高中数学复习 数列与数学归纳法

要求层次重难点

⑴数列的概念和简单表示法

数列的概念和表示法B

①了解数列的概念和几种简单的表示方法(列

等差数列的概念B

表、图象、通项公式).

等比数列的概念B②了解数列是自变量为正整数的一类函数.

等差数列的通项公式与前⑵等差数列、等比数列

C①理解等差数列、等比数列的概念.

数列与数”项和公式

学归纳法②掌握等差数列、等比数列的通项公式与前〃

等比数列的通项公式与前项和公式.

C

n项和公式③能在具体的问题情境中识别数列的等差关系

或等比关系，并能用有关知识解决相应的问题.

④了解等差数列与一次函数、等比数列与指数

数学归纳法B函数的关系.

⑶了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证

明一些简单的数学命题.

板块一：数列的通项公式

(一)主要方法:

常见的已知递推式求通项公式的常用方法：

1

(1)xn=%„_1+f(n)(其中/0),贝+f/(左)；

k=2

⑵x“=/(〃)x0T(其中/(〃)/0),则5=/(〃)••/⑵％;

(3)xn=a-xn_x+/(n)(其中awO,awl,f(〃)是关于〃的多项式函数)，

可设Z+g(〃)=〃区-i+g5-1))，其中g(X)为与/(〃)的次数相等的多项式函数，各项的系数都待定,

通过比较ag(〃-1)-g(〃)与/(〃)的各项系数可以确定待定系数；

n

(4)xn=a-xn_x+c-b,其中awO,awl,bwO,bwl,cwO.

若a=b,则—芸+c;

b"b"-I

若""则可以设/+a)"=夕®_1+a•加T)；也可两边同时除以屋：之=第+/3'；

aa

也可两边同时除以b"：Z=9.M+c.

bnb尸

(二)典例分析:

【例1】(2018新课标江苏10)

将全体正整数排成一个三角形数阵：456，

78910

按照以上排列的规律，数阵中第〃行(〃卷3)从左至右的第3个数为.

【例2】如图，一粒子在区域｛(x,y)|x》O,>>0｝上运动，在第一秒内它从原点运动到点片(0,1),

接着按图中箭头所示方向在x轴、)，轴及其平行方向上运动，且每秒移动一个单位长度.

设粒子从原点到达点4、纥、c”时，所经过的时间分别为q,、么、c“，

⑴试写出｛a.｝、｛%｝、｛%｝的通项公式.

⑵求粒子从原点运动到点P(15,43)时所需的时间；

⑶粒子从原点开始运动，求经过2009秒后，它所处的坐标.反

A]A,4546

【例3】⑴（2017全国I）已知数列｛%｝中弓=2,。角=（应-1）（%+2）,“=1,2,3,….

求｛%｝的通项公式；

⑵已知数列满足％=1,%+i=———，则%=______.

3an+4

（3）（2018全国I）在数列｛““｝中，4=1,。用=24+2”.求数列｛4｝的通项公式.

【例4】（2019湖南15）

将正AABC分割成“2（〃N2,〃eN*）个全等的小正三角形（下图分别给出了〃=2,3的情形），

在每个三角形的顶点各放置一个数，使位于AABC的三边及平行于某边的任一直线上的数（当数

的个数不少于3时）都分别依次成等差数列.若顶点A,B,C处的三个数互不相同且和为1,

记所有顶点上的数之和为/5）,则有/'（2）=2,/（3）=,/（〃）=.

【例5】（2019江西8）

数列｛凡｝的通项4=〃2"2拳一$旭2三］，其前w项和为S〃，则S3。为（）

A.470B.490C.495D.510

【例6】（2019重庆14）

设％=2,a„+1=二一，殳型，〃eN*,则数列也｝的通项b„=

a.,+1a-I

【例7】（2019湖北15）

已知数列｛。“｝满足：at=m（m为正整数），*=.首'当为为偶数时，若q=1,则机所有

、3a“+1,当a,为奇数时

可能的取值为.

【例8】（2008北京理14）

某校数学课外小组在坐标纸上，为学校的一块空地设计植树方案如下：第k棵树种植在点

片（z，％）处，其中占=1,

T（a）表示非负实数a的整数部分，例如7（2.6）=2,7（0.2）=0.

按此方案，第6棵树种植点的坐标应为;第2008棵树种植点的坐标应为

【例9】（2019江西22）

各项均为正数的数列｛a“｝,a｛=a,a2=b,且对满足优+〃=p+q的正整数加，〃，p,q都有

4“+4%+%

（1+。加）（1+。"）（1+。°）（1+4）

⑴当q=L6=3时，求％；

25

⑵在⑴的条件下，将明用。表示出来（其中〃eN*）.

