山东省德州市2022-2023学年高二年级上册期中数学试题(含答案)

山东省德州市2022-2023学年高二上学期期中数学试题

学校：姓名：班级：考号：

一、选择题

1、已知直线k:x-括》+1=0,直线/2的倾斜角是直线4倾斜角的2倍,则直线4的斜率

是（）

A.-V3B.--C.A/3D.2石

3

2、已知直线x+冲-2=0与直线丁=加垂直，则的关系为（）

A,nm-l=0mn+l=0C.冽—〃=0D.加+〃+1=。

2

3、已知P（1,G）为双曲线q—x2=i（a〉0）上点.则该双曲线的离心率为（）

A正B.姮C.叵D.亚

232

4、已知四棱锥P—ABCD,底面ABCD为平行四边形,/W,N分别为棱BC.PD上的

HCM1…

点,---=—/PNND，设AB=a，AZ）=6,AP=c，则向量MN用｛。，瓦。｝为基底表示为（）

CB3

C.a--b+-cD.---b+-c

326232a62

5、已知两圆V+y2=i和/+（,“）2=]6无公共点,则实数a的取值范围为（）

A.（-3,3）B.,-5）（5,-H»）

C.（-5,-3）l,（3,5）D.S，—5）（-3,3）l（5,+<x））

6、如图所示，在正方形中ABCD,A3=&，以AC为折痕把ABC顺时针折起，折成一个大

小。为的二面角，若cos'」,则四面体A-B8的体积为（）

C.3

AB.

-l324

22

7、已知椭圆c：土+21=1（。〉人〉0）,椭圆C的一顶点为A两个焦点为耳,B，△从右心的

a-b-

面积为百，焦距为2,过右,且垂直于AF2的直线与椭圆C交于D,E两点，则AWE的周长

是（）

A-4A/2B.8C-2A/19D.16

8、已知在三棱锥中,S—ABC中,54,5。,54=6。=2,54=50=2后，二面角

3-47-5的大小为空，则三棱锥5-^5。的外接球的表面积为（）

6

105兀口124兀

49

二、多项选择题

22Q

9、已知曲线C的方程为-------—=1（加£11,加7三且加/2）,则（）

3m—22m-43

A.若曲线C表示圆，则加=9

5

B.若曲线C表示焦点在x轴上的椭圆，则m的取值范围为（|,2

C.若曲线C表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围为

D.若曲线C表示焦点在y轴上的双曲线，则m的取值范围为，*g

10、如图，在棱长为1的正四面体ABCD中，点M,N分别为棱BC,AD的中点.则（）

C

2

B.AB上CD

C.侧棱与底面所成角的余弦值为同

D.直线AM与CN所成角的余弦值为上

3

11、双曲线具有如下光学性质:如图片，工是双曲线的左，右焦点，从右焦点K发出的光线

m交双曲线右支于点P,经双曲线反射后，反射光线n的反向延长线过左焦点小若双曲

22

线c的方程为土—2L=1,则（）

421

F2x

A.双曲线的焦点招到渐近线的距离为亚

B.若"上〃,则|尸制尸图=42

C.当n过点0（3,6）时,光线由耳一尸fQ所经过的路程为8

12、如图，已知正方体ABCD-的棱长为2,点E,F分别为棱AB,45的中

点，4G=/L4G（（^i兑1）,则（）

A.无论力取何值，三棱锥C—EFG的体积始终为1

B.若八立，则EG.町=2+0

4

C.点2到平面EFG的距离为反

3

D.若异面直线EF与AG所成的角的余弦值为姮.则;I=2

2210

三、填空题

13、在空间直角坐标系中，已知Q4=（3,2,1）,。3=（1,0,5）,OC=（-1,2,-1）,点M为线段

的中点，则|CM卜.

14、写出与圆好+丁=1和圆（%―4『+（y-3）2=16都相切的一条直线方程.

15、“蒙日圆”涉及几何学中的一个著名定理，该定理的内容为:椭圆上任意两条互相垂直

的切线的交点都在同一个圆上，它的圆心是椭圆中心,这个圆称为该椭圆的蒙日圆.已知

22

椭圆C：/一+乙=1（。〉0）的蒙日圆方程为好+V=7,则椭圆C的离心率为.

