上单调，且，当时，取到最大值4，若将函数的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍得到函数的图象，则函数零点的个数为A．4 B．5 C．6 D．7【跟踪训练3-1】点，是函数，的图象的一个对称中心，且点到该图象的对称轴的距离的最小值为，则A．的最小正周期是 B．的值为2 C．的初相为 D．在，上单调递增【跟踪训练3-2】函数，，的部分图象如图所示，则下列说法错误的是A．函数的最小正周期为 B．直线为函数的一条对称轴 C．点为函数的一个对称中心 D．函数的图象向右平移个单位后得到的图象【跟踪训练3-3】将函数的图象向左平移个单位后得到函数的图象，若函数在区间和上均单增，则实数的范围是．【跟踪训练3-4】某游乐场中半径为30米的摩天轮逆时针（固定从一侧观察）匀速旋转，每5分钟转一圈，其最低点离底面5米，如果以你从最低点登上摩天轮的时刻开始计时，那么你与底面的距离高度（米随时间（秒变化的关系式为A． B． C． D．【跟踪训练3-5】水车是一种利用水流动力进行灌溉的工具，是人类一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征．如图是一个水车的示意图，已知水车逆时针匀速旋转一圈的时间是80秒，半径为3米，水车中心（即圆心）距水面1.5米若．以水面为轴，圆心到水面的垂线为轴建立直角坐标系，水车的一个水斗从出水面点处开始计时，经过秒后转到点的位置，则点到水面的距离与时间的函数关系式为A． B． C． D．【跟踪训练3-6】已知函数，，时，有唯一解，则满足条件的的个数是A．5 B．6 C．7 D．8【跟踪训练3-7】若函数在上有零点，则实数的取值范围A．， B．， C．， D．，【名师指导】1.解决三角函数图象与性质的综合问题的关键是首先正确的将已知条件转化为三角函数解析式和图象，然后再根据数形结合思想研究函数的性质(单调性、奇偶性、对称性、周期性)，进而加深理解函数的极值点、最值点、零点及有界函数等概念．2.三角函数的实际应用体现两个方面(1)已知函数模型