高一数学新教材同步教学讲义 等式性质与不等式性质（原卷版）

等式性质与不等式性质

【知识点梳理】

知识点一、符号法则与比较大小

实数的符号：

任意XeR,则x>0（X为正数）、x=0或x<0（X为负数）三种情况有且只有一种成立.

两实数的加、乘运算结果的符号具有以下符号性质：

①两个同号实数相加，和的符号不变

符号语言：a>O,b>O=>a+b>O；

a<O,b<O=>a+b<O

②两个同号实数相乘，积是正数

符号语言：6T>0,⅛>0=><7⅛>0;

a<0,b<0=>ab>0

③两个异号实数相乘，积是负数

符号语言：a>0,b<0=>ab<0

④任何实数的平方为非负数，0的平方为0

符号语言：X∈7?=>X2≥0,X=Oo无2=0.

比较两个实数大小的法则：

对任意两个实数〃、b

①α-b>O<=>α>b；

②〃-Z?<Ooavb；

③a—h=O<=>α=b.

对于任意实数。、b,Q>b,a=b,αv∕;三种关系有且只有一种成立.

知识点诠释：这三个式子实质是运用实数运算来比较两个实数的大小关系.它是本章的基础，也是证明

不等式与解不等式的主要依据.

知识点二、不等式的性质

不等式的性质可分为基本性质和运算性质两部分

基本性质有:

(1)对称性：a>b<^>b<a

(2)传递性：a>b,b>c=a>c

(3)可力口性：a>boa+c>b+c(cGR)

c>0=>ac>be

(4)可乘性：a>b,<c=O=ac=be

c<O=αc<be

运算性质有：

(1)可力口法则：a>b,c>d=a+c>b+d.

(2)可乘法则:a>b>O,c>d>O=>a∙c>b∙d>O

(3)可乘方性：a>b>O,n≡=α">b〃>0

知识点诠释：不等式的性质是不等式同解变形的依据.

知识点三、比较两代数式大小的方法

作差法：

任意两个代数式。、b,可以作差Q-匕后比较h与0的关系，进一步比较。与b的大小.

①α-h>0oα>b;

②α-OvOoavb;

@a-b=0oa=b.

作商法：

任意两个值为正的代数式。、b,可以作商α÷。后比较0与1的关系，进一步比较。与〃的大小.

b

φ->l<=>6f>⅛;

b

②@vloα<Z?；

b

®—=IOa=b.

b

中间量法：

若α>b且b>c∙,则α>c(实质是不等式的传递性).一般选择0或1为中间量.

【题型归纳目录】

题型一：用不等式（组）表示不等关系

题型二：作差法比较两数（式）的大小

题型三：利用不等式的性质判断命题真假

题型四：利用不等式的性质证明不等式

题型五：利用不等式的性质比较大小

题型六：利用不等式的基本性质求代数式的取值范围

【典型例题】

题型一：用不等式（组）表示不等关系

例L（2022・湖南•衡阳市田家炳实验中学高一阶段练习）铁路乘车行李规定如下：乘动车组列车携带品的

外部尺寸长、宽、高之和不超过MCm.设携带品外部尺寸长、宽、高分别为氏C（单位：cm）,这个规

定用数学关系式可表示为（）

A.a+b+c<Λ∕B.a+⅛+c>MC.a+h-^∙c>MD.a+h+c<M

例2.（2022・贵州毕节•高一阶段练习）某学生月考数学成绩X不低于100分，英语成绩y和语文成绩Z的

总成绩高于200分且低于240分，用不等式组表示为（）

∫x>100ʃx≥l（X）

ʌ'[200<y+z<240θ'（200≤y+z≤240

ʃX>100∫x>100

c'（200≤y+z≤240θ"∣200<γ+z<240

例3.（2022•江苏淮安•高一期中）某公司准备对一项目进行投资，提出两个投资方案：方案A为一次性投

资300万；方案8为第一年投资80万，以后每年投资20万.下列不等式表示“经过〃年之后，方案8的投入

不大于方案A的投入”的是（）

A.80+20〃≥300B.80+20〃≤300

C.80÷20（>z-l）≥3（）（）D.80+20（n-l）≤3（X）

例4∙（2022∙全国.高一课时练习）请根据“糖水加糖变得更甜了”提炼出一个不等式：（设糖水为“

克，含糖为人克，加入的糖为"，克）.