16、设P为多面体M的一个顶点，定义多面体M在点P处的离散曲率

为:1-4（NQ/Q+NQ，Q3+…+NQiP以+NQ*P0），其中Q=（i=l，2,，左水..3）为多

2兀

面体M的所有与点p相邻的顶点,且平面Q/2,平面。2「。3，，平面QiPQ*和平面

&PQ1遍历多面体M的所有以点P为公共点的面，在长方体ABC。-AgGA

中,AB=5C=4,M=2&，点5为底面A与G2的中心，记三棱锥A-A3。在点A处的

离散曲率为m,四棱锥S-ABCD在点S处的离散曲率为“，则m-n=.

四、解答题

17、已知圆C与x轴相切，圆心C在直线y=2%上，且与y轴正半轴相交所得弦长为2逐.

（1）求圆C的方程;

（2）过点P（0,2）的直线/交圆于C,于E,F两点，且|EF卜屈，求直线I的方程.

18、如图，圆柱轴截面4BCD是正方形,A£>=2,点E在底面圆周上,为垂足.

（1）求证:

（2）当直线DE与平面ABE所成角的正切值为72时，求三棱锥B-CDE的体积.

19、已知圆〃+（y_02=8,点N（O,-1）,P是圆M一动点，若线段PN的垂直平分线与

PM交于点Q.

（1）求点Q的轨迹方程C;

（2）若点A是曲线C上的动点，求Q4.AN的最大值（其中。为坐标原点）.

22

20、已知双曲线C：=—齐=1（。〉0］〉0）经过点P（2,l）,且双曲线C的右顶点到一条渐

近线的距离为远.

3

（1）求双曲线C的方程；

（2）过点P分别作两条互相垂直的直线R4,PB与双曲线C交于AB两点（AB两点均与

点P不重合）,设直线AB:y=丘+机（左w0）,试求k和m之间满足的关系式.

21、如图，在三棱柱ABC—A与G中,"，平面=2,点

。是棱BC的中点.

（1）求证：4瓦/平面ACQ；

（2）在棱上AC是否存在点M,其中AM=2AC（0<2<1），使得平面BA.D与平面\DM

所成角的大小为60。,若存在，求出2;若不存在，说明理由.

22

22、已知椭圆0•工+2L=1（。〉6〉0）的右焦点为尸（1,0）,点Q为椭圆c上任意一点，且

a2b2

目的最小值为—

（1）求椭圆的C标准方程;

2

（2）设椭圆G：・x+=6,过点Q作椭圆C的切线交椭圆G于M,N两点，求

a"

证:AMON（。为原点）的面积为定值，并求出此定值.

22

（注:在椭圆C.土+乙=a〉10）上一点（和M的切线方程为哭+券=1）

a2b2

参考答案

1、答案：c

解析:4:%-百y+1=0的斜率k=*,故其倾斜角为30。，

因止匕直线4的倾斜角为2x30。=60°，所以右的斜率为tan60。=6，

故选:C

2、答案：C

解析:直线工+磔一2=0与直线nx-y=0垂直,则lx〃+根x（—1）=0=>〃一加=0,

即m—n=Q

故选:C

3、答案：B

2

解析:因为P（l,@为双曲线与—f=i（q>o）上点，

所以（6）解得业或〃=_亚（舍），

21-122

a乙乙

2o

所以双曲线的方程为m-炉=1,所以/=34=1,

2

所以。2="+。2=3+1=9,解得0=®或c=_®（舍），

2222

TIP

所以该双曲线的离心率为6=£=京=巫.

aV63

~T

故选:B.

4、答案：D

解

析：

MN=MC+CD+DN=-AD-AB+-DP=-AD-AB+-（AP-AD）=-AB--AD+-AP

3232、,62

^MN=-a--b+i-c

62

故选:D.

5、答案：D

解析:圆x2+y2=1的圆心为（0,0）,半径彳=1,

圆/+仆―=]6的圆心为（o,a）,半径2=4,

设圆心距为〃则2=同,

因为两圆/+J?=]和x2+（'_々）2=]6无公共点，

所以两圆外离或内含，

则』＜々一弓或d＞q+4，

即时＜3或问＞5,

解得-3＜。＜3或。＞5或。＜-5，

所以实数a的取值范围为（TO,-5儿（-3,3）（5,4W）.

