2022-2023学年湖南省湘西州吉首市九年级（上）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年湖南省湘西州吉首市九年级（上）期末数学试卷

一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

的。

1.下列是一元二次方程的是（）

A.2x+l=0久=iC./+2X+3=0D.2=1

2.下列慈善公益图标中，是中心对称图形的是（）

B吸逸*

3.下列说法正确的是（）

A.打开电视机，正在播放“张家界新闻”是必然事件

B.天气预报说“明天降水的概率为65%”，意味着明天一定下雨

c.随机事件发生的概率为:

D.不可能事件发生的概率为0

4.将二次函数y=Q-IT的图象向上平移2个单位，得到的新图象的函数表达式是（）

A.y=（x—I）2—2B.y=（%—l）2+2C.y=（%—3）2D.y=（x+l）2

5.对于反比例函数y=I，下列说法不正确的是（）

A.这个函数的图象分布在第一、三象限

B.点（1,3）在这个函数的图象上

C.这个函数的图象既是轴对称图形又是中心对称图形

D.当％>0时，y随汽的增大而增大

6.已知%1，牝是久之一3%+1=0方程的两个实数根，则第i+牝的值为（）

A.-3B.3C.-1D.1

7.函数y=+3与y=+（k手0）在同一直角坐标系中的图象可能是（）

8.如图，四边形ABCD为。。的内接四边形，/.BCD=132°,则NB。。的度数为（）

A.48°

B.96°

C.132°

D.144°

9,二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，有如下结论:

@abc>0；

②2a+6=0；

③3b-2c<0；

（4）am2+bm>a+b（?n为实数）.

其中正确结论的个数是（）

A.1个

B.2个

C.3个

D.4个

10.如图，在正方形ABCD中，AB=4,以边CD为直径作半圆。，E是半圆。上的动

点，5尸1口4于点尸，EP14B于点P,设EF=x,EP=y,则+、2的最小值

是（）

A.273-1

B.4-2AA3

c.2AA5-1

D.2/5-2

二、填空题：本题共8小题，每小题4分，共32分。

11.已知。。的半径为3,点。到直线/的距离为4,则直线［与。。的位置关系是.

12.一个圆锥的底面直径是8cm,母线长为9cm,则该圆锥的侧面积为。机2(结果保留兀).

13.九年级(5)班文学小组在举行的图书共享仪式上互赠图书，每个同学都把自己的图书向本组其他成员赠

送一本，全组共互赠了132本图书，则全组共有名同学.

14.若4(—2,a),8(1,6),C(2,c)为二次函数y=(%+-9的图象上的三点，则a,b,c的大小关系是

(用“<”连接).

15.如图，将AABC绕着点B逆时针旋转45。后得到AA'B'C',若乙4=120。,ZC=

35°,贝吐ABC的度数为.

16.如图，P是反比例函数y=(的图象第二象限上的一点，且矩形PE。尸的面积为

8,贝味=.

17.从-2,-1,2这三个数中任取两个不同的数作为点的坐标，该点在第四象限的概率是

18.如图，一段抛物线y=--+6久(03xW6),记为抛物线G，它与x轴交于点。，&；将抛物C1线绕点

必旋转180。得抛物线。2，交工轴于另一点42；将抛物线C2绕点4，旋转180。得抛物线C3,交工轴于另一点

人…如此进行下去，得到一条“波浪线”.若点M(2023,zn)在此“波浪线”上，则小的值为.

三、解答题：本题共8小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

19.(本小题8分)

已知关于x的方程/+2x+a-2=0.

(1)若该方程有两个不相等的实数根，求实数a的取值范围；

(2)若该方程的一个根为1,求a的值及该方程的另一根.

20.(本小题8分)

已知二次函数y=/一4尤+3

(1)将y=x2-4x+3化成y=a(x-h)2+k的形式；并写出其对称轴和顶点坐标；

(2)当比取何值时，y随x的增大而减小.

21.(本小题8分)

如图，一次函数y=a久+6(a70)和反比例函数旷=(加力0)的图象交于点4(4,1),B(-l,-4).

(1)求反比例函数和一次函数的解析式；

(2)求△4。。的面积；

(3)根据图象直接写出不等式ax+b>5的解集.

22.(本小题8分)

甲、乙两个不透明的袋子中，分别装有大小材质完全相同的小球，其中甲口袋中小球编号分别是1、2、

3、4,乙口袋中小球编号分别是2、3、4,先从甲口袋中任意摸出一个小球，记下编号为再从乙袋中

摸出一个小球，记下编号为兀

(1)请用画树状图或列表的方法表示(科切所有可能情况；

(2)规定：若TH、n都是方程/一5久+6=0的解时，小明获胜；m、n都不是方程/一+6=0的解时,

小刚获胜，请说明此游戏规则是否公平？

23.(本小题8分)

如图，△4BC三个顶点坐标分别为4(3,4),B(l,2),C(4,l).

