【2023小升初】质数和合数（思维提高）-小升初数学思维拓展卷（通用版）

质数和合数

解答题（共29小题）

1.如果一个三角形的三条边长是彼此不等的三个质数，这样的三角形叫做“鹏程三角形”。

（1）试举一个鹏程三角形的实例；

（2）证明：不存在周长为2020的鹏程三角形；

（3）证明：鹏程三角形一定不是直角三角形。

2.请依次（从小到大）说出所有同时满足如下要求的自然数：

（1）它的每一位数字都是质数；

（2）它的任意相邻若干位数字之和都是质数。

3.已知α,b,C是三个质数，且“<6<c,a+b×c=93,求a,b,c.

4.1977除本身外有三个约数：1,3,659（注意：659是个质数）.1977的数字和为1+9+7+7

=24,它除本身外所有约数的数字和也是1+3+（6+5+9）=24,我们把具有这种特点的

数叫鹏程数，以下是8000以内的鹏程数：

6,33,87,,303,519,573,681,843,951,1059,1329,1383,1923,1977,

2463,2733,2787,2949,3057,3273,3327,3543,3651,3867,3921,4083,4353,

4677,5163,5433,5703,5919,6081,6243,6297,6621,6891,7053,7323,7377,

7647,7971.

（1）用一句话概括什么是鹏程数；

（2）写出上述数表中遗漏的鹏程数；

（3）仔细研究上述的鹏程数，找出它们所具备的共同性质，据此提出至少三个猜想.

5.在九个连续的自然数中，至多有多少个质数？

6.三位数abc是质数，a,h,C也是质数，Cba是偶数，ab是5的倍数，求三位数abc.

7.用写有2,3,5,7的四张纸片可以排成多少个小于1000的质数？

8.小华把数字2~9分成4对，使得每对数的和为质数.问一共有多少种不同的分法？

9.只能被1与其自身整除的大于1的自然数称为素数或质数，比如2,3,5,7,IL13

等.请在以下数表中用圆圈圈出所有的素数.

6S-64-6Λ-62-61-60-S9T8T7

II

M37-M-3634-33-31-3156

IIII

67M17-Ifc-IS-H-I3JO55

IIIIII

Ml3918β-4-31229M

IllTIlll

M40I*A1-2Il2XM

ITllIII

7∙41107-8-9-10J752

71422∣-JJ-M-M-25-2*Sl

II•

724Λ-44-45-46-47-4β-49-SO

7j-74-75-76-77-11-?*-*#-•••••

10.A、B、C为三个小于20的质数，A+6+C=30,且AVBeC,求这三个质数.

11.用ɪ,2,3,4,5,6,7,9这8个数码组成4个两位质数（每一个数码必须且只能用

一次），这4个质数有多少种不同的可能？

12.把1到70的所有自然数平均分为两组，将每组的35个数乘起来求积，然后：将所得的

两个积相加，所得和数称为一个“鹏程数”.

证明：

（1）“鹏程数”必是合数：

（2）若一个“鹏程数”不是2的倍数，则这个“鹏程数”是2015的倍数.

13.一个质数的2倍和另一个质数的5倍的和是36,求这两个质数的乘积是多少？

14.一个个位数A为质数，并且4+14、A+18、A+36也是质数.那4的值的多少？

15.有7个不同的质数，它们的和是偶数，其中最小的质数是几？

16.三个质数的和是80,这三个数的积最大是多少？

17.请将1,2,3,…，99,100这一百个自然数中既是奇数又是合数的自然数排成一行，

使每两个相邻的数都不互质（若一行写不下，可移至第二行接着写，若第二行仍写不下，

可移至第三行接着写）.

18.在九个连续的自然数中，至多有多少个质数？

19.著名的哥德巴赫猜想：“任意一个大于4的偶数都可以表示成两个质数的和”.如：6=

3+3,12=5+7等.那么，自然数100可以写成多少种两个不同质数和的形式？请分别写

出来.（IoO=3+97和Ioo=97+3算作同一种形式）

20.已知P为50以内的一个两位质数，且2p+l也是质数.若所有P的和是％,求k的值.