故选:D.

6、答案：D

解析:由于四边形ABCD为正方形，所以08，AC,0。，AC,03O£＞=0,0B,ODu平面

BOD,

所以4O£＞=/且ACJ_平面BOD,

故cos/BOD=；,又因为05=OD=gAC=孝A3=百，故△50。为等边三角形，

oo

故匕=JSRnnAC=-x-OBODsm60xAC=-x-OBODsin60xAC

△-D^Lf3DKJL＞3232

=­x—xy/3xGx-x2A/3=—

3222

故选:D

7、答案：B

解析:因为居的面积为石，焦距为2,所以c=l）=石，

22

所以。=病工^=2,故椭圆方程为?+g=l，

假设A为椭圆c的上顶点，因为两个焦点为％工，

所以|的|=|但|=4=2,|耳闻=2c=2,故|前|=|明|=|耳闾，

所以△?1耳巴为等边三角形，又因为过耳，且垂直于AF2的直线与椭圆C交于D,E两点,

所以|AD|=|*|,|A£|=|%],

由椭圆的定义可知：|。闾+|g|=2a=2x2=4,

\EF2\+\EF]\=2a=2x2=4,

所以△ADE的周长为

M+|AE|+|r)£|=|M+“+|g|+|£E|=4a=4x2=8,

故选:B.

8、答案：A

解析:如图，取AC的中点。，连接BD.SD,

因为AB=BC=2，SA=SC=2VL

所以5DJ_AC,SD，AC,

所以NSQ5为二面角B-AC-S的平面角，

所以NBDS=2,

6

因为八B，BC,覆==2,所以AC=20，80=CD=VL

因为SA=SC=2夜，

所以S。=^/^I=后，

过点D作与平面ABC垂直的直线，则球心0在该直线上，

设球的半径为R,连接。8,。5可得OD=，炉一2,

在△OS。中,NODS=乌，

3

22

由余弦定理可得OS?=OD+SD-2OD-SD-COSZODS，

即R2=R2—2+6—2,22—2义述xg,解得不2=日，

所以其外接球的表面积为4兀女=驷.

3

故选:A.

9、答案：ACD

22

解析:由题意知曲线c的方程为-_____2_=1,

3m—22m—4

3m-2>0

若曲线C表示圆，则<2m-4<0，解得根=£故A正确；

3m-2=-(2m-4)

3m-2>0

若曲线C表示焦点在x轴上的椭圆，则2加-4<0，解得9<7“<2方错误;

5

3m-2>-(2m-4)

3m-2>0

若曲线C表示焦点在y轴上的椭圆，则2机-4<0，解得2<相<9工正确;

35

3m-2<-(2m-4)

若曲线C表示焦点在y轴上的双曲线，则尸加―2<°，解得机<2,D正确，

2m—4<03

故选:ACD.

10、答案：BC

解析:由正四面体八BCD,可得NBAC=/BAD=ZDAC=—,

3

贝I1阿=出（AD~ab~AC）j

1I^2^2

=—7AD+AB+AC+2ABAC-2ABAD-2ADAC

2

=-Vl+1+1+1-1-1=—>A错误；

22

对于B，C£>=A£>—AC，

则AB.CD=AB（AD—AC）=AB.AD—AB.AC=g—；=0,

所以ABLCD,故B正确；

_____.ii_._.1-.

对于D,AM=-AB+-AC,NC=AC-AN=AC——AD,

222

则|AM|=|NC/冬

AM-A^C=QAB+|AC^AC-|AD^|

11-1-21

=-ABAC——ABAD+-AC——ADAC

2424

——_1_____1___I_1_____1___——1___

-4-82-8-27

设直线4W与C/V所成角为。

1

AMNC

则cos8=cos（AMNC）='_2_2

百百3'

AMNC---x----

22

所以直线AM与CN所成角的余弦值为L故D错误；

3

对于G连接DM,在DM上取点。，使得OD=2OM,连接OA,

则Q4L平面BCD,

则NADM即为直线4）与平面BCD所成角的平面角，

在中,AM=DM=与AD=1,

1+3_3

则cosZADM=—,

0163

2x1x---

2

由正四面体的结构特征可得，直线AB,AC,AD与平面BCD所成角的相等,

所以侧棱与底面所成角的余弦值为—，故C正确

3

故选:BC

11、答案：ABD

22

解析:对于A,由双曲线C的方程为工—言=1知双曲线的渐近线方程为:伍—2y=0,

4

焦点耳（5,0）到直线421x-2y=0的距离为=万秋A正确;

对于B,若相，〃，则/月「鸟=90°.

