2021年单招考试-数学真题+解析+参考答案

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2021年全国普通高等学校运动训练、民族传统体育专业

单独统一招生考试

数学

一、选择题：本题共10小题，每小题6分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的，请将所选答案的字母在答题卡上涂黑.

选择题（共10小题）

1.已知集合"={1,3,6},N={3,4,5},则MN=()

A.{1,4,6}B.{1,4,5,6}C.{3}D.{1,3,4,5,6}

2.已知数列｛%｝满足q=2,且%+]=,7“+「3则%=()

A.2nB.3n—1C.3〃—4D.5n-3

3.下列函数中，既是增函数又是奇函数的是（)

A.y=3xB.y=—C.y=\nxD.y=—x3+2x

X

4.^sin—+cos—=—,则sin%=()

222

A.--B.--C.--D.--

4334

5.sinl680cosl80-sinl020sinl98°=()

A.--B.0C.-D.1

22

6.函数y=2-的-x?的定义域为（)

A.[-3,3]B.[-9,9]C.[3,+oo)D.(-oo,-3]

22

7.以双曲线—匕=1的中心为顶点，C的左焦点为焦点的抛物线方程为（）

916

A.y2=20xB.y2=10xC.y2=-10.xD.y2=-20x

8.（/一_1）6的展开式中常数项为（

)

2x

A15R15

C.--D.--

816168

9.从4名女生、3名男生中任选4人做志愿者，则其中至少有1名男生的不同选法共有（）

A.12种B.34种C.35种D.168种

10.已知机，〃是两条不同的直线，a,分是两个不重合的平面.下述四个结论:

①若m//a,〃///，a11P,则根//〃；②若m//a,〃///,al。,则根J_〃；

③若m_La,n工B,a11P,则根//〃；④若根J_a,n10,a1（3,则相_L〃.

其中正确结论的编号是（）

A.①②B.②④C.①④D.③④

二、填空题：本题共6小题，每小题6分，共36分.

11.若｛%,｝是公比为3的等比数列，％+°3=5,则%="

12.函数y=/的最小值是—.

13.不等式/-3%-10>0的解集是.

14.若向量°,6满足|。|=3,|6|=5,\a+b\=l,则。.6=.

15.若椭圆C的焦点为月（-1,0）和月（1,0）,过月的直线交C于A,8两点，且AAB耳的周长为12,则C的

方程为-.

16.从数字1,2,3,4,5中随机取3个不同的数字，其和为偶数的概率为.（结果用数值表示）

三、解答题：本题共3小题，每小题18分，共54分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.（18分）在AABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a=7,b=8,cosB=~,

7

（1）求c；

（2）求AABC的面积S.

18.（18分）已知；M:（尤-a）2+（y-a）2=4.

（1）当a=l时，求V截直线x-y-2=0所得弦的长;

（2）求点M的轨迹方程.

19.（18分）如图，在正方体ABCD-A4GA中，E,尸为棱他，的中点.

（1）证明：直线斯//平面C2Q；

（2）设AB=2,求三棱锥的体积.

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数学

参考答案与试题解析

一、选择题：本题共10小题，每小题6分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的，请将所选答案的字母在答题卡上涂黑.

1.已知集合〃={L3,6},N={3,4,5},则/N=()

A.{1,4,6}B.{1,4,5,6}C.{3}D.{1,3,4,5,6}

【解析】•.,集合M={1,3,6},N={3,4,5},:.MN={3}.故选：C.

【点评】此题考查了交集及其运算，比较简单，是一道基本题型.

2.已知数列{4}满足q=2,且见+]+3贝!]%=()

A.2nB.3n—1C.3n—4D.5n—3

【解析】数列{4}满足4=2,。用=凡+3,所以氏+1-4=3,所以数列{为}是首项为2,公差为3的等差

数列，所以=2+3(〃-1)=3〃-1,故选：B.

【点评】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，叠加法的应用，主要考查学生的运算能力

和转换能力及思维能力，属于基础题型.

3.下列函数中，既是增函数又是奇函数的是()

A.y=3xB.y=—C.y=]nxD.y=—x"+2x

x

【解析】A,函数y=3x既是增函数又是奇函数，满足条件；

B,y是奇函数，在(-oo,0)和(0,+oo)上单调递减，故排除；

C,y=lnx是非奇非偶函数，不满足条件；

D,y=-x3+2x,当x=l时，y=-1+2=1;当x=2时，y=-8+4=-4,所以y=—丁+2%不是增函数，

故排除.故选：A.

【点评】本题考查的知识点是函数奇偶性与单调性的综合应用，其中熟练掌握基本初等函数的性质是解答

本题的关键，属于基本知识的考查.

4.^sin—+cos—=—,贝!Jsin%=()

222

A.--B.--C.--D.--

4334

Yi*113

【解析】sin—+cos—=—,两边平方可得l+sinx=—,求得sin%=——,故选：D.

22244

【点评】本题主要考查二倍角公式的应用，属于基础题.

5.sinl680cosl80-sinl020sinl98°=()

A.--B.0C.-D.1

22

【解析】sin168°cos180-sin102°sin198°=sin12°cos180-cos12°sin18°=sin30°=-,故选C.

2

【点评】本题主要考查三角函数值的求解，结合三角函数的诱导公式以及两角和差的余弦公式是解决本题

的关键，是基础题.

6.函数丫=2-49-犬的定义域为()

A.[-3,3]B.[-9,9]C.[3,+oo)D.(-℃,一3]

【解析】由题意得：9-X2..O,得-3强/3,故函数/(©的定义域是[-3,3],故选：A.

【点评】本题考查了求函数的定义域问题，考查二次根式的性质，是基础题.