21.小鸣用48元钱按零售价买了若干练习本.如果按批发价购买，每本便宜2元，恰好多

买4本.问：零售价每本多少元？

22.有2、3、4、5、6,7、8、9、10和11共10个自然数，

①从这10个数中选出7个数，使这7个数中的任何3个数都不会两两互质；

②说明从这10个数中最多可以选出多少个数，这些数两两互质.

23.下面是主试委员会为第六届华杯赛写的一首诗：

美少年华朋会友，幼长相亲同切磋；

杯赛联谊欢声响，念一笑慰来者多；

九天九霄志凌云，九七共庆手相握；

聚起华夏中兴力，同唱移山壮丽歌

请你将诗中56个字从第1行左边第一字起逐行逐字编为1~56号，再将号码中的质数由

小到大找出来，将它们对应的字依次排成一行，组成一句话，请读出这句话.

24.歌德巴赫猜想是说：每个大于2的偶数都可以表示为两个质数的和.问：168是哪两个

两位的质数的和，并且其中的一个质数的个位是1?

25.将100以内的质数从小到大排成一个数字串依次完成下列五项工作叫一次操作:

(1)将左边第一个数码移到数字串的最右边；

(2)从左到右两位一节组成若干个两位数；

(3)划去这些两位数中的合数；

(4)所剩的两位质数中有相同的，保留左边的一个，划去多余的；

(5)所剩的两位质数保持数码顺序又组成一个新的数字串.

问：经过1997次操作，所得的数字串是什么？

26.将60折成10个质数之和，要求最大的顺数尽可能小，那么其中最大的质数是多少？

27.在大圆周上有16个小圆圈，小明将其中一些不相邻的小圆圈涂成红色，这时无论再将

哪个小圆圈涂成红色，都会使圆周上出现两个相邻的红色的小圆圈.问：小明最少涂红

了几个小圆圈？说明理由.

28.如图中圆圈内依次写出了前25个质数：甲顺次计算相邻二质数之和填在上行方格中；

乙顺次计算相邻二质数之积填在下行方格中.甲填“和数”质数列乙填“积数”问：甲

填的数中有多少个与乙填的数相同？为什么？

(1)大于16,并且小于15；

(2)分子和分母都是质数；

(3)分母是两位数.请列举出所有满足条件的分数.

