2024届高三12月大联考考后强化卷（新高考卷）数学试卷及答案

:绝密★启用前

=2024届高三12月大联考考后强化卷(新课标I卷)

O

数学

：(考试时间：120分钟试卷满分：150分)

金注意事项：

：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

；2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡

：皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

&3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

：一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

出：求的。

世

:1.已知集合/={xeZ|x2-x-2V0},5={x|0MxV5},则4nB=

jA.{0,1}B.{0,1,2}C.[0,2)D.[0,2]

；2.已知命题P：“VxeZ,—NO"，则F为

：A.VxeZ,x2<0B.VxgZ,x2<0

-：C.3xeZ,x2>0D.3%eZ,x2<0

sO3.已知向量。=(L机)力=(1,T),且(。+瓦)_1_方，则实数加=

:A.3B.—C.—D.—3

：22

•TTTT

:4.为了得到函数歹二sin(2x+2)的图象，只需把函数歹=sin(2x-^)的图象

:o3

堞

•JTIT

W：A.向右平移个单位长度B.向左平移5个单位长度

教

：C.向左平移/个单位长度D.向右平移/个单位长度

95.(1)(x+>)6的展开式中％与2的系数为

：y

:A.55B.-70C.65D.-25

“；6.已知函数/(x)=e*T-广苫+4,若方程/(%)=履+4-左(左>0)有3个不同的根与和七，则西+当+七=

策

3A.kB.2C.3D.4

直

：7.道韵楼以“古、大、奇、美”著称，内部有雕梁画栋、倒吊莲花、壁画、雕塑等，是历史、文化、民俗等

：的观光胜地.如图，道韵楼可近似地看成一个正八棱柱，其底面面积约为3200(亚+1)平方米，高约为11.5

；米，则该八棱柱的侧面积约为

6

数学试题第1页(共4页)

A.3680平方米B.2760平方米C.1840平方米D.460平方米

8.设a=3",6=/,c=e",则a,b,c的大小关系为

A.a>b>cB.c>a>bC.a>obD.ob>a

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部

选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得。分。

9.若复数z满足(-l+i)z=l+5i(i是虚数单位)，则下列说法正确的是

A.2的虚部为-3iB.z的模为.

C.z的共筑复数为3-2iD.z在复平面内对应的点位于第四象限

10.已知函数/(x)=e*-2x+l,则下列说法正确的是

A.“X)有极大值21n2B./(x)有极小值3-21n2

C.无最大值D.在(In2,+勾上单调递增

11.在直角坐标系X0V中，已知抛物线c：/=2px(0>0)的焦点为尸，过点尸的倾斜角为I的直线/与

抛物线。交于4,B两点,且点4在第一象限，△。月3的面积是2行，则

A.p=2B.|物=9

C.Jr嘉=1D.©1=2+百

12.如图，正四面体的棱长为。，则

A.点力到直线8的距离为火。

2

B.点4到平面的距离为立〃

3

C.直线与平面58所成角的余弦值为无

2

D.二面角Z-4C-。的余弦值为:

数学试题第2页(共4页)

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知tan9=2,贝=

14.已知x,N的取值如表：

X01356

y1m3m5.67.4

画散点图分析，知夕与X线性相关，且求得线性回归方程为》=x+l,则%=.

15.已知数列｛%｝的前〃项和S“=(a-2)/+〃+a,〃eN*.若｛%｝是等差数列,则｛%｝的通项公式

为.

16.已知椭圆的左焦点为凡离心率为，，过点厂的直线/交椭圆于/,8两点，且

1^1=3|^|,则直线/的斜率为.

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(10分)

在①sinB=6sin/;②bcosC+ccosB=2cos8这两个条件中任选一个，补充在下面问题中并解答.

问题：设△45C的内角/,B,C的对边分别为a,b,c,且sin/+sin(5-/)=sinC,b=B.

(1)求3；

(2)求△/BC的周长.

注：若选择条件①、条件②分别解答，则按第一个解答计分.

18.(12分)

近年来，国家鼓励德、智、体、美、劳全面发展，舞蹈课是学生们热爱的课程之一.某高中随机调研了

本校2023年参加高考的90位考生是否喜欢跳舞的情况，经统计，跳舞与性别情况如下表：(单位：人)

喜欢跳舞不喜欢跳舞

女生2535

男生525

(1)根据表中数据，并依据小概率值a=0.05的独立性检验，分析喜欢跳舞与性别是否有关联；

(2)用本次调研中样本的频率代替概率，从2023年本校参加高考的所有考生中随机抽取3人，设被

抽取的3人中喜欢跳舞的人数为X,求X的分布列及数学期望颐X).

n(ad-be)2

〃=a+b+c+d.

