上海市高三数学开学摸底考试卷（测试范围：上海高考数学全部内容）（解析版）

上海市高三数学开学摸底考试卷

考试时间：120分钟满分：150分

测试范围：新高考数学全部内容

填空题（共12小题，满分54分）

1•【分析】利用绝对值的几何意义求得|x+l|+|x-"?|的最小值为依+1],结合题意可得依+1]26,由此求得实数

加的取值范围.

【解答】解：由于关于x的不等式k+l|+|x-词＜6的解集为0,

而以+1|+|%-〃力表示数轴上的x对应点到-1、巾对应点的距离之和，它的最小值为依+1|,

故有|加+1|26,m+\^6,或m+lW-6,求得nzW-7,或/n25,

故答案为：（-8,-7]U[5,+8）.

【点评】本题主要考查绝对值的意义，绝对值不等式的解法，体现了等价转化的数学思想，属于基础题.

2.【分析】设〈标，标＞=。，由£＞C〃A8,可得〈屈，而＞=。，根据数量积为0，求解。.以AB所在

直线为x轴，过点。作OOJ_AB,。。所在直线为y轴，建立如图所示的坐标系.设瓦=入菽，可得

0E=0B+XBC.可得E点坐标，利用数量积运算性质及其二次函数的单调性即可得出.

【解答】解：设＜标，标＞=8••,QC〃AB,则＜屈，前＞=。，

VAC'BD=0）

（AD+DC）*（AD-AB）=0，

.\82-8XlOXcos0+4X8cos0-4X10=0,化为cos0=2，

2

•Q—兀

3

以A8所在直线为x轴，过点。作。01M8,所在直线为y轴，建立如图所示的坐标系.

则A（-4,0）,B（6,0）,C（4,4百），D（0,4我），

设瓦=入友，可得至=而+入位=（6-2A,4收人），

AE=（10-2A,4收入），DE=（6-2入，473（A-1））,

AE'DE=（1。-2入）（6-2入）+4我入・4立（A-1））=4（13入2-20入+15），

又0GW1,可得入=」包时，标•应取得最小值为我.

1313

故答案为:380

【点评】本题考查了数量积运算性质、方程的解法、二次函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，

属于中档题.

3.【分析】由已知可得，2s4-2S3=S5-S4,从而可求公比q,然后结合等比数列的通项公式即可求解.

【解答】解：•.•等比数列｛珈｝中，3s4=2S3+S5,

；.2S4-2s3=S5-S4,

••2a4=cis,

.•q=2,

V6/2=4,

J=2,

贝！］46=2X25=64,

故答案为：64.

【点评】本题主要考查了等比是数列的通项公式的简单应用，属于基础试题.

4.【分析】由二倍角的正、余弦公式结合两角和的余弦公式求解即可.

【解答】解：cos30=cos(2p+p)=cos2pcosP-sin20sin0=(2cos2p-1)cosp-2sin21kos0=(2cos2p-

1)cosp-2(1-cos2p)cosp=4cos3p-3cos0,

又cosp=a,

则COS30=4“3-3a.

故答案为：4a3-3a.

【点评】本题考查了二倍角的正、余弦公式，重点考查了两角和的余弦公式，属基础题.

5.【分析】由指数函数的性质即可求解函数的值域.

【解答】解：因为-/W0,

2

所以0<e-x^e°=l,

所以函数了=0七2的值域为(0,1].

故答案为：(0,1].

【点评】本题主要考查函数值域的求法，考查运算求解能力，属于基础题.

6.【分析】利用复数的运算法则求出z,再由复数虚部，模的定义即可得出.

【解答】解：因为z(1+力=-2+z,所以2=二&+匚=.'：二乙+*二口'-=二113工-=-二+3，,

l+i(l+i)(l-i)222

则z的虚部是3,|Z|=、耳瓦=画，

2V442

故答案是3,叵.

22

【点评】本题考查了复数的运算法则、复数的虚部，模的定义，属于基础题.

7.【分析】换成标准型，求出半径.

【解答】解：圆的标准型为(X+1)2+()，+1)2=2,

所以半径为J5，

故答案为：如

【点评】本题考查圆的方程和性质，为基础题.

8.【分析】设BD=x,由已知结合锐角三角函数定义及余弦定理分别表示cos4,建立关系x的方程，可求.

I2

【解答】解：如图，设BO=x,则由余弦定理可得，COSA="4XT,

2x

22)

又由余弦定理可得，7=BC=9?+(4X2_3)_2.3x•A/4X-3COSA

=13^-6X-74X2-3x-4^-3-3,

2x

即7=6+7,

解得x=1,

，AB=3.