质数和合数

参考答案与试题解析

一.解答题（共29小题）

1.如果一个三角形的三条边长是彼此不等的三个质数，这样的三角形叫做“鹏程三角形”。

（1）试举一个鹏程三角形的实例；

（2）证明：不存在周长为2020的鹏程三角形；

（3）证明：鹏程三角形一定不是直角三角形。

【分析】（1）根据三角形三边关系以及质数的定义列举一例即可；

（2）根据奇偶性来求解即可证明；

（3）根据奇偶性求解即可。

【解答】解：（1）三边长为3,5,7的三角形；

（2）因为2020是偶数，

所以边长一定有偶质数2,

即2020=2+奇质数+奇质数，

而任意两个奇质数之差都大于等于2,

不满足三角形三边关系，

所以不存在；

（3）设三边长分别为“，b,c,

根据勾股定理：α2+⅛2≈c2,

2

所以02=c-1=（b+c）Cc-⅛）,

所以b+c和c-〃必定同奇同偶，

而根据（2）可知，鹏程三角形不包含边长2,

所以，Hc和c-b必定为偶数，

即。2为偶数，那么C不是质数，

所以鹏程三角形不可能是直角三角形。

【点评】本题主要考查了奇偶性问题，合理运用三角形三边关系是本题解题的关键。

2.请依次（从小到大）说出所有同时满足如下要求的自然数：

（1）它的每一位数字都是质数；

（2）它的任意相邻若干位数字之和都是质数。

【分析】本题分别从一位数，二位数和三位数三个方面讨论质数和合数，对质数的概念

要掌握清楚。

一个大于1的自然数，除了1和它自身外，不能被其他自然数整除的数叫做质数。

【解答】解：分类讨论：

（1）一位数：2,3,5,7均符合。

(2)二位数时，从4个一位数中选择两个任意组合，共有：

23,25,27,32,35,37,52,53,57,72,73,75这12种组合，

符合任意相邻若干位数字之和都是质数的有：23,25,32,52这4种组合；

(3)三位数时，从4个数中选择三个任意组合，可分4类：

数字2,3,5组合的三位数，数字2,3,7组合的三位数，

数字2,5,7组合的三位数，数字3,5,7组合的三位数，

观察发现，这4类组合都不符合条件“任意相邻若干位数字之和都是质数”，

所以全部排除，同理四位数及四位以上的所有数均可全部排除；

(4)有重复数字出现时，只有数字232符合所有条件，其余全部排除。

所以从小到大，满足题目要求的数为：2,3,5,7,23,25,32,52,232。

答：满足要求的数为：2,3,5,7,23,25,32,52,232。

【点评】本题考查质数与合数的概念，分类讨论是解决本题的突破口。

3.已知α,b,C是三个质数，且“<b<c,a+b×c-93,求4,b,c.

【分析】α+i>Xc=93,93是奇数，所以根据数的奇偶性可得α=2,则bXc=93-2=91

=13X7,据此进一步解答即可.

【解答】解：因为"+b><c=93,93是奇数，

所以根据数的奇偶性可得〃、权C中必有偶数，因为“最小，所以4=2,

贝U人XC=93-2=91=13X7,

又因为a<b<c,

所以b=7,c-13.

答：a=2,b=7,C=13.

【点评】本题考查了数的奇偶性和质数的意义的综合应用，解答的突破口是根据“奇数+

偶数=奇数”确定最小的偶质数是2.

4.1977除本身外有三个约数：1,3,659(注意：659是个质数).1977的数字和为1+9+7+7

=24,它除本身外所有约数的数字和也是1+3+(6+5+9)=24,我们把具有这种特点的

数叫鹏程数，以下是8000以内的鹏程数：

6,33,87,249,303,519,573,681,843,951,1059,1329,1383,1923,1977,

2463,2733,2787,2949,3057,3273,3327,3543,3651,3867,3921,4083,4353,

4677,5163,5433,5703,5919,6081,6243,6297,6621,6891,7053,7323,7377,

7647,7971.

(1)用一句话概括什么是鹏程数：

(2)写出上述数表中遗漏的鹏程数；

(3)仔细研究上述的鹏程数，找出它们所具备的共同性质，据此提出至少三个猜想.

【分析】本题考查对数的规律进行探讨.结合题目所给例子，可以得出概括出鹏程数的

定义.（I）根据题意可知鹏程数是一个除本身外有三个约数，而且这个数的数字之和等

于除它本身外的另外的三个约数的数字之和.（2）观察这些数字，可知这些书都是3的

倍数，6=3×2,33=3×11,87=3X29,…，可看出最后的约数差都是9的倍数，11-

2=9,29-11=18,…，所以要找的下一个约数必须和29差为9的倍数，同时，这个数

还需要是质数，29是奇数，所以29加一个9的倍数同时是一个偶数，那么，可找到29+54

=83,所以3X83=249（3）由鹏程数的定义及观察这些鹏程数可以猜想.

【解答】解：（1）一个数的数字之和，恰好等于它的除本身外的所有约数（因数或因子）

的数字之和，这样的数叫做鹏程数；

（2）由题可知6=3X2（质数）

33=3X11（质数）

87=3×29（质数）

303=3X101（质数）519=3×173（质素）

由此可得到，11-2=9,29-11=18,173-101=72,这些差都是9的倍数，所以29+9

的倍数=一个质数，那么29+54=83,所以3X83=249

249的数位上的数字之和2+4+9=15,除它本身外的约数数字之和1+3+（8+3）=15,所

以应写249.