因为P在双曲线右支上,所以由怩尸|=4.由勾股定理得:闺P「+|凡=闺凡『

二者联立解得：户用忖用=闺鸟『―（闺目—%'）2=10°-16=42.故B正确；

对于C,光由月fPfQ所经过的路程为

\F2P\+\PQ\=\FyP\-2a+\PQ\=\FxP\+\PQ\-la=\F{Q\-la=^+5^+（6-^~^=6>

故C不正确；

对于D,双曲线EM=1的渐进线方程为y=±YH%.

421--2

设左,右顶点分别为AB.如图示:

当加与F2B同向共线时,"的方向为BF2，此时k=o,最小.

因为P在双曲线右支上，所以n所在直线的斜率为可（浮.即闷e0,

故D正确.

故选:ABD.

12、答案：AB

解析:对于A,因为正方体A3CD-4耳£0的棱长为2,点E,F分别为棱A8/D的中点,

=2x2—1-xlxl+-x2xl+-x2xl3

所以S^EFC

12222

在正方体ABCD-中,CG，平面ABCD,

由等体积法知，0棱锥C-EFG=匕棱锥G-EFC],^AEFC，=XX=1

所以无论力取何值，三棱锥C—EFG的体积始终为L故A正确；

对于B,由题意可知，以。为坐标原点，建立空间直角坐标系。-孙Z,如图所示

因为正方体ABCD-A4G2的棱长为2,

所以5（2,2,0）,4（2,2,2）,石（2,1,0）,G（0,2,2）,（0,0,2）,

由X=手，得4G=4与G，设G(X,2,2)，则

所以4G=(九-2,0,0)，4G=(-2,0,0),

所以(》-2,0,0)=4(-2,0,0)所以》-2=¥*(-2)，解得》=2-4，

所以(^2-也,2,21，

I2J

.(J?\.

所以EG=-—,1,2,BD,=(-2,-2,2),

I2J

所以EG.叫=1—名义(—2)+lx(—2)+2x2=2+VL故B正确；

对于C,由B选项建立的空间直角坐标系知,£(2,1,0)，厂(1,0,0),0(0,0,2),

设G(x,2,2),则屈=(x-2,0,0),麻J=(—2,0,0)，4G=/L4G(噫丸1),

所以(x-2,0,0)=2(-2,0,0),所以x-2=2(-2),解得尤=2-24,所以G(2-22,2,2),

所以所=(—1,—1,0),房=(1—242,2),。］尸=(1,0,—2),

设平面EFG的法向量为〃=(x,y,z),则

n-EF=0-1-2/1

，令x=l,则y=T,z=

n-FG=0-2~

所以〃=11,一1,三”],

\D^-n\|2+22|

所以点2到平面EFG的距离为"—I―「+212,

由于几无法确定，所以点。到平面EFG的距离无法确定，故C错误；

对于D,由B选项建立的空间直角坐标系

知,E(2,l,0),F(1,0,0),A(2,0,0),B(2,2,0),4(2,2,2),Q(0,2,2),

设G(x,2,2)，则4G=(九一2,0,0),40=(―2,0,0),4G=XBg，

所以(x-2,0,0)=2(-2,0,0),所以x-2=4(-2),解得尤=2-22,所以G(2-242,2),

所以所=(-l,-l,0),AG=(-22,2,2),

因为异面直线EF与AG所成的角的余弦值为姮，则

22

EFAG

cos(%AG)=即/已可解得Y或T"攵口错

EF^AG=4

误.

故选:AB.