故答案为：1

【点评】本题主要考查了三角函数的定义及余弦定理在求解三角形中的应用，属于基础试题.

9.【分析】根据题意，由数据的众数为5可得x的值，由中位数的定义把这组数据从小到大排列，分析可得

答案.

【解答】解：根据题意，数据为-3,5,7,x,11的众数为5,即5出现的次数最多，则x=5,

把这组数据从小到大排列，得-3,5,5,7,11,

则数据的中位数是5,

故答案为：5.

【点评】本题考查众数、中位数的计算，关键是求出x的值，属于基础题.

10.【分析】先把(x-2)(3-2%)5化为(x+1-3)[5-2(x+1)户的形式，把犬+1看成整体，应用二项式

定理即可求解.

【解答】解:(x-2)(3-2%)5=(x+1-3)[5-2(x+1)]5=(x+1)[5-2(x+1)]5-3[5-2(x+1)]5,

5=

•■•a5(x+l)G+1)[-2(x+1)]4-3[-2(x+1)]5=496(x+1)5,

。5=496,

故答案为：496.

【点评】本题主要考查了二项式定理的应用，属于基础题.

11•【分析】首先根据三角恒等变形和正弦定理变形得到(sinA-cosA)，再利用三角形面积公式得

S=^bcsinA=-^--2V2V2(sinA-cosA)sinA=l-V2sin(2A-t^~),再转化为二角函数的性质，求

函数的最大值.

【解答】解：由题意，设△ABC中角A,B,C所对应的边长度分别为a,b,c,则有b=2,

由一一二一=]可得3COSA[COSB=],

tanAtanBsinAsinB

整理得3cosAsinB+2sinAcosB=sinAsinB,

cosAsinB+2sin(A+5)=sinAsinB,

,.•A+3+C=n,/.cosAsinfi+2sinC=sinBsinA,

2sinC=sinB(sinA-cosA),

由正弦定理可得2c=Z?(sinA-cosA)=2(sirtA-cosA),

TT

>\c=sinA-cosA>0,则有卜>---.

4

故△ABC的面积s^bcsinAh^q。(sinA-cosA)sinA

=siii4(sinA-cosA)=sin2A-sinAcosA

=l-cos2A1.21V2.,c一冗、

---2----^-sm2A=y一厂sin(2Ay-A

..KU尸.H,3兀9兀

•A€兀)，••n2ATE(—>—)­

当人=殁时，△ABC的面积S取得最大值」用•

故答案为：上巫.

2

【点评】本题考查三角函数和解三角形相结合的综合应用，本题的关键是利用三角恒等变形和正弦定理

得到c=^(sinA-cosA),为后面转化为关于A的三角函数求最值奠定基础，属中档题.

12.【分析】先找出动点。在三棱锥各个面的轨迹分别为前，QH，Fffi,GF，分别求出各段弧对应的圆心

角，利用弧长公式求解即可.

【解答】解：如图，轨迹为曲线EFGH,

因为在正三棱锥A-BCD中，底面边长为五，侧面均为等腰直角三角形,

故AB=E，

在△ABH中，因为84=2,AB=V3>NBAH=90°,

mi”，兀/兀兀兀

所以A”—l,ZCBH=-T--r

64612

*兀兀

故EF=GHrX2干，

1/b

jr

又A“=AE=1,ZCAD=-^-'

所以“£=不了=&，

JI—•JT2兀

则HE)，GF=^-X

所以点O的轨迹长度为2X看g+2：=3j.

故答案为：亚.

2

【点评】本题考查了空间中动点轨迹长度的求解，涉及了三角形中边角关系的应用，弧长公式的应用，

考查了逻辑推理能力、空间想象能力与化简运算能力，属于中档题.

二.选择题(共4小题，满分18分)

13•【分析】根据集合A的元素的范围对应各个选项即可判断求解.

【解答】解：因为集合A={x|x>3},

则0UA,且OCA,2CA,4WA,

故选：D.

【点评】本题考查了集合元素的性质，考查了学生的分析问题的能力，属于基础题.

14•【分析】由图分析得到正负相关即可.

【解答】解：由题意得，

第一组数据线性相关，且正相关，

第二组数据线性相关，且负相关，

第三组数据无相关关系，

故r\>ri>n,

故选：A.

【点评】本题考查了变量相关关系的判断，属于基础题.

15•【分析】最小正周期为7=空=口，当区间［r,什匹］关于它的图象对称轴对称时，gi(r)-g2(/)取

24

兀

t+t+

得最小值，对称轴为一厂生_=什等，函数y=sin(2x4)有最值±1，据此计算可求giG)-g2(r)

的最小值.