（3）猜想1：鹏程数有无穷多个；

猜想2：鹏程数是3的倍数；

猜想3：鹏程数一定是3p的形式，其中P是质数；

猜想4：鹏程数被9除余数是6.

【点评】本题考查内容为：探讨数的规律，质数、约数.补充题干中遗漏的鹏程数需要

学生找到规律，才能减少计算量.

5.在九个连续的自然数中，至多有多少个质数？

【分析】本题考查质数与合数.

【解答】解：9个连续的自然数有4奇5偶或者4偶5奇，

①若是4奇5偶，为了使得质数个数多，则偶数要有2,

易得从2~10中有2、3、5、7四个质数；

②若是4偶5奇，则5个奇数必有一个以5结尾，为了要有5,

则有5~13中有5、7、11、13四个质数，

或者3~11中有3、5、7、11四个质数，

综上，9个连续的自然数中最多有4个质数.

【点评】本题关键在于进行分类讨论.

6.三位数abc是质数，α,b,C也是质数，cba是偶数，ab是5的倍数，求三位数abc.

【分析】Cba是偶数，且“是质数，可得α=2,ab是5的倍数，且匕也是质数，b=5,

利用abc是质数，C也是质数，C不可能是2和5.只能3或7,即可得出结论.

【解答】解：Cba是偶数，且α是质数，那么。=2,

ab是5的倍数，且6也是质数，那么只有6=5,

abc是质数，C也是质数，C不可能是2和5.只能3或7,

如果c=3,那么abc=253=23X11不符合质数要求，

c=l,abc=257质数.

即三位数abc是257.

【点评】本题考查质数与合数，考查学生分析解决问题的能力，解题的关键是正确确定”

与b的值.

7.用写有2,3,5,7的四张纸片可以排成多少个小于IOOO的质数？

【分析】利用列举法，即可得出结论.

【解答】解：一位数：2,3,5,7；

二位数：23,37,53,73；

三位数：257,523,一共10个.

【点评】本题考查质数，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题.

8.小华把数字2~9分成4对，使得每对数的和为质数.问一共有多少种不同的分法？

【分析】按一定的顺序去列举.

【解答】解：

23；47；56；89

23；49；58；67

25；34；67；89

25；38；49；67

29；34；58；67

29；38；47；56

一共有上面6种.

【点评】在列举的时候要注意一定的顺序，防止遗漏.

9.只能被1与其自身整除的大于1的自然数称为素数或质数，比如2,3,5,7,11,13

等.请在以下数表中用圆圈圈出所有的素数.

65-64-6‰6A6I-60—-5*→7

II

6637-36-35-M-3‰32-3156

IIII

67ΛM17-1⅛-IS-H-IJΛ0”

IIIIII

(Λ3918$-4-3∏29M

IllTTill

6940”61-2Il2«SJ

ITIIIII

7041ZO7-8-9-102752

IIIII

714221-n-23-24∏6Sl

iII

【分析】找出IOO以内的质数即可.

【解答】解：100以内的质数有2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,

43,47,53,59,61,67,71,73,79,83,89,97.

.Λ-M-∙-M-l‰JJ-OI¼

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⅛-U-H-M-W尸•••

【点评】100以内的质数是考察的重点内容.共25个.

10.A、B、C为三个小于20的质数，A+8+C=30,且A<B<C,求这三个质数.

【分析】根据质数的意义，一个自然数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做

质数.小于20的质数有：2、3、5、7、11、13、17、19,据此即可找出符合条件的三个

质数.

【解答】解：小于20的质数有：2、3、5、7、11、13、17、19,

其中2+11+17=30,

所以A、B、C这三个质数是2、II、和17.

【点评】此题考查的目的是理解质数的意义，熟记100以内的质数表是解答此题的关键.

11.用1,2,3,4,5,6,7,9这8个数码组成4个两位质数（每一个数码必须且只能用

一次），这4个质数有多少种不同的可能？

【分析】由题意，两位数的质数，个位数字只能是：1、3、7、9,所以，2、4、5、6在

十位上.23、29、41、43、47、53、59、61、67,一共有9个质数.其中43必须舍弃.即

可得出结论.