例5.（2022•辽宁葫芦岛•高一期末）社会实践活动是青年学生按照学校培养目标的要求，利用节假日等课

余时间参与社会政治、经济、文化生活的教育活动.通过社会实践活动,可以使学生丰富对国情的感性认识，

加深对社会、对人民群众的了解，从而增强拥护和执行党的基本路线的自觉性；可以使学生在接触实际的

过程中巩固和深化课堂知识，锻炼和增强解决实际问题的能力.某学校要建立社会实践活动小组，小组由学

生和教师组成，人员构成同时满足以下三个条件：①男学生人数多于女学生人数：②女学生人数多于教师

人数；③教师人数的两倍多于男学生人数.若男学生人数为7,则女学生人数的最小值为；若

男学生人数未知，则该小组人数的最小值为.

【方法技巧与总结】

将不等关系表示成不等式（组）的思路

（1）读懂题意，找准不等式所联系的量.

（2）用适当的不等号连接.

（3）多个不等关系用不等式组表示.

题型二：作差法比较两数（式）的大小

例6.（2022•安徽•高一期中）已知α<b,χ=a3-b,y=a2b-a,则苍），的大小关系为（）

A.χ>yB.XJc.χ=yD.无法确定

例7.（2022・全国•高一课时练习）若α>6>0,则下列不等式中一定成立的是（）

bb+∖C1,1C1,1C2a+ha

A.—>-----B.6?+—>⅛+-C.a+->b+-D.------->-

aa+∖ahbaα+2bb

例8.（2022•新疆克孜勒苏•高一期中）已知P=X2T,Q=2X2-X,则PQ.(填"或"<”)

例9.（2022・广西•高一阶段练习）（1）比较3χ2-x+l与2∕+χ-l的大小;

(2)己知c>α>b>O,求证：—^―>—^―

c-ac-b

例10.（2022・全国•高一课时练习）已知”,8c∈R',且αw匕Wc,试比较

ab^a+b)+hc(b+c)+ac^a+c)与6abc的大小.

【方法技巧与总结】

作差法比较大小的步骤

/‹rɪʌ两个实数（或代数式）的大小•

<7=√可以根据它们的差的符号进行判断

N（1）进行因式分解转化为多个因式相乘）

L

pT）通过配方转化为几个非负实数之和）

—〔注意题目本身提供的字母的取值范困）

ζ⅞ζ）—（根据符号判新大小）

题型三：利用不等式的性质判断命题真假

例11.（2022・四川成都•高一期末（文））若a,人为实数，下列命题正确的是（）

A.若a>b,则a?〉/B.若∣α∣>h,则标>/

C.若/>凡则α>bD.若。>烟，则"2>∕√

例12.（2022•陕西•咸阳市高新一中高一期中）如果α<>vθ,那么（）

A.a-b>0B.ac<bcC.ɪ>ɪD.a2<b2

ab

例13.（2020・新疆师范大学附属中学高一期末）若a力,c,dwR,则下列说法正确的是（）

A.若a>b,c>d,则αc>bdB.若a>b,则OC2>∕7c∙2

C.若a>b,贝IJa-C>6-CD.若“<6<0,则,<1

ab

例14.（多选题）（2022・湖北•测试・编辑教研五高一阶段练习）下列命题为真命题的是（）

A.若一2<a<3,l<6<2,则一4<α-∕j<2

B.若ac1>b/,则α>b

C.若人<“<0,机<0,则竺>生

ab

D.若a>b,c>d,贝!]αc>M

【方法技巧与总结】

运用不等式的性质判断真假的技巧

（1）首先要注意不等式成立的条件，不要弱化条件，尤其是不凭想当然随意捏造性质.

（2）解决有关不等式选择题时，也可采用特值法进行排除，注意取值一定要遵循以下原则：一是满足题

设条件：二是取值要简单，便于验证计算.

题型四：利用不等式的性质证明不等式

例15.（2022∙湖南•高一课时练习）利用不等式的性质证明下列不等式：

(1)若avb,c<0,贝|J(。-b)c>O;

⑵若α<O,-↑<h<Of则〃<4/<必.

例16.（2022•全国•高一课时练习）已知α>8>0,CVdV0,m<0,求证:

⑴£(占

…m"7

⑵工F∙

例17.（2022.全国•高一课时练习）已知下列三个不等式：φab>0,（2）->γ,③bc>ad,以其中两个作

ab

为条件，余下一个作为结论，可组成几个真命题？请证明你的结论.

例W（2022・全国•高一课时练习）若出«。+8）,则彘r焉芸.

⑴若存在常数”’使得不等式Ur七≤M≤扁+已对任意正数b恒成立,试求常数M

的值,并证明不等式：M≤备+七;

(2)证明不等式：&+bWa+b

3.+262a+3b2a+3b3a+2b

【方法技巧与总结】

对利用不等式的性质证明不等式的说明

⑴不等式的性质是证明不等式的基础，对任意两个实数a,b有a-b>O=a>b;a-b=O=a=b;a-b<O=>a<b.