⑶在⑴的条件下证明［旨］为等比数列，并求通项a„.

⑷证明：对任意。，存在与。有关的常数4,使得对于每个正整数〃，都有

A

板块二：新定义数学与数学归纳法

（一）知识内容

数学归纳法：专门用来证明与正整数相关的命题的一种证明方法.

数学归纳法的步骤：

一个与正整数”相关的命题，如果

①〃取第一个值n0时命题成立；

②在假设当"=以左eN+,且左）时命题成立的前提下，推出当a=化+1时命题也成立；

那么可以断定，这个命题对〃取第一个值后面的所有正整数成立.

（二）典例分析：

【例10】（2019海淀一模8）

对于数列｛q｝,若存在常数使得对任意“eN*,%与a用中至少有一个不小于M,贝U记:

｛。“卜M,那么下列命题正确的是（）

A.若｛。，>加，则数列｛6｝的各项均大于或等于M

B.若｛0>M,｛b„｝>M,贝l］｛a“+bn｝>2M

C.若｛”“>>/,贝

D.若｛4｝>",则｛2a“+l｝>2M+1

【例11】（2019西城一模14）

已知函数”力由下表给出

X01234

a

/W。0q2%%

其中为（左=0,1,2,3,4）等于在g,q,出，4，4中人所出现的次数.

贝l]&_;4+4+%+=•

【例12】（2019北京理科20）

已知数集=｛。1，%，，Q〃｝（1W4<〃2<<〃〃，"22）具有性质P:对任意的

i,j（iWiWjWn）,qq与2•两数中至少有一个属于A.

ai

⑴分别判断数集｛1,3,4｝与｛1,2,3,6｝是否具有性质P,并说明理由；

⑵证明：R4=一1,,—且7“：+电T：+"'」_1一=”%"，；

%+4+,+

⑶证明：当〃=5时，ax,a2,a3,a4,应成等比数列.

【例13】（2019陕西22）

已知数列｛%“｝满足，玉=（，Xn+\=~—，〃$N*.

⑴猜想数歹|J｛%J的单调性，并证明你的结论.

⑵证明：氏+「乙快理5[1

615

【例14】(2018安徽理21)

设数列｛%｝满足4=0,。用=时+1-c,c£N*,其中。为实数，

⑴证明：％£[0,1]对任意neN*成立的充分必要条件是ce[0,1];

(2)iS0<c<-,证明：21-(3C)〃T,.

3

(3)设0<c<一,证明：+>n+\,MeN*.

3-l-3c

【例15】(2019西城一模)

设〃z>3,对于有穷数列｛《｝(〃=1,2,,m)，令如为生,a2,巴中的最大值，称数列抄“｝

为｛•“｝的“创新数列”，数列抄“｝中不相等项的个数称为｛0“｝的“创新阶数''.例如数列

2,1,3,7,5的创新数列为2,2,3,7,7,创新阶数为3.

考察自然数1,2,，加(加>3)的所有排列，将每种排列都视为一个有穷数列｛%｝.

⑴若根=5,写出创新数列为3,4,4,5,5的所有数列｛g｝；

⑵是否存在数列｛&｝,使它的创新数列为等差数列？若存在，求出所有的数列｛%｝,若不存在，

请说明理由.

⑶在创新阶数为2的所有数列｛%｝中，求它们的首项的和.

【例16】（2019湖南21）对于数列｛与｝,

若存在常数M>0,对任意的weN*,恒有I-|+|〃“一％|+・+\u2-uv|^Af,

则称数列｛与｝为3-数列.

⑴首项为1,公比为如q|<1）的等比数列是否为3-数列？请说明理由；

⑵设S”是数列｛斗｝的前，7项和.给出下列两组论断：

A组：①数列｛%｝是3-数列，②数列｛%｝不是3-数列；

8组：③数列｛SJ是3-数列，④数列电｝不是3-数列.

请以其中一组中的一个论断为条件，另一组中的一个论断为结论组成一个命题.

判断所给命题的真假，并证明你的结论；

⑶若数列｛〃“｝,抄”｝都是数列，证明：数列｛〃,也，｝也是3-数列.

习题1.黑白两种颜色的正六

边形地面砖按如图的

规律拼成若干个图案，卜管

则第〃个图案中白色地

面与黑色地砖的相差第1个

第2个第3个

的块数是.

习题2.在数列｛a“｝中，Oj=1,且对于任意正整数〃，者B有%+1=。“+〃，则《ioo=

习题3.已知数列口｝满足4=°，。用=**（w