【解答】解：由题意，两位数的质数，个位数字只能是：1、3、7、9,所以，2、4、5、

6在十位上.

23、29、41、43、47、53、59、61、67,一共有9个质数.其中43必须舍弃.

有四种组合：23、41、59、67；23、47、59、61；29、41、53、67；29、47、53、61.

答：这4个质数有4种不同的可能.

【点评】本题考查质数与合数，考查学生分析解决问题的能力，解题的关键是得出23、

29、41、43、47、53、59、61、67,一共有9个质数.其中43必须舍弃.

12.把1到70的所有自然数平均分为两组，将每组的35个数乘起来求积，然后：将所得的

两个积相加，所得和数称为一个“鹏程数”.

证明：

(1)“鹏程数”必是合数；

(2)若一个“鹏程数”不是2的倍数，则这个“鹏程数”是2015的倍数.

【分析】本题考查质数与合数的概念.证明一个数是合数，只需要证明它除了1和本身

以外还有其他因数即可，因此分“鹏程数”为奇数和偶数两种情况进行讨论；证明“鹏

程数”是2015的倍数，则先把2015分解质因数，找出鹏程数含有与2015相同的质因数

即可.

【解答】解：(1)证明：这70个数中恰有35个偶数，所以，如果全部偶数没有都在一

组，则每组的乘积都是偶数，这两个乘积的和被2整除；

如果一组的35个数全是偶数，则另一组的35个数全是奇数.在前一组包含偶数6,后一

组包含奇数3,两组的乘积都是3的倍数，其和被3整除.

由于2、3都大于1,且小于和数本身，所以两个积相加的和必是合数.

(2)设1到70的所有自然数中的一组35个数的乘积为a,另一组35个数的乘积为b,

记p=a+b,则P即为一个“鹏程数”.

若一个“鹏程数”不是2的倍数，则P为奇数，当且仅当m人一个奇数，另一个为偶数.

不妨设。为奇数，则这一组的数只能是1,3,5,……,69这35个奇数，所以“含有因

数5,13,31,

因为5X13X31=2015,故20为∣α,

另一组数只能由2,4,……，70这35个偶数组成，因此6含有因数10,26,62,同理

2015∣⅛,

因此2015∣α+'所以当一个“鹏程数”不是2的倍数时，则这个“鹏程数”必是2015的

倍数.

【点评】本题考查内容有：合数概念、分类讨论、奇偶分析、简单推理.

13.一个质数的2倍和另一个质数的5倍的和是36,求这两个质数的乘积是多少？

【分析】一个质数的2倍一定是偶数，

一个质数的5倍一定是5的倍数，

而36要拆成两个数的和，要么都是偶数，要么都是奇数，

本题中2的倍数一定是偶数，所以只能拆成两个偶数，故此5的倍数只能是个位上带0

的数，

当是10时，36-10=26,26÷2=13

当是20时，4X5=20,4不是质数

当是30时，5×6=30,6不是质数，据此解答.

【解答】解：根据分析可得：

符合题意的5的倍数只能是10,20,30

5X2=10,

5×4=20,

5X6=30,

4和6不是质数，

所以只能是2,

所以另一个质数为：

36-10=26,

26÷2=13,

所以这两个数的乘积为：

2×13=26。

答：这两个质数的乘积是26.

【点评】本题考查了质数的定义及其奇数与偶数的性质.

14.一个个位数A为质数，并且A+14、A+18、A+36也是质数.那A的值的多少？

【分析】根据题意，14除以5余4,18除以5余3,36除以5余1,4是质数，所以，A、

4+14、4+18、A+36中必有一个是5的倍数，又是质数，所以只能是5,据此解答.

【解答】解：14÷5=2…4；

18÷5=3…3；

36÷5=7∙∙∙1;

因为A是质数，所以，A、A+14、A+18、A+36中必有一个是5的倍数，又是质数，所以

只能是5,即A=5.