13、答案：V26

解析:因为Q4=(3,2,l),Ofi=(l,0,5),点M为线段的中点，

所以0M=g(0A+03)=(2,1,3),

所以CM=OM—OC=(3,—1,4),

所以[CM]=732+(-1)2+42=V26，

故答案为:回.

14、答案：y=-l,4x+3y-5=0,24x-7y+25=0

解析:由题意可知，圆f+V=1的圆心坐标为0(0,0),半径为彳=1,

圆(1—町+(y-3)2=16的圆心坐标为。(4,3)泮径为4=4,如图所不

所以|OC|=J(4_0『+(3_0)2=5M+G=5,即|oq=/i+G，

所以两圆外切，由图可知，与两圆都相切的直线有三条.

当切线为人时，因为左m=士卫=?，所以A,=-£

℃4-04।3

设直线4：y=—：x+匕（b>0）,即4x+3y-3b=0,

所以尸|=i,解得6=3或『9（舍）,

A/42+3233

故所求直线人的方程为丁=—gx+g,即4x+3y—5=0.

由图可知,4：y=T；4与‘3关于直线y=对称，

）二一14

联立3，解得尸一5,

y二—x1

L4〔y=T

所以4与6的一个交点为，-11,在4上取一点（O,T），

‘%-1_3Xo[24

该点关于直线y=|x的对称点为（9）,则:442,解得。725,

|「3卜。-石

所以对称点为（-2

12525J

7

所以左=互二=必，

42447

-------1---

253

=汽%+）即24%—7丁+25=0.

故所求直线4的方程为y+1：

所以与圆工2+丁2=1和圆（％_一4）2+（丁—3）2=16都相切的一条直线方程

为:y=-l,4x+3y-5=0,24Jc-7y+25=0.

故答案为:y--l,4x+3y-5^二0,24%—7y+25=0.

15、答案：工或0.5

2

22

解析:由椭圆C：^—+匕=1[a>0）知，椭圆的右顶点为A（V^+l,0）,

6Z+1a

因为椭圆上任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上,

所以C(Ja+l,五)在/+/=7,

所以a+l+a=7,解得:a=3，

则椭圆C的离心率为e〜=L

Va+1V42

故答案为」

2

16、答案：—工

12

解析:在长方体ABCD-A4GR中，乙41Ap=441AB=ABAD=],

故三棱锥A-43。在点八处的离散曲率

根=1__L(ZA,AD+Z^AB+ZBAD)=1一--+-+-L-;

2兀2兀1222J4

设AC,BD交于。，连接S。,AB=5C=4,A4t=2逝,四边形ABCD为正方形，

则S0=2VL03=；3D=2直,故S3=4,同理5A=50=SC=4，

四棱锥S-ABCD为正四棱锥，而AB=4,则四棱锥S-ABCD每个侧面都为正三角形,

所以ZASB=ZASD=ZCSB=ZCSD=-,

3

故四棱锥S-ABCD在点S处的离散曲率

”=1—--(ZASB+ZASD+ZCSB+ZCSD)=1—--f-+-+-+-1=-,

2兀27rl333313

故=-=---,

4312

故答案为:_J_

12

17、答案：(1)(x—l)2+(y—2)2=4

(2)y=x+2或y=-x+2

解析：(1)设圆心C(m,2m),因为圆C与x轴的正半轴相切，

所以机〉0,圆C的半径为2%因为圆C截y轴所得弦的弦长为2若，

所以加+=(2/〃)2，即=3,又加＞0,所以"2=1，

所以圆C:(1)2+—2)2=4.

(2)当直线/无斜率时，此时直线I方程为％=0，由题知:此时直线/与圆C

截得的弦长为2百,不满足条件，

当直线/有斜率时，设直线方程为:y^kx+2,

则圆心M(l,2)到直线/的距离为万丝,

J1+42

所以=22，解得左=±1,

所以直线/的方程为:y=x+2或y=-x+2

18、答案：(1)见解析

解析：(1)由题意可知D4_L底面ABEBEU底面八BE,故

又BE上AE，AE£＞石=£1/£,£)£匚平面八£。，

故3£，平面AED,

由AFu平面AED,得AF±BE,

又AFLDE,BEDE=E,BE,DEu平面BED,故AF，平面BED,

由QBu平面BE。,可得AF±DB.