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

a0.100.050.0250.0100.005

%2.7063.8415.0246.6357.879

数学试题第3页(共4页)

19.(12分)

已知等比数列｛6｝的各项均为正数，前〃项和为S",且满足q+%=4,$4=40.OO

(1)求数列｛%｝的通项公式；

(2)若数列｛，｝满足a=na1t,求数列｛，｝的前"项和Tn.

20.(12分)

如图，在四棱锥P-NBC。中，底面45。是正方形，PD_L底面48cD,£,尸分别是棱尸的中点.2-

乓

O磔O

(1)求证：DE〃平面尸尸8；

(2)若尸5与平面/8C0所成的角为45。，求平面PFS与平面瓦>8夹角的余弦值.)□

21.(12分)

游解

已知函数"x)=Inx+e+1,g(x)=x(e*-1).

游

(1)若/(x)的最大值是0,求徵的值；

(2)若对任意x>0,/(x)Vg(x)恒成立，求”?的取值范围.

22.(12分)

OO

己知£(-5,0),乙(e,0),M为平面上一动点，且满足I町记动点M■的轨迹为曲线及

(1)求曲线E的方程；

(2)若4-2,0),5(2,0),过点(1,0)的动直线/交曲线E于尸，。(不同于4B)两点，直线N尸与直

线3。的斜率分别记为⑥，，k,求证：养为定值，并求出该定值.

BQ4

KBQ陶

坨

OO

OO

数学试题第4页(共4页)

2024届高三12月大联考考后强化卷(新课标I卷)

数学•全解全析

123456789101112

BDABDCACBDBCDACABD

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

求的。

1.B【解析】因为N={xeZ|(x-2)(x+l)40}={-l,0,l,2},8={x|0WxW5},所以/Cl2={0,1,2}.故选B.

2.D【解析】由全称命题的否定为特称命题，可知原命题的否定为*eZ,x2<0.故选D.

3.A【解析】由。=(1,加),6=(1,—1),得。+6=(2,%-1).因为(“+〃)_1/),所以(0+5)股=0,

所以lx2-lx(加一1)=0,解得加=3.故选A.

4.B【解析】因为函数ksin(2x+a可变形为ksin[2(x+&],

函数ksin(2x-$可变形为7=sin[2(x-少]，所以把函数ksin(2x-g)的图象向左平移^个单位长度,

3634

7T

即可得到函数>=sin(2x+1)的图象，故选B.

6

5.D【解析】含/必的项为T=1XC*4/-7><C，/=-25X4/,所以展开式中//的系数为-25.故选D.

6.C【解析】由题意，因为6一一小=一©-尸)，所以尸e，-b为奇函数，

“X)的图象是由函数了=/--工的图象向右平移1个单位长度，再向上平移4个单位长度得到的，

所以“X)的图象关于点(1,4)对称.

又>=履+4-左=©x-l)+4所表示的直线也关于点(1,4)对称，

所以方程〃x)=h+4-后的3个实根%,3,当中必有一个为1,另外两个关于点(L4)对称，

所以玉+%2+%3=3.故选C.

27r7E

7.A【解析】如图，由题意，知底面/BOKFGH是正八边形，/-AOB=――=—.

84

*a

在△048中，由余弦定理，AB2=OA2+OB2-2.OA-OBcosZAOB=(2-4i)0A2,

数学全解全析第1页(共8页)

则。/2=2//序.因为底面/8CDEFG”的面积为3200(a+1)平方米，

所以=3200(0+1),解得N3=40,

222

所以该八棱柱的侧面积为40x8x11.5=3680平方米.故选A.

8.C【解析】由题意，知lna=jrln3,lnb=eln兀，\nc=7t,显然lna〉lnc.

对于eln兀，兀的大小，只需比较皿，小的大小.

71e

4/(x)=—>x>e,贝|]/口)=匕学40,即“X)在[e,+8)上单调递减，

XX

所以所以Mb=elnji<Inc=兀.综上，Ina>Inc>In,故。>c>b.故选C.

7ie

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部

选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得。分。

9.BD【解析】对于A,由(-l+i)z=l+5i,得z===2詈•=2-3i,所以z的虚部为-3,

-1+1(-1+1)(-1-1)2

故A错误；

对于B,z的模为也2+(-3)2=屈，故B正确；

对于C,z的共根复数为2+3i,故C错误；

对于D,z在复平面内对应的点为(2,-3),位于第四象限，故D正确.故选BD.

10.BCD【解析】因为f(x)=e，-2x+l的定义域为R,且/'(x)=e"一2,令/"(x)=0,得x=ln2,

所以当xe(-8,ln2)时，/((x)<0,〃无)单调递减，当xe(出2,+◎时，f\x)>0,单调递增，

所以当x=ln2时，“X)取得极小值，无极大值，也无最大值，

且/Xx)极小值=/(ln2)=3-21n2,所以B,C,D正确，A错误.故选BCD.