答：A的值是5.

【点评】此题主要根据质数的意义、以及奇数、偶数的性质解决问题.

15.有7个不同的质数，它们的和是偶数，其中最小的质数是儿？

【分析】最小的质数是2,2也是偶数，其它质数都是奇数，根据偶数与奇数的性质：奇

数+奇数=偶数，偶数+偶数=偶数，奇数+偶数=奇数.由于7个质数的和是偶数，由此

可知这7个质数中必须有一个数是偶数，2是唯一一个是偶数的质数，所以最小的质数是

2.

【解答】解：根据偶数与奇数的性质可知：由于7个质数的和是偶数，由此可知这7个

质数中必须有一个数是偶数，2是唯一一个是偶数的质数，所以最小的质数是2.

答：其中最小的质数是2.

【点评】此题考查的目的是理解质数、偶数、奇数的意义，掌握偶数与奇数的性质.

16.三个质数的和是80,这三个数的积最大是多少？

【分析】三个质数的和是偶数，因此，必有一个质数是偶数，即至少有一个2；然后根据

两个质数越接近则乘积越大，求出其它两个质数，进而求出这三个质数的积最大是多少

即可.

【解答】解：因为质数中只有一个偶数，三个质数的和是一个偶数，

必定有一个质数是2,剩下两个质数的和是78,

要使这两个数的乘积最大，必须它们的差最小.

所以是37和41.

那么这三个数的乘积是：2X37X41=3034.

答：这三个数的积最大是3034.

【点评】本题考查的是质数的概念，熟知2既是质数又是偶数是解答此题的关键.

17.请将1,2,3,…，99,100这一百个自然数中既是奇数又是合数的自然数排成一行，

使每两个相邻的数都不互质(若一行写不下，可移至第二行接着写，若第二行仍写不下，

可移至第三行接着写).

【分析】先找出1，2,3,99,100这一百个自然数中既是奇数又是合数的自然数分

别有哪些，再将它们排成一行，使每两个相邻的数都不互质.

【解答】解：既是奇数又是合数的自然数有公约数3：9、15、21、27、33、39、45、51、

57、63、69、75、81、87、93、99；

有公约数为5：25、35、55、65、85、95；

有公约数为7：49、77、91；

每两个相邻的数都不互质排列如下：25、35、55、65、85、95、15、9、21、27、33、39、

45、51、57、63、69>75、81、87、93、99、77、91、49.

故答案为：25、35、55、65、85、95、15、9、21、27、33、39、45、51、57、63、69、

75、81、87、93、99、77、91、49.

【点评】解决此题关键是找出1,2,3,99,100这一百个自然数中既是奇数又是合

数的自然数，再按要求排列这些数.

18.在九个连续的自然数中，至多有多少个质数？

【分析】由题意，例如：在2、3、4、5、6、7、8、9、10这9个数中，有4个质数，这

也是最多的，因为任意连续9个自然数中至少有4个偶数，剩下的五个奇数中至少有一

个是3的倍数.

【解答】解：这个问题依据两个事实：

(1)除2之外，偶数都是合数；

(2)九个连续自然数中，一定含有5的倍数.以下分两种情况讨论：

①九个连续自然数中最小的大于5,这时其中至多有5个奇数，而这5个奇数中一定有一

个是5的倍数，即其中质数的个数不超过4个；

②九个连续的自然数中最小的数不超过5,有下面几种情况:

1,2,3,4,5,6,7,8,9；

2,3,4,5,6,7,8,9,10；

3,4,5,6,7,8,9.10,11；

4,5,6,7,8,9,10,11,12：

5,6,7,8,9,10,11,12,13；

这几种情况中，其中质数个数均不超过4.

综上所述，在九个连续自然数中，至多有4个质数.

答：九个连续自然数中，至多有4个质数.

【点评】本题考查了质数的意义以及对数的列举能力，分析判断能力等.