⑴请画出△力BC关于原点。中心对称的图形△4/1G,并直接写出点4的坐标；

(2)请画出AABC绕原点。逆时针旋转90。的图形AAZB2c2，并直接写出点42的坐标;

(3)求在(2)的旋转过程中，点4旋转到4所经过的路径长(结果保留兀).

24.(本小题8分)

如图，在一面靠墙的空地上用长为24米的篱笆，围成中间隔有二道篱笆的长方形花圃.设垂直于墙的一面

篱笆长为万米，花圃的总面积为S平方米.

(1)若围成花圃的总面积为20平方米，请设计方案.

(2)求S关于久的函数关系式，并求出最大面积.

X

25.(本小题8分)

如图，4B是O。的直径，弦CD12B,垂足为E,过点B作交OC延长线于点F,5.Z.CDB=30°.

(1)求证：BF是。。的切线；

(2)若O。的半径为2,求图中阴影部分的面积.

26.(本小题8分)

如图，在平面直角坐标系中，乙4cB=90。，OC=2OB,AC=2BC,点B的坐标为(1,0),抛物线y=

一一+。久+c经过4,B两点.

(1)求抛物线的函数解析式.

(2)P是直线上方抛物线上的一点，过点P作PDlx轴于点。，交线段4B于点E,使PE最大.

①求点P的坐标和PE的最大值.

②在直线PD上是否存在点M,使点M在以4B为直径的圆上？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说

明理由.

答案和解析

1.【答案】c

【解析】解：4该方程中未知数的最高次数是1,属于一元一次方程，故本选项不符合题意.

8、该方程中含有2个未知数，属于二元二次方程，故本选项不符合题意.

C、该方程符合一元二次方程的定义，故本选项符合题意.

D,该方程属于分式方程，故本选项不符合题意.

故选：C.

一元二次方程必须满足两个条件：

(1)未知数的最高次数是2；

(2)二次项系数不为0.

本题利用了一元二次方程的概念.只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，

-■般形式是a/++c=0(且a丰0).

2.【答案】B

【解析】【分析】

利用中心对称图形的定义进行解答即可.

【解答】

解：A：不是中心对称图形，故此选项不合题意；

B-.是中心对称图形，故此选项符合题意；

C：不是中心对称图形，故此选项不合题意；

D-.不是中心对称图形，故此选项不合题意.

故选：B.

【点评】

本题主要考查了中心对称图形，关键是掌握中心对称图形的定义.

3.【答案】D

【解析】解：4打开电视机，正在播放“张家界新闻”是随机事件，因此选项A不符合题意；

3.天气预报说“明天降水的概率为65%”，并不能说明明天一定会下雨，只是下雨的可能性比较大，因此

选项8不符合题意；

C.随机事件发生的概率不一定都是，，还可能是其它的数，因此选项C不符合题意；

。不可能事件发生的概率为0,因此选项。符合题意；

故选：D.

根据必然事件、随机事件、不可能事件的意义结合具体的问题情境进行判断即可.

本题考查概率的意义，掌握随机事件、必然事件、不可能事件的意义是正确判断的前提.

4.【答案】B

【解析】解：二次函数y=（久-1）2的图象向上平移2个单位，得到新的图象的二次函数表达式是：y=

（X-1）2+2,

故选：B.

利用二次函数平移规律，上加下减分析得出即可.

此题主要考查了二次函数平移变换，正确记忆平移规律是解题关键.

5.【答案】D

【解析】解：力、这个函数的图象分布在第一、三象限，故原题说法正确，不符合题意；

B、点（1,3）在这个函数图象上，故原题说法正确，不符合题意；

C、这个函数的图象既是轴对称图形又是中心对称图形，故原题说法正确，不符合题意；

D、当x>0时，y随x的增大而减小，故原题说法错误，符合题意；

故选：D.

利用反比例函数的性质进行解答即可.

此题主要考查了反比例函数的性质，关键是掌握反比例函数的性质：（1）反比例函数y=：（k手0）的图象

是双曲线；（2）当k>0,双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小；（3）当

k<0,双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随久的增大而增大.注意：反比例函数的

图象与坐标轴没有交点.

6.【答案】B

【解析】解：•••/，比2是/-3%+1=0方程的两个实数根，

*,,%-£+%2=3,

故选：B.

根据一元二次方程根与系数的关系即可求解.