这是比较两个实数大小的依据，也是证明不等式的基础.

（2）利用不等式的性质证明不等式，关键要对性质正确理解和运用，要弄清楚每一条性质的条件和结论,

注意条件的加强和减弱、条件和结论之间的相互联系.

（3）比较法是证明不等式的基本方法之一，是实数大小比较和实数运算性质的直接应用.

题型五：利用不等式的性质比较大小

例19.（2022∙内蒙古・赤峰二中高一阶段练习（理））下列命题正确的是（）

A.若ac>be,贝∣Ja>b

B.若ac=be,则”=力

C.若a>b,则一<7

ab

D.若ad>be?,则α>b

例20.（2022∙内蒙古•赤峰市元宝山区第一中学高一期中）若匕<0,则下列不等式不能成立的是（）

A.a2>b2B.—>—C.同>网D.------>一

aba-ba

例2L（多选题）（2022・江苏・扬州大学附属中学高一期中）己知c∈R,下列不等式中正确的是

（）

cc11

A.d—ob—cB.一<—C.ai>blD.-----<-----

aba-∖b-∖

例22.（多选题）（2022•广东•小榄中学高一阶段练习）对于实数α,"c,下列命题正确的是（）

A.若a>b,贝!][c<∕?CB.若"匕<0,贝∣Jα2>6⅛>/

C.若c>a>b>O,则"VbD.若a>b,ɪ>ɪ,则4>O,i>vO

c—ac—bab

例23.（多选题）（2022.贵州贵阳•高一期末）下列说法正确的有（）

A.若a>b,cvd,则Q-c>人一dB.a>b>O,c<d<0,则4cv⅛∕

CC（1（l∙∖∙C

C.若α>8>c>（）,则一>一D.^a>b>c>O则一<----

abfbb+c

例24.（多选题）（2022.广东.深圳科学高中高一期中）下列说法正确的是（）

A.若a>Z?>0,Jil∣J—<ɪB.若α>0>0,m>0,则〃+〉’

aba+ma

C.a>b>Of贝∣J∕-∕√D.若Q>h>O,则汗>历2

【方法技巧与总结】

注意点：

①记准、记熟不等式的性质并注意在解题中灵活准确地加以应用；

②应用不等式的性质进行推导时，应注意紧扣不等式的性质成立的条件，且不可省略条件或跳步推导,

更不能随意构造性质与法则

题型六：利用不等式的基本性质求代数式的取值范围

例25.（2020・广东•新会陈经纶中学高一期中）已知0<x<4,0<y<6,则2x-y的取值范围是____

例26.（2022滁州市第三十六中学（江苏师范大学附属中学）高一阶段练习）已知2<“<3,_2<6<_1,则2。-6

的取值范围为

例27.（2022•吉林延边•高一期末）己知l≤α≤2,-l≤b≤4,则α-2⅛的取值范围是（）

A.-7≤a-2b≤4B.-6<a-2b≤9

C.6<a-2b≤9D.-2<a-2b≤8

例28.（2020•浙江台州•高一期中）已知α<b<c且α+2⅛+3c=0,则的取值范围是

a

例29.（多选题）（2022•新疆・乌鲁木齐市第70中高一阶段练习）已知实数x,y满足

—3<x+2yV2,—1V2x—y<4,贝IJ（）

A.-l<x<2B.-2<y<∖C.-3<x÷y<3D.-1<x-γ<3

fl≤α+b≤3

例30.（2022•四川省泸县第二中学模拟预测（文））已知”,SeR且满足；[二，则4〃+»的取值范

[-l≤α-6≤l

围是_______________

例31.（2022•福建・厦门市国祺中学高一期中）若-1<α+b<3,2<a-b<4,t=2a+3b,则f的取值范

围为•

9〃~~c

例32.（2022・全国•高一期中）已知b>0,^-4h≤a-c≤-b≤4a-c≤5b,则---的取值范围是

例33.（2022・湖北•车城高中高一阶段练习）（1）已知2<x<3,2<y<3,求万一丁和土的取值范围;

(2)已知2<x+y≤4,-l<x-y<3,求3x+y的取值范围.

例34.（2。22・湖北•武汉市钢城第四中学高一阶段练习）设2<"7,i<2,求α+3b,2j,滤范

围.