19.著名的哥德巴赫猜想：”任意一个大于4的偶数都可以表示成两个质数的和”.如：6=

3+3,12=5+7等.那么，自然数100可以写成多少种两个不同质数和的形式？请分别写

出来.（100=3+97和100=97+3算作同一种形式）

【分析】根据质数的意义和100以内的质数表，100以内一共有25个质数，由此解答即

可.

【解答】解：100=3+97=11+89=17+83=29+71=41+59=47+53；

答：可以写6种不同质数和.

【点评】解答本题要明确自然数，质数，合数的概念，熟记100以内的质数表.

20.己知P为50以内的一个两位质数，且2p+l也是质数.若所有P的和是左，求Z的值.

【分析】根据质数的意义，一个自然数，如果只有I和它本身两个因数，这样的数叫做

质数.50以内的两位质数有11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47,已知P为

50以内的一个两位质数，且2p+l也是质数，求出符合条件的质数，进而求出它们的和.

【解答】解：11X2+1=23

23X2+1=47

29X2+1=59

41X2+1=83

所以P=I1、23、29、41

所以Jt=11+23+29+41=104

答：k的值是104.

【点评】此题考查的目的是理解质数的意义，熟记100以内的质数是解答关键.

21.小鸣用48元钱按零售价买了若干练习本.如果按批发价购买，每本便宜2元，恰好多

买4本.问：零售价每本多少元？

【分析】先将48分解质因数：48=1×48=2×24=3×16=4×12=6×8,因数全写出来，

再找出里面相差分别是2和4的，那么这两个算式就分别为零售价和批发价.

【解答】解：48=48=1X48=2X24=3X16=4X12=6X8,找出里面相差分别是2和4

的，那么这两个算式就分别为零售价和批发价；只有4X12和6X8,12比8多4,4比6

少2,则零售价为6元，批发价为4元；

答：零售价为6元.

【点评】解答此题应结合合数和质数的含义进行分析，通过分解质因数，找出符合题意

的答案即可.

22.有2、3、4、5、6、7、8、9、10和11共10个自然数，

①从这10个数中选出7个数，使这7个数中的任何3个数都不会两两互质；

②说明从这10个数中最多可以选出多少个数，这些数两两互质.

【分析】①根据互质数的概念，此题很好解决，即2,3,4,6,8,9,10；

②将这10个自然数分为三组：偶数为第一组，9为第二组；5,7,11为第三组.然后根

据各组中的数字特点，看看各组能选出几个数，解决问题.

【解答】解：①这7个数是2,3,4,6,8,9,10；

②将这10个自然数分为三组：偶数2,4,6,8,10为第一组；3,9为第二组；5,7,

11为第三组.显然，第一和第二组每组至多只能选出1个数，第三组的3个自然数两两

互质，最多能选3个.例如：2、3、5、7、11就两两互质.所以从2、3、4、5、6、7、

8,9、10和11最多可以选出5个数，这5个自然数两两互质.

【点评】此题根据互质数的概念以及运用分类的方法，根据每组数的特点，解决问题.

23.下面是主试委员会为第六届华杯赛写的一首诗：

美少年华朋会友，幼长相亲同切磋；

杯赛联谊欢声响，念一笑慰来者多；

九天九霄志凌云，九七共庆手相握；

聚起华夏中兴力，同唱移山壮丽歌

请你将诗中56个字从第1行左边第一字起逐行逐字编为1~56号，再将号码中的质数由

小到大找出来，将它们对应的字依次排成一行，组成一句话，请读出这句话.

【分析】先根据题意将诗中56个字从第1行左边第一字起逐行逐字用列表格的方法编号，

再将号码中的质数由小到大找出来，将它们对应的字依次排成一行，组成一句话即可解

答.

