高中数学特殊数列通项求和

即urn高考要求

要求层次重难点

根据一些数列的前几项抽象、归纳数列的通项公式

数列的概念数列的概念和表示法A

根据数列的递推公式写出数列的前几项

等差数列的概念B等差数列的定义、通项公式、性质的理解与应用

等差数列等差数列的通项公式与灵活应用求和公式解决问题

C

前"项和公式

等比数列的概念B等差数列的定义、通项公式、性质的理解与应用

等比数列等比数列的通项公式与灵活应用求和公式解决问题

C

前九项和公式

aim例题精讲

—Ij反块一：特殊数列通项

（一）知识内容

求数列的通项方法

1、由等差，等比定义，写出通项公式

2、利用迭加a；an]=f（n）、迭乘a/a。/f（n）、迭代

3、一阶递推a=pa+4,我们通常将其化为（a-A）=p｛a-A）看成｛b｝的等比数列

n

n+\nn+1n

4、利用换元思想

5、先猜后证：根据递推式求前几项，猜出通项，用归纳法证明

6、对含a与S的题，进行熟练转化为同一种解题

nn

（二）主要方法:

1、用观察法（不完全归纳法）求数列的通项.

2、运用等差（等比）数列的通项公式.

3、已知数列｛a｝前〃项和S，则a=Pi"=1（注意：不能忘记讨论w=l）

〃〃n15—5n>2

nn-\

4、已知数列｛a｝前〃项之积T,一般可求T,则a=2-（注意：不能忘记讨论”=1）.

“nn-1nj-

n~\

5、已知〃-a=/(n)(n>2),且｛f(n)｝成等差(比)数列，则求〃可用累加法.

nn—1

6、已知一n—=f(AZ)(M>2)9求〃用累乘法.

a〃

n-l

7、已知数列｛a｝的递推关系，研究a“与a11r的关系式的特点，可以通过变形构造，得出新数列｛/5)｝

为等差或等比数列.

8、已知a与S的关系式，利用a=S-S(n>2),将关系式转化为只含有a或S的递推关系，再利

nnnnn-lnn

用上述方法求出a.

n

例如:数列｛a｝：2,4,6,8,10,…，是一个递增数列，且是无穷数列，无界数列,

n

它的首项a=2,a=2"是它的一个通项公式；

1n

其中a=2,=a+2(n22)是它的一个递推公式；

1flnn-l

它的前n项和S=2+4HF2n=2(1+2d----Fn)=n(n+1).

n

(三)典例分析：

1.公式法

【例1】(1)在数列｛〃｝中，a=2,a=a+Inf1+—\则〃=()

n1n+lnIJn

A.2+InnB.2+(n-l)lnnC.2+nlnnD.l+〃+ln〃

⑵数列｛a｝的前〃项和S满足：S=2a-1,试求｛Q｝的通项公式.

nnnnn

【例2】设数列｛a｝中“=1,且S=n2a,求a

n1nnn

2.递推法

【例3】⑴已知数列｛〃｝满足〃=a+3〃+2,且a=2,求a.

nn+ln1n

Q〃+2_p.

⑵已知〃=1,Cl■

1an〃

【变式】⑴设a=2,a=二一，。■史，weN*,则数列布｝的通项b=________.

n+innn

1a+1a

nn

⑵已知数列｛a｝满足：a=m(机为正整数)，a=丁当°“为偶数时，若。=1,贝卜

"1"+13a+1,当a为奇数时

nn

所有可能的取值为.

【变式】某校数学课外小组在坐标纸上，为学校的一块空地设计植树方案如下：第Z棵树种植在点

P(x,y)处，其中x=l,y=1,当上》2时，＜

kkk11

7(a)表示非负实数a的整数部分，例如7(2.6)=2,7(0.2)=0.

按此方案，第6棵树种植点的坐标应为;第2008棵树种植点的坐标应为

【例4】在数列｛a｝中，a=1,a=|1+—+"史・

n1〃+1I〃J〃2〃

⑴设b=±,求数列%｝的通项公式；

nnn

⑵求数列｛a｝的前“项和S.

nn

【例5】各项均为正数的数列{〃},a=a,a=b,且对满足根+〃=p+q的正整数机，n,p,q都

n12

七a+a“—ap+Qq,.

Cl〃)Cl)

(1+m)(1+n(1+6Zp)(1+q

⑴当Q=b=±时，求a;

253

⑵在⑴的条件下，将a用〃表ZF出来(其中〃EN*).

【变式】⑶在⑴的条件下证明[匕4为等比数列，并求通项a.

[1+tZJ几

nJ

⑷证明：对任意“，存在与a有关的常数人使得对于每个正整数”，都有上乏.WX.

九n

【变式】已知数列｛〃｝中a=l,且a=a+(-l)ja-a+3j其中攵=1,2,3•••.

n12k2k-12k+\2k

求｛a｝的通项公式

n

【例6】在数列｛a｝中，4=1,a卫L,求证｛2｝是等差数歹IJ,并求通项”.

n1i2+aan

nn

【变式】⑴已知数列｛a｝中，a>0,且对于任意正整数“有S=-(a+-),求通项a.

nn〃2〃4n

n

⑵设正数数列〃MM，…。，…满足J。。-五a~=a(几22),其中〃=a=1,

012nnn—2n—1n—2n-101

求｛a｝的通项公式.

n

3.综合方法求通项

【例7】⑴已知数列｛a｝中,a=1,a=,求通项a;

n1〃+1a+3〃

n

⑵已知数列｛a｝中,a>0,且对于任意正整数〃有S=-(a+—),求通项〃,

nnn2nCln

【例8】设｛a｝是正数组成的数列，且有。+2=2/晨，对“21恒成立，求a.

nnnn

【例9】已知数列｛a｝满足：S-S=a,又a,=2,求°.

n

nn+1nn+119

设数列｛a｝的前,项和为S，点，2,匚］(“eN)均在函数y=3x-2的图象上,求数列｛a｝的

【例10】

nnIflJ+n

通项公式.