11.AC【解析】方法一：由题意，知抛物线必=2px(p>0)的焦点为广(方0),则直线/的方程为>=尤-金

代入抛物线方程，得f-3px+/=0.设/(再,必),8(工2,%),则占+超=3p.

由抛物线的定义，得|/尸|=占+5，|5尸|=马+1,所以|4切=|//1+19口=芯+无2+0=4，

Io—o——|B_

坐标原点。到直线/的距离为I2=土£，所以△0/8的面积为L此x4P=2应，解得P=2,

712+(-1)2424

故A正确；

又|幽=4。=8,故B错误；

由P=2,得/-6%+1=0,解得再=4+2后，X？=4-2后，

数学全解全析第2页(共8页)

所以西+两=4+20+"20=1故C正确；

|4>4+20,故D错误.故选AC.

方法二：由题意，得|48|=’^=4。，设直线/：v=x-^,即x-y-4=0,则点。到直线45的

sin2-22

4

|_£|

距离是12=@所以J.*4Px立0=2五，解得尸=2,所以|/5|=8,二；+焉=2=1,

#+.1)2424\AF\IBFIp

\AF^—E—=2(2+72),所以A,C正确.故选AC.

1-cos-

4

12.ABD【解析】对于A,在等边三角形48中，点4到直线8的距离为a.sin工=且。，故A正确;

32

对于B,如图，

取C。的中点E,连接上，BE,过点/作NG,BE交BE于点G,则ZE_L8,BEVCD.

又^En8E=E,AE,BEu平面所以CZ>_L平面4BE.

又8u平面38,所以平面28J_平面4BE.

又平面BCDn平面4BE=BE,AGVBE,ZGu平面48E,所以4G_L平面38.

由正四面体的性质，知BG=^BE=ZxBa=2a,

3323

所以在Rt^/GB中，ZG=飞山一BG?=卜2-吟a¥=乎a，故B正确；

对于C,由B,知4G_L平面3CO,所以/4BG即为直线48与平面88所成的角.

百

—ar~

在RtaZGB中，cos445G=空=二一=遗，故C错误；

ABa3

对于D,取BC的中点凡连接4F,DF,如图，则4FL3C,DFLBC.

教学全解全析第3页(共8页)

又/Fu平面48C,DFu平面8c〃，平面4SCPI平面,

所以N/FD为二面角/-BC-D的平面角.

XAF=DF=a-sin—=^-a,AD=a,

32

12

一CL1

2_1

所以在中，由余弦定理,

九23

2

所以二面角。的余弦值为故正确.

4-8C-g,D故选ABD.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

ca

2tan—。。

42a3_2x24故填-4

13.y【解析】由题意，得tam】——二=-j.g.

2

1+2。1-2

31-tan—

3

3-1-114+4m

14.—【解析】x=—x（0+l+3+5+6）=3,=—x（1+m+3m+5.6+7.4）=

5

14+4m14+4m33

又歹与x的线性回归方程j=%+l过点（3,），・•・=3+1,解得加=；.故填

55

15.。〃=—4〃+3【解析】由S〃=（〃一2）〃2+〃+〃,知当”=1时,4=SI=2Q—1；

当〃之2时，Q〃=S〃—=2（a—2）n+3—Q,

止匕日寸，出=4（。-2）+3—a—3。一5,

当“22时，。“+]—a“=2（＜?—2）.又a2~—3a—5—（2a-1）=tz—4.

若数列｛%｝是等差数列，贝|2（a-2）=a-4,所以。=0,所以a“=-4〃+3.故填。“=-4〃+3.

16.±—【解析】设N（x”必），8（芍，%），因为|/尸|=3］必|,又4尸,3三点共线,

3一一

所以N=3而，所以（-c-x],-%）=3（%+c,%）,所以%+3无2=-4c,yl+3y2=0.

-22

9+%-1

2

。2b，所以，厚+4■-驾=-8,

又幺（再,必），5（彳2,必）在椭圆上,所以'