(2)由题意，以4为原点，在底面圆内过点4作AB的垂线作为x轴，以AB,AD所在直线

为y轴,z轴建立如图所示空间直角坐标系，

并设入。的长度为2,则A（0,0,0）,6（0,2,0）,C（0,2,2）,£＞（0,0,2）,

因为平面八BE,所以NOE4就是直线DE与平面ABE所成的角,

所以tanNDEA=2^=VL所以=所以E（LLO），

AE

\DE\=\CE\=VI+1+4=A/6,

SECD=¥04（司T=“x«S

由上可得DC=（0,2,0）,DE=（1,1,—2）,

设平面OCE的法向量为〃=（x,y,z）,则〃⑦°=°,即；2y=°,

'7[n-DE=01x+y—2z=0

取x=2，得n=(2,0,1)•

因为B£=(l,—1,0),

lx2+

所以点B到平面CDE的距离d=埠J=l(-0^°tM=拽.

“J4+15

所以三棱锥8—CDE的体积为:V==

3ACD£353

2

19、答案：(1)匕+炉=1

2

(2)--

2

解析：(1)圆”:/+(,一1)2=8的圆心M(0,l),半径为厂=2夜，

由题意可知|QN|=|QP|,又点P是圆上的点，则||=272,

且户闸=|PQ|M\QN\+\QM\=2^>2,

由椭圆的定义可知，点Q的轨迹是以M,N为焦点的椭圆，其中a=g,c=l,b=l,

2

则点Q的轨迹方程C:匕+公=1；

2

（2）设A（尤,y）,则OA=（x,,AN=（-x,-l-y）,

进而OA-AN--x2+y（-1-y）=-x2-y1-y®

又li+x2=i，所以％2=1_工/,将其代入①得Q4AN=—Ly2一y—1=—J（y+1）2一

22222

由椭圆的有界性可知一肩卜啦,所以当y=-1时，取最大值-1

2

20、答案：（1）--y2=\

2

（2）nr+12k2+Skm+2m—3=0

22

解析：（1）已知双曲线C:3-二=l（a>0/>0）经过点P（2,l）,

ab

右顶点为（a,0）,不妨取渐近线为>即以+@=o,

则厂而一员.

V77F3

从而可解得储=2/2=1,

2

所以双曲线C的方程为二一）2=1；

2'

（2）设A（%,"）,现巧,力），

,2

__,2_i

联立<2'一,消V得（1一2左之卜2一纵如一2/一2=0,

y=kx+m

mi4km-2m2-2

贝h+X2=K，"m=、歹

则%+%=%（石+%）+2根='；~^

1—乙K

m2-2k2

yy=k2xx+krn^+x)+m2

x2x22l-2k2

PA=(%-2,%-1),PB=(x2-2,y2-l),

因为B4_LPB，则PAPB=O'

即(X—2)(9-2)+(X—1)(%T)=6

即玉/-2(%+9)+%%-(X+%)+5=。，

nn—2m2—28kmm2—2k22m5—10^2八

I-2k2I-2k21-242l-2k2I-2k2

整理得加2+12左之+8^m+2m-3=0/

所以加2+12左2+86+2加―3=0•

21、答案：(1)见解析

(2)存在,2=工

4

解析：(1)连接AC交AC］于点。，

由于四边形AC£4为矩形，所以。为A。的中点，

又点D是棱BC的中点，故在△ABC中,。。是△ABC的中位线，因此OD//A5,

ODu平面AG。,<2平面AG。,所以A3〃平面AG。

(2)由出，平面ABCAC可知,三棱柱A5C-4与C为直三棱柱,且底面为直角

三角形，

故以Z\为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系；

则A（0,0,0）,A（0,0,2）,5（4,0,0）,C（0,4,0）,£>（2,2,0）,

由AM=2AC（0<X<1）得M（0,440）,

4B=（4,0,-2）,BD=（-2,2,0）,

设平面％。的法向量为加=（x,y,z）,则

m_LAB4x-2z=0

X取z=2，得m=(1,1,2),

m_LBD-2x+2y=0'

A"=(0,42,-2),DM=(-2,42-2,0),