本题考查了一元二次方程根与系数的关系：若修，工2是一元二次方程a—+法+c=0（aK0）的两根，

%+亚=-，K62=2掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键.

7.【答案】A

【解析】解：y=kx+3,令久=0,则y=3,

y=依+3与y轴交点在正半轴，故8,C选项错误，

4选项中，一次函数k>0,反比例函数比例系数k>0,故A选项正确，

。选项中，一次函数k<0,反比例函数比例系数k>0,故。选项错误，

故选：A.

根据一次函数解析式可得与y轴交点在正半轴，进而排除8,C选项，继而结合图象判断一次函数与反比例

函数k的符号，即可求解.

本题考查了一次函数与反比例数图象综合运用，掌握一次函数和反比例函数的图象和性质是解题的关键.

8.【答案】B

【解析】解：•••四边形2BCD为。。的内接四边形，

,­.乙4+Z.BCD=180°,

•••乙BCD=132°,

,­.乙4=48°,

•••弧BD对的圆周角是N4,对的圆心角是NBOD,

•••乙BOD=2〃=96°,

故选：B.

根据圆内接四边形的性质得出乙4+ABCD=180。，求出N4=48。，根据圆周角定理得出NBOD=2/4

再求出答案即可.

本题考查了圆周角定理，和圆内接四边形的性质等知识点，能综合运用知识点进行推理和计算是解此题的

关键，注意：圆内接四边形的对角互补.

9.【答案】D

【解析】【分析】

本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，由抛物线的对称轴的位置判断ab的符号，由抛物线与y轴的

交点判断c与0的关系，然后根据对称轴判定2a+b=0；当比=—1时，y^a-b+c；然后由图象得出最

小值确定am?+bm与a+6的大小关系.

【解答】

解:①•••对称轴在y轴右侧，

a、6异号，

ab<0,

•.•当x=0时，二次函数的图象与y轴交于负半轴,

•，•c<0

•••abc>0,故①正确；

②,对称轴％=—§=1,

J2a

・•.2a+b=0,故②正确；

③•••2。+b=0,

17

•••a=--D,

・.•当％=—1时，y=a—b+c>0,

1

•••——b—b+c>0

3b-2c<0,故③正确；

④根据图象知，当％=1时，y有最小值a+b+c；

当小为实数时，有am?+bm+c>a+b+c,

所以am?+bm>a+b（?n为实数），故④正确.

本题正确的结论有：①②③④，4个.

10.【答案】D

【解析】解：连接4E、OE、AO,如图，

•••四边形4BCD为正方形，CD为半圆。的直径，

.­./.CDA=4BAD=90°,。。=2,AD=4,

OA=V42+22=2，^,

■.1EF1.DA,EP1AB,

••・四边形力PEF为矩形，

EP—AF=y,

EF2+EP2=EF2+AF2x2+y2=AE2,

即J久2+y2=AE,

当4E的值最小时，+y2的值最小,

•••4后2。4一。以当且仅当。、E、4共线时取等号）,

4E的最小值为2"-2,

即，久2+y2的最小值为一2.

故选：D.

连接2£、OE、AO,如图，先利用勾股定理计算出。力=2"，再利用四边形4PEF为矩形得到EP=力尸=

y,则/+*=4产，即八2+y2=4」,所以当4E的值最小时，/产+*的值最小,由于4EN。4-

0E（当且仅当。、E、力共线时取等号），所以力E的最小值为26-2，从而得到J久2+4的最小值.

本题考查勾股定理和正方形的性质.

11.【答案】相离

【解析】解：•••圆半径r=3,圆心到直线的距离d=4.

故r=3<d=4,

二直线与圆的位置关系是相离.

故答案为：相离.

欲求直线Z与圆。的位置关系，关键是比较圆心到直线的距离d与圆半径r的大小关系.若d<r,则直线与

圆相交；若d=r,则直线与圆相切；若d>r,则直线与圆相离.

本题考查的是直线与圆的位置关系，解决此类问题可通过比较圆心到直线距离d与圆半径大小关系完成判

定.

12.【答案】367r

【解析】解：根据题意得：

8

S侧=nrl—Ttx-x9=36ncm2.

故答案为：367T.

根据圆锥的侧面积公式S^=兀包，把相应数值代入即可求解.

本题考查了圆锥侧面积的计算，解题的关键是牢记圆锥的侧面积的计算公式.

13.【答案】12

【解析】解：设全组共有久名同学，则每个同学赠送出（尤-1）本图书，

依题意得：x（x-1）=132,

整理得：x2-%-132=0,

解得：%i=12,%2=-11（不合题意，舍去）.