22

7.以双曲线=l的中心为顶点，C的左焦点为焦点的抛物线方程为()

A.y2=20xB./=10xC./=-10A:D.y2=-20x

_______22

【解析】由题意可得“2=9,b2=16,C=yla2+b2=5,所以双曲线C:三-匕=1的左焦点坐标是(-5,0),

916

所以抛物线中心(0,0),焦点坐标(-5,0),.-.-^=-5,p=10,.•.抛物线方程是;/=_20x.故选：D.

【点评】本题考查双曲线的简单性质及抛物线的标准方程.

8.(炉-工)6的展开式中常数项为()

2x

A."B."C.士D.

816168

【解析】展开式的通项公式为4+1虫-工)'。；/3,令12一3厂=0得r=4,得常数项为C^(--)4=—.故选3.

2216

【点评】二项展开式的通项公式是解决二项展开式的特定项问题的工具.

9.从4名女生、3名男生中任选4人做志愿者，则其中至少有1名男生的不同选法共有()

A.12种B.34种C.35种D.168种

【解析】法一：分3步来计算，

①从7人中，任取4人做志愿者，分析可得，这是组合问题，共C；=35种情况；

②选出的4人都为女生时，有1种情况，

③根据排除法，可得符合题意的选法共35-1=34种；故选：B.

法二：从7人中，任取4人做志愿者，至少1名男生共有C；C：+C；Cj+C；C；=12+18+4=34种；故选：B.

【点评】本题考查计数原理的运用，注意对于本类题型，可以使用排除法，即当从正面来解所包含的情况

比较多时，则采取从反面来解，用所有的结果减去不合题意的结果.

10.已知根，〃是两条不同的直线，a,分是两个不重合的平面.下述四个结论：

①)若m//a,〃///7,a11P,则根//〃；②若m//a,〃///,al。,则m_L〃；

③若根_La,n10,all。，则根//〃；④若根J_cr,〃J_，，a1B，则根_La.

其中正确结论的编号是()

A.①②B.②④C.①④D.③④

【解析】①中，若机//a,〃//4，a11[3,则加//〃或相与〃相交，或相与〃异面，所以①不正确.

②中，若利//a,〃//4，a1/3,则机//〃或相与〃相交，或加与〃异面，所以②不正确.

③中，若M_La,n1(3,a11P,则机//〃，所以③正确.

④中，若a_L£，设a,月的交线为/,aua,且a_L/,由面面垂直的性质可知，aL/3,又〃_L4，则a//〃，

又根J_a,则机_L〃，所以④正确.

综上，③④正确，故选：D.

【点评】本题考查了空间中线面的位置关系，熟练运用线面平行或垂直的判定定理、性质定理是解题关键，

考查了学生的空间立体感和论证推理能力，属于基础题.

二、填空题：本题共6小题，每小题6分，共36分.

11.若｛风｝是公比为3的等比数列，4+q=5,则％

因为｛an｝是公比为3的等比数列，所以q=3,+Oj=5,则％+axcf=5,即10%=5,

故q=g,所以%=3.故答案为：?.

【点评】本题考查了等比数列的性质以及等比数列的通项公式的理解和应用.

12.函数y=/的最小值是1.

【解析】设f=|x|,则/..0,而y=d在[0,+oo)上单调递增，所以y=e'..e°=1,所以函数y=/的最小值是

1,故答案为：1.

【点评】本题主要考查函数值域的求解，指数函数的单调性，是基础题.

13.不等式%2-3%-10>0的解集是—｛x|x>5或x<-2｝_.

【解析】由f-3x-10>0,得(x+2)(x-5)>0,则解集为｛x|x>5或x<-2｝,故答案为：｛x|尤>5或尤<-2｝.

【点评】本题主要考查一元二次函数不等式，属于基础题目.

14.若向量a,6满足|a|=3,|=5,\a+b\=rl,贝！|a.》=—.

—2—

【解析】a.b=-[(a+b)2-a2-b2]=-(l2-32-52)=—.故答案为：—.

2222

【点评】本题考查了向量数量积的计算公式，向量数量积的运算，向量长度的求法，考查了计算能力，属

于基础题.

15.若椭圆。的焦点为a(-1,0)和月(1,0),过耳的直线交。于A,5两点，且AAB&的周长为12,则。的

22

方程为土+匕=1.

—98—

【解析】根据椭圆的定义知AABg的周长为4〃=12,所以Q=3,又c=l,所以。2=8,

2222

所以椭圆C的方程为土+乙=1.故答案为：乙+8=1.

9898

【点评】本题考查了椭圆的标准方程，考查了椭圆的简单性质，属中档题.

16.从数字1,2,3,4,5中随机取3个不同的数字，其和为偶数的概率为0.6.(结果用数值表示)

【解析】从五个数字1,2,3,4,5中，随机取出3个数字，基本事件总数为"=仁=10,

这三个数字之和为偶数一定为2奇1偶有C；C；=6种，，其和为偶数的概率为：p=A=0.6.

故答案为：0.6.

【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意事件概率计算公式的合理运用.

三、解答题：本题共3小题，每小题18分，共54分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.(18分)在AABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a=7,b=3,cosB=-,

7

(1)求c；

(2)求AABC的面积S.

【解析】(1).a=7,b=8,COSB=L，由余弦定理巨=〃+/-2℃33得82=72+C2-2*(7C)*L

77

解得c=5,c=-3(舍去)，故c=5;

(2)cosB=—,sinB=,则AABC的面积S='acsin2=L*7x5*^^=10百.

77227

【点评】此题考查了余弦定理，以及三角形的面积公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关