圆中的相交弦模型-2024年中考数学核心几何模型重点突破（学生版）

专题25圆中的相交弦模型

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【理论基础】相交弦定理

如图25-1，已知在。0中，弦48与弦CD交于点尸，点P在0O内nK4•必=尸。・尸£）。

【证明】

如图25-2,连接/C,BD,

AAPC=ZDPB

.二《，

ZA=ND

AAPCsADPB

PAPC

"PD~PB

PA・PB=PC♦PD

图25-2

【模型变式】如图25-3,已知在。。中，48为直径，CD为弦，45与CD相交于点P,

点P在0O内n弘・PB=PC・PD。

【例1】如图是以点。为圆心，为直径的圆形纸片，点C在。。上，将该圆形纸片沿直

线C。对折，点8落在。O上的点。处(不与点N重合)，连接C8,CD,AD.设CD与直

径N8交于点E.若AD=ED,则度；绘的值等于

【例2】如图，在△48。中，AB=AC,。是△NBC的外接圆，连接8。并延长交边NC于

点D.

(1)如图1,求证：NBAC=2NABD；

(2)如图2,过点3作于点H,延长交。。于点G,连接OC,CG,0c交

BG于点、F,求证：BF=2HG；

(3)如图3,在(2)的条件下，若/D=2,CD=3,求线段39的长.

D

VUG

o

一、单选题

1.如图，四边形/BCD内接于圆，已知/C=3C,延长/。到尸使得£>9=8。=3,已知

/4EB=90°,且/E：ED=3：1,则BE的长为（）

A.2.5B.20C.—D.3

2

2.如图，已知。。的半径为3,弦CO=4,A为。。上一动点（点A与点C、。不重合），

连接NO并延长交8于点£,交。。于点3,P为CD上一点,当//PB=120。时，则"出尸

的最大值为（）

A.4B.6C.8D.12

3.如图，已知弦与弦CO交于点P,且P为N3的中点，延长交于点£,若

AC=2,BD=3,则CE+8£=()

A.9B.D.6A/3

二、填空题

4.如图，△48C内接于。O,为。。的直径，。为。O上一点（位于下方），CO交

4B于点E,若NBDC=45°,BC=64i，CE=2DE,则CE的长为

5.如图，。。的直径N3过丽的中点/,若/C=30。，AB、CD交于点E,连接NC、BD,

则黑

BE

6.如图，A、B、C、。是OO上的四个点，4B=AC,AD交BC于点、E,若AE=2,ED=4,

则4B=

C

B

E

7.如图，已知四边形48。内接于。0,半径工0=6,对角线/。、8。交于£点，且=

EC=2,则AD=.

8.如图，点/、B、C、。在。。上，是。。的直径，且么。=30,若/ABC=NCAD,

BC交AD于点E,则CE-BC为.

9.如图，点A、。在以8c为直径的。。上，且。是/C的中点，AC与BD交于点、E若AE=3,

CD=2括，则CE的长为.

三、解答题

10.我们定义：如果圆的两条弦互相垂直且相交，那么这两条弦互为“十字弦”，也把其中的

一条弦叫做另一条弦的“十字弦”.如图1,己知。。的两条弦则/2、CD互为“十

字弦”，43是CO的“十字弦”，CD也是的“十字弦”.

【概念理解】

(1)若0。的半径为5,一条弦/2=8,则弦的“十字弦”CO的最大值为，最小值为.

图1

(2)如图2,若。。的弦CD恰好是。O的直径，弦AB与CD相交于H,连接/C,若AC=12,

DH=1,CH=9,求证：/5、CD互为“十字弦”;

【问题解决】

(3)如图3,在。。中，半径为加，弦与CD相交于〃,48、CO互为“十字弦”且N3=C£>,

H=5,则CD的长度.

DH

II.如图，已知N5为。。的直径，弦CD_L/8,垂足为〃

⑴求证：AH-AB=AC2；

⑵若过/的直线与弦CD(不含端点)相交于点E,与。。相交于点尸，求证：AE'AF=AC\

⑶若过/的直线与直线CD相交于点尸，与。。相交于点Q,判断/尸・/0=/。2是否成立(不

必证明).

12.如图，N8是。。的直径，弦CD_L/3于点E,尸为石上一点，DF=BD＞连接C尸分

别交4B,于点G,H.

(1)求证：FH=GH；

(2)若4H:CH=3:4,且Z尸=15,求G8的长.

13.如图，48为。O