.2,2a,2a2b2b2

2=1

L2b2

r\2

（网+3%）（再一3》2）।（必+3%）（,二3%）-4c（再-3X2）

即=-8,所以——8,所以再—3X=-----,

a2b2a22

2

所以王=幺-2c.又£=",所以"=3。2,所以占=c.由1+号=1,解得必=±£lc

22

Ca3ab-'3

当厅李时,号时,直线/的斜率左U，V33

直线/的斜率后H，当L

石+C

所以直线/的斜率为-"或故填土

333

数学全解全析第4页（共8页）

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（10分）

【解析】（1）在△/BC中，C=n-A-B,，sinC=sin（/+2）.（1分）

sinA+sin（5-^）=sinC,sinA+sin（5-A）=sin（A+B）,化简,得sin4=2sin4cos8.（2分）

在△/8C中，sin/wO,cos5=g.（3分）

jr

X***0<5<7c,=（4分）

（2）由余弦定理，^b2=a2+c2-2accosB,a1+c1-ac=3-（6分）

若选①，

「sin8=百sin/，即6=百a.（7分）

又。2+c2_。。=3,.*.«=1,c=2,（9分）

此时△ZBC的周长为3+百.（10分）

若选②，

..,c,.,a2+b2-c2a2+c2-b1_“人、

・bcosC+ccosBn=2cosBn,../?x----------------hex---------------=2cosn,（6分）

lablac

即。=2（:055=2乂；=1.（8分）

又。2+，_。。=3,:•c=2,（9分）

此时△ZBC的周长为3+百.（10分）

18.（12分）

【解析】（1）零假设“0：喜欢跳舞与性别无关联.（1分）

90（25x25—35x5）2

由题意，Z2=5.625>3.841=%05，（3分）

60x30x30x60

依据小概率值a=0.05的独立性检验，可推断X。不成立，即认为喜欢跳舞与性别有关联.（5分）

3012

（2）由题意，知考生喜欢跳舞的概率尸=茹=],不喜欢跳舞的概率为（6分）

2

x（-）x-=A=Z

333279

所以X的分布列为

X0123

8421

P

279927

（10分）

由》~2（3,§,知E（X）=3x；=l.（12分）

数学全解全析第5页（共8页）

19.（12分）

【解析】⑴设等比数列｛%｝的公比为式4>0）,

因为%+出=4,$4=40,所以％+%+%相=（%+%）/=36,（2分）

即4/=36,所以q=3（q=-3舍去），（3分）

所以％+电=%+3%=4,所以％=1,（4分）

所以%=3一（5分）

（2）由⑴得6"=〃.3"T,（6分）

则7；=1+2x3+3*32+…+①，（8分）

37；,=3+2x32+3x33+•­•+»-3"@,（10分）

1-V11

由①-②，得一27=1+3+3?+…+3"T-〃-3"=-—-n-3"-（—一-一，（11分）

1-322

所以Ha2分）

20.（12分）

【解析】（1）如图，设G为P5的中点，连接GE,FG,

又瓦尸分别是PC,ND的中点，所以尸O==GE//BC.（2分）

又底面/BCD是正方形，所以/D=8C,AD//BC,所以尸Z）=GE,GE//FD,（3分）

所以四边形阳EG为平行四边形，所以。E〃尸G.（4分）

又。E<z平面PF8,FGu平面尸尸2,所以DE〃平面尸尸2.（5分）

（2）由题意，知NPAD=45。，以。为原点，直线。4OGDP分别为％轴、V轴、z轴建立空间直角坐

标系，如图，（6分）

161

令4B=1,则尸D==夜，所以8(1,1,0),。(0,0,0),£(0,1,学)，尸£,0,0),P(0,0,0),

所以丽=(1,1,0),砺=(0,g,白)，丽=(1,1,-V2),F8=(1,1,0).(7分)

数学全解全析第6页（共8页）

m•DB=x+y=0

设胆=(x,y,z)为平面瓦”的法向量，则(_i

m-DE=—yd-----z=0

[22

令y=6，则阳=（一行，后，一1）.（9分）

n•PB=a+b-41c=0

设〃=m也0）为平面尸”的法向量，则＜—►1

n•FB=—a+b=0

2

B

令a=2,贝Ij〃=(2,-1,5-),(10分)

~、/wnJy7V55

所以cos〈“〃〉=^―---=-----r==---,（11分）

股“石xJU55

所以平面EF2与平面瓦用夹角的余弦值为△匣.（12分）

55

21.（12分）

【解析】（1）〃X）的定义域为（0,转），r（x）=-+m.（1分）

X

若加20,则/'（x）＞0,“X）在定义域内单调递增，无最大值；（2分）

若加＜0,则当尤€（0,-上）时，r（x）＞0,函数/（x）单调递增，

m

当xe（-工,+s）时，/'（x）＜0,函数“X）单调递减，（4分）

m

所以当X=-工时，/（X）取得极大值，也是最大值，为〃-'）=In（-工）=0,解得加=-1.（5分）

mmm

（2）对任意x＞0J（x）Mg（x）恒成立,即机+ive，■在（0,+网上恒成立.（6分）

X

“/、xlnx+1皿，/、x2ex+Inx”八、

设9（x）=e'-----------，贝U"（x）=--------z-•0分）

XX

设q（x）=/e，+Inx,则/（无）=（尤？+2x）e*+工＞0,所以q（x）在（0,+co）上单调递增，且4（!）＜0,式1）＞0,

x2

所以4（X）有唯一零点/G（pl）,且+lnx0=