【解答】解：因为函数了=$111(2乂2)，所以其最小正周期为7=等=n，而区间5什子］的区间长

度是该函数的最小正周期的工，

4

因为函数丫=S］.11(2x+~T；T)在区间上，，+亍TT1的最大值为gi⑺，最小值为g2G),

所以当区间［3，+一■)关于它的图象对称轴对称时，gl(z)-g2(r)取得最小值,

4

兀

对称轴为----24.=，+半此时函数丫=$5,11(2***^-)有最值±1，

TTTT

不妨设取得最大值gi(r)=1,则有sin[2(r+—)+—]=1,所以sin(2r+22L)=1,

8312

解得2/+卫L=2L+2KT,kWZ,得t=kn-—,kez,

122

TTJT7rTT=亚，

所以g2(t)=sin(2r+—-)=sin[2(lav-——)+--]=sin(2丘+——)

24342

，gl(f)-g2(z)的最小值为2z返

2

故选：D.

【点评】本题考查了三角函数的化解能力，图象性质的应用，单调性讨论思想和转化思想.属于中档题.

16.【分析】利用方程与曲线的关系进行判断即可.

【解答】解：由于不能判断以方程/(x,y)=0的解为坐标的点是否都在曲线C上，

即曲线C可能只是方程/(x,y)=0所表示的曲线上的某一小段，

故方程f(x,y)=0的解的曲线不一定是C,

则也不能推出曲线C是方程/(x,y)=0的轨迹，

故选项A,B,。错误.

故选：C.

【点评】本题考查了曲线与方程的关系的判断，掌握曲线与方程的相关关系是解题的关键，属于基础题.

三.解答题(共5小题，满分78分)

17.【分析】(1)由题意首先证得然后由线面平行的判断定理可得8。〃平面BCD1：

(2)建立空间直角坐标系，求直线A8的方向向量和平面B1C)的法向量，然后计算求直线A8与平面

B\CD\所成角的正弦值即可；

(3)首先求得两个半平面的法向量，然后计算可得二面角的余弦值，最后由同角三角函数基本关系可得

二面角的正弦值.

【解答】证明：(1)在四棱柱ABCD-AiBiCiOi中，BB\//DD\,BBi=DDi,则四边形是平行

四边形，

据此可得且BQC平面BiCQi,BiOiu平面劭CP,

由线面平行的判断定理可得8。〃平面BiCDi；

解：(2)因为A4_L平面A8CQ,AB,AOu平面ABC。,

由线面垂直的定义可知A41-L4B,AA\1AD,

因为AB=AD=2,BD=2亚，所以AB2+A£)2=BD2,ZABD=ZADB,所以A8_LA£),ZADB=45Q,

因为AO〃BC,所以NOBC=45°,

又BD=CD=2&，所以△BOC为等腰直角三角形，所以BC=4,

以4为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz,

则A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,4,0),Bi(2,0,2),Di(0,2,2),

所以Q=(2,0,0)，跖=(0,

4,-2)，B1D1=(-2,2,0)

设平面BiCDi的法向量为1=(x,y,z)

n-B1C=4y-2z=0

则_____L，据此可得三=(1,1,2)，

n•B।D।=-2x+2y=0

设直线AB与平面BiCDi所成角为6,

_2_|_VL

则sin8=|cos位>n〉|=.:不

2xV66

(3)很明显平面81CD1的法向量为1=(1,1,2>

因为AAiJ_平面ABC£>,AA1//DD1,所以力Di_L平面ABC。，

BQu平面ABCD,由线面垂直的判断定理可知DD\±BD,

又BDLDC,DDi^DC=D,DD\,QCu平面CDiCi,所以8O_L平面CDCi,

则短而=(-2,2,0)为平面CAO的法向量,

;m

•，'COSGn，n〉=|-1||二0，,sinG,n?=1

ImI|n|

即二面角Bi-CD\-Ci的正弦值为1.

【点评】本题主要考查线面平行的证明，线面角的计算，面面角的计算，空间向量及其应用，空间想象

能力的培养等知识，属于中等题.

18•【分析】(1)依题意，利用奇函数的定义，可求得函数/(x)的解析式；

(2)作图如下，结合图象可写出J.(x)的单调区间.