【解答】解：将56个字编号为（其中加括号的为质数）：

1(2)(3)4(5)6(7)

美少年华朋会友，

8910(11)12(13)14

幼长相亲同切磋；

1516(17)18(19)2021

杯赛联谊欢声响，

22(23)2425262728

念—`笑慰来者多；

(29)303132333435

九天九霄志凌云，

36(37)383940(41)42

九七共庆相握；

43444546474849

聚起华夏中兴力，

50515253545556

同唱移山壮丽歌.

将质数对应的汉字依次写出就是：少年朋友亲切联欢，一九九七相聚中山.

答：这句话是：少年朋友亲切联欢，一九九七相聚中山.

【点评】解决本题的关键是根据题意编号，找出质数对应的汉字.

24.歌德巴赫猜想是说：每个大于2的偶数都可以表示为两个质数的和.问：168是哪两个

两位的质数的和，并且其中的一个质数的个位是1?

【分析】因数只有1和它本身数为质数，在本题中，可先确定个位数为1的两位数质数

是几，然后再据此求出另一个两位数质数.

【解答】解：求168是哪两个两位的质数的和，则其中较小的两数一定大于68,

大于68的个位数为1的两位数只有71,

所168-71=97,97为质数，

所以，168是71和97个两位的质数的和.

【点评】168可以是多对质数的和，所以完成本题要细心审题，明确“两位数”及“其中

一个质数个位为1”这两个条件.

25.将IOO以内的质数从小到大排成一个数字串依次完成下列五项工作叫一次操作：

(1)将左边第一个数码移到数字串的最右边；

(2)从左到右两位一节组成若干个两位数；

(3)划去这些两位数中的合数；

(4)所剩的两位质数中有相同的，保留左边的一个，划去多余的；

(5)所剩的两位质数保持数码顺序又组成一个新的数字串.

问：经过1997次操作，所得的数字串是什么？

【分析】此题找出IOO以内的所有质数，排列并按题干要求一次操作，在从第五次操作

时，就出现了周期变化的规律，由此即可解决问题.

【解答】解：第一次操作：(1)2357111317192329313741434753596167717379838997,(2)

35,71,IL31,71,92,32,93,13,74,14,34,75,35,96,16,7717,37,98,

38,99,72,

(3)71,11,31,71,13,17,37,

(4)71,11,31,13,17,37,

(5)711131131737,

根据第一次操作的步骤依次完成第二次操作、第三次操作…

第二次操作:111311317377,

11,13,11,31,73,77,

11,13,31,73,

1133173,

第三次：11,33,17,31

111731

第四次：11,73,11

1173

第五次1731

六次：7311

七次：3117

八次：1173

循环…

从以上操作可以得出：从第5次操作开始，数字1173就有这样的规律：4此操作为一变

化周期，变化规律为：第一个数字是下一组的最后一个数字.(1997-4)÷4=498-l,

所以1997次操作是第499周期的第一次操作，应该和第一周期的第一次即：上述中第五

次操作的操作结果相同是：1731.

答：经过1997次操作，所得的数字串是1731.

【点评】此题关键是通过依次操作得出数字的变化周期的规律.

26.将60折成10个质数之和，要求最大的质数尽可能小，那么其中最大的质数是多少？

【分析】由于60÷10=6,即这十个质数的平均数是6,则这个最大的质数至少要大于6.大

于6的最小的质数是7,则这个质数如果是7的话，通过试算可得：十个质数的和是

7+7+7+7+7+5+5+5+5+5=60或7+7+7+7+7+7+7+7+2+2=60.

【解答】解：由于60÷10=6,

则这个最大的质数至少要大于6,大于6的最小的质数是7,

如果是7,则十个质数的和是7+7+7+7+7+5+5+5+5+5=60或7+7+7+7+7+7+7+7+2+2=60.

即最大的质数是7.

【点评】首先根据除法的意义求出这十个质数的平均数是完成本题的关键.

27.在大圆周上有16个小圆圈，小明将其中一些不相邻的小圆圈涂成红色，这时无论再将

哪个小圆圈涂成红色，都会使圆周上出现两个相邻的红色的小圆圈.问：小明最少涂红

了几个小圆圈？说明理由.

【分析】无