【方法技巧与总结】

利用不等式的性质求取值范围的策略

建立待求范围的整体与已知范围的整体的关系，最后利用一次不等式的性质进行运算，求得待求的范

围.如已知20<x+y<30,15<x—y<18,要求2x+3y的范围，不能分别求出x,y的范围，再求2x+3y

的范围，应把已知的"x+y'"χ-y’视为整体，即2x+3y=∙∣（x+y）-T（X—y），所以需分别求出^（x+y），-T（X

一y）的范围，两范围相加可得2x+3y的范围.“范围”必须对应某个字母变量或代数式，一旦变化出其他的

范围问题，则不能再间接得出，必须“直来直去”，即直接找到要求的量与已知的量间的数量关系，然后去

求.注意同向（异向）不等式的两边可以相加（相减），这种转化不是等价变形，如果在解题过程中多次使用这

种转化，就有可能扩大其取值范围.

【同步练习】

一、单选题

1.（2022・山西师范大学实验中学高二阶段练习）若AceR,且α>b,则下列不等式中一定成立的是（）

2

A.a+b≥b-cB.ac≥bcC.——>0D.{a-b）c2≥0

a-b

2.（2022∙宁夏・银川二中高二期中（理））已知α,"c∈R且八则下列不等式中一定成立的是（）

A.—<—B.ac>he

ab

C.a2>h2D.（β-b）c2≥O

3.（2022•湖北.随州市曾都区第一中学高一阶段练习）已知实数X,y满足-14x+y≤3,4≤2x-y≤9,

则4x+y可能取的值为（）

A.1B.OC.15D.16

4.（2022.河南•夏邑第一高级中学高二期中（文））若。是实数，p=√7W5+α,β=√^2÷6÷√ɑ2+4，

则P,Q的大小关系是（）

A.Q>PB.P=Q

C.P>QD.由α的取值确定

21

5.（2022.重庆八中高三阶段练习）若”,〃都是非零实数，满足4>处，且则下列不等式一定成立

ab

的是（）

A.a-b>OB.a-b<OC.a∙b>OD.ab<O

6.（2022.北京・北师大实验中学高二期中）古希腊时期，人们把宽与长之比为与，告ɪ、0.618的矩

形称为黄金矩形，把这个比值逅二ɪ称为黄金分害肚匕例.如图为希腊的一座古建筑，其中图中的矩形A8CD,

2

EBCF,FGHC,FGJl,LGJK,MNjK均为黄金矩形，若M与K间的距离超过1.5米，C与尸间的距离小

于11米，则该古建筑中A与B间的距离可能是（）（参考数据：0.6182=0.382,0.6183≈0.236,

0.6184»0.146,0.6185≈0.090,0.6186≈0.056,0.6187≈0.034）

A.30.3米B.30.1米C.29.2米D.27.4米

7.（2020.湖北•襄阳市第二十四中学高一阶段练习）下列命题中，正确的是（）

A.若α>b,od,贝∣Ja-c>b-dB.若。>6,则ac>bc

C.若α>6>0,c>d>O,则二>2D.若“>力，则”2>力2

ac

.,..abccl

8.（2022∙陕西•西安中学高二期末（文）），a,b,c,d0氏d,设rSo=----------+------------+-----------+-----------,

a+b+db+c+ac+d+bd+a+c

则下列判断中正确的是（）

A.O<S<1B.3<S<4C.2<5<3D.1<S<2

二、多选题

9.（2022•海南中学高三阶段练习）若α,h,c∈R,则下列命题正确的是（）

A.若〃人W0且α<b,贝I'>!

B.若OVaV1,则

ab

C.若α>b>O且c>0,则D.a?+匕2+1之2（Q—2力-2）

a+ca

10.（2022•广东佛山•模拟预测）下列命题为真命题的是（）

A.若a>b,c>d,则α+c>b+dB.若a>b,c>d,则ac>

C.若a>b,∣J!!1ac2>bc2D.若α<b<O,c<0,则£<£

ab

II.（2022∙黑龙江•大庆外国语学校高一开学考试）若实数α,b,c,d满足α>b>O>c>d,则以下不等式

一定成立的是（）

C,,〜ab

A.c2<cdB.ci—d>b—cC.cic>bdD.—<—

ca

12.（2022•安徽.泾县中学高一阶段练习）已知实数”2,4也满足0<4<a2,0<bl<4，且4+%：=&+4=1,

记p=q4+α2%,q=，也+砧、,r=%%+岫2,则下列说法正确的是（）

A.p+q=lB.qp=r2

C.P>r>qD.p>^>r

三、填空题

13.（2022•新疆•莎车县第一中学高二期中（文））设〃=⅛=√7-√3,c=√6-√2,则。，b,C的

大小关系.

14.（2022♦全国•高三专题练习）若X,ywR,=x2-2xy+3y2-x+y,则〃的最小值为

15.（2020•上海市晋元高级中学高一期中）给出下列命题：①若而>0,a>b,则②若α>b,c>d,

ah

hh+/77

则α-c>6T;③对于正数。力,〃7,若a<b,则竺'.其中真命