【解答】解：(1)V/(x)为R上的奇函数，当x>0时，/(x)=x(x-1),

.•.当x<0时，-x>0,

/(-X)=-X(-x-1)=x2+x=-f(x),

(x)=-x2-X；

又/(0)=0,

x2-x,x>0

:(x)=<0,x=0；

-x2-x,x<o

(2)作图如下：

由图可知，/(X)在(-8,-_L),(A,4-00)上单调递增，在(-JL,A)上单调递减，

2222

19•【分析】(1)每个小球的选择都是一次独立重复试验，而每个小球选择盒子乙的概率为工，所以可知随

机变量X服从二项分布;

(2)①由条件概率的公式很容易证明；②主要是根据题意，确定是平均分组还是非平均分组，进而根据

排列组合的公式即可得到相关事件的概率；由于某些分组情况比较复杂，因此考虑其对立事件，会减少

计算量.

【解答】解：(1)由题意可知，X的可能的取值为0,1,2,3,4,且X〜B(4,1),

3

故E(X)=4xA=fl

33

(2)①因为p(H,N)=/P—6(H)P(N[,且p(孙N)>o,

VP(M)P(M)P(N)P(N)

所以P(MN)-PCM)P(N)>0,即F'(M),而尸(M|N)=♦

P(N)P(N)

所以P(M\N)>P(M)成立.

②事件盒子乙不空，则事件M：盒子乙空,

由第1问可知P(M)，所以P(M)=1-P(M)=越,

81

事件N：至少有两个盒子不空，则事件N：有一个盒子不空,

P(N)=与=±，所以P(N)=1-P(N)=空,

342727

事件至少有两个盒子不空且盒子乙不空，分为两种情况，一种是三个盒子都不空，按照1、1、2分

组；另一种是两个盒子不空且乙不空，此时甲或者丙是空的，故按照1、3或者2、2分组即可,

ll2

rC4rc3rc23

A：A3Cl(ClC3A2

)64

故尸(MN)=----2-------+—__；以

34348?,

646526

———xv—

所以p(M,N)=——21*14=19V10

.1626J_260

x81*27*27

【点评】本题考查离散型随机变量的期望，是中档题.

22

X0X12

XBzx

(—

-?x--y卫)，结合导数的几何意义和直线的斜率公式,

4XI41

-cf4

推出x2=-2ro-xi,进而得直线A8、AC的斜率之间的关系，从而判断三角形的形状;

(2)联立直线AB的方程与抛物线的方程，结合韦达定理，可用点A的坐标表示弦长|AB|、IAC1,再由三

角形的面积求得点A的坐标，进而得直线BC的方程.

222

【解答】解：（1）设月（xo.①），B（xi,红），C（%2,配），则。（-xo,

444

22

xl+x2

.,.kBC=————-------,

x2-xl4

,.'/=4y,.'.y'=—x,.'.ki---xo.

22

；BC平行于该抛物线在点。处的切线I,

x<+xnian

------------=--X0,即X2=-2X0-XI,

42

22

x2-x044

—x+x.

而kAB=n------

4

；.kAC=-kAB,即AD为NBAC的平分线,

'：d\+d2=42\AD\,

故aABC是直角三角形.

2O

联立，y4=-（x-x。），得/+4x-■X-

)+O

x2=4y

.'.xo+xi=-4,即xi=-4-xo,

同理可得，X2=4-xo，

.\\AB\=^/2\xo-xi|=5/2|2^（）4-4|,|AC|=V2|xo-X2|=V2|2XO-4|,

2

/.SAABC=—|7lB|-|Aq=|4Xo161=240,解得xo=±8,

2

故当尤0=8时，4(8,16),B(-12,36),C(-4,4),...直线BC的方程为y=-4x-⑵

当xo=-8时，A(-8,16),B(4,4),C(12,36),二直线BC的方程为y=4x-12.

【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系，弦长公式，直线的斜率公式，考查数形结合思想、逻辑推

理能力和运算能力，属于中档题.

21•【分析】(1)求出导函数，然后求解导数值即切线斜率，代入点斜式方程即可求解；

(2)根据，(x)>0,得函数/(X)在(0,+8)上是增函数，又人(1)>0,根据零

点存在性定理可证；

(3)由%+1(X)在(0,+8)上单调递增，可得初+1<初，再Cxn+P)减%(x„)变形化简，利用放

缩法得证.

23r

【解答】解:(I)f3(又)=-1+/，2+“2，所以£3,(x)=l卷x4X，

23

所以f3‘(1)与，

J6

又f31T，

J36

所以函数力(X)在点(1,fi(1))处的切线方程为y即y2x&；

366636

(2)证明：对每个旅N*,当x>0时，

23n

由函数f(x)=-]+x+'尹、+,,•(n€N*)J

n2232n2

2n-1

可得f，(x)=1玲+~^~+…+乂门—>A

故函数/(x)在(0,+8)上是增