故答案为：12.

设全组共有无名同学，则每个同学赠送出（x-l）本图书，根据全组共互赠了132本图书，即可得出关于x的

一元二次方程，解之取其正值即可得出全组共有12名同学.

本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键.

14.【答案】a<b<c

【解析】解：,.,>=(久+1)2-9,

•••开口向上，二次函数的对称轴为直线式=-1,

距离对称轴越远，函数值越大，

•••-1-(-2)=1,

1-(-1)=2,

2-(-1)=3,

a<b<c.

故答案为：<c.

先确定抛物线的对称轴及开口方向，再根据点与对称轴的远近，判断函数值的大小.

此题主要考查二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是根据函数关系式找出对称轴.

15.【答案】20。

【解析】解：•.・将A/IBC绕着点B逆时针旋转45。后得到

.­./.ABA'=45°,

•••ZX=120°,ZC=35°,

•••乙ABC=180°-ZX-ZC=180°-120°-35°=25°,

4A'BC=AABA'-AABC=45°-25°=20°.

故答案为：20°.

由将△ABC绕着点8逆时针旋转45。后得到可求得乙4BA=45。，然后由三角形内角和定理，求得

乙4BC的度数，继而求得答案.

本题考查了旋转的性质以及三角形内角和定理，注意掌握旋转前后图形的对应关系是关键.

16.【答案】—8

【解析】解：根据题意得网=8,

而反比例函数图象分布在第二、四象限，

所以k<0,

所以k=—8.

故答案为-8.

利用反比例函数的比例系数k的几何意义得到阳=8,然后根据反比例函数的性质确定k的值.

本题考查了反比例函数系数k的几何意义：在反比例函数y=:图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分

别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值生|.

17.【答案】|

-12-22-2-1

共有6种情况，在第四象限的情况数有2种，

所以概率为争.

故答案为：

列举出所有情况，看在第四象限的情况数占总情况数的多少即可.

考查概率的求法；用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比.得到在第四象限的情况数是解决

本题的关键.

18.【答案】—7

【解析】解：由题意得：每隔6x2=12个单位长度，函数值就相等，

•••2023=7+12X168,

・•・x=2023时的函数值与％=7时的函数值相等，

即m的值等于I=7时的纵坐标，

对于函数y=-x2+6x(0<x<6),

当久=7时，y=-72+6x7=—7,

则TH=-7,

故答案为：-7.

根据整个函数图象的特点可知，每隔6X2=12个单位长度，函数值就相等，再根据2023=7+12X168

可得％=2023时的函数值与久=7时的函数值相等，由此即可得答案.

本题考查了二次函数的图象与性质，正确发现整个函数的图象规律是解题的关键.

19.【答案】解：(1)•••方程有两个不相等的实数根，

b2—4ac=22—4x1x(a-2)=12—4a>0,

解得：a<3,

则a的取值范围是a<3；

(2)设方程的另一根为%i，由根与系数的关系得：

(1+xr=-2

(1­%1=a-2'

解得:L=3,

a的值是-1,该方程的另一根为-3.

【解析】(1)根据方程有两个不相等的实数根，得到根的判别式大于0,求出a的范围即可；

(2)设方程的另一根为修，由根与系数的关系列出方程，求出解确定出所求即可.

此题考查了根与系数的关系，以及根的判别式，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解本题的关键.

20.【答案】解：(l)y=%2-4%+3=%2-4%+4-1=(%—2)2-1,

二该二次函数图象的对称轴是直线x=2,顶点坐标是(2,-1)；

(2)如图，当久＜2时，y随x的增大而减小.

【解析】(1)利用配方法先提出二次项系数，再加上一次项函系数的一半的平方来凑完全平方公式，把一

般式转化为顶点式，即可求出对称轴和顶点坐标.

(2)根据二次函数的图象即可解答.

本题考查了二次函数的图象与性质及顶点坐标的求法，熟知二次函数的顶点式是解题关键.

21.【答案】解：⑴•••反比例函数y=$(/cW0)的图象过点4(4,1),

1=即k=4,

4

二反比例函数的解析式为：y=±

JX

••,一次函数y=a%+b(aH0)的图象过点A(4,l),8(-1,一4),

.(1=4a+b

"4=—a+b'

解得居二.

・•・一次函数的解析式为：y=x-3；

(2)vy=x-3;

令X=0,则y=-3,

.•・。(0,-3),

即。。=3.

S〉AOD=^X3X4=6；

⑶:4(4,1),5(-1,-4).