【变式】已知数列｛a｝满足：4=1,2«-ia=a(nGN,n2)

n1nn-1

⑴求数列｛a｝的通项公式；

n

⑵这个数列从第几项开始及其以后各项均小于」一.

1000

1,

f(x),xe0,

已知函数〃x)=，';2;，其中((X)=-21x-+1,

【变式】f(x)=-2x+2.

2

/W-xeQ,

⑴画出y=/(x)的图象;

⑵设y=f(x)[xe—,1I的反函数为y=g(x),a=1,a=g(a),•••,a=g(a);求数列

2I2)121nn-l

｛a｝的通项公式，

n

⑶若xe0,—|,x=f(x),f(x)=x,求x.

o2)1oioo

【变式】设数列｛a｝的前〃项的和S=4a——x2〃+i+-(nGN),

〃〃3〃33+

⑴求〃，a;

(2)证市：数列1+2“｝为等比数列，并求a;

nn

HlJ反块二：特殊数列求和

(一)知识内容

1.直接法：即直接用等差、等比数列的求和公式求和。

(1)等差数列的求和公式：S=%士』=曲+幽二

〃212

na(q=1)

(2)等比数列的求和公式Sa(1-?")(切记：公比含字母时一定要讨论)

n—i-------(q丰1)

,i—q

vn,.n(n+l)(2n+1)

2.公式法:2左2=12+22+32+・一+〃2---------------

6

k=l

2

X攵3=13+23+33+…+〃3=n(n+1)

2

k=l

3.错位相减法：比如｛a｝等塞｛b｝等比，求ab+ab+…+°6的和.

nn1122nn

4.裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差、正负相消剩下首尾若干项。

常见拆项公式：=1-—；—^=1(1-——)-------------------=1(----------—)

n(n+1)n〃+1n(n+2)2nn+2(2n-l)(2n+l)22n-l2n+l

〃•〃！=(〃+1)!-n!

5.分组求和法：把数列的每一项分成若干项，使其转化为等差或等比数列，再求和。

6.合并求和法：如求1002一992+982-972+…+22-12的和。

7.倒序相加法：

8.其它求和法：如归纳猜想法，奇偶法等

(二)主要方法:

1.求数列的和注意方法的选取：关键是看数列的通项公式；

2.求和过程中注意分类讨论思想的运用；

3.转化思想的运用；

(三)典例分析：

1.公式求和法

【例11】已知数列｛a｝中，a=l,前”项和为S,且点尸(a)(〃eN*)在直线x-y+l=0上，则

n1nnn+1

—1+—1+1—+…+1一=z(x)

SSSS

123n

A,如+DB.2C.2nD.n

2n(n+1)n+12(〃+1)

【例12】已知数列｛a｝满足3Q+a=4(〃21)且Q=9,其前〃项之和为S,则满足不等式

nn+1n1n

\S--6|<-L的最小正整数〃是.

n125

【例13】已知数列｛a｝的首项为％前〃项和为S,且点)在直线y=x-p上，p为常数,

〃1nnn+1

⑴求数列｛a,｝的通项公式；

⑵当a=10；且S是S中的一个最大项，试求0的取值范围.

110n

2.裂项求和法

【例14】已知数列a=--------i--------,求它的前〃项和S.

〃n(n+l)(n+2)〃

【点评】常见的裂项相消的方法有:

分式:]

n(n+p)pnn+p

]J]

n(n+l)(n+2)2n(n+1)(n+l)(n+2)

根式：1==_(,+p_6);

\Jn+Jn+pp

对数式：lg〃+'=lg(zz+p)-1g几；

n

指数式：aqn=—(q〃—q〃+i).

i-q

【例15】已知｛a｝是等差数列，且Q=3,a=9,b—,求数列｛a｝的通项公式及｛6｝的前"项和

n25naan

nn+\

S.

【变式】⑴已知a=l11_____,求它的前"项和S.

〃yJn+yJn+2〃

(2)已知a=——-——，求它的前"项和S.

n

(H+l)2-ln

【例16】已知a荔，判断｛a｝的单调性.

【变式】设各项均为正数的数列｛a｝和名｝满足：5a,,5%,5%成等比数列,｛b｝成等差数列，且

nnn

ci—1,b—2,ci—3,

112

⑴求通项a=2;⑵求S=-+—+.：+1.

inaaa

12n

【例17】等比数列｛a｝的前〃项和为S,已知对任意的"wN*,点(w,S)均在函数y=4+r(6>0且

6,)均为常数)的向象上.

⑴求r的值；

(2)当6=2时，记6=2(loga+1)(”eN*),

n2n

证明：对任意的〃eN*,不等式I+1.I*12+1>J.+1成立.

bbb

12n

【变式】已知数列｛Q｝中,a>0,S.a=小3+；儿.

n

⑴试求4的值，使得数列｛Q｝是一个常数数列；

1n

⑵试求«