・,.不等式a%+b>“的解集为：一1V%<。或%>4.

x

【解析】(1)将点4(4,1)代入反比例函数解析式得出k=4,根据4(4,1),待定系数法求解析式

即可求解；

(2)根据一次函数得出。(0,-3),然后根据三角形面积公式进行计算即可求解;

(3)根据图象直接写出不等式ax+b>:的解集，即可求解.

本题考查了一次函数与反比例函数综合，待定系数法求解析式,数形结合是解题的关键.

22.【答案】解：(1)画树状图如图所示：由图知共有12种

等可能结果，即(1,2),(1,3),(1,4),(2,2),(2,3),

1234

(2,4),(3,2),(3,3),(3,4),(4,2),(4,3),(4,4)；

(2)解方程——5%+6=0得X]—2,*2=3,2个2小小

由(1)知若m、n都是方程+6=0的解有4种可能，

若m、n都不是方程/-5%+6=0的解有2种可能，即：

P(小明获胜)=去=%

P(小刚获胜)=44,

故游戏规则不公平.

【解析】(1)首先根据题意画出树状图，然后由树状图可得所有可能的结果；

(2)画树状图展示所有12种等可能的结果数，m,几都是方程/—5x+6=0的解的结果有4个，m,n都不

是方程/-5x+6=0的解的结果有2个，然后根据概率公式求解.

本题考查了列表法与树状图法、一元二次方程的解法以及概率公式；画出树状图是解题的关键.

23.【答案】解：(1)如图所示,A4181cl即为所求,点儿的坐标为(—3,—4)；

(2)如图所示，△2c2即为所求，点42的坐标为(一4,3)；

(3)根据题意可知，乙4042=90。，04=〃32+42=5,

90^-55

•••点4旋转到42所经过的路径长为:--------=_7T

1802

【解析】(1)分别作出4,B,C的对应点Bi，Q即可;

(2)分别作出4,B,C的对应点4，B2,3即可；

(3)利用弧长公式计算即可.

本题考查作图-旋转变换，弧长公式等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型.

24.【答案】解：(1)设垂直于墙的一面篱笆长为x米，则平行于墙的一面就为(24-4乃米,

由题意得久(24-4%)=20,解得勺=1,久2=5,

•••24-4%=20或4,

・•・若围成花圃的总面积为20平方米，花圃垂直于墙的一面篱笆长为1米，平行于墙的一面长为20米或垂直于

墙的一面篱笆长为5米，平行于墙的一面长为4米；

(2)S=龙(24—4x)=-4x2+24x(0<x<6)；

•••S=-4x2+24x=-4(%-3)2+36,

0<x<6,

・•・当x=3时，S有最大值为36.

【解析】(1)设垂直于墙的一面篱笆长为x米，则靠墙的一面就为(24-4x)米，利用长方形的面积公式，列

方程求解即可；

(2)设垂直于墙的一面篱笆长为无米，则靠墙的一面就为(24-4吗米，利用长方形的面积公式，可求出关系

式，根据二次函数的性质即可求围成的长方形花圃的最大面积.

本题考查了一元二次方程，二次函数的综合应用，根据已知条件列出二次函数式是解题的关键.要注意题

中自变量的取值范围不要丢掉.

25.【答案】(1)证明：•••CD1AB,

：./.CEO=90°,

•••BF//DC,

・•・乙FBO=乙CEO=90°,

FB1OB,OB是。。的半径,

・•.BF是。。的切线；

(2)•・•乙CDB=30°.

・•.Z,CAB=60°,

连接BC,

•・•OB=OC,

：.△是等边三角形，

・•・ZB是。。的直径，弦

CE=DE,

在aCOE和中，

CE=DE

乙CEO=乙DEB=90°,

0E=OB

••.△COE三△DBE(S4S),

2

・•・阴影部分的面积=扇形COB的面积=驷马="

3603

【解析】(1)根据切线的判定方法即可证明8尸是O。的切线；

(2)连接BC,证明AOBC是等边三角形，再证明ACOEmADBE,可得阴影部分的面积=扇形COB的面积.

本题考查的是切线的性质、垂径定理、圆周角定理、扇形面积的计算、等边三角形的判定与性质、全等三

角形的判定与性质，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键.

26.【答案】解：⑴•••5(1,0),

OB=1,

•••OC=2OB=2,

BC=3,C(-2,0),

在ABC中，AC=2BC,

•••AC=6,

・・・4(_2,6),

把/(一2,6),8(1,0)代入y=—/+b%+c,

zf—4—2b+c=6

倚SI—l+b+c=0'

•,・抛物线的函数解析式为y=-X2-3X+4；

(2)①设直线4B的函数解析式为y=kx+n(k丰0),

把力(一2,6),B